专题16 牛顿运动定律应用之“等时圆”模型（讲义）物理人教版2019必修第一册

专题16牛顿运动定律应用之“等时圆”运用模型 模型讲解 【概述】 1、定义 所谓“等时圆”模型,是指物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑细杆由静止下滑,到达圆周的最低点(或从最高点到达同一圆周上各点)的时间相等,都等于物体沿直径做自由落体运动所用的时间 2、模型分析 如图甲、乙所示，质点沿竖直面内圆环上的任意一条光滑弦从上端由静止滑到底端， 可知加速度a＝gsinθ，位移x＝2Rsinθ， 由匀变速直线运动规律有x＝at2，得下滑时间t＝2， 即沿竖直直径自由下落的时间。图丙是甲、乙两图的组合，不难证明有相同的结论。 3、结论 模型1：质点从竖直面内的圆环上沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到环的最低点所用时间相等，如图甲所示； 模型2：质点从竖直面内的圆环上最高点沿不同的光滑弦由静止开始滑到下端所用时间相等，如图乙所示； 模型3：两个竖直面内的圆环相切且两环的竖直直径均过切点，质点沿不同的光滑弦上端由静止开始经切点滑到下端所用时间相等，如图丙所示。 其中模型3可以看成两个等时圆，分段按上述模板进行时间比较。 模型构建 1、等时圆规律 （1）小球从圆的顶端沿光滑弦轨道静止滑下，滑到弦轨道与圆的交点的时间相等。如图1所示 （2）小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下，滑到圆的底端的时间相等。如图2所示 （3）沿不同的弦轨道运动的时间相等，都等于小球沿竖直直径（d）自由落体的时间，满足： （R为圆的半径） 图1 图2 2、不等时圆时对比分析方法 如果质点不是从圆的最高点下滑或不是到达圆的最低点时 图3 图4 如图3所示，AB、AC、AD是竖直面内三根固定的光滑细杆，A、B、C、D位于同一圆周上，O点为圆周的圆心，A点不是圆的最高点，每根杆上都套着一个光滑小滑环（图中未画出），三个滑环分别从A处从静止开始释放，用依次表示滑环到达B、C、D所用的时间，则三个时间的关系？ 分析：A不在圆的最高点，前面的结论直接用是不行的，分析如下： 如图4所示，过点A作竖直线交AB的垂直平分线于点O，以O1为圆心、O1A为半径画圆交AB于B、分别交AC、AD的延长线于C1、D1。 在圆ABC1D1中用前面的结论可知，所以t1> t2。不可以根据CC1< DD1，得到t2< t3，因为小环进入虚线部分时初速度不一样，运动的加速度也不一样。要判定t2与t3的关系，可以模仿前面方法再次构造新圆用结论可知t2>t3。 3、等时圆模型的思维模板 4.巧用“等时圆”模型解题的思路： 模型条件：①多条相交的倾斜光滑轨道； ②质点由静止开始从轨道的一端滑到另一端。 设置顶点：①上端相交：交点为圆的最高点； ②下端相交：交点为圆的最低点 做等时圆：①过顶点做竖直线； ②以某轨道为弦作圆心在竖直线上的圆。 时间比较：①轨道端点都在圆周上，质点运动时间相等； ②端点在圆内的轨道，质点运动时间短些，端点在圆外的轨道，质点运动时间长些 模型演练 【模型演练1】如图所示，有两个光滑直轨道AB和CD，其中A、B、C、D四点刚好位于同一竖直圆O的圆周上，B点恰好过竖直圆O的最低点。现让两个小球（可视为质点）分别从A、D两位置由静止释放，它们沿直轨道到达B、C的时间分别记为t1、t2。则（　　） A. t1>t2 B. t1＝t2 C. t1<t2 D. 无法确定 【答案】A 【解析】若研究物块沿AB下滑，设AB与竖直直径成的角度为θ，则加速度 从A到B由运动公式 解得 若过B点做CD的平行线，交圆弧与E点，则物块沿EB下滑的时间也为t1，因EB和DC倾角相同，则物块下滑的加速度相同，但是CD长度小于BE的长度，可知沿DC下滑的时间t2小于EB的时间，即 故选A。 【模型演练2】如图所示，Oa、Ob、Oc是竖直平面内三根固定的光滑细杆，O、a、b、c四点位于同一圆周上，d点为圆周的最高点，c为最低点，每根杆上套着一个小滑环（图中未画出），三个滑环都从图中O点无初速释放，用t1、t2 、t3、依次表示滑到a、b、c所用的时间，则（ ） A．t1＝t2 ＝t3 B．t1>t2 >t3 C．t1<t2 <t3 D．t3> t1>t2 【答案】B 【解析】据题意，以O点为最高点，取合适的竖直直径Oe作等时圆，交Ob为b，如图所示， 显然O到f、b、g、e才是等时的，比较图示位移Oa>Of，Oc<Og，故t1>t2 >t3 【模型演练3】如图所示装置，位于竖直平面内的固定光滑圆轨道与水平轨道面相切于M点，与竖直墙相切于A点，竖直墙上另一点B与M的连线和水平面的夹角为60°，C是圆轨道的圆心。已知在同一时刻，a、b两球分别由A、B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到M点；c球由C点自由下落到M点。则( ) A．a球最先到达M点 B．b球最先到达M点 C．c球最先到达M点 D．a、c、b三球依次先后到达M点 【答案】C 【解析】设圆轨道半径为R，据“等时圆”理论 ta＝＝＝， B点在圆外，有tb>ta，c球做自由落体运动，有tc＝， 故有tc<ta<tb，故选C。 【模型演练4】如图所示，AB是一个倾角为的输送带，P处为原料输入口，为避免粉尘飞扬，在P与AB输送带间建立一管道（假设其光滑），使原料从P处以最短的时间到达输送带上，则管道与竖直方向的夹角应为（　　） A．0 B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示，以处为圆的最高点作圆与传送带相切与点， 设圆的半径为，从建立一管道到圆周上，管道与竖直方向的夹角为，原料下滑的加速度为 管道长度为 由运动学公式可得，解得 可知从建立任一管道到圆周上，原料下滑的时间相等；故在与输送带间建立一管道，原料从P处到输送带上所用时间最短，由图中几何关系可知，管道与竖直方向的夹角为，故选B。 模型应用 1、 单选题 1．如图所示，ad、bd、cd是竖直平面内三根固定的光滑细杆，a、b、c、d位于同一圆周上，a点为圆周的最高点，d点为圆周的最低点。每根杆上都套着一个小滑环，三个滑环分别从a、b、c处释放（初速度都为0），用t1、t2、t3依次表示各滑环滑到d的时间，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设某光滑细杆与竖直方向的夹角为θ，其上一小环受到重力和杆的支持力作用，由牛顿第二定律得 据几何关系得细杆长度为 环在杆上由静止做匀加速运动，由运动学公式有 解得 由计算结果可知，环沿细杆下滑时间与杆的倾斜程度无关，即 故选D。 2．如图所示，在斜面上有四条光滑细杆，其中OA杆竖直放置，OB杆与OD杆等长，OC杆与斜面垂直放置，每根杆上都套着一个相同的小滑环（图中未画出），四个环分别从O点由静止释放，沿OA、OB、OC、OD滑到斜面上，下列说法正确的是（　　） A．沿OD下滑时间最短 B．沿OA下滑时间最短 C．沿OC下滑时间最短 D．沿OB下滑时间最短 【答案】B 【解析】BC．以OA为直径画圆，建立等时圆模型，如图所示 小滑环受重力和弹力，由牛顿第二定律可得（为杆与竖直方向的夹角） 若小滑环皆滑到圆上，小滑环的位移为 可得时间为与无关，可知从圆上最高点沿任意一条弦滑到圆上所用时间都相同，故小滑环沿OA和OC滑到斜面上所用的时间相同，OB不是一条完整的弦，所用的时间最短，同理可知，小滑环沿OD滑到斜面上所用的时间最长，即 3.如图所示，一斜面固定在水平面上，斜面上固定了两个光滑轨道a、b，其中轨道a与斜面垂直，两轨道顶点相同，且顶点在C点的正上方。现分别从两轨道的顶点释放一物块，它们到达斜面的时间分别为t1、t2.下列说法正确的是（　　） A．t1<t2 B．t1=t2 C．t1>t2 D．无法确定 【答案】C 【解析】过C点和两轨道的顶点为直径做圆，设轨道与竖直方向夹角为θ，则下滑的加速度 根据 可得 可知物块沿轨道下滑的时间与轨道的倾角无关，则滑块沿轨道a下滑的时间等于沿轨道b下滑到b＇点的时间，则两物块到达斜面的时间t1>t2。 故选C。 4．如图所示，半球形容器内有三块不同长度的滑板、、，其下端都固定于容器底部点，上端搁在容器侧壁上，已知三块滑板的长度。若三个滑块同时从A、B、C处开始由静止下滑（忽略阻力），则（　　） A．A处滑块最先到达点 B．B处滑块最先到达点 C．C处滑块最先到达点 D．三个滑块同时到达点 【答案】D 【解析】令半球形容器的半径为R，滑板的倾角为θ，对滑块进行分析，根据牛顿第二定律有 根据位移公式有 解得 可知时间t与滑板的倾角和板的长度均无关，故三个滑块同时到达点。 故选D。 5．如图所示，球壳内有三条弦OA、OB、OC，O为球内的最低点，它们与水平面间的夹角分别为60°、45°、30°。三个光滑的小环分别从A、B、C处由静止沿所在弦下滑，运动到最低点所用的时间分别为、、，则三者之间大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设弦与竖直方向夹角为，球的半径为R，由小环沿弦做匀加速运动有 解得运动时间为 与弦与竖直方向夹角无关，所以小环运动到最低点的时间相等。 故选A。 6．如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系xOy，该平面内有AM、BM、CM三条光滑固定轨道，其中B、C两点处于同一个圆上，C是圆上任意一点，B、M分别为此圆与y轴、x轴的切点，A点在y轴上且∠AMO=60°，O'为圆心，现将a、b、c三个小球分别从A、B、C点同时由静止释放，它们将沿轨道运动到M点，所用时间分别为、、，则（　　） A．<< B．=< C．>= D．由于C点的位置不确定，故无法比较时间大小关系 【答案】C 【解析】对于BM段，位移 加速度 根据 得 对于AM段，位移 加速度 由得 对于CM段，设CM与竖直方向夹角为θ，同理可解得即故选C。 7.如图所示，竖直平面内存在半径为R的大圆和半径为r的小圆，两个圆的公切线水平，有两条倾斜的光滑轨道，一条与大圆相交于A、B两点，A点为大圆的最高点，另一条轨道一端交于大圆的C点.另一端交于小圆的D点，且过大圆和小圆的公切点。现让一物体分别从两条轨道的顶端A、C由静止释放，分别滑到B点和D点（假设物体能够无障碍地穿过CD与圆的交叉点），物体在两条轨道上的运动时间分别为、，重力加速度为g，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设轨道与竖直方向的夹角为，则物体在轨道上运动的加速度大小 根据运动学公式可得 解得 设轨道与竖直方向的夹角为，则物体在轨道上运动的加速度大小为 根据运动学公式可得 解得 则有 故选D。 8.如图所示，有一半圆，其直径水平且与另一圆的底部相切于O点，O点恰好是下半圆的圆心，它们处在同一竖直平面内。现有三条光滑直轨道AOB、COD、EOF，它们的两端分别位于上下两圆的圆周上，轨道与竖直直径的夹角关系为α>β>θ。现让一小物块先后从三条轨道顶端由静止下滑至底端，则小物块在每一条倾斜轨道上滑动时所经历的时间关系为(　　) 　　 A.tAB＝tCD＝tEF B.tAB>tCD>tEF C.tAB<tCD<tEF D.tAB＝tCD<tEF 【答案】B 【解析】如图所示，过D点作OD的垂线与竖直虚线交于G，以OG为直径作圆，可以看出F点在辅助圆内，而B点在辅助圆外，由等时圆结论可知，tAB>tCD>tEF，B项正确。 9．如图所示，光滑细杆BC、DC和AC构成矩形ABCD的两邻边和对角线，AC∶BC∶DC＝5∶4∶3，AC杆竖直，各杆上分别套有一质点小球a、b、d，a、b、d三小球的质量比为1∶2∶3，现让三小球同时从各杆的顶点由静止释放，不计空气阻力，则a、b、d三小球在各杆上滑行的时间之比为(　　) A．1∶1∶1 B．5∶4∶3 C．5∶8∶9 D．1∶2∶3 【答案】A 【解析】利用等时圆模型，以AC为直径画圆，B、D刚好在圆上，所以时间相等，故A正确。 10. 圆柱体的仓库内有三块长度不同的滑板aO、bO、cO，其下端都固定于底部圆心O，而上端则搁在仓库侧壁，三块滑块与水平面的夹角依次为30º、45º、60º。若有三个小孩同时从a、b、c处开始下滑（忽略阻力），则 （ ） θ a O b c A．a处小孩最先到O点 B．b处小孩最先到O点 C．c处小孩最先到O点 D．a、c处小孩同时到O点 【答案】B 【解析】三块滑块虽然都从同一圆柱面上下滑，但a、b、c三点不可能在同一竖直圆周上，所以下滑时间不一定相等。设圆柱底面半径为R，则R/cosθ＝gsinθt2/2，t2＝4R/gsin2θ，当θ＝45º时，t最小，当θ＝30º和60º时，sin2θ的值相等 11.如图所示，半球形容器内有三块不同长度的滑板、、，其下端都固定于容器底部点，上端搁在容器侧壁上，与水平面间的夹角分别为、、。若三个完全相同的滑块同时从、、处开始由静止下滑（忽略阻力），则 A．处滑块最先到达点 B．B处滑块最先到达点 C．C处滑块最先到达点 D．三种情况下滑块到达点的速度不相同 【答案】D 【解析】令半球形容器的半径为，滑板的倾角为。对滑块进行分析，根据牛顿第二定律有 根据位移—时间公式有 联立解得 可知滑块下滑时间与滑板的倾角和板的长度均无关，故三个滑块同时到达点，故ABC错误； 根据，由于下落高度不同，故三种情况下，滑块到达底端的速度大小不同，故速度不同，故D正确； 故选D。 12.如图所示，从圆上一点引三条倾角不同的粗糙斜面轨道、、到圆周上，已知斜面的动摩擦因数均为，其中是一条竖直面，是圆的直径，。现将小球从点分别沿、，三个斜面静止释放，设小球到达圆周上的速率分别为、、，经历的时间分别为、、。则下列说法正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】设直径长为，小球从右侧任意一个与竖直方向夹角为的斜面下滑，如图所示。 根据牛顿第二定律有 可得 根据位移—时间公式有 又 整理可得 联立解得 可知小球下滑的时间与倾角无关，所以有，故错误，正确； 、根据牛顿第二定律有 可知斜面与夹角越小，则小球的合外力大，加速度越大，根据可知，相等时间位移越大，v2=2ax可知这种情况小球到圆弧时速率越大，则有，故错误。 故选：。 13.如右图所示，位于竖直平面内的固定光滑圆环轨道与水平面相切于M点，与竖直墙相切于A点.竖直墙上另一点B与M的连线和水平面的夹角为60°，C是圆环轨道的圆心.已知在同一时刻a、b两球分别由A、B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道AM、BM运动到M点；c球由C点自由下落到M点.则（ ） A.a球最先到达M点 B.b球最后到达M点 C.c球最后到达M点 D.b球和c球都可能最先到达M点 【答案】B 【解析】设圆轨道半径为R，a小球做匀加速直线运动，加速度设为a1=gsin45°= ， 设时间为t1，由运动学分式可得 联立可得t1= 同理可求得B的加速度大小 ， 设滑到低端时间为t2，由运动学公式可求得 联立可得:t2= C球做自由落体运动，设运动时间为t3，由运动学公式 可得 比较以上数据可知C最先落到M点，A次之，B最后落在M点。 14.如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系xOy，该平面内有AM、BM、CM三条光滑固定轨道，其中A、C两点处于同一个圆上，C是圆上任意一点，A、M分别为此圆与y、x轴的切点。B点在y轴上且∠BMO=60°，O′为圆心。现将a、b、c三个小球分别从A、B、C点同时由静止释放，它们将沿轨道运动到M点，所用时间分别为tA、tB、tC，则tA、tB、tC大小关系是（　　） A.tB＞tC＞tA B.tB=tC＞tA C.tA=tB=tC D.tB＞tA=tC 【答案】D 【解析】设⊙O′的半径为R，根据几何知识可知：OA=OM=R 由勾股定理得： 即小球沿AM运动的位移为： 由牛顿第二定律得： 解得： 由: 得小球沿AM运动的时间为： 根据几何知识可知： 即小球沿BM运动的位移为： 由牛顿第二定律得： 解得： 小球沿BM运动的时间： 设CM与x轴正向的夹角为θ，由几何关系可知： 即小球沿CM运动的位移为： 由牛顿第二定律得： 解得： 小球沿CM运动的时间为： 则tA、tB、tC大小关系是：tB＞tA=tC，D正确，ABC错误。 15.如图所示，在倾角为=30º的斜面上方的A点处悬挂一光滑的木板AB，B端刚好在斜面上.木板与竖直方向AC所成角度为α，一小物块自A端沿木板由静止滑下，要使物块滑到斜面的时间最短，则α角的大小为（　 　） A.α=10º B.α= 15º C.α=30º D.α=60º 【答案】B 【解析】如图所示： 在竖直线AC上取一点O，以适当的长度为半径画圆，使该圆过A点，且与斜面相切与D点，根据等时圆的结论可知：A点滑到圆上任一点的时间都相等，所以由A点滑到D点所用时间比由A到达斜面上其他各点时间都短，将木板下端B点与D点重合即可，而角COD为θ，所以，故选B。 16.如图所示，Oa、Ob和ad是竖直平面内三根固定的光滑细杆，O、a、b、c、d位于同一圆周上，c为圆周的最高点，a为最低点，O′为圆心.每根杆上都套着一个小滑环，两个滑环从O点无初速释放，一个滑环从d点无初速释放，用t1、t2、t3分别表示滑环沿Oa、Ob、ad到达a、b所用的时间，则下列关系不正确的是（ ） A.t1＝t2 B.t2＞t3 C.t1＜t2 D.t1＝t3 【答案】A 【解析】设ob与竖直方向的夹角为θ，由几何关系得oa与竖直方向的夹角为， 环沿oa下滑时的加速度大小为， 沿ob下滑时的加速度大小为a2=gcosθ， 设ob长为L，由几何关系得oa长为， 根据运动学公式有，，得，， 由此得到t1＜t2；由于，同理可得到 ，因此t1=t3，t2＞t3， 故A错误，B、C、D正确. 本题选不正确的是，故选A. 17.如图所示，斜面AD和BD与水平方向的夹角分别为60°和30°，两斜面的A端和B端在同一竖直面上，现让两个可视为质点的物块分别从 两斜面的顶端同时由静止下滑，结果两物块同时滑到斜面底端D，设两物块与AD、BD面间的动摩擦因数分别为μ1和μ2，则μ1：μ2为（ ） A.1:3 B.3:1 C.:1 D.1: 【答案】B 【解析】设斜面底部长为L，AD与水平面的夹角为，BD与水平面的夹角为， 物体在AD面上运动时的加速度为 物体在BD面上运动时的加速度为 物体在AD面上运动的时间 物体在BD面上运动的时间 由题意可知 联立以上各式解得 故选B. 18.如图所示，O点是竖直圆环的顶点，Oc是圆环直径，Oa和Ob是两条不同倾角的弦.在Oc、Oa、Ob线上置三个光滑的斜面，一个质点从O自由释放，先后分别沿Oc、Oa、Ob下滑，到达a、b、c三点的时间（ ） A.最短的是a点 B.最短的是b点 C.最长的是c点 D.时间都相同 【答案】D 【解析】设半径为R，斜面与竖直方向夹角为θ，则物体运动的位移为x=2Rcosθ，物体运动的加速度，根据x=at2，则，与θ角无关.故D正确，ABC错误.故选D. 19.如图所示，AB和CD为两条光滑斜槽，它们各自的两个端点均分别位于半径为R和r的两个相切的圆上，且斜槽都通过切点P.设有一重物先后沿两个斜槽从静止出发，由A滑到B和由C滑到D，所用的时间分别为t1和t2，则t1与t2之比为（ ） A.2∶1 B.1∶1 C.∶1 D.1∶ 【答案】B 【解析】对物体受力分析可知当重物从点下落时，重物受重力，支持力，在沿斜面方向的加速度大小是，则有，解得， 由于， 根据公式可得； 当重物从点下滑时，在沿斜面方向的加速度大小是是，则有， 解得， 由于， 根据公式可得， 所以，故选项B正确，A、C、D错误。 20.倾角为30°的长斜坡上有C、O、B三点，CO=OB=10m，在O点竖直的固定一长10m的直杆AO。A端与C点、坡底B点间各连有一光滑的钢绳，且各穿有一钢球（视为质点），将两球从A点由静止开始、同时分别沿两钢绳滑到钢绳末端，如右图所示，则小球在钢绳上滑行的时间tAC和tAB分别为（取g=10m/s2）（ ） A.2s和2s B.和2s C.和4s D.4s和 【答案】A 【解析】由几何知识确定出AC与AB的倾角和位移，由牛顿第二定律求出两球的加速度a， 由位移公式求解时间. 由几何知识得，AC的倾角为，位移， AC的倾角为，位移， 沿AC下滑的小球，加速度为， 由得， 沿AB下滑的小球，加速度为， 由得，故A正确. 21.如图所示，一个固定在水平面上的光滑物块，其左侧面是斜面AB，右侧面是曲面AC，已知AB和AC的长度相同.两个小球p、q同时从A点分别沿AB和AC由静止开始下滑，比较它们到达水平面所用的时间（ ） A.p小球先到 B.q小球先到 C.两小球同时到 D.无法确定 【答案】B 【解析】由于物块在斜面AB上是匀加速直线运动，加速度的大小不变，在曲面AC上的加速度是先大后小，它们的速度与时间图像如图所示，欲使两线与时间轴所围成的面积相等，曲面AC所对应的时间要短一些，故B是正确的。 22.游乐场中，从离水面一定高度的A处到水面B处有两条长度相同的光滑轨道，如图所示。甲、乙两名小孩沿不同轨道同时从A处自由滑向B处，则两名小孩在全部滑行过程中的速率v随时间t变化的下列图象，正确的是（ ） A. B.C. D. 【答案】B 【解析】根据牛顿第二定律可知甲的加速度逐渐减小，乙的加速度逐渐增加，而v-t图线的斜率等于加速度；两物体的位移相同，图线与坐标轴围成的面积相等，故选项B正确. 二、多选题 23.如图所示，O点为竖直圆周的圆心，MN和PQ是两根光滑细杆，两细杆的两端均在圆周上，M为圆周上的最高点，Q为圆周上的最低点，N、P两点等高。两个可视为质点的圆环1、2（图中均未画出）分别套在细杆MN、PQ上，并从M、P两点由静止释放，两圆环滑到N、Q两点时的速度大小分别为、，所用时间分别为、，则（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】连接NQ、MP，如图所示 小环1从M点静止释放，根据牛顿第二定律可得 所以， 同理可得， 故选BD。 24.如图所示，oa、ob和ad是竖直平面内三根固定的光滑细杆，o、a、b、c、d位于同一圆周上，c为圆周的最高点，a为最低点，为圆心。每根杆上都套着一个小滑环，两个滑环从o点无初速释放，一个滑环从d点无初速释放，用，，分别表示滑环沿oa、ob、da到达a、b所用的时间，则下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】设ob与竖直方向的夹角为θ，由几何关系得oa与竖直方向的夹角为，设da与竖直方向的夹角为，环沿oa下滑时的加速度大小为 沿ob下滑时的加速度大小为 沿da下滑时的加速度大小为 设ob长为L，由几何关系得oa长为，da长为，根据运动学公式有，， 解得，， 可得 故选BC。 25.如图所示，在斜面上有四条光滑细杆，其中OA杆竖直放置，OB杆与OD杆等长，OC杆与斜面垂直放置，每根杆上都套着一个小滑环(图中未画出)，四个环分别从O点由静止释放，沿OA、OB、OC、OD滑到斜面上所用的时间依次为t1、t2、t3、t4.下列关系正确的是（ ） A.t1>t2 B.t1＝t3 C.t2＝t4 D.t2<t4 【答案】ABD 【解析】以OA为直径画圆 若设杆与竖直方向的夹角为θ，对小滑环受力分析，由牛顿第二定律可得，解得，由几何关系，小滑环沿弦下滑的位移；据，解得，即从圆上最高点沿任一条光滑弦滑到底所用的时间相同.则沿OA和OC滑到斜面的时间相同，；OB不是一条完整的弦，时间最短；OD的长度超过一条弦，时间最长；综上.故ABD三项正确，C项错误. 三、计算题 26.如图所示，地面上有一个固定的半圆形圆柱面，半圆形圆柱面半径为R，距离圆心O为R/2的P处有一质点，过P点的水平线恰好经过圆心O。现在确定一条从P到圆柱内表面的光滑斜直轨道，使质点从静止开始沿轨道滑行到圆柱面上所经历时间最短。则该斜直轨道与竖直方向的夹角为______，最短时间为_______。 【答案】26.50； 【解析】做出相应的等时圆，等时圆的最高点为P点，并且与半圆形圆柱面相切，如下图所示， 设该等时圆的半径为r，根据勾股定理可得：， 所以r＝3R/8。 使质点从P点静止开始沿轨道滑行道圆柱面上Q点所经历时间最短。 设∠PO1O为θ，则，θ＝53º， 所以该斜直轨道PQ与竖直方向的夹角为α＝θ/2＝26.50。 沿着该斜直轨道PQ滑落的时间等同于从P点竖直下落到等时圆最低点的时间， 所以 27. 如图所示，在同一竖直线上有A、B两点，相距为h，B点离地高度为H，现在要在地面上寻找一点P，从A、B两点分别向点P安放光滑木板，满足物体从静止开始分别由A和B沿木板下滑到P点的时间相等，求O、P两点之间的距离OP。 【答案】 【解析】等时圆特征可知，当AB处于等时圆周上，且P点处于等时圆的最低点时，即能满足题设要求， 如图所示，此时等时圆的半径为所以R＝O1P＝H＋H 28.如图在设计三角形的屋顶时，使雨水尽快地从屋顶流下，并认为雨水是从静止开始由屋顶无摩擦地流动，试分析：在屋顶宽度（2L） 一定的条件下，屋顶的倾角应该多大？雨水流下的最短时间是多少？ 【答案】45°， 【解析】 如图所示，通过屋顶作直线AC与水平线BC相垂直；并以L为半径、O为圆心画一个圆与AC、BC相切；然后，画倾角不同的屋顶A1B、A2B、A3B……从图可以看出：在不同倾角的屋顶中，只有A2B是圆的弦，而其余均为圆的割线；根据“等时圆”规律，雨水沿A2B运动的时间最短，且最短时间为 屋顶的倾角满足tan α＝＝1 可得α＝45° 29.如图，AB是一个倾角为θ的输送带，P处为原料输入口，为避免粉尘飞扬，在P与AB输送带间建立一管道（假设其光滑），使原料从P处以最短的时间到达输送带上，则管道与竖直方向的夹角应为多大？ 【答案】θ/2 【解析】借助“等时圆”理论，可以以过P点的竖直线为半径作圆， 要求该圆与输送带AB相切， 如图所示，C为切点，O为圆心．显然，沿着PC弦建立管道，原料从P处到达C点处的时间与沿其他弦到达“等时圆”的圆周上所用时间相等． 因而，要使原料从P处到达输送带上所用时间最短，需沿着PC弦建立管道． 由几何关系可得：PC与竖直方向间的夹角等于θ/2。 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16牛顿运动定律应用之“等时圆”运用模型 模型讲解 【概述】 1、定义 所谓“等时圆”模型,是指物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑细杆由静止下滑,到达圆周的最低点(或从最高点到达同一圆周上各点)的时间相等,都等于物体沿直径做自由落体运动所用的时间 2、模型分析 如图甲、乙所示，质点沿竖直面内圆环上的任意一条光滑弦从上端由静止滑到底端， 可知加速度a＝gsinθ，位移x＝2Rsinθ， 由匀变速直线运动规律有x＝at2，得下滑时间t＝2， 即沿竖直直径自由下落的时间。图丙是甲、乙两图的组合，不难证明有相同的结论。 3、结论 模型1：质点从竖直面内的圆环上沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到环的最低点所用时间相等，如图甲所示； 模型2：质点从竖直面内的圆环上最高点沿不同的光滑弦由静止开始滑到下端所用时间相等，如图乙所示； 模型3：两个竖直面内的圆环相切且两环的竖直直径均过切点，质点沿不同的光滑弦上端由静止开始经切点滑到下端所用时间相等，如图丙所示。 其中模型3可以看成两个等时圆，分段按上述模板进行时间比较。 模型构建 1、等时圆规律 （1）小球从圆的顶端沿光滑弦轨道静止滑下，滑到弦轨道与圆的交点的时间相等。如图1所示 （2）小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下，滑到圆的底端的时间相等。如图2所示 （3）沿不同的弦轨道运动的时间相等，都等于小球沿竖直直径（d）自由落体的时间，满足： （R为圆的半径） 图1 图2 2、不等时圆时对比分析方法 如果质点不是从圆的最高点下滑或不是到达圆的最低点时 图3 图4 如图3所示，AB、AC、AD是竖直面内三根固定的光滑细杆，A、B、C、D位于同一圆周上，O点为圆周的圆心，A点不是圆的最高点，每根杆上都套着一个光滑小滑环（图中未画出），三个滑环分别从A处从静止开始释放，用依次表示滑环到达B、C、D所用的时间，则三个时间的关系？ 分析：A不在圆的最高点，前面的结论直接用是不行的，分析如下： 如图4所示，过点A作竖直线交AB的垂直平分线于点O，以O1为圆心、O1A为半径画圆交AB于B、分别交AC、AD的延长线于C1、D1。 在圆ABC1D1中用前面的结论可知，所以t1> t2。不可以根据CC1< DD1，得到t2< t3，因为小环进入虚线部分时初速度不一样，运动的加速度也不一样。要判定t2与t3的关系，可以模仿前面方法再次构造新圆用结论可知t2>t3。 3、等时圆模型的思维模板 4.巧用“等时圆”模型解题的思路： 模型条件：①多条相交的倾斜光滑轨道； ②质点由静止开始从轨道的一端滑到另一端。 设置顶点：①上端相交：交点为圆的最高点； ②下端相交：交点为圆的最低点 做等时圆：①过顶点做竖直线； ②以某轨道为弦作圆心在竖直线上的圆。 时间比较：①轨道端点都在圆周上，质点运动时间相等； ②端点在圆内的轨道，质点运动时间短些，端点在圆外的轨道，质点运动时间长些 模型演练 【模型演练1】如图所示，有两个光滑直轨道AB和CD，其中A、B、C、D四点刚好位于同一竖直圆O的圆周上，B点恰好过竖直圆O的最低点。现让两个小球（可视为质点）分别从A、D两位置由静止释放，它们沿直轨道到达B、C的时间分别记为t1、t2。则（　　） A. t1>t2 B. t1＝t2 C. t1<t2 D. 无法确定 【模型演练2】如图所示，Oa、Ob、Oc是竖直平面内三根固定的光滑细杆，O、a、b、c四点位于同一圆周上，d点为圆周的最高点，c为最低点，每根杆上套着一个小滑环（图中未画出），三个滑环都从图中O点无初速释放，用t1、t2 、t3、依次表示滑到a、b、c所用的时间，则（ ） A．t1＝t2 ＝t3 B．t1>t2 >t3 C．t1<t2 <t3 D．t3> t1>t2 【模型演练3】如图所示装置，位于竖直平面内的固定光滑圆轨道与水平轨道面相切于M点，与竖直墙相切于A点，竖直墙上另一点B与M的连线和水平面的夹角为60°，C是圆轨道的圆心。已知在同一时刻，a、b两球分别由A、B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到M点；c球由C点自由下落到M点。则( ) A．a球最先到达M点 B．b球最先到达M点 C．c球最先到达M点 D．a、c、b三球依次先后到达M点 【模型演练4】如图所示，AB是一个倾角为的输送带，P处为原料输入口，为避免粉尘飞扬，在P与AB输送带间建立一管道（假设其光滑），使原料从P处以最短的时间到达输送带上，则管道与竖直方向的夹角应为（　　） A．0 B． C． D． 模型应用 1、 单选题 1．如图所示，ad、bd、cd是竖直平面内三根固定的光滑细杆，a、b、c、d位于同一圆周上，a点为圆周的最高点，d点为圆周的最低点。每根杆上都套着一个小滑环，三个滑环分别从a、b、c处释放（初速度都为0），用t1、t2、t3依次表示各滑环滑到d的时间，则（　　） A． B． C． D． 2．如图所示，在斜面上有四条光滑细杆，其中OA杆竖直放置，OB杆与OD杆等长，OC杆与斜面垂直放置，每根杆上都套着一个相同的小滑环（图中未画出），四个环分别从O点由静止释放，沿OA、OB、OC、OD滑到斜面上，下列说法正确的是（　　） A．沿OD下滑时间最短 B．沿OA下滑时间最短 C．沿OC下滑时间最短 D．沿OB下滑时间最短 3.如图所示，一斜面固定在水平面上，斜面上固定了两个光滑轨道a、b，其中轨道a与斜面垂直，两轨道顶点相同，且顶点在C点的正上方。现分别从两轨道的顶点释放一物块，它们到达斜面的时间分别为t1、t2.下列说法正确的是（　　） A．t1<t2 B．t1=t2 C．t1>t2 D．无法确定 4．如图所示，半球形容器内有三块不同长度的滑板、、，其下端都固定于容器底部点，上端搁在容器侧壁上，已知三块滑板的长度。若三个滑块同时从A、B、C处开始由静止下滑（忽略阻力），则（　　） A．A处滑块最先到达点 B．B处滑块最先到达点 C．C处滑块最先到达点 D．三个滑块同时到达点 5．如图所示，球壳内有三条弦OA、OB、OC，O为球内的最低点，它们与水平面间的夹角分别为60°、45°、30°。三个光滑的小环分别从A、B、C处由静止沿所在弦下滑，运动到最低点所用的时间分别为、、，则三者之间大小关系为（　　） A． B． C． D． 6．如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系xOy，该平面内有AM、BM、CM三条光滑固定轨道，其中B、C两点处于同一个圆上，C是圆上任意一点，B、M分别为此圆与y轴、x轴的切点，A点在y轴上且∠AMO=60°，O'为圆心，现将a、b、c三个小球分别从A、B、C点同时由静止释放，它们将沿轨道运动到M点，所用时间分别为、、，则（　　） A．<< B．=< C．>= D．由于C点的位置不确定，故无法比较时间大小关系 7.如图所示，竖直平面内存在半径为R的大圆和半径为r的小圆，两个圆的公切线水平，有两条倾斜的光滑轨道，一条与大圆相交于A、B两点，A点为大圆的最高点，另一条轨道一端交于大圆的C点.另一端交于小圆的D点，且过大圆和小圆的公切点。现让一物体分别从两条轨道的顶端A、C由静止释放，分别滑到B点和D点（假设物体能够无障碍地穿过CD与圆的交叉点），物体在两条轨道上的运动时间分别为、，重力加速度为g，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 8.如图所示，有一半圆，其直径水平且与另一圆的底部相切于O点，O点恰好是下半圆的圆心，它们处在同一竖直平面内。现有三条光滑直轨道AOB、COD、EOF，它们的两端分别位于上下两圆的圆周上，轨道与竖直直径的夹角关系为α>β>θ。现让一小物块先后从三条轨道顶端由静止下滑至底端，则小物块在每一条倾斜轨道上滑动时所经历的时间关系为(　　) 　 　 A.tAB＝tCD＝tEF B.tAB>tCD>tEF C.tAB<tCD<tEF D.tAB＝tCD<tEF 9．如图所示，光滑细杆BC、DC和AC构成矩形ABCD的两邻边和对角线，AC∶BC∶DC＝5∶4∶3，AC杆竖直，各杆上分别套有一质点小球a、b、d，a、b、d三小球的质量比为1∶2∶3，现让三小球同时从各杆的顶点由静止释放，不计空气阻力，则a、b、d三小球在各杆上滑行的时间之比为(　　) A．1∶1∶1 B．5∶4∶3 C．5∶8∶9 D．1∶2∶3 10. 圆柱体的仓库内有三块长度不同的滑板aO、bO、cO，其下端都固定于底部圆心O，而上端则搁在仓库侧壁，三块滑块与水平面的夹角依次为30º、45º、60º。若有三个小孩同时从a、b、c处开始下滑（忽略阻力），则 （ ） θ a O b c A．a处小孩最先到O点 B．b处小孩最先到O点 C．c处小孩最先到O点 D．a、c处小孩同时到O点 11.如图所示，半球形容器内有三块不同长度的滑板、、，其下端都固定于容器底部点，上端搁在容器侧壁上，与水平面间的夹角分别为、、。若三个完全相同的滑块同时从、、处开始由静止下滑（忽略阻力），则 A．处滑块最先到达点 B．B处滑块最先到达点 C．C处滑块最先到达点 D．三种情况下滑块到达点的速度不相同 12.如图所示，从圆上一点引三条倾角不同的粗糙斜面轨道、、到圆周上，已知斜面的动摩擦因数均为，其中是一条竖直面，是圆的直径，。现将小球从点分别沿、，三个斜面静止释放，设小球到达圆周上的速率分别为、、，经历的时间分别为、、。则下列说法正确的是　　 A． B． C． D． 13.如右图所示，位于竖直平面内的固定光滑圆环轨道与水平面相切于M点，与竖直墙相切于A点.竖直墙上另一点B与M的连线和水平面的夹角为60°，C是圆环轨道的圆心.已知在同一时刻a、b两球分别由A、B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道AM、BM运动到M点；c球由C点自由下落到M点.则（ ） A.a球最先到达M点 B.b球最后到达M点 C.c球最后到达M点 D.b球和c球都可能最先到达M点 14.如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系xOy，该平面内有AM、BM、CM三条光滑固定轨道，其中A、C两点处于同一个圆上，C是圆上任意一点，A、M分别为此圆与y、x轴的切点。B点在y轴上且∠BMO=60°，O′为圆心。现将a、b、c三个小球分别从A、B、C点同时由静止释放，它们将沿轨道运动到M点，所用时间分别为tA、tB、tC，则tA、tB、tC大小关系是（　　） A.tB＞tC＞tA B.tB=tC＞tA C.tA=tB=tC D.tB＞tA=tC 15.如图所示，在倾角为=30º的斜面上方的A点处悬挂一光滑的木板AB，B端刚好在斜面上.木板与竖直方向AC所成角度为α，一小物块自A端沿木板由静止滑下，要使物块滑到斜面的时间最短，则α角的大小为（　 　） A.α=10º B.α= 15º C.α=30º D.α=60º 16.如图所示，Oa、Ob和ad是竖直平面内三根固定的光滑细杆，O、a、b、c、d位于同一圆周上，c为圆周的最高点，a为最低点，O′为圆心.每根杆上都套着一个小滑环，两个滑环从O点无初速释放，一个滑环从d点无初速释放，用t1、t2、t3分别表示滑环沿Oa、Ob、ad到达a、b所用的时间，则下列关系不正确的是（ ） A.t1＝t2 B.t2＞t3 C.t1＜t2 D.t1＝t3 17.如图所示，斜面AD和BD与水平方向的夹角分别为60°和30°，两斜面的A端和B端在同一竖直面上，现让两个可视为质点的物块分别从 两斜面的顶端同时由静止下滑，结果两物块同时滑到斜面底端D，设两物块与AD、BD面间的动摩擦因数分别为μ1和μ2，则μ1：μ2为（ ） A.1:3 B.3:1 C.:1 D.1: 18.如图所示，O点是竖直圆环的顶点，Oc是圆环直径，Oa和Ob是两条不同倾角的弦.在Oc、Oa、Ob线上置三个光滑的斜面，一个质点从O自由释放，先后分别沿Oc、Oa、Ob下滑，到达a、b、c三点的时间（ ） A.最短的是a点 B.最短的是b点 C.最长的是c点 D.时间都相同 19.如图所示，AB和CD为两条光滑斜槽，它们各自的两个端点均分别位于半径为R和r的两个相切的圆上，且斜槽都通过切点P.设有一重物先后沿两个斜槽从静止出发，由A滑到B和由C滑到D，所用的时间分别为t1和t2，则t1与t2之比为（ ） A.2∶1 B.1∶1 C.∶1 D.1∶ 20.倾角为30°的长斜坡上有C、O、B三点，CO=OB=10m，在O点竖直的固定一长10m的直杆AO。A端与C点、坡底B点间各连有一光滑的钢绳，且各穿有一钢球（视为质点），将两球从A点由静止开始、同时分别沿两钢绳滑到钢绳末端，如右图所示，则小球在钢绳上滑行的时间tAC和tAB分别为（取g=10m/s2）（ ） A.2s和2s B.和2s C.和4s D.4s和 21.如图所示，一个固定在水平面上的光滑物块，其左侧面是斜面AB，右侧面是曲面AC，已知AB和AC的长度相同.两个小球p、q同时从A点分别沿AB和AC由静止开始下滑，比较它们到达水平面所用的时间（ ） A.p小球先到 B.q小球先到 C.两小球同时到 D.无法确定 22.游乐场中，从离水面一定高度的A处到水面B处有两条长度相同的光滑轨道，如图所示。甲、乙两名小孩沿不同轨道同时从A处自由滑向B处，则两名小孩在全部滑行过程中的速率v随时间t变化的下列图象，正确的是（ ） A. B.C. D. 二、多选题 23.如图所示，O点为竖直圆周的圆心，MN和PQ是两根光滑细杆，两细杆的两端均在圆周上，M为圆周上的最高点，Q为圆周上的最低点，N、P两点等高。两个可视为质点的圆环1、2（图中均未画出）分别套在细杆MN、PQ上，并从M、P两点由静止释放，两圆环滑到N、Q两点时的速度大小分别为、，所用时间分别为、，则（　　） A． B． C． D． 24.如图所示，oa、ob和ad是竖直平面内三根固定的光滑细杆，o、a、b、c、d位于同一圆周上，c为圆周的最高点，a为最低点，为圆心。每根杆上都套着一个小滑环，两个滑环从o点无初速释放，一个滑环从d点无初速释放，用，，分别表示滑环沿oa、ob、da到达a、b所用的时间，则下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 25.如图所示，在斜面上有四条光滑细杆，其中OA杆竖直放置，OB杆与OD杆等长，OC杆与斜面垂直放置，每根杆上都套着一个小滑环(图中未画出)，四个环分别从O点由静止释放，沿OA、OB、OC、OD滑到斜面上所用的时间依次为t1、t2、t3、t4.下列关系正确的是（ ） A.t1>t2 B.t1＝t3 C.t2＝t4 D.t2<t4 三、计算题 26.如图所示，地面上有一个固定的半圆形圆柱面，半圆形圆柱面半径为R，距离圆心O为R/2的P处有一质点，过P点的水平线恰好经过圆心O。现在确定一条从P到圆柱内表面的光滑斜直轨道，使质点从静止开始沿轨道滑行到圆柱面上所经历时间最短。则该斜直轨道与竖直方向的夹角为______，最短时间为_______。 27. 如图所示，在同一竖直线上有A、B两点，相距为h，B点离地高度为H，现在要在地面上寻找一点P，从A、B两点分别向点P安放光滑木板，满足物体从静止开始分别由A和B沿木板下滑到P点的时间相等，求O、P两点之间的距离OP。 28.如图在设计三角形的屋顶时，使雨水尽快地从屋顶流下，并认为雨水是从静止开始由屋顶无摩擦地流动，试分析：在屋顶宽度（2L） 一定的条件下，屋顶的倾角应该多大？雨水流下的最短时间是多少？ 29.如图，AB是一个倾角为θ的输送带，P处为原料输入口，为避免粉尘飞扬，在P与AB输送带间建立一管道（假设其光滑），使原料从P处以最短的时间到达输送带上，则管道与竖直方向的夹角应为多大？ / 学科网（北京）股份有限公司 $