专题10“活结”与“死结”模型、“动杆”和“定杆”模型（讲义）物理人教版2019必修第一册

专题10“活结”与“死结”模型、“动杆”和“定杆”模型 模型讲解 【概述】 1、 “活结”与“死结”模型：是一种理想的物理模型，利用“轻绳”连接所研究对象的两种方式； （1）“活结”是由绳跨过光滑的滑轮或绳上挂一光滑挂钩而形成，绳子因“活结”而弯曲，实际为同一根绳。 模型特点：“活结”两侧的绳子上的张力大小处处相等。 （2） “死结”是将绳子分为两段，且不可沿绳子移动，“死结”两侧的绳因结而变成两根独立的绳连接物体。 模型特点：“死结”两侧的绳子上张力不一定相等。 2、 “动杆”与“定杆”模型：是另一种理想的物理模型，利用“轻杆”两种连接研究对象的方式； (1)“动杆”模型：轻杆用光滑的转轴或铰链连接，轻杆可围绕转轴或铰链自由转动， 模型特点：当杆处于平衡时，杆所受的弹力方向一定沿杆向内或向外. （2）“定杆”模型：轻杆被固定在接触面上，不发生转动。 模型特点：杆所受的弹力方向不一定沿杆，可沿任意方向。 模型构建 【模型要点】 1.活结与死结绳模型 活结与死结绳模型本质是通过结点是否允许绳自由滑动，拆解为两类标准化便于分析问题的理想化模型，关键在于绳的张力关系与受力平衡分析，来突出解题关键： （1）核心定位：不是“结的分类”，而是“受力模型” 物理中的“活结”“死结”，不取决于绳结的实际形态，而是取决于“结点对绳的约束作用” 活结：结点是“光滑约束”（如滑轮、光滑挂钩），绳能沿结点自由滑动，仅改变力的方向；死结：结点是“固定约束”（如绳与绳拴死、绳拴在固定点），绳不能沿结点滑动，结点成为多段绳的“力的交汇固定点”。 （3） 两大模型规律：“活结”两侧的张力大小处处相等（===…），与绳的绕向、夹角无关；“死结”死结两侧的张力大小不一定相等（与是否相等，取决于力的方向、外部荷载，需通过计算判断）。 温馨提示： (1)无论“死结”还是“活结”一般均以结点为研究对象进行受力分析。 (2)如果题目搭配杆出现，一般情况是“死结”搭配有转轴的杆即“动杆”，“活结”搭配无转轴的杆即“定杆”。 2.动杆与定杆模型 “动杆”“定杆”是力学物理受力分析的一种理想模型，本质是通过“杆能否绕端点自由转动”，判断杆对结点/物体的作用力性质：是“沿杆的力”还是“任意方向的力”，直接决定受力分析的简化逻辑。 （1）核心定位：不是“杆的运动状态”，而是“约束条件” 先明确前提：物理中的“动杆”“定杆”，不取决于杆是否运动，而是取决于“杆的固定方式是否允许其绕端点转动” （2）两大模型规律： “动杆”：能转动，力沿杆，动杆的弹力方向与杆共线，大小由平衡条件（或牛顿定律）求解，无需考虑垂直杆的分力。 “定杆”：不能转，力任意，定杆的弹力方向未知（可能沿杆，也可能不沿杆），需将其分解为“水平分力”和“竖直分力”，再通过平衡方程（牛顿定律）求解分力大小，最终确定总弹力的方向和大小。 温馨提示：两种杆模型一般情况下，插入墙中的杆属于固定杆，弹力可以沿任意方向，不一定沿杆；而用铰链相连的杆属于活动杆，弹力一定沿杆方向；如果重物挂在杆子中间，则弹力不沿杆，即不能认为“活动杆”的弹力就一定沿着杆。 模型演练 【模型演练1】图示为生活中两种悬挂物体方式的简化示意图，甲图中轻杆DB一端用铰链固定在竖直墙壁上，另一端B通过水平轻绳 AB固定在竖直墙壁上，∠DBA=30°，轻杆的B端用轻绳 BC拉住一个质量为M的物体；图乙中轻绳 EQ 跨过固定在竖直墙壁的轻杆HP右端的光滑定滑轮拉住一个质量也为M的物体，EP 水平，∠HPE=30°，重力加速度为g。求： (1)轻杆DB对B点的支持力大小； (2)轻绳AB段与轻绳EP段的拉力大小之比。 【答案】(1)(2) 【解析】（1）对B点受力分析，如图所示 根据平衡条件可得 可得轻杆DB对B点的支持力大小 （2）由B点受力分析，可得 可得 图乙中EPQ为跨过光滑定滑轮的一根轻绳，故有 则有 【模型演练2】甲图中，轻杆AB一端与墙上的光滑铰链连接，另一端用轻绳系住，绳、杆之间的夹角为，在B点下方悬挂质量为m的重物．乙图中，轻杆CD一端插入墙内，另一端装有小滑轮，现用轻绳绕过滑轮挂住质量为m的重物，绳、杆之间的夹角也为．甲、乙图中杆都垂直于墙，则下列说法中正确的是（　　） A．两根杆中弹力方向均沿杆 B．甲图中杆的弹力更大 C．两根杆中弹力一样大 D．若甲、乙中轻绳能承受的最大拉力相同，则物体加重时，甲中轻绳更容易断裂 【答案】BD 【解析】甲图中的杆与墙上的光滑铰链连接，为转轴杆（“活杆”），弹力方向沿杆方向，乙图中的杆为固定杆（“死杆”），弹力方向不沿杆方向，而是沿两根绳合力的反方向，A错误。如图甲所示，以B点为研究对象，受到重物的拉力、绳的拉力和AB杆的弹力，根据平衡条件得杆的弹力；如图乙所示，以D点为研究对象，受到重物的拉力，上边绳的拉力和杆的弹力，因拉力和重力间的夹角为，则由几何知识可得，轻杆受到的弹力是，故甲图中杆的弹力更大，C错误，B正确．甲图中轻绳拉力为，乙图中轻绳拉力，若甲，乙中轻绳能承受的最大拉力相同，则物体加重时，甲中轻绳更容易断裂，D正确． 【模型演练3】抖空竹是中国传统文化苑中一株灿烂的花朵．如图所示是表演抖空竹时的动作，假设空竹是光滑的，不考虑空竹的转动，某时刻表演者两手水平，则表演者在缓慢完成以下动作时，下列说法正确的是（　　） A．左手不动，右手竖直向上移动一小段距离，绳子拉力大小不变 B．左手不动，右手水平向左移动一小段距离，绳子拉力大小变大 C．在同一水平面内，两手之间距离越大，绳子拉力越小 D．在同一水平面内，两手之间距离越小，绳子拉力越小 【答案】AD 【解析】两手水平时，对空竹受力分析如图所示 根据对称性，两绳与竖直方向夹角相等，设两只手在水平方向距离L，绳长为x，则有 此时根据平衡条件 A．若左手不动，右手竖直向上移动一小段距离，两只手之间的距离L保持不变，则θ不变，F不变，A正确； B．若左手不动，右手水平向左移动一小段距离，两只手之间的距离减小，则θ变小，F变小，B错误； CD．在同一水平面内，两手之间的距离越大，θ越大，F越大，两手之间的距离越小，θ越小，F越小，C错误，D正确。故选AD。 【模型演练4】与固定点O和连接，如图所示。已知两轻杆与水平地面和竖直墙壁的夹角分别为，重力加速度为，则下面轻杆和上面轻杆对铰链A的作用力大小分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】以铰链A和小球为整体，根据受力平衡可得： ； 联立解得，可知下面轻杆和上面轻杆对铰链A的作用力大小分别为，。 故选B。 模型应用 1、 单选题 1.如图所示，细绳的一端悬于点，细绳的另一端点系一质量为的物体，物体处于静止状态，现对细绳上的点施加力（方向未知），缓慢地将物体拉起，使偏离竖直方向，重力加速度为g，sin53° = 0.8。则此时的的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当F与OA垂直时，F最小，故 故选D。 2.在建筑工地上经常使用吊车起吊货物。为了研究问题方便，把吊车简化成如图所示的模型，支撑硬杆OP的一端装有定滑轮，另一端固定在车体上，质量不计的钢丝绳索绕过定滑轮吊起质量为m的物件缓慢上升，不计定滑轮质量和滑轮与绳索及轴承之间的摩擦，重力加速度为g。则下列说法中正确的是（　　） A．钢丝绳索对定滑轮的作用力方向竖直向下 B．钢丝绳索对定滑轮的作用力方向一定沿着OP方向 C．钢丝绳索对定滑轮的作用力大小等于2mg D．钢丝绳索对定滑轮的作用力大小小于2mg 【答案】D 【解析】AB．钢丝绳索对定滑轮的作用力方向如图中所示，即为F合的方向， 故AB错误； CD．质量为m的物件缓慢上升，可看成匀速运动，则F=mg，由菱形特点可得 故C错误，D正确。 故选D。 3.某课外兴趣小组研究如图甲所示的路灯支架构造及受力。小组绘制了如图乙所示的模型图，路灯支架由横梁OA，斜梁OB组成，横梁OA、斜梁OB与路灯杆之间都通过光滑的铰链连接。已知路灯支架横梁OA长2.0m，斜梁OB长2.5m，路灯重力为30N，重心恰好在支架横梁和斜梁的连接点O处，支架重力不计。由共点力的知识可知（　　） A．横梁与斜梁均被拉伸 B．横梁对O点作用力大小为50N C．斜梁对O点作用力大小为50N D．若把斜梁稍微加长，仍保持O点位置不变，横梁仍水平，这时斜梁对O点的作用力将变大 【答案】C 【解析】A．因为横梁OA、斜梁OB与路灯杆之间都通过光滑的铰链连接，所以横梁和斜梁的作用力均沿梁方向，而O点处于平衡状态，受到竖直向下的重力，所以斜梁对O点的作用力一定斜向右上，横梁对O点的作用力一定水平向左，如图所示，则O点对横梁的作用力水平向右，横梁处于拉伸状态，O点对斜梁的作用力斜向左下，斜梁处于压缩状态，故A错误； BC．根据几何关系可知；根据平衡条件有；解得，故B错误，C正确； D．若把斜梁稍微加长，仍保持O点位置不变，横梁仍水平，则θ增大，结合前面分析可知斜梁对O点的作用力将变小，故D错误。故选C。 4.水平横梁一端插在墙壁内，另一端装有一小滑轮，轻绳的一端固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一重力为的重物，，如图所示，则滑轮受到轻绳的作用力的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，对绳B点受力分析如图 滑轮受到绳子的作用力应为图中两段绳中拉力F1和F2的合力F，因同一根绳张力处处相等，大小都等于物体的重力，即为F1=F2=G=100N用平行四边形定则作图，由于拉力F1和F2的夹角为120°，则由几何知识得 F=100N所以滑轮受绳的作用力为100N。故选C。 5.用一根柔软的、不可伸长的绳绕过轻质动滑轮，动滑轮下挂有质量为m的物体，甲乙两人在P楼和Q楼楼顶分别通过定滑轮拉绳子，使物体缓慢上升，如图所示，以下判断正确的是（　　） A．物块缓慢上升过程中，绳和绳中的弹力都逐渐减小 B．物块缓慢上升过程中，绳和绳的夹角不变 C．同一高度下，如果两个楼的楼间距变小，则绳和绳中的张力变大 D．同一高度下，如果两个楼的楼间距变小，则绳和绳中的张力变小 【答案】D 【解析】AB．物块缓慢上升过程中，处于平衡状态。由于绳和绳是通过轻质动滑轮提升物体，则两弹力大小是相等的，且它们合力大小与物体的重力大小相等，方向相反，随着物体逐渐上升，则两弹力夹角变大，根据平行四边形定则可知两弹力也逐渐变大，故AB错误； CD．当两人在同一高度下，如果两个楼的楼间距变小，则在缓慢提升物体的过程中，绳和绳中的张力的合力大小等于物体的重力，根据平行四边形定则可知，合力不变，分力夹角变小，则两分力将变小，故C错误，D正确。故选D。 6.如图所示，一根不可伸长的光滑轻质细绳通过轻滑轮挂一重物，细绳一端系在竖直墙壁的A点，另一端系在倾斜墙壁的B点，现将细绳右端从B点沿倾斜墙壁缓慢向下移动到与A点等高的B′点。在移动过程中，关于细绳拉力大小变化情况正确的是（   ） A．先变小后变大 B．变大 C．变小 D．不变 【答案】B 【解析】如下图，设绳子总长度为L，BD垂直于AB′，最开始时AO与竖直方向的夹角为θ，根据对称性有 AOsinθ＋BOsinθ = Lsinθ = AD 绳子右端从B点移动到B′点后，滑轮从O点移动到O′点，B′O′与竖直方向夹角为α，根据对称性有 AO′sinα＋BO′sinα = Lsinα = AB′因为AB′ > AD所以α > θ则绳子移动后，绳子之间的夹角变大，而两段绳子的拉力大小相同，合力大小始终等于重物的重力大小，根据力的平行四边形定则，两段绳子的拉力大小变大。 故选B。 7.在如图所示装置中，两物体质量分别为和，滑轮直径大小可忽略。设动滑轮两侧的绳与竖直方向夹角分别为和。整个装置能保持静止。不计动滑轮的质量和一切摩擦。则下列法正确的有（    ） A． 一定等于 B．一定大于 C．一定小于 D．可能大于 【答案】A 【解析】绳子连续通过定滑轮和动滑轮，绳子上的拉力相同，整个装置能保持静止，则绳子上的拉力大小与的重力大小相同，即对滑轮进行受力分析可得 解得故一定小于，当时，有故选A。 8.如图所示，钉子A和小定滑轮B均固定在竖直墙面上，它们相隔一定距离且处于同一高度，细线的一端系有一小砂桶D，另一端跨过定滑轮B固定在钉子A上。质量为m的小球E与细线上的轻质动滑轮C固定连接。初始时整个系统处于静止状态，滑轮C两侧细线的夹角为74°。现缓慢地往砂桶添加细砂，当系统再次平衡时，滑轮C两侧细线的夹角为120°。不计一切摩擦，取cos37°=0.8，则此过程中往砂桶D中添加的细砂质量为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对砂桶分析，由平衡条件可知对质动滑轮C受力分析， 由平衡条件可得 往砂桶D中添加的细砂后，为； 联立解得所以A正确；BCD错误； 故选A。 9.工人施工期间，采用了如图所示的简易装置吊装重物，提高了工作效率，、为两个不计大小的轻质光滑滑轮，工人通过一根轻绳把质量为m的重物匀速吊起，吊起过程中跨过滑轮的两段绳子夹角为60°，滑轮两侧绳子保持竖直，重力加速度为g，则固定滑轮的轻杆对滑轮的作用力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对滑轮，由平衡条件可得对滑轮，受力如图所示，由平衡条件可知，固定滑轮的轻杆对滑轮的作用力F2的大小为联立可解得，C正确。故选C。 10.如图所示，将三段轻绳相结于O点，其中OA绳的一端拴在墙上，OB绳的下方悬挂甲物体，OC绳跨过光滑定滑轮悬挂乙物体。OC绳与竖方向的夹角为=70°。OA绳与竖直方向的夹角为（未知）。若甲、乙两物体的质量均为m=2kg，重力加速度g取10m/s2，sin55°≈0.82。根据所学的知识，不需计算，推理出OA绳的拉力约为（　　） A．16N B．23N C．31N D．41N 【答案】B 【解析】甲、乙两物体的质量均为m=2kg，则OC绳的拉力与OB绳的拉力均为20N，这两个力的合力与OA绳的拉力大小相等，方向相反。 由几何关系可知OC绳的拉力与OB绳的拉力夹角为110°，而夹角为120°均为20N的两个力的合力大小为20N。所以OC绳的拉力与OB绳的拉力的合力接近20N。 所以根据所学的知识，不需计算，推理出OA绳的拉力约为B选项的23N。故选B。 11.如图所示，质量均为M的A、B两滑块放在粗糙水平面上，两轻杆等长，杆与滑块、杆与杆间均用光滑铰链连接，在两杆铰合处悬挂一质量为m的重物C，整个装置处于静止状态，设杆与水平面间的夹角为θ.下列说法正确的是(　　) A．当m一定时，θ越小，滑块对地面的压力越大 B．当m一定时，θ越大，轻杆受力越大 C．当θ一定时，M越大，滑块与地面间的摩擦力越大 D．当θ一定时，M越大，可悬挂重物C的质量m越大 【答案】D 【解析】A.对A、B、C整体分析可知，对地面压力为FN＝(2M＋m)g，与θ无关，故A错误； B.将C的重力按照作用效果分解，如图所示：根据平行四边形定则，有 故m一定时，θ越大，轻杆受力越小，故B错误； C.对A分析，受重力、杆的推力、支持力和向右的静摩擦力，根据平衡条件，有 与M无关，故C错误； D.当θ一定时，M越大，M与地面间的最大静摩擦力越大，则可悬挂重物C的质量m越大，故D正确． 12.如图所示，轻绳AD跨过固定在水平横梁BC右端的定滑轮挂住一个质量为10kg的物体，∠ACB=30°；轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向也成30°角，轻杆的G点用细绳FG拉住一个质量也为10kg的物体，，下列说法正确的是（　　） A．横梁BC对C端的弹力大小为N B．轻杆HG对G端的弹力大小为100N C．轻绳AC段的张力与细绳EG的张力之比为2：1 D．轻绳AC段的张力与细绳EG的张力之比为1：2 【答案】D 【解析】题图（a）和（b）中的两个物体、都处于平衡状态，根据平衡条件可判断，与物体相连的细绳拉力大小等于物体的重力，分别取C点和G点为研究对象，进行受力分析如图所示： A．图（a）中，根据几何关系得 且二者夹角为，故可得横梁BC对C端的弹力大小为 方向和水平方向成斜向右上方，故A错误； B．图（b）中，根据平衡方程有 所以可得轻杆HG对G端的弹力大小为 方向水平向右，故B错误； CD．图（a）中轻绳AD跨过定滑轮拉住质量为的物体，物体处于平衡状态，绳AC段的拉力 图（b）中由得 所以得，故C错误，D正确。 故选D。 13.如图所示，轻绳a的一端固定于竖直墙壁，另一端拴连一个光滑圆环。轻绳b穿过圆环，一端拴连一个物体，用力拉住另一端C将物体吊起，使其处于静止状态。不计圆环受到的重力，现将C端沿竖直方向上移一小段距离，待系统重新静止时（　　）    A．绳a与竖直方向的夹角不变 B．绳b的倾斜段与绳a的夹角变小 C．绳a中的张力变大 D．绳b中的张力变小 【答案】B 【解析】AD．轻绳b穿过圆环，一端拴连一个物体，可知轻绳b的拉力与物体重力相等，根据力的合成法则可知轻绳b与连接物体绳子拉力的合力F方向与a绳共线，用力拉住另一端C将物体吊起，可知绳a与竖直方向的夹角变大，故AD错误； B．轻绳b与F的夹角变大，则绳b的倾斜段与绳a的夹角变小，故B正确； C．根据力的合成法则可知，两分力的夹角变大，合力变小，故绳a中的张力变小，故C错误； 故选B。 14.如图所示，钉子A和小定滑轮B均固定在竖直墙面上，它们相隔一定距离且处于同一高度，细线的一端系有一小砂桶D，另一端跨过定滑轮B固定在钉子A上。质量为m的小球E与细线上的轻质动滑轮C固定连接。初始时整个系统处于静止状态，滑轮C两侧细线的夹角为74°。现缓慢地往砂桶添加细砂，当系统再次平衡时，滑轮C两侧细线的夹角为120°。不计一切摩擦，取cos37°=0.8，则此过程中往砂桶D中添加的细砂质量为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对砂桶分析，由平衡条件可知 对质动滑轮C受力分析，由平衡条件可得 往砂桶D中添加的细砂后，为 联立解得，所以A正确；BCD错误； 故选A。 15.如图所示，两个可视为质点的小球和，用质量可忽略的刚性细杆相连，放置在一个光滑的半球面内，已知小球和的质量之比为。当两球处于平衡状态时，光滑球面对小球的支持力大小等于，对小球的支持力大小等于。若要求出的比值大小，则（　　） A．需要知道刚性细杆的长度与球面半径的关系 B．需要知道刚性细杆的长度和球面半径的大小 C．不需要其他条件，有 D．不需要其他条件，有 【答案】C 【解析】受力分析如图 分别对小球和受力分析有， 根据几何关系有 ， 则有 故选C。 2、 多选题 16.如图所示，水平轻杆一端与竖直墙上的光滑的铰链连接，另一端用细绳系于墙上点，在点下方悬挂质量为的重物。水平轻杆一端插入竖直墙内，另一端固定光滑小滑轮，用细绳绕过滑轮一端悬挂质量为的重物，另一端系于墙上点，已知，下列说法中正确的是（　　） A． B．杆上弹力的大小为 C．杆上弹力的大小为 D．杆上弹力的大小为 【答案】AC 【解析】甲图中，以B点为对象，根据平衡条件可得， 解得， 乙图中，以重物为对象，根据平衡条件可知同一根绳子拉力大小为 以滑轮为对象，根据平衡条件可知CD杆上弹力的大小为 则有 故选AC。 17.李强同学设计的一个小实验如图所示，他将细绳的一端系在手指B上，细绳的另一端系在直杆的A端，杆的左端顶在掌心C上，组成一个“三角支架”。在杆的A端悬挂不同的重物，并保持静止。通过实验会感受到（　　） A．细绳是被拉伸的，杆是被压缩的 B．杆对手掌施加的作用力的方向沿杆由C指向A C．细绳对杆施加的作用力的方向沿细绳由B指向A D．所挂重物质量越大，细绳和杆对手的作用力也越大 【答案】AD 【解析】A．重物所受重力的作用效果有两个，一是拉紧细绳，二是使杆压紧手掌，所以细绳是被拉伸的，杆是被压缩的，故A正确； B．杆对手掌施加的作用力是对手掌的压力，所以方向沿杆由A指向C，故B错误； C．细绳对杆施加的作用力是绳对杆的拉力，沿绳收缩的方向，沿细绳由A指向B，故C错误； D．重力可分解为沿细绳方向的力F1和垂直于掌心方向的力F2，如图所示 由三角函数得 根据相互作用的关系可知，所挂重物质量越大，细绳和杆对手的作用力也越大，故D正确。 故选AD。 18.如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点，悬挂衣服的衣架钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态。如果只人为改变一个条件，挡衣架静止时，下列说法正确的是（　　） A． 绳的右端上移到b′，绳子拉力大小不变 B．将杆N向右移一些，绳子拉力变小 C．绳的两端高度差越小，绳子拉力越小 D．若只换挂质量更大的衣服，则衣服架悬挂点不会左右移动 【答案】AD 【解析】如图所示 因为同一根绳子上的拉力相等，所以两个绳子是对称的，与竖直方向夹角是相等的 AC．设绳子的长度为x，则两杆之间的距离等于，绳子一端在上下移动的时候，绳子的长度不变，两杆之间的距离不变，则θ角度不变，所以 所以绳子上的拉力不变；绳的两端高度差的大小，对绳子的拉力没有影响，C错误A正确； B．当杆N向右移动后，两杆之间的距离变大，绳长不变，所以θ角度减小，sinθ减小，绳子拉力变大，B错误； D．绳长和两杆距离不变的情况下，θ不变，所以挂的衣服质量变化，悬挂点不会的移动，D正确。 故选AD。 19.如图所示，三根长度均为L的轻绳分别连接于C、D两点，A、B两端被悬挂在水平天花板上，相距2L，现在C点上悬挂一个质量为m的重物，为使CD绳保持水平，在D点上可施加力的取值可能为（　　） A．B．C．D． 【答案】BC 【解析】依题得，要想CD水平，则各绳都要紧绷，则AC与水平方向的夹角为，结点C受力平衡，则受力分析如图所示 因此CD的拉力为，D点受绳子拉力大小等于，方向向左。要使CD水平，则D点两绳的拉力与外界的力的合力为零，则绳子对D点的拉力可分解为沿BD绳的以及另一分力。 由几何关系可知，当与BD垂直时，最小，而的大小即为拉力大小，因此有 故BC正确，AD错误。故选BC。 20.如图所示，轻杆AC和轻杆BC 的一端用光滑铰链连接在C点，另一端分别用光滑铰链固定在竖直墙壁上，将一质量为m 的物块通过细线连接在C点并保持静止状态。已知重力加速度大小为g，AB=BC=AC，下列说法正确的是（　　） A．轻杆AC上的弹力大小为mg B．轻杆 BC上的弹力大小为 C．若将轻杆AC换成相同长度的细线，物块仍能静止在原来位置 D．若将轻杆BC换成相同长度的细线，物块仍能静止在原来位置 【答案】AC 【解析】AB．以C点为对象，进行受力分析，如图所示 由于为等边三角形，根据图中几何关系可得，故A正确，B错误； C．若将轻杆AC换成相同长度的细线，则细线AC的拉力仍沿AC向上，物块仍能静止在原来位置，故C正确； D．若将轻杆BC换成相同长度的细线，则细线BC的拉力应沿CB向下，物块不能静止在原来位置，故D错误。 故选AC。 21.用三根细线a、b、c将两个小球连接，并悬挂如图所示。两小球处于静止状态，细线a与竖直方向的夹角为θ，细线b与竖直方向的夹角为2θ，细线c水平，下列说法正确的是（　　） A．细线a的拉力一定大于细线b的拉力 B．细线a的拉力一定大于细线c的拉力 C．细线b的拉力大小等于小球1的重力 D．细线c的拉力一定小于小球2的重力 【答案】ABC 【解析】A．小球1平衡，对小球1进行受力分析，水平方向上的受力可知解得 由于，可知得，A正确； B．小球2平衡，对小球2进行受力分析，水平方向上的受力可知因为，可知，可得则故B正确； C．对小球1进行受力分析，竖直方向上的受力可知解得故C正确； D．对小球2进行受力分析，竖直方向上的受力可知解得当，此时可得故D错误；故选ABC。 三、计算题 22.如图所示，质量为的物体甲通过三段轻绳相连，三段轻绳的结点为O，轻绳OB水平且B端与站在水平地面上的质量为的人相连，轻绳OA与竖直方向的夹角，物体甲及人均处于静止状态，人的质量，人与水平面之间的动摩擦因数为。已知，，重力加速度，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求： （1）轻绳OA、OB受到的拉力是多大？ （2）人对地面的摩擦力是多大？ （3）欲使人在水平面上不滑动，物体甲的质量最大不能超过多少？    【答案】（1）250N，150N；（2）150N；（3）32kg 【解析】（1）以结点O为研究对象，如图所示    建立直角坐标系，将FOA分解，由平衡条件有 解得 （2）人水平方向受到OB绳的拉力和水平面的静摩擦力，受力如图所示    由平衡条件得 方向水平向左； 根据牛顿第三定律可得人对地面的摩擦力大小是150N，方向水平向右； （3）当甲的质量增大到人刚要滑动时，质量达到最大，此时人受到的静摩擦力达到最大值 由平衡条件得 又 解得，所以物体甲的质量最大不能超过32kg。 23.“小孩小孩你别馋，过了腊八就是年”，春节期间，大街上到处洋溢着节日的气息，一盏盏大红灯笼展现出节日的喜庆。如图所示，三根轻绳a、b、c将甲、乙两只灯笼悬挂起来并处于静止状态。轻绳a、c与竖直方向的夹角分别为37°和53°，轻绳b沿水平方向。已知甲灯笼的质量，且，，重力加速度g取，求： （1）细绳a的拉力的大小F； （2）乙灯笼的质量。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）对甲乙灯笼受力分析，如图所示。 甲受力平衡，根据共点力平衡条件 代入数据解得 （2）对乙灯笼，根据共点力平衡条件有 代入数据解得 24.如图甲所示，三条不可伸长且结实的轻绳结于O点，OC绳将质量为m的重物悬挂起来已知系在竖直墙上的AO绳与墙成37°角，保持O点位置不变，可改变BO绳拉力的方向，（g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8）。求： （1）若m=1kg，BO绳的拉力沿水平方向时，BO绳和AO绳拉力的大小； （2）若m=1kg，改变BO绳拉力方向时BO绳中拉力的最小值； （3）如图乙所示，如果BO绳沿水平方向，B端固定于静止在倾角为37°粗糙斜面上的质量为M=12kg物体上，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知物体M和斜面间=0.8，若要保持M静止，则m的值最大为多少。 【答案】（1）7.5N；12.5N；（2）6N；（3）0.5kg 【解析】（1）依题意，对结点O受力分析，如图所示 根据三力平衡，可得 又因为 联立带入数据，求得 ， （2）根据力矢量三角形判断知，当OB绳拉力方向与OA绳方向垂直时，BO绳中拉力为最小，可得最小值 （3）若要保持M静止且m的值达最大，则此时M的受力分析如图所示 此时M受到的摩擦力恰好达到最大静摩擦力，由平衡条件及正交分解法可得 又 联立以上式子，带入数据求得 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10“活结”与“死结”模型、“动杆”和“定杆”模型 模型讲解 【概述】 1、 “活结”与“死结”模型：是一种理想的物理模型，利用“轻绳”连接所研究对象的两种方式； （1）“活结”是由绳跨过光滑的滑轮或绳上挂一光滑挂钩而形成，绳子因“活结”而弯曲，实际为同一根绳。 模型特点：“活结”两侧的绳子上的张力大小处处相等。 （2） “死结”是将绳子分为两段，且不可沿绳子移动，“死结”两侧的绳因结而变成两根独立的绳连接物体。 模型特点：“死结”两侧的绳子上张力不一定相等。 2、 “动杆”与“定杆”模型：是另一种理想的物理模型，利用“轻杆”两种连接研究对象的方式； (1)“动杆”模型：轻杆用光滑的转轴或铰链连接，轻杆可围绕转轴或铰链自由转动， 模型特点：当杆处于平衡时，杆所受的弹力方向一定沿杆向内或向外. （2）“定杆”模型：轻杆被固定在接触面上，不发生转动。 模型特点：杆所受的弹力方向不一定沿杆，可沿任意方向。 模型构建 【模型要点】 1.活结与死结绳模型 活结与死结绳模型本质是通过结点是否允许绳自由滑动，拆解为两类标准化便于分析问题的理想化模型，关键在于绳的张力关系与受力平衡分析，来突出解题关键： （1）核心定位：不是“结的分类”，而是“受力模型” 物理中的“活结”“死结”，不取决于绳结的实际形态，而是取决于“结点对绳的约束作用” 活结：结点是“光滑约束”（如滑轮、光滑挂钩），绳能沿结点自由滑动，仅改变力的方向；死结：结点是“固定约束”（如绳与绳拴死、绳拴在固定点），绳不能沿结点滑动，结点成为多段绳的“力的交汇固定点”。 （3） 两大模型规律：“活结”两侧的张力大小处处相等（===…），与绳的绕向、夹角无关；“死结”死结两侧的张力大小不一定相等（与是否相等，取决于力的方向、外部荷载，需通过计算判断）。 温馨提示： (1)无论“死结”还是“活结”一般均以结点为研究对象进行受力分析。 (2)如果题目搭配杆出现，一般情况是“死结”搭配有转轴的杆即“动杆”，“活结”搭配无转轴的杆即“定杆”。 2.动杆与定杆模型 “动杆”“定杆”是力学物理受力分析的一种理想模型，本质是通过“杆能否绕端点自由转动”，判断杆对结点/物体的作用力性质：是“沿杆的力”还是“任意方向的力”，直接决定受力分析的简化逻辑。 （1）核心定位：不是“杆的运动状态”，而是“约束条件” 先明确前提：物理中的“动杆”“定杆”，不取决于杆是否运动，而是取决于“杆的固定方式是否允许其绕端点转动” （2）两大模型规律： “动杆”：能转动，力沿杆，动杆的弹力方向与杆共线，大小由平衡条件（或牛顿定律）求解，无需考虑垂直杆的分力。 “定杆”：不能转，力任意，定杆的弹力方向未知（可能沿杆，也可能不沿杆），需将其分解为“水平分力”和“竖直分力”，再通过平衡方程（牛顿定律）求解分力大小，最终确定总弹力的方向和大小。 温馨提示：两种杆模型一般情况下，插入墙中的杆属于固定杆，弹力可以沿任意方向，不一定沿杆；而用铰链相连的杆属于活动杆，弹力一定沿杆方向；如果重物挂在杆子中间，则弹力不沿杆，即不能认为“活动杆”的弹力就一定沿着杆。 模型演练 【模型演练1】图示为生活中两种悬挂物体方式的简化示意图，甲图中轻杆DB一端用铰链固定在竖直墙壁上，另一端B通过水平轻绳 AB固定在竖直墙壁上，∠DBA=30°，轻杆的B端用轻绳 BC拉住一个质量为M的物体；图乙中轻绳 EQ 跨过固定在竖直墙壁的轻杆HP右端的光滑定滑轮拉住一个质量也为M的物体，EP 水平，∠HPE=30°，重力加速度为g。求： (1)轻杆DB对B点的支持力大小； (2)轻绳AB段与轻绳EP段的拉力大小之比。 【模型演练2】甲图中，轻杆AB一端与墙上的光滑铰链连接，另一端用轻绳系住，绳、杆之间的夹角为，在B点下方悬挂质量为m的重物．乙图中，轻杆CD一端插入墙内，另一端装有小滑轮，现用轻绳绕过滑轮挂住质量为m的重物，绳、杆之间的夹角也为．甲、乙图中杆都垂直于墙，则下列说法中正确的是（　　） A．两根杆中弹力方向均沿杆 B．甲图中杆的弹力更大 C．两根杆中弹力一样大 D．若甲、乙中轻绳能承受的最大拉力相同，则物体加重时，甲中轻绳更容易断裂 【模型演练3】抖空竹是中国传统文化苑中一株灿烂的花朵．如图所示是表演抖空竹时的动作，假设空竹是光滑的，不考虑空竹的转动，某时刻表演者两手水平，则表演者在缓慢完成以下动作时，下列说法正确的是（　　） A．左手不动，右手竖直向上移动一小段距离，绳子拉力大小不变 B．左手不动，右手水平向左移动一小段距离，绳子拉力大小变大 C．在同一水平面内，两手之间距离越大，绳子拉力越小 D．在同一水平面内，两手之间距离越小，绳子拉力越小 【模型演练4】与固定点O和连接，如图所示。已知两轻杆与水平地面和竖直墙壁的夹角分别为，重力加速度为，则下面轻杆和上面轻杆对铰链A的作用力大小分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 模型应用 1、 单选题 1.如图所示，细绳的一端悬于点，细绳的另一端点系一质量为的物体，物体处于静止状态，现对细绳上的点施加力（方向未知），缓慢地将物体拉起，使偏离竖直方向，重力加速度为g，sin53° = 0.8。则此时的的最小值为（    ） A． B． C． D． 2.在建筑工地上经常使用吊车起吊货物。为了研究问题方便，把吊车简化成如图所示的模型，支撑硬杆OP的一端装有定滑轮，另一端固定在车体上，质量不计的钢丝绳索绕过定滑轮吊起质量为m的物件缓慢上升，不计定滑轮质量和滑轮与绳索及轴承之间的摩擦，重力加速度为g。则下列说法中正确的是（　　） A．钢丝绳索对定滑轮的作用力方向竖直向下 B．钢丝绳索对定滑轮的作用力方向一定沿着OP方向 C．钢丝绳索对定滑轮的作用力大小等于2mg D．钢丝绳索对定滑轮的作用力大小小于2mg 3.某课外兴趣小组研究如图甲所示的路灯支架构造及受力。小组绘制了如图乙所示的模型图，路灯支架由横梁OA，斜梁OB组成，横梁OA、斜梁OB与路灯杆之间都通过光滑的铰链连接。已知路灯支架横梁OA长2.0m，斜梁OB长2.5m，路灯重力为30N，重心恰好在支架横梁和斜梁的连接点O处，支架重力不计。由共点力的知识可知（　　） A．横梁与斜梁均被拉伸 B．横梁对O点作用力大小为50N C．斜梁对O点作用力大小为50N D．若把斜梁稍微加长，仍保持O点位置不变，横梁仍水平，这时斜梁对O点的作用力将变大 4.水平横梁一端插在墙壁内，另一端装有一小滑轮，轻绳的一端固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一重力为的重物，，如图所示，则滑轮受到轻绳的作用力的大小为（　　） A． B． C． D． 5.用一根柔软的、不可伸长的绳绕过轻质动滑轮，动滑轮下挂有质量为m的物体，甲乙两人在P楼和Q楼楼顶分别通过定滑轮拉绳子，使物体缓慢上升，如图所示，以下判断正确的是（　　） A．物块缓慢上升过程中，绳和绳中的弹力都逐渐减小 B．物块缓慢上升过程中，绳和绳的夹角不变 C．同一高度下，如果两个楼的楼间距变小，则绳和绳中的张力变大 D．同一高度下，如果两个楼的楼间距变小，则绳和绳中的张力变小 6.如图所示，一根不可伸长的光滑轻质细绳通过轻滑轮挂一重物，细绳一端系在竖直墙壁的A点，另一端系在倾斜墙壁的B点，现将细绳右端从B点沿倾斜墙壁缓慢向下移动到与A点等高的B′点。在移动过程中，关于细绳拉力大小变化情况正确的是（   ） A．先变小后变大 B．变大 C．变小 D．不变 7.在如图所示装置中，两物体质量分别为和，滑轮直径大小可忽略。设动滑轮两侧的绳与竖直方向夹角分别为和。整个装置能保持静止。不计动滑轮的质量和一切摩擦。则下列法正确的有（    ） A． 一定等于 B．一定大于 C．一定小于 D．可能大于 8.如图所示，钉子A和小定滑轮B均固定在竖直墙面上，它们相隔一定距离且处于同一高度，细线的一端系有一小砂桶D，另一端跨过定滑轮B固定在钉子A上。质量为m的小球E与细线上的轻质动滑轮C固定连接。初始时整个系统处于静止状态，滑轮C两侧细线的夹角为74°。现缓慢地往砂桶添加细砂，当系统再次平衡时，滑轮C两侧细线的夹角为120°。不计一切摩擦，取cos37°=0.8，则此过程中往砂桶D中添加的细砂质量为（　　） A． B． C． D． 9.工人施工期间，采用了如图所示的简易装置吊装重物，提高了工作效率，、为两个不计大小的轻质光滑滑轮，工人通过一根轻绳把质量为m的重物匀速吊起，吊起过程中跨过滑轮的两段绳子夹角为60°，滑轮两侧绳子保持竖直，重力加速度为g，则固定滑轮的轻杆对滑轮的作用力大小为（　　） A． B． C． D． 10.如图所示，将三段轻绳相结于O点，其中OA绳的一端拴在墙上，OB绳的下方悬挂甲物体，OC绳跨过光滑定滑轮悬挂乙物体。OC绳与竖方向的夹角为=70°。OA绳与竖直方向的夹角为（未知）。若甲、乙两物体的质量均为m=2kg，重力加速度g取10m/s2，sin55°≈0.82。根据所学的知识，不需计算，推理出OA绳的拉力约为（　　） A．16N B．23N C．31N D．41N 11.如图所示，质量均为M的A、B两滑块放在粗糙水平面上，两轻杆等长，杆与滑块、杆与杆间均用光滑铰链连接，在两杆铰合处悬挂一质量为m的重物C，整个装置处于静止状态，设杆与水平面间的夹角为θ.下列说法正确的是(　　) A．当m一定时，θ越小，滑块对地面的压力越大 B．当m一定时，θ越大，轻杆受力越大 C．当θ一定时，M越大，滑块与地面间的摩擦力越大 D．当θ一定时，M越大，可悬挂重物C的质量m越大 12.如图所示，轻绳AD跨过固定在水平横梁BC右端的定滑轮挂住一个质量为10kg的物体，∠ACB=30°；轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向也成30°角，轻杆的G点用细绳FG拉住一个质量也为10kg的物体，，下列说法正确的是（　　） A．横梁BC对C端的弹力大小为N B．轻杆HG对G端的弹力大小为100N C．轻绳AC段的张力与细绳EG的张力之比为2：1 D．轻绳AC段的张力与细绳EG的张力之比为1：2 13.如图所示，轻绳a的一端固定于竖直墙壁，另一端拴连一个光滑圆环。轻绳b穿过圆环，一端拴连一个物体，用力拉住另一端C将物体吊起，使其处于静止状态。不计圆环受到的重力，现将C端沿竖直方向上移一小段距离，待系统重新静止时（　　）    A．绳a与竖直方向的夹角不变 B．绳b的倾斜段与绳a的夹角变小 C．绳a中的张力变大 D．绳b中的张力变小 14.如图所示，钉子A和小定滑轮B均固定在竖直墙面上，它们相隔一定距离且处于同一高度，细线的一端系有一小砂桶D，另一端跨过定滑轮B固定在钉子A上。质量为m的小球E与细线上的轻质动滑轮C固定连接。初始时整个系统处于静止状态，滑轮C两侧细线的夹角为74°。现缓慢地往砂桶添加细砂，当系统再次平衡时，滑轮C两侧细线的夹角为120°。不计一切摩擦，取cos37°=0.8，则此过程中往砂桶D中添加的细砂质量为（　　） A． B． C． D． 15.如图所示，两个可视为质点的小球和，用质量可忽略的刚性细杆相连，放置在一个光滑的半球面内，已知小球和的质量之比为。当两球处于平衡状态时，光滑球面对小球的支持力大小等于，对小球的支持力大小等于。若要求出的比值大小，则（　　） A．需要知道刚性细杆的长度与球面半径的关系 B．需要知道刚性细杆的长度和球面半径的大小 C．不需要其他条件，有 D．不需要其他条件，有 2、 多选题 16.如图所示，水平轻杆一端与竖直墙上的光滑的铰链连接，另一端用细绳系于墙上点，在点下方悬挂质量为的重物。水平轻杆一端插入竖直墙内，另一端固定光滑小滑轮，用细绳绕过滑轮一端悬挂质量为的重物，另一端系于墙上点，已知，下列说法中正确的是（　　） A． B．杆上弹力的大小为 C．杆上弹力的大小为 D．杆上弹力的大小为 17.李强同学设计的一个小实验如图所示，他将细绳的一端系在手指B上，细绳的另一端系在直杆的A端，杆的左端顶在掌心C上，组成一个“三角支架”。在杆的A端悬挂不同的重物，并保持静止。通过实验会感受到（　　） A．细绳是被拉伸的，杆是被压缩的 B．杆对手掌施加的作用力的方向沿杆由C指向A C．细绳对杆施加的作用力的方向沿细绳由B指向A D．所挂重物质量越大，细绳和杆对手的作用力也越大 18.如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点，悬挂衣服的衣架钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态。如果只人为改变一个条件，挡衣架静止时，下列说法正确的是（　　） A． 绳的右端上移到b′，绳子拉力大小不变 B．将杆N向右移一些，绳子拉力变小 C．绳的两端高度差越小，绳子拉力越小 D．若只换挂质量更大的衣服，则衣服架悬挂点不会左右移动 19.如图所示，三根长度均为L的轻绳分别连接于C、D两点，A、B两端被悬挂在水平天花板上，相距2L，现在C点上悬挂一个质量为m的重物，为使CD绳保持水平，在D点上可施加力的取值可能为（　　） A．B．C．D． 20.如图所示，轻杆AC和轻杆BC 的一端用光滑铰链连接在C点，另一端分别用光滑铰链固定在竖直墙壁上，将一质量为m 的物块通过细线连接在C点并保持静止状态。已知重力加速度大小为g，AB=BC=AC，下列说法正确的是（　　） A．轻杆AC上的弹力大小为mg B．轻杆 BC上的弹力大小为 C．若将轻杆AC换成相同长度的细线，物块仍能静止在原来位置 D．若将轻杆BC换成相同长度的细线，物块仍能静止在原来位置 21.用三根细线a、b、c将两个小球连接，并悬挂如图所示。两小球处于静止状态，细线a与竖直方向的夹角为θ，细线b与竖直方向的夹角为2θ，细线c水平，下列说法正确的是（　　） A．细线a的拉力一定大于细线b的拉力 B．细线a的拉力一定大于细线c的拉力 C．细线b的拉力大小等于小球1的重力 D．细线c的拉力一定小于小球2的重力 三、计算题 22.如图所示，质量为的物体甲通过三段轻绳相连，三段轻绳的结点为O，轻绳OB水平且B端与站在水平地面上的质量为的人相连，轻绳OA与竖直方向的夹角，物体甲及人均处于静止状态，人的质量，人与水平面之间的动摩擦因数为。已知，，重力加速度，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求： （1）轻绳OA、OB受到的拉力是多大？ （2）人对地面的摩擦力是多大？ （3）欲使人在水平面上不滑动，物体甲的质量最大不能超过多少？    23.“小孩小孩你别馋，过了腊八就是年”，春节期间，大街上到处洋溢着节日的气息，一盏盏大红灯笼展现出节日的喜庆。如图所示，三根轻绳a、b、c将甲、乙两只灯笼悬挂起来并处于静止状态。轻绳a、c与竖直方向的夹角分别为37°和53°，轻绳b沿水平方向。已知甲灯笼的质量，且，，重力加速度g取，求： （1）细绳a的拉力的大小F； （2）乙灯笼的质量。 24.如图甲所示，三条不可伸长且结实的轻绳结于O点，OC绳将质量为m的重物悬挂起来已知系在竖直墙上的AO绳与墙成37°角，保持O点位置不变，可改变BO绳拉力的方向，（g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8）。求： （1）若m=1kg，BO绳的拉力沿水平方向时，BO绳和AO绳拉力的大小； （2）若m=1kg，改变BO绳拉力方向时BO绳中拉力的最小值； （3）如图乙所示，如果BO绳沿水平方向，B端固定于静止在倾角为37°粗糙斜面上的质量为M=12kg物体上，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知物体M和斜面间=0.8，若要保持M静止，则m的值最大为多少。 / 学科网（北京）股份有限公司 $