2025-2026学年北师大版九年级上册数学期中提升测试题（1-3单元）

2025-2026学年北师大版九年级上册数学期中提升测试题 满分:120分 考试时间:120分钟 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列方程是关于x的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（本题3分）若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为（　　） A． B． C． D．或 3．（本题3分）一元二次方程的根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 4．（本题3分）从两名男生和两名女生中任选两人担任节目主持人，恰好为一男一女的概率为（   ） A． B． C． D． 5．（本题3分）如图，在中，，，，是的中点，则的长为（　　） A． B． C． D． 6．（本题3分）如图，，是的高，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（本题3分）中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图，一个菱形中国结装饰，对角线，相交于点，测得，，过点作于点，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 8．（本题3分）如图，在四边形中，，，，，点E，F分别是的中点，连接，则线段的长为（   ） A． B． C． D．8 9．（本题3分）在2025年跳水世界杯女子十米台单人赛中，中国队包揽冠亚军．某商场为宣传体育精神，计划在如图所示的长，宽的矩形海报上分别展示全红婵和陈芋汐两位运动健儿的照片，每幅小矩形照片（铺灰部分）的面积均为，若海报外沿与照片之间及相邻照片之间的空白区域的宽度均相等，则空白区域的宽度是（    ） A． B． C． D． 10．（本题3分）如图，正方形的边长为4，点是边上的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点，连接，则的面积为（   ） A．2 B． C． D． 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）一元二次方程的解是 ． 12．（本题3分）若a是关于x的方程的一个根，则的值是 ． 13．（本题3分）随着科技的飞速发展，人工智能应运而生多种软件崭露头角，某班级为更好地了解软件，计划举办手抄报展览，确定了“”“豆包”“”三个主题，若小红和小明从中随机选择其中一个主题，则她们恰好选中同一个主题的概率是 ． 14．（本题3分）如图，把一个长方形的纸沿对角线折叠，使点B落在点E处，交于点O，若，则 ． 15．（本题3分）如图，在中，点在边上，，点，点分别是，的中点，，则的长为 ． 16．（本题3分）学校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都只比赛一场，若共进行了28场比赛，设学校有个队参赛，则列方程为 17．（本题3分）如图，在菱形中，，则的度数为 ． 18．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中有一长方形，点的坐标为，D为x正半轴上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在y轴上时，的长为 ． 三、解答题（共66分） 19．（本题8分） 解方程： (1) (2) 20．（本题9分）已知一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与有一个相同的根，求此时的值． 21．（本题9分）如图，在菱形中，对角线相交于点O，过点C作，过点D作，与相交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，求的长． 22．（本题9分）为提高学生的动手能力，师一学校引入了劳动课程，并从全校学生的成绩中随机抽取了部分学生的成绩进行分析，把结果划分为4个等级：A．优秀；B．良好；C．合格；D．不合格．并将统计结果绘制成两幅不完整的统计图如图所示． 根据上述信息，解答下列问题． (1)本次抽样调查的学生人数为______，并补全条形统计图； (2)求扇形统计图中等级C所对应扇形的圆心角的度数； (3)在这次劳动课程中，九（1）班共有3名学生获得了优秀，3名学生中有1名男生和2名女生，班主任决定从这3名学生中随机选出2名学生在班级做心得分享，请用列表或画树状图的方法，求所选2名学生恰好是1男1女的概率． 23．（本题9分）随着生鲜电商平台日益火爆，其背后的数学逻辑也愈发引人深思．据统计：某生鲜电商平台今年2月份的销售额是200万元，4月份的销售额是242万元． (1)若该平台今年2月份到4月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)经市场调查发现，某水果在“盒马鲜生”平台上的售价为24元/千克时，每天能销售300千克，售价每降低1元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存．已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利5600元，则售价应降低多少元？ 24．（本题10分）在正方形中，点E是上一动点，连接，将正方形沿着折叠，点C落在正方形内部的点F处． (1)如图1，分别以点C，F为圆心，以，为半径画弧，两弧交于点P，连接，，判断四边形的形状，并证明你的结论： (2)如图2，延长交于点G，求证：； (3)如图3，在（2）条件下，延长交于点H．若，，求的长 25．（本题12分）如图，矩形中，厘米，厘米，点P从点A开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，同时点Q从点B开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动，设它们的运动时间为t秒． (1)根据题意知：______，______（用含t的代数式表示） (2)经过几秒时，的面积等于4平方厘米？ (3)在运动过程中，的面积能否等于矩形的面积的二分之一？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由． 第4页，共6页 第3页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B C C B B B B B 1．D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程是指含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2次的整式方程． 根据一元二次方程定义逐项判断即可． 【详解】解：A．当时，方程为一元二次方程，所以A选项不符合题意； B． 为二元一次方程，所以B选项不符合题意； C．为分式方程，所以C选项不符合题意； D．为一元二次方程，所以D选项符合题意． 故选：D． 2．C 【分析】本题考查的知识点是由一元二次方程的解求参数，解题关键是熟练掌握由一元二次方程的解求参数． 将方程的根代入原方程即可求出的值． 【详解】解：依题意得：， ． 故选：． 3．B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根据判别式来判断即可，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根． 【详解】解：∵一元二次方程， ∴，，， ∴， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 4．C 【分析】本题主要考查列表法求概率，熟练掌握列表法列出所有等可能结果并运用概率公式计算是解题的关键．通过列表法列出从两名男生（记为男、男）和两名女生（记为女、女）中任选两人的所有可能结果，再找出恰好为一男一女的结果数，最后根据概率公式计算概率． 【详解】解：列表如下： 男 男 女 女 男 - （男，男） （男，女） （男，女） 男 （男，男） - （男，女） （男，女） 女 （女，男） （女，男） - （女，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） - 总共有种等可能的结果，其中恰好为一男一女的结果有种． 所以恰好为一男一女的概率． 故选：C． 5．C 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握知识点的应用．由，D是的中点，得，从而可证是等边三角形，最后根据等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，D是的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故选：C． 6．B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线性质，直角三角形两锐角互余．利用等腰三角形的性质结合直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，为的高， ∴平分，， ∴， ∴， ∵是上的高， ∴， ∵是上的高，且， ∴， ∴， 故选：B． 7．B 【分析】本题考查菱形的性质、直角三角形斜边的中线性质，熟练掌握相关知识是解答的关键． 先根据菱形的性质和勾股定理求得，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， 在中，， 连接，如图： ∵，， ∴． 故选：B． 8．B 【分析】连接，先证四边形，是平行四边形，再证四边形是矩形，根据直角三角形斜边中线的性质得出，结合，可得是等边三角形，由含30度角的直角三角形的性质和勾股定理计算出，再证，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ，F是的中点， ， 又， 四边形是平行四边形， 同理，四边形是平行四边形． 平行四边形中，， 四边形是矩形， ， 又 E是的中点， ， ， ，是等边三角形， ． 四边形是平行四边形， ， ， ， ，F是的中点， ， ， ， ，， ， 又，， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等，涉及知识点较多，难度一般，能够综合应用上述知识是解题的关键． 9．B 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设空白区域的宽度为，根据每幅小矩形照片的面积均为，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设空白区域的宽度为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 空白区域的宽度为， 故选：B． 10．B 【分析】连接，根据正方形的性质和翻折的性质证明，设，利用勾股定理列出方程求解，然后利用底边的比求三角形的面积即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点是边上的中点， ∴， 由翻折的性质得， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得， 即， 解得， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，翻折的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用底边的比求三角形的面积等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质． 11．或， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用直接开平方的方法解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得或， 故答案为：或． 12．2023 【分析】本题考查了一元二次方程的解．先根据一元二次方程根的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是关于的方程的一个根， ， ， ． 故答案为：2023． 13． 【分析】本题考查了利用树状图或列表法求概率，设“”“豆包”“”三个主题分别用表示，根据题意画出树状图即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【详解】解：设“”“豆包”“”三个主题分别用表示， 画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能结果，其中她们恰好选中一个主题的结果有种， ∴她们恰好选中一个主题的概率是， 故答案为：． 14．4 【分析】本题考查了矩形与折叠，等角对等边．由题意知，由折叠的性质可知，，，由长方形，可知，则，，，据此求解作答即可． 【详解】解：由折叠的性质可知，，， ∵长方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 15． 【分析】本题考查等腰三角形底边三线合一及直角三角形斜边中线等于斜边一半，解题关键是作辅助线．连接根据等腰三角形的性质得到，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得到答案． 【详解】解：连接，由题意可得， ，点是的中点， ，即， 点是的中点，， ， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，抓住比赛场数问题的等量关系是解题的关键，每一队需要与其余的个队比赛一场，且参赛的每两个队之间只比赛一场，因此有个队参赛，比赛场数为场，据此列方程即可． 【详解】解：设学校有个队参赛，根据题意，可列方程． 故答案为：． 17．/68度 【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，掌握菱形的四边相等是解题的关键．由菱形的性质可得，，由等腰三角形的性质可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴． 故答案为：． 18． 【分析】由折叠的性质得到，在中，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，在中，设，由勾股定理建立方程求出的长即可得到答案． 本题主要考查了坐标与图形，勾股定理与折叠问题，设，由勾股定理建立方程是解题的关键． 【详解】解：在长方形中，轴，轴， ∵B的坐标为， ∴； ∵点D在x轴的正半轴， 如图所示： 由折叠的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 设， 则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； 故答案为：． 19．(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是： （1）把方程化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可； （2）把方程化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可； 【详解】（1）解∶ ， ， 或， ∴，； （2）解∶， ， 或， ∴，． 20．(1)且 (2)或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的解，根的判别式．对于一元二次方程，当时，有两个不相等的实数根，当时，有两个相等的实数根；当时，没有实数根． （1）根据一元二次方程的定义、根的判别式进行解答即可； （2）先根据题意得出，解方程，得出，，然后分别代入求出m的值即可． 【详解】（1）解：一元二次方程有两个不相等的实数根， 解得：且． （2）解：由（1）知且， 是符合条件的最大整数， ， 方程为，即， 解得：，． 当时，有，解得：； 当时，有，， 或． 21．(1)证明见解析； (2)10 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）如图，首先证明四边形是平行四边形，然后证明，即可解决问题． （2）因为四边形为菱形，得，再结合矩形的对角线相等得，即可作答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：依题意，连接，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴， 由（1）得四边形是矩形， ∴． 22．(1)50人，图见解析 (2)等级C所对应扇形的圆心角的度数 (3)从这3人中随机所选2人中恰好是1男1女的概率为 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用、用树状图或表格求概率； （1）先由成绩优秀的学生人数除以所占百分比求出一共随机抽取的学生人数，然后用抽取学生总人数减去其余组的人数求出等级C人数，据此补全条形统计图 即可解决问题； （2）根据等级C人数所占的百分比乘以，求出等级C所对应扇形的圆心角的度数即可； （3）画树状图，共有6种等可能的结果，其中从这3人中随机所选2人恰好是一男一女的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：本次抽样调查的学生人数为人， 等级C人数是人， 补全条形统计图如下： （2）解：等级C所对应扇形的圆心角的度数； （3）解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中从这3人中随机所选2人中恰好是1男1女的结果有4种， ∴从这3人中随机所选2人中恰好是1男1女的概率为． 23．(1) (2)5元 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．读懂题意，找出数量关系，列出等式是解题关键． （1）设月平均增长率为x，那么3月份销售额为，4月份销售额为，根据题意可列出关于的一元二次方程，解出，再舍去不合题意的解即可； （2）设售价应降低元，那么每天可以卖出千克，每千克的利润为元，然后根据题意可列出关于的一元二次方程，解出，再舍去不合题意的解即可． 【详解】（1）解：设月平均增长率为x，根据题意，得 ． 解得：，（不合题意，舍去）． 答：月平均增长率为． （2）解：设售价应降低y元，根据题意，得 ． 整理得， 解得：，． ∵要尽量减少库存， ∴不合题意，舍去， ， 答：售价应降低5元． 24．(1)四边形是菱形，证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查了正方形的性质、菱形的判定、全等三角形的判定及性质、折叠的性质、勾股定理的应用； （1）由折叠的性质得，再由分别以点C，F为圆心，以，为半径画弧，两弧交于点P，可得，，从而得出四边形是四边相等的四边形，所以四边形是菱形； （2）由折叠的性质得，利用同角的余角相等可得，即可找到三角形全等的条件； （3）连接，由三角形全等和折叠性质可得，，，再结合平行线的性质可得出，从而得出，，最后利用建立方程求解即可. 【详解】（1）解：四边形是菱形，证明如下： ∵正方形沿着折叠，点C落在正方形内部的点F处， ∴， ∵分别以点C，F为圆心，以，为半径画弧，两弧交于点P， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形 （2）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵正方形沿着折叠，点C落在正方形内部的点F处， ∴， ∴，， ∴， 在和中 ∴ （3）解：连接，如图所示， ∵， ∴， 由折叠得，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴或（舍去）， 故的长为 25．(1)厘米；厘米 (2)1或4秒 (3)的面积不能等于矩形的面积的二分之一，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解本题的关键． （1）直接根据题意，列出代数式，即可求解； （2）根据“的面积等于4平方厘米”，列出方程，即可求解； （3）假设经过x秒，的面积等于矩形的面积的二分之一，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意知：厘米，厘米； 故答案为：厘米；厘米； （2）解：∵的面积等于4平方厘米，， ∴， 即， 解得：， 即经过1或4秒时，的面积等于4平方厘米； （3）解：的面积不能等于矩形的面积的二分之一，理由如下： 假设经过x秒，的面积等于矩形的面积的二分之一，根据题意得：， 整理得：， 此时， 所以此方程无解， ∴的面积不能等于矩形的面积的二分之一． 答案第14页，共16页 答案第15页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $期中提升模拟试题 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，学号填写清楚，并认真核准条形 考生禁填： 缺考标记 码上的姓名、学号，在规定位置贴好条形码。 口 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【][/1 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ “、 单选题（请用2B铅笔填涂，每题3分，共30分） 1.[A][B][C][D]2.[A][B][C][D3.[A]B][C][ D 4.[A][B][C][D]5.[A][B][C][D]6.[A][B][C][ D] 7.[A][B][C][D]8.[A][B][C][D]9.[A][B][C][ D 10.[A][B][C][D] 二、填空题（请用2B铅笔填涂，每题3分，共24分) 11 12. 13 16. 17 18 三、解答题（共66分) (56￥)‘[乙 (56￥)07 0=SI-x+,x7(亿) 0=Sz-,E+x)() 搏(8￥)6L ■ ■ 22.(本题9分) 不人数 3 2520 24 16 B C 50 5 2 32% 0 A B D 等级 23.(本题9分) E阁 乙圆 阁 c 8 H (巧01￥)忆 ■ ■ d←H ↓ (乙LΨ)S7 ■