精品解析：福建省“三明二中、永春一中、龙岩一中”三校2025-2026学年高三上学期10月协作考试数学试卷

“三明二中､永春一中､龙岩一中”三校协作 2025-2026学年第一学期联考 高三数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 试卷分第I卷（选择题）和第I卷（非选择题）两部分 第I卷（选择题，共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式的解法化简集合，再根据交集的定义求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 2. 的模为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 1+ 【答案】A 【解析】 【分析】首先化简复数，再求模. 【详解】，所以. 故选：A 3. 设等比数列的前项和为，若，则（　　） A. 8 B. 10 C. 14 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列片段和的性质即可得到成等比数列，再计算即可得到答案. 【详解】等比数列中，成等比数列， 成等比数列， ， 故选：A． 4. 已知向量，，，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算律即可求解. 【详解】由得，解得， 故选：B 5. 已知函数，设，则（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递增，上单调递减 C. 在上单调递增 D. 在上单调递减，上单调递增 【答案】D 【解析】 【分析】求出的解析式，结合幂函数得到函数单调性. 【详解】，定义域为R， 当时，单调递增，当时，单调递减， 在上单调递减，上单调递增. 故选：D 6. 已知是函数的图象的一条对称轴，则的最小正值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数对称轴列方程，可得，进而确定最值. 【详解】由已知是函数的图象的一条对称轴， 则，， 则，， 又，可知，则，且， 则当时，取得最小值为， 故选：C. 7. 已知数列的首项为，对于任意的都有，则“为单调递增的数列”是“”的（　　） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设易得数列的奇数项、偶数项分别构成等差数列，公差均为1，进而结合充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】因， 所以数列奇数项、偶数项分别构成等差数列，且公差均为1. 若数列为单调递增的数列，则； 所以“为单调递增的数列”是“”的充分条件， 若，要证明数列单调递增， 只需证明对任意恒成立， 当为奇数时，设， ，， 当为偶数时，设， ，， 综上，恒成立，故数列是单调递增数列， “为单调递增的数列”是“”的充要条件． 故选：C． 8. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将两个方程化简变形，构造函数，结合函数单调性可得与的关系，即可得解. 【详解】由已知，，，， 则，且，即， 设函数，可知函数在上单调递增， 则，则，即， 所以， 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知抛物线的焦点为，点在上，则（ ） A. 的坐标为 B. 抛物线的准线方程为 C. 若，则 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据抛物线方程确定抛物线的顶点坐标与准线方程即可判断AB，然后再由抛物线的焦半径公式求解判断CD. 【详解】由抛物线，则，准线方程为，故A错误，B正确； 对于C，由于点在上，则， 而，则，即，所以，故C正确； 对于D，，当且仅当，即在原点时，等号成立，故D错误. 故选：BC 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 有两个零点 C. 在点处切线的斜率为 D. 在单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据奇函数的定义、零点的求解、导函数和函数的单调性进行逐一判断即可. 【详解】对于A： 函数的定义域为，关于原点对称， 而，所以函数为奇函数，A正确； 对于B： 令，则，则或， 所以，所以函数只有一个零点，B错误； 对于C： 当时，，对函数求导得 ，那么， 所以函数在点处切线的斜率为，C正确； 对于D： 当时，，所以函数在上单调递增，D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，其部分图象如图所示，其中为最高点，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 若，在上单调递减且，则的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据，，可得周期与，进而可确定，再代入点，可得，即可得函数解析式，判断A选项；再通过解方程判断B选项；结合函数的周期性与对称性可得函数值，进而判断C选项；利用换元法进行整体代换，结合函数单调性列不等式组，即可得的范围，判断D选项. 【详解】对于A，由已知，，可知，，，即， 所以，故，所以， 又函数过点，且点在单调递减区间图象上， 即，又，则，故A选项正确； 对于B，， 令，则，，或，， 则，或，， 则当时，，故B选项错； 对于C，由已知函数最小正周期为， 由对称性可知，，， ， 所以，故C选项正确； 对于D，可知，因， 则， 又在单调递减且， 则，， 则，， 因存在，则，，则， 所以的最大值为，故D选项正确； 故选：ACD. 第II卷（选择题，共92分） 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知锐角满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据同角三角函数的基本关系求出，再根据两角和的正切公式求解即可. 【详解】由，为锐角， 则， 所以， 则. 故答案为：. 13. 已知双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，由双曲线定义求出，求出，由余弦定理求出，得到离心率. 【详解】设，由双曲线定义可得， 即，所以， 又，， 在中，由余弦定理得， 即，解得，故离心率. 故答案为： 14. 已知函数，若对任意，恒成立，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，，由，可分为和两种情况，分别对两函数求导判断函数的单调性、极值与最值情况，进而可得参数范围. 【详解】设，，， 由，可分为和两种情况， 由，，， 当时，恒成立，即上单调递增，此时； 当时，令，解得， 且当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 即此时，且恒成立； 即不能恒成立； 又由，，， 当时，恒成立，即在上单调递增，此时 当时，令，解得或（舍）， 且当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 此时，且； 即不能恒成立； 综上所述， 即①，解得； 或②，解得， 综上所述， 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在某次篮球团体比赛中甲乙两支球队进入总决赛，比赛采用5局3胜制，只要有一支球队先获胜3场比赛结束.在第一场比赛中甲队获胜，已知甲队第2，3，4场获胜的概率为，第5场获胜的概率为，各场之间互不影响. （1）求甲队以获胜的概率； （2）设表示决出冠军时比赛的场数，求的分布列与数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）由相互独立事件的概率公式可得结果； （2）由相互独立事件的概率公式计算得到的分布列，再由数学期望公式可计算得到数学期望. 【小问1详解】 设“甲队以3：1获胜”，则甲队必在第四场获胜，第2，3场中胜1场负1场， 则. 【小问2详解】 根据题意可取， 当时，即甲再连胜2场，所以， 当时，有2种情况，甲胜或乙胜， 所以， 当时，有2种情况，甲胜或乙胜， 所以， 所以的分布列为： 3 4 5 所以数学期望. 16. 已知中，， （1）若的外接圆直径为,，求； （2）若，求. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可解得，结合三角形三角关系可得解； （2）由三角形三角关系结合三角恒等变换化简可得解. 【小问1详解】 由正弦定理得，所以，， 又，所以 所以或， 所以或； 【小问2详解】 由题意， 又，故， 而， 因为，所以， ， 所以或（舍）， 故，所以， 所以，. 17. 如图，在三棱锥中，侧面是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，另一个侧面是正三角形. （1）证明：； （2）在线段上是否存在一点，使与平面成角？若存在，确定的位置；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在，位置见解析 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，结合题设可得，，进而得到平面，进而求证即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 证明：取中点，连接，如图所示： 是正三角形，，则， ， 平面，平面， 平面. 【小问2详解】 由（1）知平面， 平面平面平面， 以为原点，方向为轴，方向为轴， 过作垂直于平面的线为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以 不妨设， ，解得， ， 设， 则， 易知，平面的一个法向量为， 与平面成角， 解得，故当时，与平面成角. 18. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求曲线的方程； （2）若直线被曲线所截的弦长为，求的值； （3）若点为曲线的右顶点，过点（不同于点）且斜率不为0的直线与曲线相交于两点（点在之间），若点为线段上的点，满足，且，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意列出关于的方程组，求出即可求解； （2）联立直线与椭圆方程，应用韦达定理及弦长公式列等式即可求解； （3）设出直线的方程，联立直线与椭圆方程，并应用韦达定理写出根与系数关系，再根据题给条件写出点坐标与的关系，得到关于的方程，即可求解. 【小问1详解】 根据题意可知，所以， 所以曲线的方程为. 【小问2详解】 设直线与曲线的两交点的坐标分别为 联立，可得， 所以， 所以弦长为 ， 化简得， 即，得，所以的值为. 小问3详解】 设，直线方程为， 联立得， 所以， 设点，因为，可得， 则，得，故， 又因为，则，可得， 所以，可得， 得或（舍），所以. 19. 设函数为的导函数. （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）当时，证明； （Ⅲ）设为函数在区间内的零点，其中，证明. 【答案】（Ⅰ）单调递增区间为的单调递减区间为.（Ⅱ）见证明；（Ⅲ）见证明 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意求得导函数的解析式，然后由导函数的符号即可确定函数的单调区间； (Ⅱ)构造函数，结合(Ⅰ)的结果和导函数的符号求解函数的最小值即可证得题中的结论； (Ⅲ)令，结合(Ⅰ)，(Ⅱ)的结论、函数的单调性和零点的性质放缩不等式即可证得题中的结果. 【详解】(Ⅰ)由已知，有. 当时，有，得，则单调递减; 当时，有，得，则单调递增. 所以，的单调递增区间为， 的单调递减区间为. (Ⅱ)记.依题意及(Ⅰ)有：， 从而.当时，，故 . 因此，在区间上单调递减，进而. 所以，当时，. (Ⅲ)依题意，，即. 记，则. 且. 由及(Ⅰ)得. 由(Ⅱ)知，当时，，所以在上为减函数， 因此. 又由(Ⅱ)知，故： . 所以. 【点睛】本题主要考查导数的运算､不等式证明､运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想和化归与转化思想.考查抽象概括能力､综合分析问题和解决问题的能力. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ “三明二中､永春一中､龙岩一中”三校协作 2025-2026学年第一学期联考 高三数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 试卷分第I卷（选择题）和第I卷（非选择题）两部分 第I卷（选择题，共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A B. C. D. 2. 的模为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 1+ 3. 设等比数列的前项和为，若，则（　　） A. 8 B. 10 C. 14 D. 18 4. 已知向量，，，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 5. 已知函数，设，则（ ） A. 上单调递减 B. 在上单调递增，上单调递减 C. 在上单调递增 D. 在上单调递减，上单调递增 6. 已知是函数的图象的一条对称轴，则的最小正值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列的首项为，对于任意的都有，则“为单调递增的数列”是“”的（　　） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知抛物线的焦点为，点在上，则（ ） A. 的坐标为 B. 抛物线的准线方程为 C. 若，则 D 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 有两个零点 C. 在点处切线的斜率为 D. 在单调递增 11. 已知函数，其部分图象如图所示，其中为最高点，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 若，在上单调递减且，则的最大值为 第II卷（选择题，共92分） 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知锐角满足，则__________. 13. 已知双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率__________. 14. 已知函数，若对任意，恒成立，则的取值范围为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在某次篮球团体比赛中甲乙两支球队进入总决赛，比赛采用5局3胜制，只要有一支球队先获胜3场比赛结束.在第一场比赛中甲队获胜，已知甲队第2，3，4场获胜的概率为，第5场获胜的概率为，各场之间互不影响. （1）求甲队以获胜的概率； （2）设表示决出冠军时比赛场数，求的分布列与数学期望. 16. 已知中，， （1）若的外接圆直径为,，求； （2）若，求. 17. 如图，在三棱锥中，侧面是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，另一个侧面是正三角形. （1）证明：； （2）在线段上是否存在一点，使与平面成角？若存在，确定的位置；若不存在，说明理由. 18. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求曲线的方程； （2）若直线被曲线所截的弦长为，求的值； （3）若点为曲线的右顶点，过点（不同于点）且斜率不为0的直线与曲线相交于两点（点在之间），若点为线段上的点，满足，且，求的值. 19. 设函数为的导函数. （Ⅰ）求单调区间； （Ⅱ）当时，证明； （Ⅲ）设为函数在区间内的零点，其中，证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $