第3章 函数的概念与性质（高效培优复习讲义）数学湘教版2019必修第一册

第三章 函数的概念与性质 复习讲义 教学目标 1.理解函数的概念及表示方法； 2.掌握求定义域的方法；理解掌握区间的概念、表示； 3.掌握求函数解析式的常用方法，会判断两个函数是不是同一个函数； 4.理解掌握分段函数及其定义域，会用图象表示分段函数，从而解决分段函数问题； 5.理解单调性有关概念，掌握定义法判断函数单调性的步骤，掌握单调区间的写法； 6.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义，掌握求最值的方法； 7.理解奇偶性概念，掌握奇偶性判断方法，会求与奇偶函数有关的函数解析式； 8.能处理与函数单调性、奇偶性相关的综合问题. 教学重难点 1、重点：函数概念、性质的理解及应用； 2、难点：抽象函数的单调性、复合函数的单调性、奇偶性与单调性的综合应用； 知识点01 函数的概念 (一)函数概念： 1.函数定义：一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A． (1).直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点． (2).在函数的定义中，非空实数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集． 2.函数的三要素：定义域、解析式、值域. (1)在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域； (2)与的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。 显然，值域是集合B的子集． (3)函数的对应关系(解析式)：. 3.相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等． 4.函数的三种表示方法： 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值． 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势． 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值． 5.区间： (1)一般区间 集合 区间名称 符号表示 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 左闭右开区间 [a，b) {x|a<x≤b} 左开右闭区间 (a，b] (2)特殊区间 集合 区间名称 符号表示 数轴表示 {x|x≥a} [a，＋∞) {x|x>a} (a，＋∞) {x|x≤a} (－∞，a] {x|x<a} (－∞，a) R (－∞，＋∞) 注意：不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示． 【即学即练1】(25-26高一上·河北石家庄·开学考试)如图所示各图中反映了变量是的函数是(   ) A．  B．   C．   D．   【答案】D【难度】0.94【知识点】函数关系的判断 【分析】根据函数的概念，对于任意的都有唯一的与之对应，逐一验证即可. 【详解】根据函数的概念，对于任意的都有唯一的与之对应，故D正确.故选：D. 知识点02 函数的三要素 (一)定义域 1.常见求定义域的限制条件： (1)分式的分母不为零； (2)偶次方根的被开方数大于或等于零： (3)对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； (4)零次幂或负指数次幂的底数不为零； (5)三角函数中的正切的定义域是且； (6)对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域． 2.复合函数的定义域 如果函数y=f(t)的定义域为A, 函数t=g(x)的定义域为B, 值域为C, 则当CA时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在B的复合函数， 其中t 叫做中间变量，t=g(x) 叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数. (1)若已知f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域为不等式a≤g(x)≤b的解集； (2)已知f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为函数y＝g(x)(x∈)的值域. (3)函数f(g(x))的定义域是指x的取值范围，而不是g(x)的取值范围. (二)求函数解析式的常用方法： (1)当已知函数的类型时，可用待定系数法求解； (2)当已知表达式为时，可考虑配凑法或换元法； 若易将含的式子配成，用配凑法。若易换元后求出，用换元法。 (3)若求抽象函数的解析式，通常采用方程组法； (4)求分段函数的解析式时，要注意符合变量的要求； (5)当出现大基团换元转换繁琐时，可考虑配凑法求解； (6)若已知成对出现与或，类型的抽象函数表达式，则常用解方程组法构造另一个方程，消元的方法求出。 (三)分段函数： 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况． (1)分段函数虽由几个部分构成，但它表示同一个函数． (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． (3)各段函数的定义域不可以相交，写分段函数的定义域时，区间端点应不重不漏． (四)求函数值域的常用方法： (1)分离常数法： 将形如()的函数分离常数，变形过程为：， 再结合的取值范围确定的取值范围，从而确定函数的值域. (2)换元法：如：，可令，得到， 从而函数可以化为：， 即关于t的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t的取值范围的限制． (3)基本不等式法和对勾函数 (4)单调性法 (5)求导法 【即学即练2-1】(24-25高一上·广东江门·期中)函数的定义域为(      ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.94【知识点】具体函数的定义域【分析】根据根式函数和分式函数的定义域求法求解. 【详解】由解得且，所以的定义域为.故选：D 【即学即练2-2】(24-25高一上·河北石家庄·期中)函数的值域是(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.94【知识点】复杂(根式型、分式型等)函数的值域 【分析】分离常数可得函数单调性，进而可得值域. 【详解】由已知函数定义域为，且， 则，即，故选：C. 【即学即练2-3】(24-25高一上·全国·课后作业)若是一次函数，，，则(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.94【知识点】已知函数类型求解析式 【分析】设出函数的解析式，再根据给定条件列出方程组，求解作答. 【详解】设，由题设有，解得，所以．故选：B． 知识点03 函数的单调性、最值 一、单调性与最值有关概念 (一).增函数、减函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时都有f(x1)<f(x2)，称函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时都有f(x1)>f(x2)，称函数f(x)在区间D上是减函数 图象 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 注意：，的三个特征 1.任意性：，必须是任意的，不可以随便取两个特殊值； 2.有序性：一般要对和的大小进行规定，通常规定； 3.同区间性：即，同属于一个单调区间． (二).单调性 1.若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性， 2.函数单调性是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题， (三).增函数与减函数形式的等价变形 y＝f(x)在区间D上是增函数⇔对∀x1<x2，都有f(x1)<f(x2)⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔>0； y＝f(x)在区间D上是减函数⇔对∀x1<x2，都有f(x1)>f(x2)⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔<0． (四).单调区间 1.若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间． 2.单调区间D⊆定义域I，故求单调区间时应树立“定义域优先”的原则． 3.遵循最简原则，单调区间应尽可能大； 4.单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示； 5.如有多个单调区间应分开写，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“，”或“和”隔开． 6.单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． (五).函数的最值(值域)概念 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 二、单调性的常见运算性质 (一).单调性的运算 1.增函数（↗）增函数（↗）增函数↗ 2.减函数（↘）减函数（↘）减函数↘ 3.为↗，则:为↘，为↘ 4.增函数（↗）减函数（↘）增函数↗ 5.减函数（↘）增函数（↗）减函数↘ 6.增函数（↗）减函数（↘）未知（导数） 7.函数y＝f(x)与函数y＝f(x)＋C(C为常数)具有相同的单调性． 8.若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反． 9.在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)＞0)与和具有相同的单调性． 10.若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数． 11.若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，且f(x)＞0，g(x)＞0，则f(x)•g(x)也是区间A上的增(减)函数． (二).复合函数的单调性： 1.函数是由与复合而成(在公共定义域内)； 其中：称为外函数，称为内函数； 2.复合函数单调性判断：“同增异减”． (1)内函数（↗）外函数（↗），则复合函数（↗）； (2)内函数（↘）外函数（↘），则复合函数（↗）； (3)内函数（↗）外函数（↘），则复合函数（↘）； (4)内函数（↘）外函数（↗），则复合函数（↘）； 三、函数值域求法 1.利用单调性求最值：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域)． (1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)． (2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)． (3)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值． 2.图象法求最值：作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域． (1)分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域． (2)的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中， 然后确定靠下(或靠上)的部分为该函数的图象，从而利用图象求得函数的值域． 3.换元法求最值： (1)在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围． (2)换元的作用有两个： ①通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的． ②可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理 4.分离常数法求最值：形如或（，至少有一个不为零）的函数，可用此法. 以为例，解题步骤如下： 第一步，用分子配凑出分母的形式，将函数变形成的形式， 第二步，求出函数在定义域范围内的值域，进而求出的值域。 5.判别式法：主要用于含有二次的分式函数，形如：的函数，可用此法. 将函数式化成关于x的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数y的取值范围，即得函数的值域。 应用判别式法时必须考虑原函数的定义域，并且注意变形过程中的等价性。 另外，此种形式还可使用分离常数法解法。 6.导数法求最值：对可导函数求导，令，求出极值点，判断函数的单调性： (1)如果定义域为闭区间，额函数的最值一定取在极值点处或区间端点处； (2)如果定义域是开区间且函数存在最值，则函数最值一定取在极值点处。 三、对勾函数与飘带函数 (一).对勾函数：f(x)＝ax＋(ab＞0) (1)当a＞0，b＞0时，f(x)在(－∞，－]，[，＋∞)上是增函数，在[－，0)，(0，]上是减函数； (2)当a＜0，b＜0时，f(x)在(－∞，－]，[，＋∞)上是减函数，在[－，0)，(0，]上是增函数； (二).飘带函数：f(x)＝ax＋(ab＜0) (1)当a＞0，b＜0时，f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数； (2)当a＜0，b＞0时，f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是减函数； 【即学即练3-1】(23-24高一上·福建泉州·阶段练习)函数的单调减区间是(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.94【知识点】求函数的单调区间【分析】画出函数图象，即可求解单调区间. 【详解】，画出的图象如下： 由图象可知：的单调减区间为，故选：A 【即学即练3-2】(24-25高一上·全国·课后作业)函数，，则的最大值为 ，最小值为 . 【答案】/；－1【难度】0.85 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域 【分析】先判断函数在的单调性，然后利用函数的单调性可求得函数的最值. 【详解】任取，且，则， 因为，所以，， 所以，即，所以在上递减， 所以，.故答案为：，－1 知识点04 函数的奇偶性 一、函数的奇偶性概念 定义 图象特点 偶函数 对于定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 对于定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 二、奇偶性的运算 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 奇函数 三、函数奇偶性常用结论 1.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件． 2.若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下： (1)f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔＝－1. (2)f(x)为偶函数⇔f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔＝1. 3.如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0. 4.如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． 5.在关于原点对称的区间上：奇函数具有相同的单调性；偶函数具有相反的单调性． 6.若y＝f(x＋a)是奇函数⇔f(x)关于点(a,0)对称； 若y＝f(x＋a)是偶函数⇔f(x)关于直线x=a对称． 7.奇函数的最值：若奇函数f (x)在区间D上有最值，则; 8.若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式. 即，其中：； 四、常见的奇偶函数 1.为偶函数； 2.为奇函数； 3.为奇函数； 4.为奇函数； 5.为奇函数； 6.为偶函数； 7.为奇函数； 【即学即练4】(24-25高一下·山西大同·阶段练习)下列函数中是奇函数的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.94【知识点】函数奇偶性的定义与判断 【分析】利用函数的奇偶性的定义依次判断即可. 【详解】对A，函数定义域为，关于原点对称， ，不满足，故A不符合题意； 对B，函数定义域为，关于原点对称， ，不满足，故B不符合题意； 对C，函数定义域为，关于原点对称， ，满足，故C符合题意； 对D，函数定义域为，关于原点对称， ，不满足，故D不符合题意.故选：C. 知识点05 函数的图象 函数图象变换 1.平移变换 ①把函数的图像沿轴向左平移个单位得到函数的图像； ②把函数的图像沿轴向右平移个单位得到函数的图像； ③把函数的图像沿轴向上平移个单位得到函数的图像； ④把函数的图像沿轴向下平移个单位得到函数的图像； 2.函数自身的对称变换 (1)如果f(x＋a)＝f(b－x)⇔y＝f(x)关于直线x＝对称． (2)若y＝f(x)关于直线x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(2a－x)＝f(x)f⇔(2a＋x)＝f(－x) (3)若y＝f(x)关于点(a，b)对称 ⇔ f(a＋x)＋f(a－x)＝2b ⇔ f(2a－x)+f(x)=2b ⇔ f(2a＋x)+f(－x)=2b (4)若y＝f(x)关于点(a，0)对称 ⇔ f(a＋x)＝－f(a－x) ⇔ f(2a－x)＝－f(x) ⇔ f(2a＋x)＝－f(－x) 3.两个函数之间的对称变换 (1)函数f(x)与函数的图像关于轴对称； (2)函数f(x)与函数的图像关于轴对称； (3)函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线对称； (4)函数f(x)与的图象关于直线x＝a对称； (5)函数f(x)与函数的图像关于坐标原点对称； (6)函数f(x)与＝2b－f(－x)的图象关于点(0，b)对称； (7)函数f(x)与＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称； (8)函数与其反函数图像关于直线对称； 4.翻折变换 (1)的图像是将函数的图像保留轴上方的部分不变，将轴下方的部分关于轴对称翻折上来得到的（如图（a）和图（b））所示 (2)的图像是将函数的图像只保留轴右边的部分不变，并将右边的图像关于轴对称得到函数左边的图像即函数是一个偶函数（如图（c）所示）. 5.伸缩变换 ①将上每一点的纵坐标伸长或缩短到原来的倍得到. ②将上每一点的横坐标伸长或缩短到原来的倍得到. 【即学即练5】(23-24高一上·北京·期中)函数的单调递减区间是 ． 【答案】【难度】0.85【知识点】画出具体函数图象、根据图像判断函数单调性 【分析】根据绝对值的性质作出函数图象，即可得函数单调区间. 【详解】的图象即为图象位于x轴下方部分对折至x轴上方，其余部分不变， 据此可得函数的图象，如图所示： 由图可知函数的单调递减区间是.故答案为：. 题型01 函数概念辨析 【典例1-1】(24-25高一上·陕西·期末)下列图象中，可以表示函数的为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.94【知识点】函数关系的判断【分析】根据函数的定义判断. 【详解】选项A，C，D的函数图象中存在，对应多个不同的函数值，故不可以表示函数，故B正确. 故选：B. 【典例1-2】(24-25高一上·四川广安·开学考试)清代诗人高鼎在《村居》中写道：“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．在儿童从学校放学回到家，再到田野这段时间内，下列图象中能大致刻画儿童离家距离与时间关系的是( ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】函数关系的判断、函数图像的识别 【分析】根据条件描述得离家距离是先减少后增加，则得到答案. 【详解】因为横坐标为时间，纵坐标为离家距离， 条件描述为儿童从学校放学回到家，再到田野这段时间内， 则离家距离是先减少后增加，故C正确.故选：C. 【典例1-4】(多选)(24-25高一上·河北邯郸·期末)已知集合且，集合且，下列图象能作为集合到集合的函数的是(    ) A． B． C． D． 【答案】CD【难度】0.94【知识点】函数关系的判断【分析】依次判断选项中函数图像对应的定义域是否为且，且每一个自变量是否都有唯一确定的值在集合且中与之对应，或者根据已知判断图象与轴的相对位置关系、图象是否连续得出结论即可. 【详解】解法一：图A中函数是集合且到且的函数，故A错误； 图B中函数是集合且到且的函数，故B错误； 图C中函数是集合且到且的函数，故C正确； 图D中函数是集合且到且的函数，故D正确；故选：CD． 解法二：图A中函数与轴有交点，即存在使，但实际上，故选项A错误； 图B中函数在上是连续的，所以在定义域内，而，故选项B错误； 而CD中的函数的定义域和值域均符合题设要求，故选：CD． 【典例1-3】(24-25高一上·湖南长沙·期中)已知集合，，给出下列四个对应关系：①，②，③，④，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是(    ) A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】D【难度】0.85【知识点】函数关系的判断【分析】由函数的定义一一判断即可. 【详解】对于①，当时，，故①不正确； 对于②，当时，，故②不正确； 对于③，当时，，当时，，故③正确； 对于④，当时，，当时，，故④正确.故选：. 【变式1-1】(25-26高一上·全国·课前预习)下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是(   ) A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【答案】B【难度】0.85【知识点】函数关系的判断【分析】根据函数的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，但是没有意义，故A错误； 对于B，因为对于任意一个实数，都有唯一确定的实数与其对应，符合函数的定义，故B正确； 对于C，显然，此时，有两个不同的实数与之对应，不满足唯一性，故C错误； 对于D，因为集合是自然数集，，但是，所以不是的函数，故D错误．故选：B. 【变式1-2】(24-25高一上·上海·阶段练习)若函数的定义域和值域分别为和，则组成函数的个数是( ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D【难度】0.85【知识点】函数关系的判断【分析】根据函数的定义即可求解. 【详解】由题意知：在集合A中有两个自变量取值对应集合B中的同一个值，另一个自变量取值对应剩余的值， 从集合A中的三个元素取出2个元素，共有3种选择，((1，2)，(1，3)，(2，3)) 从集合B中的2个元素取出1个元素，共有2种选择， 因此满足题意的函数共有个，故选：D. 【变式1-3】(24-25高一上·全国·课后作业)给定集合，，则下列不能表示从集合到集合的函数的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】函数关系的判断【分析】根据函数的概念判断各选项即可. 【详解】对于A，，，， 且对集合中每一个元素，在集合中有唯一确定的元素与其对应， 故A能表示从集合到集合的函数； 对于B，，，， 且对集合中每一个元素，在集合中有唯一确定的元素与其对应， 故B能表示从集合到集合的函数； 对于C，，，， 且对集合中每一个元素，在集合中有唯一确定的元素与其对应， 故C能表示从集合到集合的函数； 对于D，当时，无意义，所以D不能表示从集合到集合的函数.故选：D. 【变式1-4】(23-24高一上·贵州贵阳·阶段练习)设是含数3的有限实数集，是定义在上的函数，若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，的可能取值只能是(    ) A． B．3 C．-3 D．0 【答案】A【难度】0.65【知识点】函数关系的判断 【分析】构造图象，根据已知推得点的坐标，看是否满足函数概念，即可得出答案. 【详解】对于A项，若，则构造如图1的函数图象，使得点， 根据定义可得图象上不存在关于轴对称的点，符合函数的定义，所以的取值可能是.故A正确；    对于B项，若，构造如图2的函数图象，使得点，根据定义可推得点， 所以有，不符合函数的定义，故B错误；   对于C项，若，构造如图3的函数图象，使得点，根据定义可推得点， 所以有，不符合函数的定义，故C错误；    对于D项，若，构造如图4的函数图象，使得点，根据定义可推得则点， 所以.又，所以，不符合函数的定义，故D错误.故选：A. 【变式1-5】(多选)(25-26高一上·山东德州·开学考试)若，，下列对应关系或关系式是集合A到B的函数的有(   ) A．，，f：； B．，，f：； C．，，f： D．A与B的对应关系如图所示： 【答案】AD【难度】0.65【知识点】函数关系的判断【分析】根据函数的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，由于实数包含所有的整数，故A中的每个元素在B中都有唯一的元素与之对应，符合函数的定义，故A正确； 对于B，当在A中取非整数的元素时，在集合B中没有元素与之对应，不符合函数的定义，故B错误； 对于C，若取，则有，从而有2个和一个对应，不符合函数的定义，故C错误； 对于D，由图知对于A中所有元素，在集合B中都有唯一元素与之对应，符合函数的定义，故D正确. 故选：AD. 【变式1-6】(23-24高一上·湖北武汉·期中)写出一个定义域为，值域为的函数 ． 【答案】(答案不唯一)【难度】0.65 【知识点】函数关系的判断、具体函数的定义域、常见(一次函数、二次函数、反比例函数等)的函数值域 【分析】结合反比例函数模型得到定义域为，值域为的函数解析式. 【详解】因为定义域为，值域为，关于对称， 所以函数定义域为，值域为， 结合反比例函数模型可得，故答案为：(答案不唯一) 题型02 函数的定义域 【典例2-1】(25-26高一上·全国·单元测试)函数的定义域是(   ) A． B． C．且 D．且 【答案】C【难度】0.94【知识点】具体函数的定义域【分析】利用根式和分式有意义列式求解即可. 【详解】由题意可得解得且，故的定义域为且，故选：C 【典例2-2】(24-25高三下·云南昭通·期中)函数的定义域为(　　) A．或 B．或 C． D． 【答案】C【难度】0.94【知识点】具体函数的定义域、分式不等式 【分析】根据二次根号下非负结合分式不等式的解法可求函数的定义域. 【详解】由，可得， 即，解得，即函数的定义域为，故选：C． 【典例2-3】(25-26高一上·全国·课后作业)已知集合，则(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、交集的概念及运算、常见(一次函数、二次函数、反比例函数等)的函数值域 【详解】由得，即，由，得， 所以． 【典例2-4】(24-25高一上·全国·课后作业)函数 的定义域是(    ) A．或 B．或   C．或 D． 或 【答案】B 【难度】0.65【知识点】具体函数的定义域 【分析】根据偶次根式函数有意义列不等式求解定义域. 【详解】由题意，可得，即， 即，解得或.故选：B． 【典例2-5】(24-25高一上·宁夏银川·期中)若函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 【答案】【难度】0.65【知识点】具体函数的定义域、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】根据分式不等式及偶次根式有意义，再结合函数定义域即可转化 为不等式恒成立问题，利用一元二次不等式的性质即可求解. 【详解】由题意可知，函数的定义域为， 所以不等式在上恒成立. 当时， 在上恒成立， 当时，则满足，解得， 综上，实数的取值范围是.故答案为： 【变式2-1】(24-25高一下·广东汕头·阶段练习)若有意义，则实数的取值范围是( ) A．或 B．或 C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】具体函数的定义域、解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据二次根式被开方数为非负数进行求解即可. 【详解】由有意义，得：，解得：或.故选：A 【变式2-2】(25-26高一上·全国·课前预习)下列函数中，定义域为的是(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】具体函数的定义域【分析】由具体函数的定义域求法即可解答. 【详解】函数的定义域为，A正确；由知的定义域为，B错误； 对于C，D，易知的定义域为，C，D错误．故选：A. 【变式2-3】(24-25高一上·江苏无锡·期中)函数的定义域为(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】具体函数的定义域、解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据代数式有意义的条件列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】因为，所以， 所以函数的定义域为，故选：C． 【变式2-4】(多选)(24-25高一上·黑龙江鹤岗·期中)使函数的定义域是的一个充分不必要条件的是(   ) A． B． C． D． 【答案】AB【难度】0.65 【知识点】根据充分不必要条件求参数、具体函数的定义域、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】转化为不等式恒成立问题，根据一元二次不等式的解法可得. 【详解】若函数的定义域是，则恒成立， 当时，恒成立； 当时，则，解得. 综上，函数的定义域是的充要条件为， 所以函数的定义域是的充分不必要条件为的真子集. 结合选项可知，选项AB符合题意.故选：AB 【变式2-5】(多选)(24-25高一上·江苏扬州·期中)下列说法正确的有(    ) A．函数的定义域是 B．“”是“关于的方程有一正根和一负根”的充要条件 C．“”是“”的必要条件 D．已知集合，，全集，若，则实数的取值集合为 【答案】BD【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、具体函数的定义域、必要条件、充要条件的证明 【分析】求出定义域判断A；利用充要条件的定义推理判断B；利用必要条件的定义判断C；由求出的取值集合判断D. 【详解】对于A，由，得，原函数定义域为，A错误； 对于B，有一正一负根，则，解得， 因此“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，B正确； 对于C，取，，满足，而不成立， 则“”不是“”的必要条件，C错误； 对于D，，由，得， 若，即，满足，则； 若，，满足，则，解得； 若，，满足，则，解得， 所以实数的集合为，D正确. 故选：BD 【变式2-6】(2024·河南信阳·一模)已知不等式的解集为，则函数的定义域为 . 【答案】【难度】0.65 【知识点】具体函数的定义域、解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据题意，得到和是方程的两个根，列出方程组，求得的值，得出函数，结合函数的解析式有意义，列出不等式，即可求解. 【详解】由不等式的解集为， 可得和是方程的两个根，且， 则，解得，所以函数， 要使得函数有意义，则满足， 即，解得，所以函数的定义域为.故答案为：. 【变式2-7】(23-24高一上·广东广州·期中)函数的定义域为 . 【答案】【难度】0.65【知识点】具体函数的定义域 【分析】根据根式函数中大于等于0、分式函数中分母不为0及零次幂中底数不等于0列式求解即可. 【详解】由题意知，，解得且， 故函数的定义域为.故答案为：. 【变式2-8】(24-25高一上·天津静海·阶段练习)已知函数的定义域是R，则的取值范围是 . 【答案】【难度】0.65【知识点】具体函数的定义域、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】通过和两类情况讨论即可. 【详解】当时，可得或， 当时，符合题意； 当时，，显然不符合题意. 当时，由于定义域为R，可得，解得：， 综上所述：的取值范围是；故答案为： 题型03 复合函数的定义域 【典例3-1】(24-25高二下·福建泉州·期末)已知函数的定义域为，则函数的定义域为(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】具体函数的定义域、复合函数的定义域 【分析】根据定义域的概念得到中的范围，再由分母有意义得到分母中的范围，取交集即可得到的定义域. 【详解】要使有意义，则解得，所以的定义域为；故选：C. 【典例3-2】(23-24高一上·安徽蚌埠·期末)函数的定义域为，则函数的定义域为(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】抽象函数的定义域、复合函数的定义域 【分析】由函数的定义域，得即的定义域，再整体代入求函数的定义域. 【详解】函数的定义域为，由，有，即函数的定义域为， 令，解得，函数的定义域为.故选：C 【典例3-3】(25-26高一上·吉林·期中)已知函数的定义域为，则函数的定义域为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】抽象函数的定义域、复合函数的定义域 【分析】依题意有，解不等式即可． 【详解】函数的定义域为，则对于函数， 应有，解得，故的定义域为．故选：B． 【典例3-4】(23-24高一上·天津北辰·期中)设函数，则的定义域为 ． 【答案】【难度】0.65【知识点】具体函数的定义域、抽象函数的定义域 【分析】确定函数的定义域为，再根据抽象函数的定义域计算得到答案. 【详解】函数的定义域满足：，故， 的定义域满足：，解得，故定义域为.故答案为： 【变式3-1】(24-25高二下·吉林·期末)已知函数的定义域为，则函数的定义域为(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】抽象函数的定义域、复合函数的定义域 【分析】先求出的定义域，再结合，从而可求解. 【详解】由函数的定义域为，有意义，则得，解得， 有意义，需满足且，即且， 所以函数的定义域为.故选：B. 【变式3-2】(24-25高二上·广东阳江·阶段练习)函数的定义域为，则函数的定义域为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】抽象函数的定义域 【分析】由函数的定义域求得函数的定义域，然后求函数的定义域即可. 【详解】的定义域为，由，得，因此的定义域为， 所以函数的自变量满足且，得， 即函数的定义域为.故选：B 【变式3-3】(24-25高一上·辽宁鞍山·期中)已知函数的定义域为，则的定义域为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】抽象函数的定义域 【分析】通过中间函数过渡，即求出的定义域后可求． 【详解】在中，，∴，∴的定义域是， 故在中，解得，∴的定义域是.故选：A. 【变式3-4】(多选)(23-24高一上·四川成都·期中)若函数的定义域为，则下列选项是函数 的定义域的真子集的有(    ) A． B． C． D． 【答案】CD【难度】0.85【知识点】判断两个集合的包含关系、具体函数的定义域、抽象函数的定义域 【分析】依题意可得，即可求出的定义域，再判断即可. 【详解】因为函数的定义域为， 对于函数，则，解得且，所以 的定义域为， 则函数 的定义域的真子集有，.故选：CD 【变式3-5】(24-25高一上·四川广安·开学考试)已知函数的定义域是，则的定义域是 ． 【答案】【难度】0.85【知识点】抽象函数的定义域 【分析】由题意可得，解出即可. 【详解】由函数的定义域是，则对，有，解得， 故的定义域是.故答案为：. 【变式3-6】(23-24高二上·陕西西安·阶段练习)若函数的定义域为，则的定义域为 ． 【答案】【难度】0.65【知识点】具体函数的定义域、抽象函数的定义域 【分析】根据抽象函数定义域的求法及分式的分母不为0求解. 【详解】因为函数的定义域为，所以， 所以要使函数有意义，则，即，解得， 所以函数的定义域为.故答案为：. 题型04 函数的值域 【典例4-1】(2024·陕西西安·二模)已知集合，，则( ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.94【知识点】常见函数值域、交集的概念及运算 【分析】求得两函数的值域，利用交集的定义计算即可. 【详解】因为，所以，，所以， 所以.故选：A. 【典例4-2】(23-24高一上·重庆云阳·阶段练习)函数的值域为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.94【知识点】复杂(根式型、分式型等)函数的值域 【分析】分离常数后，得到函数值域. 【详解】， 因为，所以，故值域为．故选：D 【典例4-3】(23-24高一上·江苏苏州·期中)函数的值域为(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85 【知识点】常见(一次函数、二次函数、反比例函数等)的函数值域、复杂(根式型、分式型等)函数的值域 【分析】令，，可得，利用函数单调性求值域. 【详解】令，，则，所以函数， 函数在上单调递增，时，有最小值， 所以函数的值域为.故选：C 【典例4-4】(23-24高一上·浙江·阶段练习)函数的值域为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85 【知识点】常见(一次函数、二次函数、反比例函数等)的函数值域、复杂(根式型、分式型等)函数的值域 【分析】分离参数后，利用二次函数的性质求解最值，即可结合不等式的性质求解. 【详解】由可得， 由于函数，所以，故，故选：B 【变式4-1】(24-25高一上·上海·随堂练习)函数，的值域为(    )． A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.94【知识点】复杂(根式型、分式型等)函数的值域 【分析】由，得，再代入运算即可. 【详解】由，得，所以．故选：C. 【变式4-2】(24-25高一上·辽宁朝阳·期末)函数的值域为(   ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】复杂(根式型、分式型等)函数的值域 【分析】换元法，令，得到，从而得到函数值域. 【详解】令，则，则， 故当时，取得最大值，最大值为， 所以的值域为.故选：D 【变式4-3】(2024高三·全国·专题练习)已知定义在上的函数的值域为，则函数的值域为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】复杂(根式型、分式型等)函数的值域 【分析】根据题意求出的定义域，进而可得其值域. 【详解】因为的定义域为，所以的定义域也为 ∵函数的图象是由函数的图象平移得到， ∴函数的值域与函数的值域相同，即为，故选：D． 【变式4-4】(24-25高一下·吉林四平·开学考试)取整函数不超过x的最大整数，如，已知函数，则函数的值域是(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】复杂函数的值域、基本不等式求和的最小值、函数新定义 【分析】分类讨论和三种情况，利用基本不等式求得的取值范围，进而利用取整函数的定义即可得解. 【详解】因为， 当时，； 当时，， 又，当且仅当，即时取等号，所以或2； 当时，，又，当且仅当，即时取等号，所以或1， 综上，得的值域为；故选：C. 【变式4-5】(24-25高一上·湖南·期中)函数的值域为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65 【知识点】复杂(根式型、分式型等)函数的值域、基本不等式求和的最小值、分段函数的值域或最值 【分析】当时，由换元法结合二次函数值域即可得到结果，当时，由基本不等式即可得到其值域. 【详解】根据题意，当时，，令，可得， 所以，因此可得， 由二次函数性质可得，当时，取得最大值，此时； 当时，，当且仅当，即时，等号成立； 所以的最小值为20，因此； 综上可得，函数的值域为.故选：A. 【变式4-6】(多选)(23-24高三上·湖南·阶段练习)已知函数的定义域和值域均为，则(    ) A．函数的定义域为 B．函数的定义域为 C．函数的值域为 D．函数的值域为 【答案】ABC【难度】0.65【知识点】抽象函数的定义域、抽象函数的值域 【分析】根据抽象函数的定义域列不等式求解判断AB；求出抽象函数的值域判断CD. 【详解】函数中的x需满足，解得， 故函数的定义域为，故A正确； 函数中的x需满足解得，故函数的定义域为，故B正确； 函数和的值域都为，故C正确，D错误．故选：ABC． 题型05 已知函数值域求参数或其范围 【典例5-1】(24-25高一上·上海·阶段练习)已知，若函数的值域为，则的取值范围是 ． 【答案】【难度】0.85【知识点】复杂(根式型、分式型等)函数的值域、根据值域求参数的值或者范围 【分析】根据给定条件，求出函数值域包含的范围即可. 【详解】由函数的值域为，得函数值域包含， 则，解得，所以的取值范围是.故答案为： 【典例5-2】(23-24高一上·福建福州·阶段练习)已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】根据值域求参数的值或者范围、二次函数的图象分析与判断 【分析】结合二次函数知识及题意画出图形，数形结合可得答案． 【详解】结合题意：函数 所以图象是开口向上的抛物线,其对称轴方程为，所以，易知：， 由图知,要使的定义域是，值域为，则的取值范围是，故选：B. 【典例5-3】(23-24高一上·福建龙岩·期末)已知函数，若的值域为，则实数的取值范围(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】根据值域求参数的值或者范围、根据二次函数的最值或值域求参数、根据分段函数的值域(最值)求参数 【分析】首先分析函数的取值情况，从而判断，再结合得到，再分和两种情况讨论，当时结合函数在上的单调性，得到，从而求出的取值范围. 【详解】对于函数，当时，，当时，， 而，即有，依题意，，又，解得，则； 当时，函数在上的取值集合为，不符合题意， 当，函数在上单调递增， 则，所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：A 【典例5-4】(多选)(24-25高一上·四川绵阳·期末)若，函数的值域是，且，则下列结论中正确的是(    ) A． B． C．若，则 D． 【答案】ABD【难度】0.85【知识点】根据值域求参数的值或者范围、基本不等式求和的最小值 【分析】根据二次函数的值域性质，结合基本不等式逐一判断即可. 【详解】当时，，显然此时函数的值域不是，不符合题意； 当时，，对称轴为， 因为二次函数的值域是，且， 所以有，因此选项AB正确， 若且，所以由二次函数的对称性可得，因此选项C不正确； 由，因为，当且仅当时取等号，所以选项D正确， 故选：ABD 【变式5-1】(23-24高一上·四川广安·期中)若函数的值域为，则实数m的取值范围是(    )． A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】根据值域求参数的值或者范围、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】根据题意由二次函数值域利用判别式即可求得实数m的取值范围. 【详解】因为函数的值域为， 所以能取遍所有大于或等于零的实数， 即方程在实数范围内有解． 所以，解得．故选：B． 【变式5-2】(23-24高一上·山东济南·期中)已知函数的定义域与值域均为，则实数的取值为(    ) A．-4 B．-2 C．1 D．-1 【答案】A【难度】0.85 【知识点】根据值域求参数的值或者范围、根据二次函数的最值或值域求参数、已知函数的定义域求参数 【分析】依题意知的值域为，则方程的两根为或，可得，，从而确定当时，取得最大值为，进而解得. 【详解】依题意，的值域为，且的解集为， 故函数的开口向下，，则方程的两根为或， 则，，即，则， 当时，取得最大值为，即，解得：.故选：A. 【变式5-3】(23-24高三上·江苏南通·开学考试)已知函数，的值域是，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85 【知识点】根据值域求参数的值或者范围、求二次函数的值域或最值、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】画出函数图象，根据二次函数性质和图象可得值域为时，实数的取值范围是. 【详解】画出函数的图象，如下图所示： 易知，；若时的值域是，由图可知.故选：C 【变式5-4】(多选)(23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中)若函数的值域为，则的可能取值为(    ) A． B． C． D．0 【答案】BCD【难度】0.85【知识点】根据值域求参数的值或者范围 【分析】对进行分类讨论，结合判别式求得的取值范围. 【详解】①时，，值域为，满足题意； ②时，若的值域为，则； 综上，．故选：BCD 【变式5-5】(2024·辽宁·模拟预测)函数的值域是，则实数的取值范围是 . 【答案】【难度】0.85【知识点】复杂(根式型、分式型等)函数的值域 【分析】该函数的值域为,，从而函数和轴存在公共点，从而判别式，解该不等式即可得出实数的取值范围． 【详解】根据题意知，函数可以取到0；函数和轴有交点； ；解得，或；实数的取值范围为：．故答案为：． 【变式5-6】(2024高三·全国·专题练习)已知函数的值域为，则k的取值范围是 ． 【答案】【难度】0.85【知识点】复杂(根式型、分式型等)函数的值域、根据值域求参数的值或者范围【分析】问题等价于函数的值域包含，利用二次函数的性质求解即可. 【详解】函数的值域为，则函数的值域包含， ∴，且，解得．故答案为：． 题型06 函数的解析式 【典例6-1】(2023高一·全国·专题练习)二次函数的图象的顶点为，对称轴为y轴，则二次函数的解析式可以为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.94【知识点】已知函数类型求解析式、求二次函数的解析式 【分析】设出二次函数解析式，代入点，求出解析式，判断出正确答案. 【详解】由题意得，设二次函数解析式为， 将代入解析式，可得，故二次函数的解析式为， 故可以为，其他均不合要求.故选：B 【典例6-2】(2025高二·全国·专题练习)已知，则(   ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】已知f(g(x))求解析式【分析】利用配凑法即可解答. 【详解】因为，， 所以.故选：D. 【典例6-3】(24-25高一·全国·假期作业)若函数，则(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.94【知识点】已知f(g(x))求解析式【分析】利用整体法求函数的解析式. 【详解】依题意，，而， 所以．故选：D. 【典例6-4】(23-24高一上·湖南衡阳·期中)函数满足若，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】已知f(g(x))求解析式 【分析】对的式子适当变形，即可直接求出. 【详解】因为， 所以，则.故选：A. 【变式6-1】(24-25高一上·福建福州·期中)若函数是二次函数，满足，则=(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】已知函数类型求解析式、求二次函数的解析式 【分析】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案. 【详解】设()，由，则， 由，则， 整理可得，则，解得，所以.故选：B. 【变式6-2】(24-25高二下·辽宁鞍山·期末)已知，则(   ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.65【知识点】基本不等式求和的最小值、已知f(g(x))求解析式 【分析】由配凑法结合基本不等式求出的范围即可得解. 【详解】因为， 且，或，当且仅当即时取等. 所以.故选：D. 【变式6-3】(24-25高一上·江苏连云港·期中)已知函数，且函数的定义域为，则(   ) A．， B．， C．， D．， 【答案】D【难度】0.65【知识点】已知f(g(x))求解析式、复合函数的定义域 【分析】根据配凑法求出的解析式，并求出定义域判断得解. 【详解】由，则， 又函数的定义域为，即，， 所以函数的定义域为.故选：D. 【变式6-4】(23-24高一上·上海·期中)已知存在函数和使得函数的定义域为，且表达式为，则的表达式不可能为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.4【知识点】函数关系的判断、已知f(g(x))求解析式 【分析】根据函数的定义可以判断选项A不可能；根据求解析式的方法可以判断选项B、C、D可能. 【详解】对于选项A，当时，. 由可得，;与函数定义矛盾，所以选项A不可能. 对于选项B，当时，令，，. 因为函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递增. 所以函数在区间上单调递增.故，即.因为; 所以，即，此时的定义域为.故选项B可能. 对于选项C，当时，由可得，则 ，此时的定义域为.故选项C可能. 对于选项D，当时，由可得，则 ，此时的定义域为.故选项D可能.故选：A. 【点睛】方法点睛：本题主要考查函数解析式的求法，属于难题.常见函数解析式的求法为： (1)待定系数法：已知函数类型，可设出函数的解析式，再代入条件，求出参数，即可确定函数解析式； (2)换元法与凑配法：已知解析式，求的解析式； (3)解方程组消元法：已知与、或、或的关系，一般成对出现； (4)奇偶性法：已知函数的奇偶性和函数在0某一侧的解析式，求函数在定义域上的解析式； (5)赋值法：对抽象函数，根据具体的题目灵活的选择合适的值进行赋值. (6)反函数法：根据反函数的概念. 【变式6-5】(24-25高三下·江西南昌·阶段练习)已知方程(且)，且，则的解为 ． 【答案】【难度】0.65【知识点】已知f(g(x))求解析式 【分析】利用构造方程组的方法求得，从而得，即可得解. 【详解】∵(且)………①， 易知①中的x与取值范围相同， 于是将①中的x代得， 整理得：(且)………②， 再将①中的x代替得,整理得(且)………③ 可消去项得到： 则(且)，由此，解得. 故答案为：． 【变式6-6】(24-25高一上·全国·课后作业)已知函数，则 ． 【答案】(且)【难度】0.65【知识点】已知f(g(x))求解析式【分析】运用换元法求解即可. 【详解】由于，(且)，则， 所以,且，所以(且)．故答案为：(且)． 题型07 分段函数 【典例7-1】(24-25高一上·贵州毕节·期末)已知函数，则(    ) A．2 B．1 C． D．0 【答案】D【难度】0.94【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、求分段函数值 【分析】根据分段函数的解析式计算直接得出结果. 【详解】由题意知，，，所以.故选：D 【典例7-2】(25-26高一上·全国·单元测试)设已知函数，则(   ) A． B．0 C．6 D．9 【答案】D【难度】0.65【知识点】求分段函数解析式或求函数的值 【分析】依题意得，再根据分段函数求值即可. 【详解】令，解得，则 因此8，故．故选：D. 【典例7-3】(多选)(24-25高一上·江苏淮安·期中)已知函数的值域为，那么的取值可以是(    ). A． B． C． D． 【答案】AB【难度】0.65【知识点】根据分段函数的值域(最值)求参数 【分析】求出函数在的值域，可知函数在上的值域包含，可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 当时，，即函数在的值域为， 由于函数的值域为， 则函数在上的值域包含， 所以，，解得，故选：AB. 【变式7-1】(25-26高三上·广西柳州·开学考试)已知函数，则(   ) A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C【难度】0.94【知识点】求分段函数值【分析】根据给定的分段函数，分段判断代入计算得解. 【详解】函数，则.故选：C 【变式7-2】(2025高一上·北京·专题练习)在一条笔直的公路上有A、B、C三地，C地位于A、B两地之间，甲车从A地沿这条公路匀速驶向C地，乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地．在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车各自与C地的距离y(km)与甲车行驶时间t(h)之间的函数关系如图所示．下列结论正确的有 ①甲车出发2h时，两车相遇;②乙车出发1.5h时，两车相距170km;③乙车出发2h时，两车相遇 ④甲车到达C地时，两车相距40km 【答案】②③④【难度】0.65【知识点】一次函数的图像和性质、分段函数模型的应用 【分析】观察函数图象可知，当时，两函数图象相交，结合交点代表的意义，即可得出结论①错误；根据速度＝路程÷时间分别求出甲、乙两车的速度，再根据时间＝路程速度和可求出乙车出发时，两车相距，结论②正确；根据时间路程速度和可求出乙车出发时，两车相遇，结论③正确；结合函数图象可知当甲到地时，乙车离开地小时，根据路程速度时间，即可得出结论④正确． 【详解】观察函数图象可知，当时，两函数图象相交，∵C地位于A、B两地之间， ∴交点代表了两车离C地的距离相等，并不是两车相遇，结论①错误； 甲车的速度为，乙车的速度为， ∵，∴乙车出发时，两车相距，结论②正确； ∵，∴乙车出发时，两车相遇，结论③正确； ∵，∴甲车到达C地时，两车相距，结论④正确；故答案为：②③④ 【变式7-3】(2025高三·全国·专题练习)Dirichlet函数是近代分析学的重要研究对象，在微积分中有着非常广泛应用．已知Dirichlet函数的定义为若，则可以是(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.65【知识点】分段函数的性质及应用、函数新定义 【分析】对于ABC，依次取，，即可逐一判断各个选项；对于D，分是无理数、有理数讨论即可判断. 【详解】若，当时，取，则，此时，A错误； 若，当时，取，则，此时，B错误； 若，当时，取，则，此时，C错误； 若，当时，，此时恒成立，即． 当时，，此时恒成立，即，故任意，均有，D正确． 故选：D. 【变式7-4】(2025高一上·浙江杭州·专题练习)已知边长为1的正方形，为边的中点，动点在正方形边上沿运动，设点经过的路程为，的面积为，则关于的函数的图像大致为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、三角形面积公式及其应用、根据实际问题作函数图象 【分析】根据题意求与的函数关系式，进而可得结果. 【详解】当动点在正方形边上沿运动时，则的面积为； 当动点在正方形边上沿运动时， 则的面积为； 当动点在正方形边上沿运动时，则的面积为； 所以，所以A正确，BCD错误；故选：A. 【变式7-5】(多选)(2025高二下·全国·专题练习)设函数，，用表示，的最大者，记为，则( ) A． B． C．的值域为 D．不等式的解集为 【答案】BCD【难度】0.4【知识点】分段函数的性质及应用 【分析】对于A：将代入即可；对于B：画出图象，数形结合可得；对于C：观察图象即可得到值域，对于D：在B基础上，分，，和四种情况，求解不等式即可求得结果. 【详解】对于A：将分别代入，，得，故，故A错误； 对于B：令，故，解得或，同一坐标系内画出两函数图象，如下： 观察图像可知当时，， 当时，，当时，， 所以故B正确； 对于C：观察图象得到值域为，故C正确； 对于D：当时，，通过观察图象可知函数单调递减， 定有；故， 当时，，此时， 因为，所以， 解得或(舍)，故； 当时，，此时， ，即，无解； 当时，，由于，故，无解， 综上：不等式的解集为，故D正确；故选：BCD. 【变式7-6】(2025高一·全国·专题练习)设是定义在上的函数，且，在区间上，其中，．若，则的值为 ． 【答案】【难度】0.65【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、由函数的周期性求函数值 【分析】由知周期，所以，，进而求解参数，得解. 【详解】因为是定义在上且周期为2的函数，所以，即①； 又因为，，所以②， 由①②，解得，，故.故答案为：. 题型08 判断是否相同函数 【典例8-1】(2025高一上·全国·专题练习)下列四组函数中表示同一个函数的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.94【知识点】具体函数的定义域、判断两个函数是否相等 【分析】比较两个函数的定义域和解析式是否相等，判断即可。 【详解】对于A：的定义域为的定义域为，A中两个函数不表示同一个函数； 对于B：两个函数的对应关系不一致，中两个函数不表示同一个函数； 对于C：与，解析式相同，且两个函数的定义域均为，中两个函数表示同一个函数； 对于D：两个函数的定义域不一致，中两个函数不表示同一个函数；故答案为：C。 【典例8-2】(25-26高一上·全国·单元测试)下列函数中，与函数是同一个函数的是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65【知识点】具体函数的定义域、判断两个函数是否相等 【分析】根据同一函数定义可知两函数定义域相同、化简后的解析式相同，逐个选项判断即可. 【详解】函数的定义域为，对应关系为 的定义域为，但对应关系不同，A错误； ，且定义域为，因为定义域与对应关系均相同，所以为同一函数，B正确； 的定义域为，C错误； 的定义域为，即或，D错误．故选：B. 【典例8-3】(多选)(24-25高二下·浙江宁波·期中)下列说法正确的有(    ) A．和表示同一个函数 B．函数的定义域为，则函数的定义域为 C．函数的值域为 D．定义在上的函数满足，则 【答案】BCD【难度】0.65【知识点】抽象函数的定义域、复杂(根式型、分式型等)函数的值域、函数方程组法求解析式、判断两个函数是否相等 【分析】根据相同函数的条件可判断A，根据抽象函数定义域的求法可判断B，根据复合函数求值域的方法可判断C，根据求函数解析式的方程组法可判断D. 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为或， 定义域不同，所以和不是同一个函数，故A错误； 对于B，对函数，令，则，得到， 所以，即的定义域为，故B正确； 对于C，因为，所以，即函数的值域为，故C正确； 对于D，由，可得， 由，解得，故D正确.故选：BCD. 【典例8-4】(25-26高一上·全国·课前预习)若函数与是同一个函数，则 ． 【答案】/【难度】0.85【知识点】求函数值、判断两个函数是否相等 【分析】由已知条件可求得，再代入求解即可. 【详解】因为与是同一个函数， 则，故.故答案为： 【变式8-1】(24-25高一上·四川绵阳·阶段练习)下列表示是同一个函数的是(    ) A． B． C．， D． 【答案】C【难度】0.94【知识点】判断两个函数是否相等 【分析】根据定义域和对应法则是否相同逐项判断后可得正确的选项. 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为， 故不是同一函数，故A错误； 对于B，的定义域为，的定义域为， 故不是同一函数，故B错误； 对于C，两个函数的定义域都为，且对应法则也相同，故两个函数为同一函数，故C正确； 对于D，的定义域为，的定义域为， 故不是同一函数，故D错误；故选：C. 【变式8-2】(25-26高一上·全国·课前预习)下列四组函数中，能表示同一个函数的一组是(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】具体函数的定义域、判断两个函数是否相等 【分析】利用两函数的定义域相同，对应法则相同即可为同一个函数，分析判断即可. 【详解】A项：和的定义域均为，对应法则也相同，所以和是同一个函数； B项：的定义域为的定义域为，所以和不是同一个函数； C项：，其中，即，其中0，即， 所以和的定义域不同，故和不是同一个函数； D项：和的定义域均为，但， 而对应关系不同，所以和不是同一个函数．故选：A 【变式8-3】(24-25高一上·江苏徐州·期中)下列各组函数中，图象不完全相同的是(   ). A．和； B．和. C．和 D．，和， 【答案】B【难度】0.65【知识点】具体函数的定义域、判断两个函数是否相等 【分析】根据各项函数解析式判断它们的定义域及对应图象是否完全相同，即可得答案. 【详解】A：由解析式，两函数定义域均为，故与的图象相同，不符； B：对于，其定义域为，对于，其定义域为， 在上，即它们部分图象相同，符合； C：由解析式，两函数的定义域均为，则，与图象相同，不符； D：显然，和，的对应法则和定义域都相同，即图象相同，不符.故选：B 【变式8-4】(24-25高一上·吉林长春·阶段练习)下列各组函数表示同一函数的是(    ) A．， B．， C．， D．， 【答案】C【难度】0.65【知识点】具体函数的定义域、判断两个函数是否相等 【分析】AB定义域不同；C选项两函数定义域和对应法则均相同，D选项对应法则不同. 【详解】A选项，的定义域为R，的定义域为，定义域不同，A错误； B选项，的定义域为，的定义域为R，定义域不同，B错误； C选项，由，解得，故的定义域为， 由，解得，的定义域为， 且，故为同一函数，C正确； D选项，，的对应法则不同，D错误.故选：C 【变式8-5】(多选)(24-25高一上·吉林通化·阶段练习)下列说法正确的是(    ) A．函数的定义域为，则函数的定义域为 B．和表示同一个函数 C．函数的值域为 D．定义在上的函数满足，则 【答案】ACD【难度】0.65【知识点】抽象函数的定义域、复杂(根式型、分式型等)函数的值域、函数方程组法求解析式、判断两个函数是否相等 【分析】对于A求抽象函数的定义域，由得即可判断，对于B判断是否是同一个函数只需判断定义域和对应关系即可，对于C由得，即即可判断，对于D消元法求函数解析式可判断. 【详解】对于A：由的定义域为，则，所以函数的定义域为，故A正确； 对于B：函数的定义域为，函数的定义域为，故B错误； 对于C：由，所以，函数的值域为，故C正确； 对于D：由，所以，所以，故D正确.故选：ACD 【变式8-6】(24-25高一上·上海·课堂例题)下列各组函数：①，；②，；③，；④，；⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系与一次函数．其中表示相同函数的是 (填入所有正确项的序号)． 【答案】③⑤【难度】0.85【知识点】具体函数的定义域、判断两个函数是否相等 【分析】判断定义域和对应关系是否相同，得到答案. 【详解】①不同，定义域不同，的定义域为，的定义域为； ②不同，对应关系不同，，； ③中，，解得， 中，令，解得，故定义域、对应关系都相同，③相同； ④，，故对应关系不同，④不同； ⑤相同，定义域、对应关系都相同．故答案为：③⑤ 题型9 用定义判断、证明单调性 【典例9-1】(23-24高三上·上海杨浦·期中)已知函数，.若成立，则下列论断中正确的是(    ) A．函数在上一定是增函数； B．函数在上一定不是增函数； C．函数在上可能是减函数； D．函数在上不可能是减函数. 【答案】D【难度】0.94【知识点】定义法判断或证明函数的单调性 【分析】根据函数单调性的定义判断即可. 【详解】因为函数，且成立， 则函数在上不可能是减函数，可能是增函数，也可能不是增函数， 如，满足，但是在上不具有单调性，故D正确，A、B、C错误. 故选：D 【典例9-2】(24-25高一上·湖北武汉·期末)“”是“在上单调递减”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C【难度】0.65 【知识点】探求命题为真的充要条件、定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性求参数值 【分析】根据函数单调性的定义及充分条件、必要条件求解. 【详解】当在上单调递减，设任意，且， 则，又，所以可得， 故“”是“在上单调递减”的充要条件，故选：C 【典例9-3】(24-25高一上·福建福州·期中)下列说法错误的有(    ) A．函数是减函数 B．如果，当时，都有，则在区间上单调递增 C．函数的定义域为，若在区间以及都单调递增，则是增函数 D．函数是减函数，若，则 【答案】ACD【难度】0.65【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】举反例判断A，C，利用增函数定义判断B，利用减函数性质建立不等式，求参数范围判断D即可. 【详解】对于A，令，则，，此时满足，不满足， 得到函数在整个定义域上不是减函数，故A错误， 对于B，由增函数的定义得到对于，当时， 都有，则在区间上单调递增，故B正确， 对于C，当时，令，当时，令，而， 不符合增函数的定义，故C错误， 对于D，因为函数是减函数，且，所以，解得，故D错误. 故选：ACD 【典例9-4】(25-26高一上·全国·课后作业)已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】【难度】0.65 【知识点】函数不等式恒成立问题、定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域 【分析】先利用函数的单调性定义判断函数在区间上的单调性，求得的值域，再将问题转化为在上的最大值小于等于在上的最小值的问题，解不等式可得结论． 【详解】设，则， 因为，所以，则， 即，故在区间上单调递增，故当时，， 则问题转化为当时，，即恒成立， 又在上递减，所以所以，解得．故答案为： 【变式9-1】(25-26高一上·全国·课后作业)若函数在上是减函数，且，则下列选项错误的是(   ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】定义法判断或证明函数的单调性 【详解】因为在上是减函数，，所以，A正确；又，所以，，B，C正确，D错误． 【变式9-2】(25-26高三上·江苏南通·开学考试)设函数的定义域为，则“”是“不是减函数”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A【难度】0.85【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、判断命题的充分不必要条件 【分析】结合函数的单调性的概念，判断两个命题之间的关系. 【详解】首先，若，则函数必定不是减函数，所以“不是减函数”，所以“”是“不是减函数”的充分条件； 其次，若不是减函数，则至少存在一组，使得，并不一定是，这一组. 比如，在上单调递减，在上单调递增，所以函数不是减函数，但是,所以“不是减函数”不能推出“”，即“”不是“不是减函数”的必要条件. 故“”是“不是减函数”的充分不必要条件.故选：A 【变式9-3】(24-25高一上·内蒙古赤峰·期末)已知函数的定义域为，满足且，则不等式的解集为(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据题设有在定义域上单调递减，结合已知判断的区间符号，进而求不等式的解集. 【详解】由题设，在定义域上单调递减，且， 所以，在上，在上， 所以，当时，当时，当时， 由，可得解集为.故选：C 【变式9-4】(24-25高一下·安徽蚌埠·开学考试)已知函数的定义域为，对、，满足，当时，，且，则不等式的解集为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】令，且，则，利用函数单调性的定义推导出函数在上单调递减，计算得出，将所求不等式变形为，结合函数的定义域和单调性可得出关于的不等式组，解之即可. 【详解】因为函数的定义域为，对、，满足， 又当时，，令，且，则， 则，所以，所以在上单调递减， 因为，所以，， 则不等式可化为， 所以，，解得．因此，不等式的解集为.故选：B. 【变式9-5】(多选)(24-25高三下·重庆·阶段练习)已知定义域为R的函数不是常值函数，当时，，而且对任意的有，则下列说法正确的有(    ) A． B．若，则 C．在单调递减 D．若，则不等式的解集为 【答案】AB【难度】0.65【知识点】函数值、定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】利用赋值法可判断A；令结合已知可判断B；利用函数单调性定义结合已知条件可判断C；推出，则原不等式即为，利用单调性可解不等式，判断D. 【详解】对于A，令，则有或者， 但是当时，， 与不是常值函数矛盾，故，A选项正确； 对于B，令，则，， 当，则，故，，故，B选项正确； 对于C，任取，令，则， 于是， 故在单调递增，C选项错误； 对于D，令可得：，于是函数是偶函数， 又，于是原不等式可转化为， 又由在单调递增可得：，解得：，D不正确，故选：AB. 【变式9-6】(2025高一·全国·专题练习)设为非零实数，函数若对任意，，都有成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】【难度】0.65【知识点】分段函数的单调性求参数、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】根据可构造出是单调递减函数，然后根据分段函数的单调性求解参数范围即可. 【详解】不妨设，则对任意，， 都有，即成立， 从而函数在上是减函数， 故实数应满足解得，故答案为：． 题型10 由图象判断单调性 【典例10-1】(25-26高一上·山东德州·开学考试)若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是(   ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.94【知识点】函数图象的应用、求函数的单调区间、根据图像判断函数单调性 【分析】利用函数图象，结合函数单调性的定义，即可求解. 【详解】由函数的图象可知，单调递增区间是， 又由图知，而，所以A不正确，故选：D. 【典例10-2】(2025·北京东城·一模)中国茶文化博大精深，茶水的口感与水的温度有关.一杯的热红茶置于的房间里，茶水的温度(单位：)与时间(单位：)的函数的图象如图所示.已知不相等，下列说法正确的是(    )      A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A【难度】0.65【知识点】根据图像判断函数单调性、比较函数值的大小关系 【分析】对于A，由，结合函数的单调性可得，可判断A；结合A，以及BCD的条件逐项计算判断即可. 【详解】因为，所以，    因为图象是上凹函数，所以，即故A正确； 由A知，使，则，即， 由，则，，故无法判断，的大小关系，故B错误； 由A知，使，可得，结合，可得， 由的单调递减可得，故，故C错误； 由A知，存在，使，可得，故存在，使， 由函数的单调性可知时，， 当时，，当时，，当时，，故D错误.故选：A. 【典例10-3】(24-25高一上·湖北·期中)定义运算，设函数，则下列命题正确的有(    ) A．的定义域为 B．的值域为 C．的单调递减区间为 D．不等式的解集为或 【答案】ACD【难度】0.65【知识点】具体函数的定义域、函数图象的应用、解不含参数的一元二次不等式、根据图像判断函数单调性 【分析】化简函数的解析式，作出该函数的图象，可判断ABC选项；分或、两种情况解不等式，可判断D选项. 【详解】由得，解得或， 由得，解得. 所以，，作出函数的图象如下图所示： 对于A选项，易知函数的定义域为，A对； 对于B选项，由图可知，的值域为，B错； 对于C选项，由图可知，函数的单调递减区间为，C对； 对于D选项，当或时，由，可得， 解得或，此时，或， 当时，，此时，不等式无解. 综上所述，不等式的解集为或，D对.故选：ACD. 【典例10-4】(25-26高三上·北京·开学考试)已知函数与，其中实数．给出下列四个结论： ①函数在区间上单调递增；②对任意的与的图象都只有一个公共点； ③若与的图象没有公共点，则的取值范围是； ④当与的图象有两个公共点时，这两个公共点横坐标的差大于1． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②③【难度】0.4【知识点】图象法表示函数、根据图像判断函数单调性 【分析】根据题意，按的不同取值范围，分类作图，逐一判断即可解出. 【详解】题意，分类作图如下： (1)    (2)   (3)    (4)当时，，，两函数的图象只有一个交点， 对于①，根据图象，在区间上单调递增，所以①正确； 对于②，根据图象，时，与的图象仅有一个公共点，所以②正确； 对于③，根据图象，在时，与的图象可能没有交点， 此时，解得，即的取值范围是，所以③正确； 对于④，根据图象，在时，与的图象可能有两个交点，此时解得公共点横坐标为，则两个公共点横坐标的差为，所以④错误.故答案为：①②③. 【变式10-1】(24-25高一上·陕西咸阳·期中)如图所示是函数的图象，则下列说法正确的是(   )    A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．此函数在定义域上不单调 D．对于，都有唯一的自变量与之对应 【答案】C【难度】0.85【知识点】函数关系的判断、具体函数的定义域、常见(一次函数、二次函数、反比例函数等)的函数值域、根据图像判断函数单调性 【分析】根据函数的图象逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】由图知，的定义域为，值域为，AB错误； 显然在、上单调递减，但在定义域上不单调，C正确； 显然时，对应自变量不唯一，D错误．故选：C． 【变式10-2】(24-25高一上·全国·课后作业)已知函数的部分图象如下，则下列说法中正确的是(    ) A．在区间内，的最小值为 B．在区间内，的最大值为 C．在区间内，的最小值为 D．在区间内，的最大值为 【答案】C【难度】0.85【知识点】利用函数单调性求最值或值域、根据图像判断函数单调性 【分析】根据函数的单调性及最值的定义，逐一判断即可. 【详解】解：对于A，在区间内，由于区间左端点取不到，所以没有最小值，A错误； 对于B，在区间内，因为区间右端点取不到，则没有最大值，B错误； 对于C，在区间内，的最小值为，C正确； 对于D，在区间内，因为区间端点取不到，则没有最大值，D错误．故选：C. 【变式10-3】(多选)(2025高三·全国·专题练习)(多选)已知函数，的图象如图所示，则下列说法正确的是(    ) A．是函数的单调递增区间 B．是函数的单调递减区间 C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减 【答案】ABD【难度】0.94【知识点】根据图像判断函数单调性 【分析】利用函数图象得到单调性判断A，B，利用单调区间不能用并集符号连接判断C，D即可. 【详解】对于A，根据函数图象可知函数在上单调递增，故A正确， 对于B，根据函数图象可知函数在上单调递减，故B正确， 由图象可知，，因此不能说函数在上单调递增，C错误； 由于函数在时有定义，由图象可知，则为函数的一个单调递减区间，故函数在上单调递减，D正确．.故选：ABD. 【变式10-4】(多选)(25-26高一上·全国·单元测试)已知函数的图象由如图所示的两条曲线组成，则下列说法正确的是(    ) A． B．是单调增函数 C．的定义域是 D．的值域是 【答案】AD【难度】0.85【知识点】求函数值、函数图象的应用、根据图像判断函数单调性 【分析】根据函数图象分析函数的性质，依次判断各项的正误. 【详解】A：由图知，因此，对； B：不是单调增函数，例如，错； 由图知：函数定义域是，值域是，C错，D对.故选：AD 【变式10-5】(23-24高一上·河北石家庄·期中)函数在区间上的最小值为 ． 【答案】/【难度】0.94【知识点】利用函数单调性求最值或值域、根据图像判断函数单调性 【分析】分离常数得到在上单调递增，从而得到最小值. 【详解】在上单调递增， 故当时，取得最小值，；故答案为： 【变式10-6】(24-25高一上·上海·课前预习)，其图像如图1． (1)从左至右图像上升还是下降？ ；(2)在区间 上，随着的增大，的值随之 ． 【答案】下降;;减小【难度】0.85【知识点】根据图像判断函数单调性 【分析】(1)根据图象特征，即可判断；(2)根据和的变化关系，即可判断变化趋势. 【详解】(1)根据图象特征，可得图象是下降的； (2)在区间上，随着的增大，的值随之减小. 故答案为(1)下降；(2)；减小 题型11 复合函数的单调性 【典例11-1】(24-25高一上·广东广州·期中)函数的单调递减区间是(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85 【知识点】求函数的单调区间、具体函数的定义域、复合函数的单调性 【分析】现根据解析式有意义的条件求的定义域，然后在定义域内，利用复合函数的单调性法则求得结果. 【详解】要使函数有意义，则， 即，解得或，函数定义域为. 令，则，在上单调递减， 对称轴为，开口向上，在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则，可知的单调递减区间是.故选：D. 【典例11-2】(24-25高一下·贵州毕节·期末)函数的最大值为(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】复杂(根式型、分式型等)函数的值域、求二次函数的值域或最值、具体函数的定义域、复合函数的单调性 【分析】判断函数定义域及单调性，即可判断函数最值. 【详解】由已知，即函数的定义域为， 且，则函数在上单调递增，在上单调递减， 即当时，取得最大值为，故选：B. 【典例11-3】(多选)(23-24高一上·河北沧州·期中)下列命题中正确的是(    ) A．函数在上单调递减 B．函数在上是增函数 C．函数在上单调递增 D．已知是定义在上的减函数，若，则 【答案】AD【难度】0.65 【知识点】复合函数的单调性、比较函数值的大小关系、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据二次函数的单调性判断A，根据特值判断B，根据函数定义域判断C，根据函数的单调性及同向不等式的性质判断D. 【详解】因为函数的对称轴为，开口向下，故函数在上单调递减，A正确； 函数在上单调递增，但在上不单调递增，例如，，但，故B错误； 函数要有意义，则，解得，即函数定义域为，故在上单调递增错误，故C错误； 是定义在上的减函数，若中，则，又， 所以，所以，故D正确.故选：AD 【典例11-4】(24-25高一上·江苏苏州·期中)若函数在区间上存在最小值，则实数a的取值范围是 ． 【答案】【难度】0.65 【知识点】分段函数的单调性、复合函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】分，与三种情况，根据函数的单调性得到不等式，求出实数的取值范围. 【详解】当时，在单调递增，所以无最小值，不满足题意； 当时，令，则，根据双钩函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增，在处取得最小值，所以要想在上有最小值，只需满足 即可； 当时，令，解得，，解得， 所以， 因为单调递增，单调递增，所以单调递增，单调递减， 即函数在上单调递增，在上单调递减，且在处连续， 所以在出取得最小值， 所以要想在有最小值，只需满足 即可； 综上所述：满足题意的的取值范围是.故答案为： 【变式11-1】(2024高三·全国·专题练习)函数的单调增区间为(   ) A． B． C．和 D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】复合函数的单调性【分析】求出原函数的定义域，利用复合函数法可得出原函数的单调递增区间. 【详解】由可得且，所以，函数的定义域为， 因为开口向下，其对称轴为，所以的减区间为和， 因为函数在、上均为减函数，所以，函数的单调增区间为和． 故选：C. 【变式11-2】(24-25高一上·福建福州·期中)函数的单调递减区间是(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】具体函数的定义域、复合函数的单调性 【分析】求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求出单调递减区间即可. 【详解】由，解得，所以函数的定义域为， 令，则， 在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间是.故选：C. 【变式11-3】(24-25高一上·福建泉州·期中)已知函数在上单调递增，则的单调减区间为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】复合函数的单调性 【分析】由函数在上单调递增，则在上单调递增，根据复合函数的单调性“同增异减”求出函数在定义域内的递减区间即可． 【详解】因为函数在上单调递增，所以在上单调递增， 设，由，解得或，所以在上单调递减， 所以的单调减区间为.故选：B. 【变式11-4】(2024高一·全国·专题练习)下列结论正确的是(    ) A．函数的单调增区间是 B．函数在定义域内单调递减 C．函数 的单调递增区间是 D．函数的单调递减区间是 【答案】C【难度】0.65 【知识点】分段函数的单调性、区间的定义与表示、具体函数的定义域、复合函数的单调性 【分析】根据反比例函数、二次函数以及分段函数的单调性，结合图形，依次判断即可求解. 【详解】对A，由，解得或， 则函数的定义域为或，如图， 所以函数的单调增区间为，故A错误； 对B，， 函数的定义域为，所以在和上分别为减函数， 但不能说定义域内单调递减，故B错误； 对C，函数，如图， 所以函数的单调增区间为，单调减区间为，故C正确； 对D，当时，函数的图象开口向下，对称轴为， 所以的单调减区间为， 又当时，为减函数，但中间不能用“”这个符号，故D错误.故选：C 【变式11-5】(多选)(23-24高一上·福建福州·期中)关于函数的结论，下列说法正确的有(    ) A．的单调减区间是 B．的单调增区间是 C．的最大值为2 D．没有最小值 【答案】BC【难度】0.65【知识点】复合函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域 【分析】先求得定义域，然后根据复合函数单调性同增异减求得的单调区间，进而求得的最值. 【详解】由，得，解得，所以的定义域是， 函数的开口向下，对称轴为，根据复合函数单调性同增异减可知， 的单调减区间是，A选项错误. 的增区间是，B选项正确. 所以的最大值是，C选项正确. 的最小值是，D选项错误.故选：BC 【变式11-6】(24-25高一上·辽宁·期中)若函数在上单调递减，则的取值范围是 ． 【答案】【难度】0.65【知识点】复合函数的单调性 【分析】由对称轴，且当时，恒成立，可求的取值范围. 【详解】由题可得函数在上单调递减，所以对称轴， 又当时，恒成立，所以，解得.综上：.故答案为： 题型12 已知单调性求参数或其范围 【典例12-1】(24-25高一上·广西河池·阶段练习)已知函数在上单调递减，则的取值范围为(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.94【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围、根据函数的单调性求参数值 【分析】根据二次函数的对称轴列不等式即可得解. 【详解】由二次函数性质可知，要使函数在上单调递减，只需， 解得，即的取值范围为.故选：A 【典例12-2】(25-26高三上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习)已知函数在上单调递减，则的取值范围为(    ) A． B． C． D．[0，1] 【答案】B【难度】0.85【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据分段函数单调性的性质，结合二次函数的单调性，列不等式，即可求解. 【详解】由条件可知，在区间上单调递减，则，即， 且在分界点处满足，得，所以.故选：B 【典例12-3】(多选)(24-25高一下·云南红河·开学考试)已知函数是上的函数，且满足对于任意的，都有成立，则可能是(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】BC【难度】0.65【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据题目条件得到函数在上单调递减，由分段函数的单调性得到不等式组，进而求得结论. 【详解】因为，所以在上单调递减， 则要满足，解得，故．故选：BC． 【典例12-4】(2025高三·全国·专题练习)已知函数在区间上为减函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】【难度】0.65【知识点】根据函数的单调性求参数值【分析】利用常数分离法将原函数变形，根据参数分类讨论，利用反比例函数的单调性建立不等式，求解即得参数范围. 【详解】当时，，在上单调递增，不合题意； 当时，由题意得， ①当时，，显然不合题意； ②当且时，，函数在和均为增函数，不合题意； ③当时，，函数在和均为减函数，因在上为减函数，故需使，即，故得.综上，可得实数的取值范围是.故答案为： 【变式12-1】(24-25高一下·云南昭通·开学考试)“”是函数在上是增函数的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A【难度】0.94【知识点】判断命题的充分不必要条件、根据函数的单调性求参数值 【分析】由函数单调性可求得，再根据不等式范围大小可判断出结论. 【详解】因为在上是增函数，可得，即， 显然“”能推出“”，反之则不成立， 所以“”是函数在上是增函数的充分不必要条件.故选：A. 【变式12-2】(2025高三·全国·专题练习)“”是“函数在区间上单调递减”的(    )． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A【难度】0.85【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围、判断命题的充分不必要条件、根据函数的单调性求参数值 【分析】由充分条件和必要条件的概念，以及二次函数的单调性可得结果. 【详解】充分性：当时，， 易知函数在区间上单调递减． 必要性：若在区间上单调递减，则需，即， 故“”是“函数在区间上单调递减”的充分不必要条件．故选：A. 【变式12-3】(25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习)已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65 【知识点】分段函数的性质及应用、根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数 【分析】由题意可得函数在上单调递增，列出不等式组求解即可. 【详解】因为对任意，当时，都有成立， 所以函数在上单调递增，所以，解得， 所以实数的取值范围是.故选：C. 【变式12-4】(2025高三·全国·专题练习)若函数在上单调递增，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】根据函数的单调性求参数值 【分析】分，和讨论函数在上的单调性，即可得出答案. 【详解】当时，在上单调递增，满足题意， 当时，，满足题意，当时，，由对勾函数的性质知， 若满足题意则，解得．综上，.故选：B． 【变式12-5】(24-25高一上·浙江·期中)下列结论错误的是(   ) A．若，则在上单调递增 B．在上单调递增 C．在定义域内单调递减 D．若在R上单调递增，则a的取值范围为 【答案】ACD【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数 【分析】由单调性的定义可得A错误；由二次函数的性质可得B正确；由单调函数的规定可得C错误；由分段函数的单调性结合二次函数和分式型函数的性质可得D错误； 【详解】对于A、不符合任意性，故A错误； 对于B、，在递增，故B正确； 对于C、在和递减，不能说在定义域内单调递减，故C错误； 对于D、由题意，得，解得，故D错误；故选：ACD 【变式12-6】(2025高一·全国·专题练习)设实数，若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围为 ． 【答案】【难度】0.65【知识点】根据函数的单调性求参数值 【分析】令，分、两种情况讨论，可知对任意成立，分析函数在上的单调性，可得出关于实数的不等式组，综合可求得实数的取值范围. 【详解】令，分以下两种情况讨论： (ⅰ)当时，对任意成立， 由于函数在区间上是减函数，则在区间上是增函数， 所以实数应满足，即； (ⅱ)当时，对任意成立， 由于函数在区间上是减函数，则在区间上是减函数， 所以实数应满足解得，所以． 综上所述，实数的取值范围为．故答案为：． 题型13 由单调性求函数值域、最值 【典例13-1】(2024高二上·江苏·学业考试)函数的值域为(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.94【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求二次函数的值域或最值 【分析】利用二次函数的性质可得函数在上单调递增，可求值域. 【详解】二次函数的对称轴为，抛物线的开口向上， 所以函数在上单调递增，所以，， 所以函数的值域为.故选：C. 【典例13-2】(2025·甘肃金昌·模拟预测)已知正数x，y满足，则的取值范围为(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】利用函数单调性求最值或值域、具体函数的定义域 【分析】先根据题设条件求出的范围，对所求式消元后进行换元，利用二次函数的性质即可求得其范围. 【详解】因正数x，y满足，故，解得， 因，设，则，且， 于是．由，可得.故选：B． 【典例13-3】(多选)(24-25高一上·广东江门·期中)对任意实数，用表示函数和中的最小值，记为，则 (      ) A．有最大值，无最小值 B．当的最大值为 C．不等式的解集为 D．的单调递增区间为 【答案】BC【难度】0.65 【知识点】函数新定义、利用函数单调性求最值或值域、分段函数的值域或最值、函数图象的应用 【分析】根据题意作出的函数图像，利用图像即可判断ABD，先求，再利用图像即可解，进而判断C. 【详解】作出函数的图象， 如图： 对于A：由图象可得无最大值，无最小值，故A错误； 对于B：由图象可得，当时，的最大值为，故B正确; 对于C：由， 解得， 由图象可得，不等式的解集为， 故C正确; 对于D： 由图象可得，的单调递增区间为， 故D错误.故选：BC. 【典例13-4】(25-26高一上·全国·单元测试)函数在区间上的值域为 ． 【答案】【难度】0.65【知识点】利用函数单调性求最值或值域、常见(一次函数、二次函数、反比例函数等)的函数值域、复杂(根式型、分式型等)函数的值域 【分析】根据函数在上的单调性求解即可. 【详解】因为函数在上恒正且单调递增，则在上单调递减， 所以，故的值域为．故答案为：. 【变式13-1】(25-26高一上·全国·课前预习)函数在区间上的最小值是(    ) A．0 B．1 C． D．4 【答案】A【难度】0.85【知识点】利用函数单调性求最值或值域 【分析】分段去掉绝对值符号，利用单调性求解可得. 【详解】，则在上单调递减，在上单调递增， 故．故选：A 【变式13-2】(2025高一·全国·专题练习)函数的最值为(    )． A．最大值为8，最小值为0 B．不存在最小值，最大值为8 C．最小值为0，不存在最大值 D．不存在最小值，也不存在最大值 【答案】B【难度】0.85【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求二次函数的值域或最值 【分析】先根据二次函数求出的最小值，无最大值，再根据反比例函数的单调性求解函数的最值，即可得解. 【详解】令，则． 又,故在上单调递减，当，即时，函数有最大值8，无最小值.故选：B． 【变式13-3】(2025高三·全国·专题练习)已知函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】根据集合的包含关系求参数、利用函数单调性求最值或值域 【分析】计算得，，由题意得，根据集合间的包含关系可得结果. 【详解】因为，所以，所以， 因为，所以在上是增函数， 因为，所以， 因为对任意的，总存在，使得成立，所以， 所以，解得，即实数的取值范围是.故选：. 【变式13-4】(2025·湖北武汉·模拟预测)已知函数的定义域为，且满足下列性质： ①；② 则下列说法一定正确的为(   ) A．在上无最小值 B．在上单调递减 C．在上有最小值 D．在上单调递增 【答案】C【难度】0.65【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求二次函数的值域或最值 【分析】利用题给条件构造函数，结合二次函数的性质，即可得到在上不一定单调递增或单调递减，在上有最小值. 【详解】由于函数的定义域为，且， 令，则，得，抛物线对称轴为 由可得，解之得，则， 故在上不一定单调递增或单调递减，选项不确定， 由于表示开口向上的抛物线， 故函数在取得最小值，即在上有最小值. 故选项C正确，选项A错误．故选：C 【变式13-5】(多选)(25-26高三上·江苏扬州·开学考试)设，函数，则下列说法正确的是(    ) A．当时， B．当时，方程有两个实数根 C．当时，函数存在最大值 D．当时，函数在区间上单调递增 【答案】ACD【难度】0.65【知识点】求函数零点或方程根的个数、利用函数单调性求最值或值域、分段函数的值域或最值、求二次函数的值域或最值 【分析】分段分析函数的单调性，求得函数值的取值范围，可判断ACD的真假；直接求解方程的根，可判断B的真假. 【详解】选项 A：代入 ，函数为： 当 时，，故 ； 当 时，(等号在 时成立)； 当 时，(因为 ，故 )，故选项 A 正确. 选项 B：当 时，，解得 ； 由于 ，有 ，故 ，满足条件，是一个根； 当 时，，即 ， 由于 ，有 ，故 ，无实数解； 当 时，，即 ，解得 ， 但 ，而 ，不满足条件，故选项 B 错误. 选项 C：当 时，，值域是； 当 时，，这是一个开口向下的抛物线， 在 处取最大值 ； 当 时，，因为 ，所以； 比较各段：在 段，(因为 时 )； 在 段，；在 段，. 因此，的最大值在 处取，值为 ，故选项 C 正确. 选项 D：当 时，，故函数在区间上单调递增； 当 时，，这是一个开口向下的抛物线，对称轴为： ， 故函数在区间上单调递增； 考虑分段点 ：当时，， 因此，函数在 上单调递增，故选项 D 正确.故选：ACD 【变式13-6】(2025高二·全国·专题练习)函数满足，若在区间内的最大值为5，则最小值为 ． 【答案】0【难度】0.65【知识点】利用函数单调性求最值或值域 【分析】根据求出的解析式，结合函数的单调性即可求解. 【详解】因为， 所以，在上单调递增. 因为在区间内的最大值为5，则， 所以，.故答案为： 题型14 已知最值求参数 【典例14-1】(24-25高一上·全国·课后作业)若函数在区间内的最大值为3，则(    ) A．3 B．4 C．5 D．3或5 【答案】A【难度】0.94【知识点】根据函数的最值求参数 【分析】先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类研究即可. 【详解】，当时，，不符合题意； 当，即时，在内单调递减，，符合题意； 当，即时，在内单调递增，， 解得，与矛盾，舍去．综上所述，．故选： 【典例14-2】(2025高三·全国·专题练习)已知函数在区间上的最大值为5，则(    ) A．2 B．3 C．15 D．3或15 【答案】B【难度】0.65【知识点】根据函数的最值求参数 【分析】先将函数进行分离常数的变形，然后根据反比例函数的性质分析其单调性，再结合函数在给定区间上的最大值列出关于的方程，进而求解的值. 【详解】．因为，所以函数在上单调递减，所以函数在区间上的最大值为，解得．故选：B. 【典例14-3】(多选)(24-25高一上·贵州·期中)形如的函数，我们称之为“对勾函数”.“对勾函数”具有如下性质：该函数在上单调递减，在上单调递增.已知函数在区间上的最大值比最小值大，则实数a的值可以是(   ) A．2 B．14 C． D． 【答案】AC【难度】0.65【知识点】根据函数的最值求参数、对勾函数求最值 【分析】根据题设“对勾函数”的性质讨论参数a的范围，结合最值之差列方程求参数，即可得答案. 【详解】由题意，若时，有，可得，满足； 若时，有： ，则，可得，不满足； ，则，可得(舍)或， 所以，此时，满足； 若时，有，可得，不满足； 综上，或.故选：AC 【典例14-4】(24-25高一上·上海闵行·期末)若函数在区间上的最小值为，则实数a的取值范围为 【答案】【难度】0.4【知识点】利用函数单调性求最值或值域、根据函数的最值求参数、函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立(有解)问题 【分析】先得到在上恒成立，参变分离得到，求出，故，再由在上有根， 即在上有根，求出，需满足，故. 【详解】由题意得在上恒成立，故， ，故只需求出， 由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增， 且或2时，，故的最大值为3，故，故， 另外，在上有根，即，， 故在上有根，根据的单调性可知，在处取得最小值， 故，， 要想在上有根，需满足， 综上，.故答案为： 【点睛】方法点睛：分离参数法基本步骤为： 第一步：首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式， 第二步：先求出含变量一边的式子的最值，通常使用函数单调性或基本不等式进行求解. 第三步：由此推出参数的取值范围即可得到结论. 【变式14-1】(24-25高二下·宁夏石嘴山·阶段练习)若函数在区间上的最大值为3，则实数(   ) A． B．1 C．3 D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】根据函数的最值求参数 【分析】先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类研究即可. 【详解】函数， 当时，在上单调递减，最大值为； 当时，在上单调递增，最大值为，解得，不合题意， 所以实数.故选：C 【变式14-2】(24-25高一上·湖南·阶段练习)若函数的最小值是8，则实数m的值为(   ) A．6或10 B．6或10 C．6或10 D．6或10 【答案】A【难度】0.85【知识点】根据函数的最值求参数 【分析】根据绝对值的几何意义求出最小值即可得解. 【详解】因为， 所以，解得或，故选：A 【变式14-3】(24-25高一上·安徽亳州·阶段练习)若函数在上的最大值为，则(   ) A． B．1 C． D． 【答案】D【难度】0.65【知识点】根据函数的最值求参数 【分析】分、和三种情况讨论，研究其单调性，根据最大值建立方程求解即可. 【详解】因为，所以当时，在上单调递减， 则，解得，与矛盾，不符合题意； 当时，根据对勾函数单调性可知， 函数在上单调递减，在上单调递增， 故当时，函数在上单调递增，则在上单调递减， 所以，解得，符合题意； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得，与矛盾，不符合题意； 综上所述，.故选：D 【变式14-4】(24-25高三上·陕西·阶段练习)已知函数的最小值为0，则实数的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】根据函数的最值求参数、根据分段函数的值域(最值)求参数 【分析】根据题意，得到时，函数有最小值为，然后转化为时，函数，列出不等式组即可求解. 【详解】由题知， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增，. 当时，函数在上单调递减，. 的最小值为0，，解得， 即实数的取值范围为.故选：B. 【变式14-5】(多选)(24-25高一上·江苏无锡·期中)已知函数，，，已知的最小值为1，则实数的取值可能为(    ) A． B． C． D． 【答案】ABC【难度】0.65【知识点】根据函数的最值求参数、画出具体函数图象、函数新定义 【分析】画出的图象，分，和三种情况，画出的图象，数形结合得到取得最小值的点，进而求出该点坐标，得到答案. 【详解】若，则，画出的图象如下， 的最小值为1，符合题意，故C正确； 若，则则，，画出的图象如下： 的最小值为，故D错误； 若，则的图象如下： ， 所以的图象如下： 的最小值为1，符合题意，故AB正确；故选：ABC. 【变式14-6】(23-24高二下·浙江宁波·期中)已知函数.若函数对一切均成立，则实数的取值范围 . 【答案】【难度】0.4【知识点】根据函数的最值求参数、分类讨论解绝对值不等式、求绝对值不等式中参数值或范围、函数不等式恒成立问题 【分析】分和两种情况去掉绝对值讨论，再通过求式子的最值可求得实数的取值范围. 【详解】由题意在正实数域内恒成立， (1)当，即时， 若，则，即, ①当，即时，则由，可得或， 所以或恒成立，所以或， ②当，即或时，则恒成立， 所以或，所以或恒成立， 因为当或时，无最小值，无最大值，所以不合题意， (2)当，即， 若在正实数域上恒成立， 则，解得或， 显然当或时，， 所以， 而当或时，的取值范围是，这表明， 当或时， 令，由对勾函数性质可得，在上单调递减，在上单调递增， 此时的取值范围是，这表明， 从而在且恒成立的条件下有， 综上或或，即实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键是在(2)中，讨论时，不能简单认为，而应该是去绝对值，分类讨论，由此即可顺利得解. 题型15 奇偶性的判断 【典例15-1】(25-26高一上·全国·单元测试)函数在上的图象大致是(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.94【知识点】函数图像的识别、函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据函数的奇偶性和特殊点坐标判断即可. 【详解】令，的定义域为， ， 则是偶函数，其图象关于轴对称，排除选项； 又，则排除选项A.故选：B. 【典例15-2】(25-26高一上·新疆·期中)设函数，则下列函数中为奇函数的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】函数奇偶性的定义与判断【分析】由，写出各项对应函数的解析式，利用函数奇偶性的定义依次判断各项对应函数的奇偶性. 【详解】因为， A：，而，显然不是奇函数，不符； B：，定义域为，显然不关于原点对称，不符； C：，其中且定义域为，易知为奇函数； D：，定义域为，显然不关于原点对称，不符；故选：C 【典例15-3】(多选)(2025高一上·全国·专题练习)已知定义在R上的函数满足，当时，，，则(    ) A． B．为奇函数 C．为减函数 D．当时， 【答案】ABD【难度】0.65【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、比较函数值的大小关系、求函数值、函数奇偶性的定义与判断 【分析】A令；B令，再令；C利用单调性定义证明；D先求出，再根据抽象函数关系式化简，求证即可. 【详解】对于A，令，则，故A正确； 对于B，令，则，∴， 令，则，∴，为奇函数，故B正确； 对于C，令，则 ∵，∴，即， 故为增函数，故C不正确； 对于D，令，则，∴，∵，∴， 又奇函数为增函数，∴， ， 即，故D正确.故选：ABD. 【典例15-4】(25-26高三上·北京·阶段练习)已知函数，关于函数有下列说法： ①该函数图象关于轴对称；②该函数图象关于原点对称；③该函数图象不经过第三象限： ④该函数图象有且只有三个点的横、纵坐标都是整数． 其中错误的是 【答案】①②④【难度】0.65【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断或证明函数的对称性 【分析】通过计算的值并和比较可判断①②，令并分析的符号可判断③，求函数图象上的点的坐标可判断④. 【详解】，故该函数图象不关于轴对称，①错误； ，故该函数图象不关于原点对称，②错误； 当时，，故，所以该函数图象不经过第三象限，③正确； 令易得即满足题意，同理可得，，符合题意， 所以该函数图象有且只有三个点的横、纵坐标都是整数是错误的，④错误.故答案为：①②④. 【变式15-1】(2025高一上·全国·专题练习)若函数是定义在上的函数，那么“”是“函数是奇函数”的(    ) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D【难度】0.94【知识点】函数奇偶性的定义与判断、既不充分也不必要条件 【分析】举反例判断即可. 【详解】由题，若，满足，但是偶函数，所以充分性不成立； 若，显然是奇函数，但，则无意义，故必要性也不成立. 所以“”是“函数是奇函数”的既不充分也不必要条件.故选：D. 【变式15-2】(25-26高一上·全国·课后作业)已知函数，设，则是(    ) A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减，上递增 D．在上单调递增，上递减 【答案】B【难度】0.85【知识点】分段函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】首先判断与的奇偶性，再画出的图像即可求出的单调性. 【详解】的定义域为，因为，则，所以为奇函数. 又，则也是奇函数. 由，可得图象如图所示：    所以函数在上单调递增.故选：B 【变式15-3】(24-25高一上·辽宁大连·期中)已知函数，下面有关结论错误的有(    ) A．定义域为 B．值域为 C．在上单调递减 D．图象关于原点对称 【答案】C【难度】0.65 【知识点】函数基本性质的综合应用、具体函数的定义域、函数奇偶性的定义与判断、对勾函数求最值 【分析】利用函数的定义域、对勾函数的性质一一分析选项即可. 【详解】对于A，显然的定义域为，故A正确； 对于B、D，易知函数，即为奇函数，图象关于原点对称， 且，当且仅当时取得等号，故值域为，故BD正确； 对于C，函数的单调区间不能用并集表示，且的单调递减区间为，故C错误.故选：C 【变式15-4】(25-26高三上·安徽·开学考试)已知函数，则下列说法错误的是(    ) A．是奇函数 B．是偶函数 C．的图象关于对称 D．的图象关于对称 【答案】D【难度】0.65【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断或证明函数的对称性 【分析】根据函数奇偶性定义、判定方法可判断A，B两项；利用函数的对称性判定方法可判断C，D 两项. 【详解】对于A，因， 即，故函数关于点成中心对称， 故函数的图象关于原点成中心对称，即是奇函数，故A说法正确； 对于B，因的定义域为，关于原点对称， 且，即是偶函数，故B说法正确； 对于C，设，由， 即，故函数的图象关于对称，故C说法正确； 对于D，设，由， 显然不成立，故的图象不关于对称，即D说法错误.故选：D. 【变式15-5】(多选)(25-26高三上·山东济宁·阶段练习)已知函数对任意都有，若的图象关于直线对称，且对任意的，且，都有，则下列结论正确的是(　　) A．是偶函数 B． C． D．在上单调递减 【答案】ABC【难度】0.65【知识点】函数对称性的应用、函数周期性的应用、函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据偶函数的定义可判断A的正误，利用赋值法结合周期函数的定义可判断B的正误，根据周期性可判断CD的正误. 【详解】由的图象关于直线对称，则， 即，故是偶函数，故选项A正确； 由，令，可得， 则，则的周期，故选项B正确；，故选项C正确； 又在上单调递增，在上单调递减， 因为周期，则在上单调递增，故选项D错误．故选：ABC． 【变式15-6】(25-26高一上·全国·课后作业)若函数在区间[－2023，2023]上的最大值为4，则最小值为 ． 【答案】0【难度】0.65【知识点】奇偶函数对称性的应用、函数奇偶性的定义与判断 【分析】先展开整理函数解析式成，构造奇函数，利用奇函数图象关于原点对称的特征得到，可求得，即得答案. 【详解】因为， 令，则， 因为，所以函数为奇函数． 因为奇函数的图象关于原点对称，所以在上的最大值和最小值之和为0， 即，则， 因，故.故答案为： 题型16 已知奇偶性求解析式 【典例16-1】(2025高一·全国·专题练习)已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的解析式是(    )． A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.94【知识点】由奇偶性求函数解析式【分析】由函数奇偶性求解析式即可. 【详解】因为当时，，为奇函数， 所以当时，， 所以，即，故选：D． 【典例16-2】(2025·云南·模拟预测)已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，则(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】由奇偶性求函数解析式 【分析】根据奇函数、偶函数的定义可得出关于、的等式组，求出的解析式，代值计算可得的值. 【详解】因为函数为奇函数，即， 所以，可得①， 因为函数是偶函数，即， 所以，可得②， 联立①②可得，因此.故选：C. 【典例16-3】(多选)(24-25高一上·四川绵阳·期末)若函数是定义在上的奇函数，，当时，，则(    ) A． B．函数图象关于直线对称 C．函数图象关于点中心对称 D．当时， 【答案】AC【难度】0.65【知识点】由奇偶性求函数解析式、判断或证明函数的对称性、函数奇偶性的应用 【分析】根据奇函数的性质得到且，即可判断A，由可得的对称轴，即可判断B，再推导出，即可判断C，最后根据奇偶性求出函数在时的解析式，即可判断D . 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以且， 又，所以，故A正确； 因为，所以关于对称，故B错误； 由，，所以，即， 所以，则，即， 所以函数的图象关于点中心对称，故C正确； 因为当时，， 设，则，所以， 当时也成立，所以当时，，故D错误.故选：AC. 【典例16-4】(2025高三·全国·专题练习)已知是奇函数，是偶函数，且，则 ， ． 【答案】;．【难度】0.65【知识点】由奇偶性求函数解析式【分析】根据奇偶性构造出新的关系式，结合题干表达式，列方程组求解. 【详解】由题意得，则有 两式相减得，所以故答案为：， 【变式16-1】(23-24高一上·江苏淮安·阶段练习)设是定义在上的奇函数，当时，，则(    ) A． B．1 C． D． 【答案】D【难度】0.94【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用 【分析】根据奇函数的定义可得，求出即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，且当时，， 所以.故选：D 【变式16-2】(24-25高一下·安徽阜阳·期末)已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式是(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】由奇偶性求函数解析式 【分析】根据给定条件，利用偶函数的定义求出解析式. 【详解】函数是定义在上的偶函数，当时，， 当时，，则.故选：A 【变式16-3】(24-25高二下·重庆沙坪坝·期末)设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求函数解析式、由函数的周期性求函数值、函数奇偶性的应用、函数对称性的应用 【分析】先利用题设条件推出是函数的一个周期，结合求出，再利用函数的周期性即可求得的值. 【详解】因为奇函数，则，又因为偶函数，则， 则有，故得，即得，故是函数的一个周期. 又为上的奇函数，故，解得， 则.故选：C. 【变式16-4】(24-25高一上·上海静安·期末)设函数是定义在上的奇函数，当时,，则不等式的解集为(    ) A．() B．[] C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】由奇偶性求函数解析式、解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据奇函数的性质求解，即可分类讨论代入求解. 【详解】设，则,故，故， 当且，即，则，解得， 当且时，即， ，解得， 当且时，即， ，解得， 当且，此时不存在， 综上可得，故选：C 【变式16-5】(多选)(25-26高三上·安徽合肥·阶段练习)下列选项中正确的有(    ) A．“”是“”的既不充分也不必要条件 B．与表示同一函数 C．函数的值域为 D．若是奇函数，当时，，则时， 【答案】ACD【难度】0.65【知识点】判断两个函数是否相等、由奇偶性求函数解析式、既不充分也不必要条件、复杂(根式型、分式型等)函数的值域 【分析】对于A，分别判断“”能否推出“”和“”能否推出“”，结合充分条件和必要条件的定义判断结论，对于B，求两函数的定义域化简函数解析式，结合函数相等的条件判断结论，对于C：设，将己知函数转化为二次函数，根据二次函数性质求值域即可判断，对于D，结合奇函数性质求x<0时的解析式，即可判断． 【详解】对于A，当时，满足，但，此时， 所以由不能推出，所以“”不是“”的充分条件． 当时，即，则有或，所以或或， 所以由不能推出，“”不是“”的必要条件， 因此，“”是“”的既不充分也不必要条件，A正确． 对于B，函数，其定义域为， 当时，；当时，． 函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以它们不是同一函数，B错误． 对于C，令，则． 那么可转化为， 当时，y取得最大值，．所以函数的值域为，C正确． 对于D，因为是奇函数，所以， 又当时，，所以当时，可得， ，D正确，故选：ACD． 【变式16-6】(24-25高一上·山东威海·期末)已知为上的奇函数，当时，，则不等式的解集为 ． 【答案】【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式、解分段函数不等式 【分析】利用函数是奇函数求出时，函数的解析式，并求出函数的单调性；利用单调递增及奇函数化简可得，分类讨论解不等式即可得解． 【详解】由为奇函数，得， 当时，，故， 故当时，，所以； 又当时，的开口向上，对称轴为， 所以函数在上单调递增，根据奇函数的性质可知函数在上单调递增， 故， 所以或，解得或， 故不等式的解集为.故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查了函数奇偶性的应用及分段函数不等式，解题的关键是利用奇偶性求出函数解析式，结合奇偶性利用单调性求解. 题型17 抽象函数的奇偶性 【典例17-1】(23-24高一上·河南周口·阶段练习)设是定义在上的偶函数，且在内是增函数，又，则不等式的解集是(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.94【知识点】抽象函数奇偶性、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】通过分析函数的单调性结合，即可得出不等式的解集. 【详解】由题意，在中，函数是定义在上的偶函数，且在内是增函数， ∴，函数在单调递减， ∵，∴当和时，，故选：B. 【典例17-2】(24-25高一下·云南昭通·期末)已知函数的定义域为，且，若，则(   ) A． B． C．为增函数 D．为奇函数 【答案】C【难度】0.65【知识点】求抽象函数的解析式、抽象函数的奇偶性、根据解析式直接判断函数的单调性【分析】利用赋值法求出、及的值，从而判断AB；令，结合的值，可得，从而判断CD. 【详解】对于A，令，则，又因为，所以， 令，则，解得，故A错误； 对于B，令，则，又，解得，故B错误； 对于C，令，则有， 又因为，所以，所以函数为单调递增函数，故C正确； 对于D，由C可知，为非奇非偶函数，故D错误.故选：C. 【典例17-3】(多选)(25-26高一上·云南·期中)已知函数的定义域为，对于任意的，都有成立，则( ) A． B．若，则 C．一定是偶函数 D．若，则 【答案】BCD【难度】0.4【知识点】抽象函数的奇偶性、求函数值 【分析】通过赋值法结合偶函数定义判断各选项即可. 【详解】对于A，令，由得： ，故或者故A错误； 对于B，令则由得： 又时， 令，则可得，则，故B正确； 对于C，当时，令，则， 则，故，所以函数是偶函数， 当时，令，则， 所以，所以函数是偶函数，综上可知，函数是偶函数，故C正确； 对于D，若，令，得， 令，则，，则， ，则，，则， ，则，      ，则， ，则， 故，故D正确.故选：BCD. 【典例17-4】(2025·重庆·模拟预测)已知定义在上的奇函数满足，则 . 【答案】2026【难度】0.65【知识点】抽象函数的奇偶性 【分析】法一：由题意利用列举法写出函数值，整理等式可得递推公式，根据累加法，可得答案；法二：由题意利用列举法写出函数值，设出函数解析式，利用等式检验，可得答案. 【详解】法一： 由函数是上的奇函数，则， 由，令，则； 则， 由. 法二：由函数是上的奇函数，则， 由，令，则； 由，令，则； 设，则，，即，符合题意， 所以.故答案为：. 【变式17-1】(23-24高二下·云南·阶段练习)设为奇函数，为偶函数，则(    ) A． B． C． D． 【答案】ABC【难度】0.94【知识点】抽象函数的奇偶性 【分析】利用奇函数偶函数的定义结合复合函数求解. 【详解】，，， A，B，C均正确. ，D错误.故选：ABC. 【变式17-2】(2025·山东菏泽·一模)已知函数的定义域为，且，若，则(    ) A． B．是奇函数 C．是增函数 D． 【答案】ABD【难度】0.85【知识点】抽象函数的奇偶性 【分析】对于选项A和选项B：利用奇函数的定义以及奇函数在原点有定义就有即可判断； 对于C：举反例即可判断；对于D：分别令和即可判断. 【详解】对于B：令，由题设可知，故是奇函数.故B正确； 对于A：又的定义域为R，所以，故A正确. 对于C：不妨取，则满足，且，故C错误. 对于D：令，则；令，则， 故，故D正确.故选:ABD 【变式17-3】(24-25高二下·江苏南京·期末)已知定义域为R的函数，满足是奇函数，是偶函数，则下列说法不一定正确的是(   ) A．的图象关于直线对称 B． C．的一个周期为4 D．的图象关于点对称 【答案】B【难度】0.65 【知识点】抽象函数的奇偶性、判断证明抽象函数的周期性、判断或证明函数的对称性 【分析】根据条件中的对称性，变形判断AD，再结合判断C，根据对称性，再判断B. 【详解】由是偶函数，可知，则关于对称，故A正确； 因为是奇函数，所以也是奇函数，关于点对称，故D正确； 由AD可知，，即，即， 则，所以是周期函数，周期为4，故C正确； 由可知，，函数关于对称，但不确定，故B错误. 故选：B 【变式17-4】(2025·河南·模拟预测)已知是定义在上的奇函数，且对任意，都有，则(    ) A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】函数奇偶性的应用、抽象函数的奇偶性 【分析】通过赋值法结合奇函数的性质即可求解. 【详解】令，则， 因为是定义在上的奇函数，所以，则.故选：C. 【变式17-5】(多选)(25-26高一上·云南·期中)已知函数的定义域为，满足，且，则( ) A． B．为奇函数 C． D． 【答案】AC【难度】0.65【知识点】抽象函数的奇偶性、由抽象函数的周期性求函数值、求函数值 【分析】根据题意，令，求得，可判定A正确；由，根据奇函数的性质，可判定B不正确；分别求得的值，得到的周期，可判定C正确；由，可判定D不正确. 【详解】由题意知，函数的定义域为，满足， 对于A，令，可得，因为，所以，所以A正确； 对于B，因为，所以一定不是奇函数，所以B不正确； 对于C，令，可得，所以； 令，可得，所以； 令，可得，所以； 令，可得，所以， ， 由此可得，函数的周期为2，则，所以C正确； 对于D，由，，可得，所以，所以D不正确. 故选：AC. 【变式17-6】(24-25高一上·内蒙古赤峰·期末)已知函数对于任意实数，都有，且. (1)求的值；(2)令，求证:函数为奇函数； (3)求的值. 【答案】(1)(2)证明见解析；(3).【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、抽象函数的奇偶性、函数奇偶性的定义与判断、求函数值 【分析】(1)应用赋值法即可；(2)应用奇函数的定义即可判断； (3)结合(2)转化为求，即可求解. 【详解】(1)当时，，则； (2)当时，，则； 设，则，则， 则，即，即函数为奇函数. (3)由(2)知，为奇函数，则 . 题型18 单调性、奇偶性的应用 【典例18-1】(2025高二下·湖南·学业考试)若奇函数在区间上是增函数，且最小值为3，则它在区间上是(    ) A．增函数且有最大值 B．增函数且有最小值 C．减函数且有最大值 D．减函数且有最小值 【答案】A【难度】0.94【知识点】利用函数单调性求最值或值域、函数奇偶性的应用 【分析】根据奇函数的特性分析在的单调性，再结合判断即可． 【详解】因为函数在区间上是增函数，且有最小值3，所以，又为奇函数，所以函数在区间上是增函数，且有最大值．故选：A． 【典例18-2】(24-25高一上·辽宁丹东·期中)已知函数，那么不等式的解集为( ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用、解不含参数的一元二次不等式 【分析】先分析出的奇偶性，然后化简不等式并通过分类讨论求解出不等式解集. 【详解】因为的定义域为关于原点对称，且， 所以为奇函数，所以， 当时，，解得， 当时，，无解， 当时，，解得或(舍)， 综上所述，不等式解集为，故选：C 【典例18-3】(多选)(2025·湖北黄冈·一模)定义在上的函数和，为奇函数，为偶函数，且，则(　　) A． B． C．的图象关于对称 D．8为的一个周期 【答案】BCD【难度】0.4 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用 【分析】对A：由为奇函数可得，再利用，从而可消去，即可得解；对B：由为偶函数可得，再利用，从而可消去，即可得解；对C：借助B中所得，结合赋值法计算即可得；对D：结合A中所得及为偶函数计算即可得. 【详解】对A：由为奇函数，则， 故，由，则， 且有，即，则， 令，则，即，故A错误； 对B：由为偶函数，则， 由，则、， 故，又， 则，则，则， 由，则，故，故，故B正确； 对C：由，则的图象关于对称，故C正确； 对D：由，则， 又，则，则， 则，即，即8为的一个周期，故D正确. 故选：BCD. 【典例18-4】(2025高一上·全国·专题练习)已知函数是定义在上的偶函数，若函数在上单调递增，则不等式的解集为 ． 【答案】【难度】0.65【知识点】根据函数的单调性解不等式、函数奇偶性的应用、由函数奇偶性解不等式【分析】不等式变形为，即，根据偶函数特征结合单调性求解即可 【详解】， 不等式可变形为，即， 函数是定义在上的偶函数，， 所以为偶函数，若函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减，所以，解得，故答案为：． 【变式18-1】(24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末)已知函数是奇函数且在区间上单调递增，则函数在区间上(    ) A．单调递增，有最小值 B．单调递增，有最大值 C．单调递减，有最小值 D．单调递减，有最大值 【答案】B【难度】0.94【知识点】利用函数单调性求最值或值域、函数奇偶性的应用 【分析】根据条件，利用奇函数的性质，即可求解. 【详解】奇函数图像关于原点对称，所以在关于原点对称区域内单调性相同， 函数是奇函数且在区间上单调递增，则函数在区间上单调递增， 又增区间为半开半闭区间，所以存在最大值.故选：B. 【变式18-2】(25-26高三上·江苏·开学考试)设函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，当时，，则(    ) A． B．0 C．1 D．2025 【答案】A【难度】0.85【知识点】由函数的周期性求函数值、函数奇偶性的应用 【分析】根据函数的奇偶性可推得其周期性，利用周期性即可求解. 【详解】为奇函数，故， 又为偶函数，则，故， 则有，即，也即， 故，故8为函数的一个周期. .故选：A 【变式18-3】(2025·福建漳州·模拟预测)定义在上的奇函数满足：，且，，若，则不等式的解集为(   ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.65【知识点】根据函数的单调性解不等式、定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的应用、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据题干条件，构造函数，结合单调性的定义，可得的单调性，根据奇偶性的定义，可得的奇偶性，结合特殊值，计算分析，即可得答案. 【详解】因为，且，， 所以， 设，则，，且，， 根据单调性的定义可得，在上单调递增， 因为在R上为奇函数，所以， 所以在R上为奇函数，所以在上单调递增， 因为，所以，则， 所以的解集为， 所以的解集为.故选：D 【变式18-4】(25-26高一上·云南·期中)已知是定义域为的奇函数，满足，若，则( ) A． B．1 C．5 D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】由函数的周期性求函数值、函数奇偶性的应用、函数周期性的应用 【分析】根据已知条件分析出是周期为8的周期函数，然后利用周期性可得，结合已知函数值可求结果. 【详解】因为，所以， 又因为是定义域为的奇函数，所以，且, 所以，则， 所以，则是周期为8的周期函数，所以，， 因为，所以， 因为， 所以.故选：B. 【变式18-5】(25-26高一上·全国·课后作业)(多选)已知函数对任意的都有，函数的图象关于直线对称，且对任意的，，都有．则下列结论正确的是(    ) A．是偶函数 B． C． D．的图象关于点对称 【答案】ABD【难度】0.65 【知识点】比较函数值的大小关系、函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用 【分析】根据函数的周期性、奇偶性、单调性等知识对选项逐一进行分析，即可得出正确答案. 【详解】选项A，因为函数对任意的都有， 所以，所以是周期为4的周期函数． 因为函数的图象关于直线对称，所以的图象关于直线对称，所以是偶函数，所以A正确． 选项B，由且是以4为周期的偶函数，以替换， 得，则，所以， 所以，所以B正确． 选项C，因为对任意的，都有， 所以在区间上单调递增，又因为， 且，所以，即，所以C错误． 选项D，由选项B知，所以的图象关于点对称，所以D正确． 故选：ABD． 【变式18-6】(25-26高三上·上海静安·阶段练习)已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则 . 【答案】0【难度】0.65【知识点】由函数的周期性求函数值、函数奇偶性的应用 【分析】根据奇函数的性质，结合已知等式求出函数的周期性，再利用函数的周期性进行求解即可. 【详解】因为是奇函数，所以有，而， 于是有， 即有，因此有， 所以该函数的周期为，在中，令， 有，于是，故答案为： 一、单选题 1.(24-25高一上·全国·课前预习)下列表示函数图象的是(   )        A. B. C. D. 【答案】C【难度】0.94【知识点】函数关系的判断、函数图像的识别 【分析】根据函数的定义对图象一一判断即可. 【详解】在函数的基本概念中，自变量和因变量需要一一对应，且对于每个值，仅有一个值对应， 所以选项ABD均不符合.故选：C. 2.(25-26高一上·四川内江·开学考试)函数中自变量x的值可以是(    ) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A【难度】0.94【知识点】具体函数的定义域 【分析】根据根号下大于等于0得到的范围即可得答案. 【详解】由题意得，解得， 则自变量x的值可以是3.故选：A. 3.(23-24高一上·河南·阶段练习)已知函数的定义域为，则函数的定义域为(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.94【知识点】抽象函数的定义域、复合函数的定义域 【分析】根据题意得到，再解不等式组即可. 【详解】根据题意可得，解得且．故选：C 4.(24-25高一上·湖南邵阳·阶段练习)下列说法正确的是(    ) A．，对任意的，，这个对应是A到B的函数 B．若函数的定义域为，则函数的定义域为 C．和表示同一函数 D．函数的最小值是 【答案】C【难度】0.65 【知识点】函数关系的判断、抽象函数的定义域、判断两个函数是否相等、求二次函数的值域或最值 【分析】对于A选项，当时不符合函数定义；对于B选项，由抽象函数定义域求法可判断；对于C选项，根据同一函数的概念判断；对于D选项，根据二次函数的性质求值域. 【详解】对于A选项，当时，故不符合函数定义，A错误； 对于B选项，因为函数的定义域为，∴，∴，所以函数的定义域为，故B错误； 对于C选项，两个函数定义域和对应关系都相同，故是同一函数，C正确； 对于D选项，，函数在单调递增，则，故D错误. 故选:C. 5.(24-25高一上·江苏无锡·阶段练习)函数的值域为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】复杂(根式型、分式型等)函数的值域 【分析】利用换元法并根据二次函数性质计算可得结果. 【详解】令，则可得，即， 可得， 当时，取得最大值2，即；所以其值域为.故选：A 6.(24-25高一上·山东威海·阶段练习)已知函数，则(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】已知f(g(x))求解析式 【分析】令，得，表示出即可得到的解析式. 【详解】令，则，， ∴，∴.故选：B. 7.(24-25高一上·广东广州·阶段练习)已知，函数在区间上的最大值是5，则a的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.4【知识点】利用函数单调性求最值或值域、根据函数的最值求参数 【分析】由对勾函数的单调性可得，分，，三种情况讨论即可. 【详解】因为，在上单调递减，在上单调递增，所以， 当时，，函数的最大值，所以，舍去； 当时，，符合题意； 当时，， 则或，解得或， 综上，实数的取值范围是.故选：. 【点睛】关键点点睛：根据对勾函数可得，通过对解析式中绝对值符号的处理，进行分类讨论，分，，三种情况逐一分析. 8.(24-25高一上·湖北武汉·期末)已知函数的定义域为，对任意的，都有，当时，，且，若，则不等式的解集是(    ) A．或 B． C．或 D． 【答案】D【难度】0.4【知识点】求函数值、定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、解不含参数的一元二次不等式 【分析】先由题设结合赋值法求出和，接着求出函数是单调递减函数，再利用函数单调性解不等式得，解该不等式即可得解. 【详解】因为对任意的，都有，，且， 所以，且， 设任意，则，则， 又，所以， 若，则当时，，则，矛盾， 所以，所以，所以函数是单调递减函数， 所以不等式等价于，所以， 故即，解得. 所以不等式的解集是.故选：D 【点睛】关键点睛：解决本题的关键1是巧妙赋值求出求出和，关键2是由所给条件结合单调性定义求出函数是单调递减函数. 二、多选题 9.(25-26高一上·全国·课后作业)已知函数，关于函数的结论正确的是(    ) A． B． C．若，则 D．的解集为 【答案】BD【难度】0.85 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、已知分段函数的值求参数或自变量、解分段函数不等式 【分析】根据分段函数的解析式直接计算求解可判断答案. 【详解】，故A选项错误； ，故B选项正确； 当时，，解得，当时，，解得，即的解集为，故C选项错误； 当时，，解得，当时，，解得，综上，的解集为，故D选项正确；故选：BD. 10.(24-25高二下·浙江温州·阶段练习)设，则(   ) A．当时， B．当时，有3个零点 C．有实数解 D．当时，有个零点 【答案】ACD【难度】0.65【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、求函数零点或方程根的个数 【分析】直接赋值可得到选项A；数形结合，做出的图像可得到选项B；把原复合方程的解的问题转化为的解的问题可得到选项C；时，的零点问题等价于区间有几个整数问题，进而得到选项D. 【详解】对于A：当时，,，故A选项正确； 对于B：当作出的图像，由图像知只有2个零点，故B选项错误； 对于C：易知满足的解一定是的解， 而当时，，而方程一定有负根，故C选项正确； 对于D：令，当时，有2个零点； 当时， 在且)的图像向右平移一个单位，再向下平移一个单位， 即可得到在的图像，的零点问题等价于区间有几个整数问题， 零点有个； 一共有零点个，故D选项正确.故选：ACD 11.(24-25高一上·安徽亳州·期末)已知函数的定义域为，且，则下列结论正确的是(   ) A． B．函数是偶函数 C．函数是周期为4的周期函数 D． 【答案】ABD【难度】0.4【知识点】抽象函数的奇偶性、函数周期性的应用、求函数值 【分析】对A，令结合条件可得解；对B，令结合偶函数定义可判断；对C，令，可得，，联立并化简可得即可推出周期判断；对D，令，得，用代替，得，相加运算得解. 【详解】对于A，由，令，可得， 因为，所以，故A正确； 对于B，令，可得，即，所以为偶函数，故B正确； 对于C，令，得， ，从而得，即， 所以，所以是周期为6的周期函数，故C错误； 对于D，令，得，用代替，得， ，由可得， ，故D正确.故选：ABD. 三、填空题 12.(24-25高一下·广东汕头·期末)判断为 函数(选填 “奇” “偶” “非奇非偶”) 【答案】奇【难度】0.85【知识点】函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据题意确定函数的定义域，利用奇偶函数的定义判断即可. 【详解】由题可知，解得，所以函数的定义域为， 又， ， 所以，又定义域关于原点对称，所以为奇函数.故答案为：奇. 13.(24-25高一下·河北保定·期中)已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为 . 【答案】【难度】0.65【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数 【分析】考虑各段函数的单调性以及分段点处的函数值大小关系，由此可求结果. 【详解】因为是上的减函数，所以，解得， 所以的取值范围是，故答案为： 14.(23-24高一上·北京·期中)设函数，，且函数，定义域均为，记：①；②；③；④． (1)若，满足条件④，则a的取值范围为 ．； (2)若，恰满足条件①、条件②、条件③、条件④的一个，则a的取值范围为 ． 【答案】;【难度】0.4【知识点】函数不等式恒成立问题、根据解析式直接判断函数的单调性、根据函数的单调性求参数值、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】(1)，满足条件④，即在上恒成立，分类讨论a的取值，即可得答案. (2)分别求出条件①、条件②、条件③、条件④成立的参数a的范围，再结合，恰满足其中的一个，分类讨论，即可求得答案. 【详解】(1)由题意知，满足条件④，即在上恒成立， 即在上恒成立,由于，故在上恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，在上恒成立，符合题意； 当时，在上单调递增，在上不会恒成立，不符合题意； 故综合以上得； (2)当①成立时，即在上恒成立，即在上恒成立， 由于在上单调递增，故，故； 当②成立时，即在上恒成立，即在上恒成立， 由于在上单调递增，故在上不会恒成立，即此时； 当③成立时，即在上恒成立， 同(1)可得；由(1)知④成立时，； 当，恰满足条件①时，则，，同时成立，即； 当，恰满足条件②时，； 由于条件③、条件④成立时，二者都等价于，故，不会恰满足其中一个， 综合以上可知；故答案为：； 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是明确题意，将问题转化为不等式恒成立问题解决，即分别求出四个条件成立时的参数的取值范围，再结合要求求解即可. 四、解答题 15.(23-24高三上·江西宜春·阶段练习)已知函数. (1)若，求的值；(2)当时，的解集为，求. 【答案】(1)或;(2)【难度】0.94 【知识点】已知函数值求自变量或参数、解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】(1)根据得到方程，求出或；(2)解分式不等式，求出解集. 【详解】(1)，则，即，解得：或. (2)当时，，等价于， 解得：，所以. 16.(24-25高一上·浙江杭州·期中)已知，，函数． (1)若，求的最小值；(2)若，求不等式的解集(用表示)． 【答案】(1)；(2)答案见解析.【难度】0.85 【知识点】已知函数值求自变量或参数、解含有参数的一元二次不等式、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】(1)由得，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. (2)由得到，即代入不等式中分类讨论解不等式即可. 【详解】(1)由，得，即，而， 因此，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值. (2)由，得，即，不等式， 当时，解得或；当时，；当时，解得或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为R； 当时，原不等式的解集为. 17.(25-26高一上·全国·课后作业)已知函数满足任意的实数，都有，且当时，． (1)求的值；(2)判断在上的单调性并证明． 【答案】(1)(2)在上单调递增，证明见解析【难度】0.85 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、求函数值 【分析】(1)对于给定的函数关系式赋值代入计算即得； (2)根据函数的单调性的定义，作差比较与的大小，此时需构造，利用题设性质证得即可． 【详解】(1)由题意，对任意的实数，都有， 令，则，所以． (2)在上单调递增． 证明如下：设且， 则， 因，则，故，所以，即， 所以在上单调递增． 18.(24-25高一上·广东广州·期中)已知函数，. (1)若函数的定义域为，求实数的取值范围； (2)若任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数，函数的最小值是，求实数的值. 【答案】(1);(2);(3)【难度】0.4 【知识点】根据函数的最值求参数、已知函数的定义域求参数、函数不等式恒成立问题、复合函数的最值 【分析】(1)由题意可得：对任意的，，结合二次函数分析求解； (2)由题意可知，不等式对任意的，令，由参变量分离法可得，利用对勾函数的单调性求出函数在上的最小值，可得出关于实数的不等式，即可得出实数的取值范围； (3)令，可得的最小值是，分和两种情况，结合二次函数最值分析求解. 【详解】(1)若函数的定义域为，则对任意的，， 由于函数为开口向上的二次函数，故只需要，解得， 所以实数的取值范围是. (2)任意，恒成立，则，可得， 令，则，所以，，可得， 令，其中，则函数在上为减函数， 所以，，所以，，解得.因此，实数的取值范围是. (3)因为， 令，则， 则为开口向上，对称轴为的二次函数， 当，即时，则在上单调递减，在上单调递增， 此时，解得，不符合要求，舍去； 当，即时，则在上单调递增， 此时，解得或(舍去)；综上所述：. 19.(24-25高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末)我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．依据推广结论，已知的图象关于点成中心对称图形． (1)求的解析式；(2)求的值； (3)已知在上单调递增，若存在，使得在上的值域为，求实数的取值范围． 【答案】(1);(2)8;(3)【难度】0.15【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据函数的最值求参数、由对称性求函数的解析式、函数对称性的应用 【分析】(1)解法一：设，依题可得为奇函数，利用化简求出值，即得的解析式.解法二：同样基于推广结论，由为奇函数，利用求出值，再进行验证. (2)由(1)得到的性质，观察所求式子，通过合理分组，利用性质即得. (3)由在单调递增，可得函数在上的值域，列出关于的方程组，进一步转化为关于的方程在有两个不等实根问题，列出不等式组可求的取值范围. 【详解】(1)解法一：设 图象关于成中心对称，为奇函数， ．化简得：．解得，. 解法二：图象关于成中心对称， 为奇函数，．解得 经验证符合题意，． (2)由(1)得， . (3)在是单调递增，， 在上的值域为， 由题意得变形得， 所以关于的方程在有两个不相等的实数根． 整理化简得：， 则有．解得． 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 第三章函数的概念与性质复习讲义 内容概览 题型01函数概念辩析 题型02函数的定义域 1.教学目标、教学重难点 题型03复合函数的定义域 题型04函数的值域 2.知识点01函数概念 题型05已知函数值域求参数或其范围 题型06函数的解析式 题型07分段函数 3.知识点02函数的三要素 题型08判断是否相同函数 第3章函数的概念与性质复习 题型09用定义判断、证明单调性 题型10由图象判断单调性 4.知识点03函数的单调性、最值 题型11复合函数的单调性 题型12已知单调性求参数或其范围 5.知识点04函数的奇偶性 题型13由单调性求函数值域、最值 题型14已知最值求参数 题型15奇偶性的判断 6.知识点05函数的图象 题型16已知奇偶性求解析式 题型17抽象函数的奇偶性 题型18单调性、奇偶性的应用 教学目标、教学重难点 1.理解函数的概念及表示方法： 2.掌握求定义域的方法；理解掌握区间的概念、表示： 3.掌握求函数解析式的常用方法，会判断两个函数是不是同一个函数： 4理解掌握分段函数及其定义域，会用图象表示分段函数，从而解决分段函数问题： 教学目标 5.理解单调性有关概念，掌握定义法判断函数单调性的步骤，掌握单调区间的写法： 6理解函数的最大（小）值的概念及其几何意义，掌握求最值的方法： 7理解奇偶性概念，掌握奇偶性判断方法，会求与奇偶函数有关的函数解析式： 8.能处理与函数单调性、奇偶性相关的综合问题， 1、重点：函数概念、性质的理解及应用； 教学重难点 2、难点：抽象函数的单调性、复合函数的单调性、奇偶性与单调性的综合应用； 知识清单 知识点01函数的概念 （一)函数概念： 1函数定义：一般地，设A,B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f使对于集合A中的任 意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数x)和它对应，那么就称fA→B为从集合A到集合B的一个函 数，记作y=x),x∈A. (I).直线x=a与函数y=x)的图象至多有1个交点. (2)在函数的定义中，非空实数集A,B,A即为函数的定义域，值域为B的子集。 2函数的三要素：定义域、解析式、值域. (1)在函数y=(x),x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域： 第1页共96页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (②)与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{fx)x∈A}叫做函数的值域。 显然，值域是集合B的子集， (3)函数的对应关系（解析式）：y=f(x),x∈A. 3相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等. 4.函数的三种表示方法： 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.优点：简明，给自变量求函数值， 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系。 优点：直观形象，反应变化趋势， 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 优点：不需计算就可看出函数值. 5.区间： (1)一般区间 集合 区间名称 符号表示 数轴表示 {xa≤x≤b} 闭区间 [a,b7 (xa<x<b) 开区间 (a,b) {xa≤rKb} 左闭右开区间 [4,b {xaKx≤b} 左开右闭区间 (a,b] (2)特殊区间 集合 区间名称 符号表示 数轴表示 {xr≥a [a,+∞) xx>a (a,+o∞) {xk≤a (-∞，ad {x<a} (一o∞，① R 〔一∞，十∞) 注意：不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示 【即学即练1】(25-26高一上河北石家庄·开学考试)如图所示各图中反映了变量y是x的函数是() 【答案】D【难度】0.94【知识点】函数关系的判断 【分析】根据函数的概念，对于任意的x都有唯一的y与之对应，逐一验证即可. 【详解】根据函数的概念，对于任意的x都有唯一的y与之对应，故D正确故选：D 知识点02函数的三要素 (一)定义域 1.常见求定义域的限制条件： (1)分式的分母不为零： (2)偶次方根的被开方数大于或等于零： (3)对数的真数大于零，底数大于零且不等于1： 第2页共96页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (4)零次幂或负指数次幂的底数不为零： 5)三角函数中的正切y=tanx的定义域是{xx∈R,且x≠km+,kEZ: (⑥对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域。 2复合函数的定义域 如果函数yf)的定义域为A,函数t=g(☒的定义域为B,值域为C, 则当C二A时，称函数yf(g(x)为f)与g(x)在B的复合函数， 其中t叫做中间变量，g(x)叫做内层函数，y)叫做外层函数 (1)若己知fx)的定义域为[a,],则fgx)的定义域为不等式a≤g(x)≤b的解集； (2)已知g(x)的定义域为[a,b],则x)的定义域为函数y=gc)x∈[a,b])的值域. (3)函数f(g(x)的定义域是指x的取值范围，而不是g(s)的取值范围， (二)求函数解析式的常用方法： (1)当已知函数的类型时，可用待定系数法求解： (2)当已知表达式为g(x】时，可考虑配凑法或换元法： 若易将含x的式子配成gx),用配凑法。若易换元后求出x，用换元法。 (3)若求抽象函数的解析式，通常采用方程组法： (④)求分段函数的解析式时，要注意符合变量的要求； (⑤)当出现大基团换元转换繁琐时，可考虑配凑法求解； (⑥若已知成对出现f(树与f()或fx),f(-x)类型的抽象函数表达式，则常用解方程组法构造另一个方程， 消元的方法求出f(x) (三)分段函数： 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分 别注明各部分的自变量的取值情况， (1)分段函数虽由几个部分构成，但它表示同一个函数， (②)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.， (3)各段函数的定义域不可以相交，写分段函数的定义域时，区间端点应不重不漏， (四)求函数值域的常用方法： (1)分离常数法： 将形如y=照a≠0)的园数分离常数，变形过程为：兰二a兰-计怎 +d竖 ax+b axtb a'ax+b 再结合x的取值范围确定监的取值范围，从而确定函数的值域。 axtb ②)换元法：如：fx)=ax+b+Vcx+d(ac≠0)，可令t=Vx+a(t≥0)，得到x=d, 从而函数可以化为：fx=g()-a-+t+bt≥0)， 即关于t的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t的取值范围的限制. (3)基本不等式法和对勾函数 第3页共96页 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (4)单调性法 (⑤)求导法 【即学即练2-1(24-25高一上广东江门：期肿中)函数f()=4-x+x一2的定义域为) A.(2,4] B.（-0,4] C.（-0,2)U(2,+0) D.(-o,2)U(2,4] 【答案】D【难度】0.94【知识点】具体函数的定义域【分析】根据根式函数和分式函数的定义域求法求解. 【详解】由x2产0解得x≤4且x≠2，所以f()的定义域为(-0,2U(2,4,故选：D 4-x≥0 【即学即练2-2】(24-25高一上河北石家庄·期中)函数y= 3+x的值域是() 4-2x A.（-∞，+0） B.(-0,2)U(2,+） c.（ ）.（Gm 【答案】C【难度】0.94【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】分离常数可得函数单调性，进而可得值域 【详解1由已知函数=定义线为(2)(2+)，且-()习 则e(ou0+,即=(m(小放选：C 【即学即练2-3】(24-25高一上·全国·课后作业)若f(x)是一次函数，2f(2)-3f0)=5,2f(0)-f(-1)=1, 则f(x)=() A.3x+2 B.3x-2 C.2x+3 D.2x-3 【答案】B【难度】0.94【知识点】已知函数类型求解析式 【分析】设出函数(x)的解析式，再根据给定条件列出方程组，求解作答， 【详解】设=瓜+如+0)，由题设有8+解得所以f)=3x-2.故选：B, 2(2a+b)-3(a+b)=5 知识点03函数的单调性、最值 一、单调性与最值有关概念 (一)增函数、减函数的定义 增函数 减函数 定 一般地，设函数凡x)的定义域为，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x,x2 义 当x1x2时都有x1)孔x),称函数凡x)在区间D上是增函数当x1Kx2时都有x)>x2),称函数x)在区间D上是减函数 yf八x) Ax) y=fx) 图 iAx)Ax2) 象 0x1 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 注意：X,X,的三个特征 1.任意性：x,x2必须是任意的，不可以随便取两个特殊值： 第4页共96页 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.有序性：一般要对x和x,的大小进行规定，通常规定x<x; 3同区间性：即x,x,同属于一个单调区间. (二)单调性 1.若函数y=x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y=x)在这一区间上具有（严格的单调性， 2.函数单调性是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题， (三).增函数与减函数形式的等价变形 y=)在区间D上是增函数台对x1<2,都有心x)f)台(1一x[x)一xP0/f20: X1-X2 y=)在区间D上是减函数台对Vx<2,都有x>f)台(1一x)一f0ff20. x1-X2 (四).单调区间 1若函数y=x)在区间D上是增函数或减函数，区间D叫做函数y=x)的单调区间. 2.单调区间Dc定义域I,故求单调区间时应树立“定义域优先”的原则. 3遵循最简原则，，单调区间应尽可能大： 4单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示： 5.如有多个单调区间应分开写，不能用并集符号U连接，也不能用“或”连接，只能用“，或“和”隔开， 6单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开. (五).函数的最值（值域）概念 前提设函数y=fx)的定义域为，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意的x∈I,都有fx)≤M (3)对于任意的x∈I,都有fx)≥M (2)存在x∈I,使得fx)=M (4)存在x。∈I,使得f(x)=M 结论M为最大值 M为最小值 二、单调性的常见运算性质 (一).单调性的运算 1.增函数()+增函数(7)=增函数 2.减函数()+减函数()=减函数y 3.f田为/，则：-f田为N,高为别 4增函数(7)-减函数()=增函数☑ 5.减函数()-增函数()=减函数、 6.增函数(/)+减函数()=未知（导数） 7.函数y=x)与函数y=x)十C(C为常数)具有相同的单调性 8.若心0，则x)与x)单调性相同；若0，则x)与fx)单调性相反. 9.在公共定义域内，函数y=x)x)>0)与y=f(x)和y=f()具有相同的单调性. 10.若)，g(w)均为区间A上的增（减）函数，则x)十g(x)也是区间A上的增（减）函数、 11.若x),gx)均为区间A上的增（减）函数，且x)>0,g(x)>0,则fx)gw)也是区间A上的增（减）函数. 第5页共96页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (二)复合函数的单调性： 1.函数fx)=h[g(x)]是由y=h(u)与u=g☒复合而成（在公共定义域内）： 其中：y=h(m称为外函数，u=g()称为内函数： 2.复合函数单调性判断：“同增异减” (1)内函数()外函数(7)，则复合函数()： (2)内函数()外函数（八），则复合函数（刀）： (3)内函数()外函数()，则复合函数()： (4)内函数（￥）外函数(7)，则复合函数()： 三、函数值城求法 1利用单调性求最值：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值（值域）， (I)若函数y=人x)在区间[a,b]上单调递增，则mx=b),ymm=fa (2)若函数y=x)在区间[a,b]上单调递减，则ymax=c,ymm=fb) (3)若函数y=x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大（小）值.函 数的最大（小）值是整个值域范围内的最大（小）值 2.图象法求最值：作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域. (1)分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作 图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域： (2)∫(x)的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中， 然后确定靠下（或靠上）的部分为该f(x)函数的图象，从而利用图象求得函数的值域， 3.换元法求最值： (1)在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围. (2)换元的作用有两个： ①通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消 灭”根式，达到简化解析式的目的 ②可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理 4分离带数法求最值：形如y=或y=(口，c至少有一个不为零)的函数，可用此法 cx+d 以y=为例，解题步骤如下： cx+d 第一步，用分子配凑出分母的形式，将函数变形成y=+的形式， c cx+d' 第二步，求出函数y=+在定义域范围内的值域，进而求出y=的值域。 cx+d 5判别式法：主要用于含有二次的分式函数，形如：y一的两数，可用北法 将函数式化成关于x的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数y的取值范围，即得函数的值域。 应用判别式法时必须考虑原函数的定义域，并且注意变形过程中的等价性。 另外，此种形式还可使用分离常数法解法。 6.导数法求最值：对可导函数f(x)求导，令'(x)=0,求出极值点，判断函数的单调性： 第6页共96页 丽学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 (①)如果定义域为闭区间，额函数的最值一定取在极值点处或区间端点处： (2)如果定义域是开区间且函数存在最值，则函数最值一定取在极值点处。 三、对勾函数与飘帶函数 (一)对勾函数：)=m+bab>0) )当a>0,b>0时，（一山，一月后+m上是增函数，-层0，o,月上是减西数： 0月 4>0,h>0 a<0,h0 ②当a0,b<0时，网在(-0原【层+四止是减函数，在-层，0：、月上是增函数： (仁)飘带函数：)=m+bab<0) (1)当a>0,b<0时，x)在(-o,0),(0,十o)上都是增函数： a>0,b<0 a<0,b>0 (2)当a<0,b>0时，fx)在（一o,0),(0,十o)上都是减函数： 【即学即练3-1】(23-24高一上福建泉州，阶段练习)函数(x)=x-2x的单调减区间是() A.[12] B.[-1,0] c.[0,2] D.[2,+w) 【答案】A【难度】0.94【知识点】求函数的单调区间【分析】画出函数图象，即可求解单调区间. 【详解】f(x)=k-2x= x2-2x,x22 -x2+2x,x<21 画出f(x)的图象如下： 由图象可知：f(x)的单调减区间为[1,2]，故选：A 【即学即练32】(24-25高一上全国课后作业)函数=，xL,21,则f()的最大值为一，最小值 为 第7页共96页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】-/-05：-1【难度1085 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域 【分析】先判断函数在[1,2]的单调性，然后利用函数的单调性可求得函数的最值 【详解】任取∈L2,且x<x,则)-fx,)=1,1 x2-x1 x1-3x2-3(x1-3)x2-3) 因为1≤x1<x2≤2，所以x2-x1>0,(x-3)(x2-3)>0, 所以fx)-f(x,)>0,即f(x)>f(x),所以f(x)在[1,2]上递减， 所以f=0=-子m=f0=-1放答案为：号-1 1 知识点04函数的奇偶性 一、函数的奇偶性概念 定义 图象特点 偶函数对于定义域内任意一个x,都有凡一x)=x),那么函数x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数对于定义域内任意一个x,都有一x)=一孔x),那么函数孔x)是奇函数关于原点对称 二、奇偶性的运算 f(x) g(x) f(x)+g(x f(x)-g(x) f(x)·g(x) f(x)÷g(x)f[g(x)] 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数奇函数奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 奇函数 三、函数奇偶性常用结论 1.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件， 2.若fx)≠0，则奇（偶）函数定义的等价形式如下： (1)f0x)为奇函数台f(-)=一f)台f-)十f0w)=09-一1， f(x) (2)f)为偶函数台f(-x)=f)台f-为一f)=0C二9=1. f(x) 3.如果一个奇函数fx)在x=0处有定义，那么一定有(0=0. 4.如果函数fx)是偶函数，那么fx)=fs) 5.在关于原点对称的区间上：奇函数具有相同的单调性；偶函数具有相反的单调性. 6.若y=fx+四是奇函数→fx关于点(4,0)对称： 若y=fx十)是偶函数→f关于直线x=对称 7.奇函数的最值：若奇函数f(8)在区间D上有最值，则fmzx(x)+fmim(x)=0: 8.若函数fx)的定义域关于原点对称，则函数fx)能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式. 即fx)=gx)+h(&),其中：gx)=[f)+f-xl,h(8)=2[fx)-f〔-x: 四、常见的奇偶函数 1.fx)=a+a-x(a>0,a≠1)为偶函数： 2.fx)=ax-ax(a>0,a≠1)为奇函数； 第8页共96页 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3f8)=g=a>0,a≠1)为奇函数： ata x-a%41 4f的)=loga8￥(a>0,a+1,b≠0)为奇函数： 5.fx)=loga(Wx2+1士x)(a>0,a≠1)为奇函数； 6.fx)=lax+bl+Iax-bl为偶函数： 7.fx)=lax+bl-lax-bl为奇函数： 【即学即练4】(24-25高一下山西大同阶段练习)下列函数中是奇函数的是() A.f(x)=x+1 B.f(x)=x C.f(x)=-2x D.f(x)=x2+x 【答案】C【难度】0.94【知识点】函数奇偶性的定义与判断 【分析】利用函数的奇偶性的定义依次判断即可。 【详解】对A,函数f(x)定义域为R,关于原点对称， ∫(-x)=-x+1,不满足f(-x)=-f(x),故A不符合题意： 对B,函数∫(x)定义域为R,关于原点对称， f(-x)=x|=,不满足f(←x)=-f(x),故B不符合题意： 对C,函数∫(x)定义域为R,关于原点对称， f(-x)=2x,满足f(-x)=-f(x),故C符合题意： 对D,函数f(x)定义域为R,关于原点对称， f(-x)=x-x,不满足f(-x)=-f(),故D不符合题意.故选：C. 知识点05函数的图象 函数图象变换 1.平移变换 ①把函数y=f(x)的图像沿x轴向左平移a个单位得到函数y=f(x+a)(a>O)的图像： ②把函数y=f(x)的图像沿x轴向右平移a个单位得到函数y=f(x-a)(a>O)的图像： ③把函数y=f(x)的图像沿y轴向上平移a个单位得到函数y=f(x)+a(a>0)的图像： ④把函数y=f(x)的图像沿y轴向下平移a个单位得到函数y=f(x)-a(a>O)的图像： 2.函数自身的对称变换 ()如果十四=仍一x)y=)关于直线x=艺对称。 (2)若y=x)关于直线x=a对称台a十x)=a一x)台2a-x)=x)曰(2a十x)=-x) (3)若y=x)关于点(a,b)对称台a+)+a一x)=2b台2a一x十fx)=2b台2a十x)廾f一x)=2b (4若y=x)关于点(a,0)对称台a十x)=一a-x)台2a-x)=-y)台2a十x)=一-x) 3.两个函数之间的对称变换 (1)函数x)与函数g(x)=f(-)的图像关于y轴对称： (2)函数x)与函数g(x)=-fx)的图像关于x轴对称： 第9页共96页 丽学科网·上好课 www zxx k co m 上好每一堂课 3)函数y=a十x)与y=b-x)的图象关于直线x=+对称； 2 (4)函数x)与g(8)=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称： (⑤)函数x)与函数g(x)=-f(-x)的图像关于坐标原点(0,0)对称： (6)函数x)与g(8)=2b一-)的图象关于点(0，b)对称： (⑦)函数x)与g(8)=2b-f2a一x)的图象关于点(a,b)对称： (8)函数fx)与其反函数g(x)=f1()图像关于直线y=x对称： 4.翻折变换 1)y=f(x)的图像是将函数f(x)的图像保留x轴上方的部分不变，将x轴下方的部分关于x轴对称翻折 上来得到的（如图(a)和图(b)所示 (2)y=f(x)的图像是将函数f(x)的图像只保留y轴右边的部分不变，并将右边的图像关于y轴对称得到 函数y=f(x)左边的图像即函数y=f()是一个偶函数（如图(c)所示）· y=f(x) y=f(x) =f0x) (a) (b) (C 5.伸缩变换 ①将y=f(x)上每一点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍得到y=Af(x)(A>O) ②将y=f)上每一点的横坐标伸长(0<o<)或缩短(a>)到原来的.倍得到y=f(x)(a0>0) 【即学即练5】(23-24高一上北京·期中)函数∫(x)=x(x-2)的单调递减区间是 【答案】(-o,0],[1,2]【难度】0.85【知识点】画出具体函数图象、根据图像判断函数单调性 【分析】根据绝对值的性质作出函数图象，即可得函数单调区间。 【详解】f(x)=x(x-2)的图象即为y=x(x-2)图象位于x轴下方部分对折至x轴上方，其余部分不变， 据此可得函数f(x)=x(x-2的图象，如图所示： f) 由图可知函数f(x)=x(x-2)的单调递减区间是(-o,0],[1,2]故答案为：（-o,0],1,2], 题型精讲 题型01函数概念辨析 【典例1-1】(24-25高一上陕西期末)下列图象中，可以表示函数的为) 第10页共96页 第三章 函数的概念与性质 复习讲义 教学目标 1.理解函数的概念及表示方法； 2.掌握求定义域的方法；理解掌握区间的概念、表示； 3.掌握求函数解析式的常用方法，会判断两个函数是不是同一个函数； 4.理解掌握分段函数及其定义域，会用图象表示分段函数，从而解决分段函数问题； 5.理解单调性有关概念，掌握定义法判断函数单调性的步骤，掌握单调区间的写法； 6.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义，掌握求最值的方法； 7.理解奇偶性概念，掌握奇偶性判断方法，会求与奇偶函数有关的函数解析式； 8.能处理与函数单调性、奇偶性相关的综合问题. 教学重难点 1、重点：函数概念、性质的理解及应用； 2、难点：抽象函数的单调性、复合函数的单调性、奇偶性与单调性的综合应用； 知识点01 函数的概念 (一)函数概念： 1.函数定义：一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A． (1).直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点． (2).在函数的定义中，非空实数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集． 2.函数的三要素：定义域、解析式、值域. (1)在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域； (2)与的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。 显然，值域是集合B的子集． (3)函数的对应关系(解析式)：. 3.相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等． 4.函数的三种表示方法： 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值． 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势． 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值． 5.区间： (1)一般区间 集合 区间名称 符号表示 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 左闭右开区间 [a，b) {x|a<x≤b} 左开右闭区间 (a，b] (2)特殊区间 集合 区间名称 符号表示 数轴表示 {x|x≥a} [a，＋∞) {x|x>a} (a，＋∞) {x|x≤a} (－∞，a] {x|x<a} (－∞，a) R (－∞，＋∞) 注意：不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示． 【即学即练1】(25-26高一上·河北石家庄·开学考试)如图所示各图中反映了变量是的函数是(   ) A．  B．   C．   D．   知识点02 函数的三要素 (一)定义域 1.常见求定义域的限制条件： (1)分式的分母不为零； (2)偶次方根的被开方数大于或等于零： (3)对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； (4)零次幂或负指数次幂的底数不为零； (5)三角函数中的正切的定义域是且； (6)对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域． 2.复合函数的定义域 如果函数y=f(t)的定义域为A, 函数t=g(x)的定义域为B, 值域为C, 则当CA时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在B的复合函数， 其中t 叫做中间变量，t=g(x) 叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数. (1)若已知f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域为不等式a≤g(x)≤b的解集； (2)已知f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为函数y＝g(x)(x∈)的值域. (3)函数f(g(x))的定义域是指x的取值范围，而不是g(x)的取值范围. (二)求函数解析式的常用方法： (1)当已知函数的类型时，可用待定系数法求解； (2)当已知表达式为时，可考虑配凑法或换元法； 若易将含的式子配成，用配凑法。若易换元后求出，用换元法。 (3)若求抽象函数的解析式，通常采用方程组法； (4)求分段函数的解析式时，要注意符合变量的要求； (5)当出现大基团换元转换繁琐时，可考虑配凑法求解； (6)若已知成对出现与或，类型的抽象函数表达式，则常用解方程组法构造另一个方程，消元的方法求出。 (三)分段函数： 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况． (1)分段函数虽由几个部分构成，但它表示同一个函数． (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． (3)各段函数的定义域不可以相交，写分段函数的定义域时，区间端点应不重不漏． (四)求函数值域的常用方法： (1)分离常数法： 将形如()的函数分离常数，变形过程为：， 再结合的取值范围确定的取值范围，从而确定函数的值域. (2)换元法：如：，可令，得到， 从而函数可以化为：， 即关于t的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t的取值范围的限制． (3)基本不等式法和对勾函数 (4)单调性法 (5)求导法 【即学即练2-1】(24-25高一上·广东江门·期中)函数的定义域为(      ) A． B． C． D． 【即学即练2-2】(24-25高一上·河北石家庄·期中)函数的值域是(   ) A． B． C． D． 【即学即练2-3】(24-25高一上·全国·课后作业)若是一次函数，，，则(   ) A． B． C． D． 知识点03 函数的单调性、最值 一、单调性与最值有关概念 (一).增函数、减函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时都有f(x1)<f(x2)，称函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时都有f(x1)>f(x2)，称函数f(x)在区间D上是减函数 图象 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 注意：，的三个特征 1.任意性：，必须是任意的，不可以随便取两个特殊值； 2.有序性：一般要对和的大小进行规定，通常规定； 3.同区间性：即，同属于一个单调区间． (二).单调性 1.若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性， 2.函数单调性是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题， (三).增函数与减函数形式的等价变形 y＝f(x)在区间D上是增函数⇔对∀x1<x2，都有f(x1)<f(x2)⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔>0； y＝f(x)在区间D上是减函数⇔对∀x1<x2，都有f(x1)>f(x2)⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔<0． (四).单调区间 1.若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间． 2.单调区间D⊆定义域I，故求单调区间时应树立“定义域优先”的原则． 3.遵循最简原则，单调区间应尽可能大； 4.单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示； 5.如有多个单调区间应分开写，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“，”或“和”隔开． 6.单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． (五).函数的最值(值域)概念 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 二、单调性的常见运算性质 (一).单调性的运算 1.增函数（↗）增函数（↗）增函数↗ 2.减函数（↘）减函数（↘）减函数↘ 3.为↗，则:为↘，为↘ 4.增函数（↗）减函数（↘）增函数↗ 5.减函数（↘）增函数（↗）减函数↘ 6.增函数（↗）减函数（↘）未知（导数） 7.函数y＝f(x)与函数y＝f(x)＋C(C为常数)具有相同的单调性． 8.若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反． 9.在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)＞0)与和具有相同的单调性． 10.若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数． 11.若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，且f(x)＞0，g(x)＞0，则f(x)•g(x)也是区间A上的增(减)函数． (二).复合函数的单调性： 1.函数是由与复合而成(在公共定义域内)； 其中：称为外函数，称为内函数； 2.复合函数单调性判断：“同增异减”． (1)内函数（↗）外函数（↗），则复合函数（↗）； (2)内函数（↘）外函数（↘），则复合函数（↗）； (3)内函数（↗）外函数（↘），则复合函数（↘）； (4)内函数（↘）外函数（↗），则复合函数（↘）； 三、函数值域求法 1.利用单调性求最值：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域)． (1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)． (2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)． (3)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值． 2.图象法求最值：作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域． (1)分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域． (2)的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中， 然后确定靠下(或靠上)的部分为该函数的图象，从而利用图象求得函数的值域． 3.换元法求最值： (1)在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围． (2)换元的作用有两个： ①通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的． ②可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理 4.分离常数法求最值：形如或（，至少有一个不为零）的函数，可用此法. 以为例，解题步骤如下： 第一步，用分子配凑出分母的形式，将函数变形成的形式， 第二步，求出函数在定义域范围内的值域，进而求出的值域。 5.判别式法：主要用于含有二次的分式函数，形如：的函数，可用此法. 将函数式化成关于x的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数y的取值范围，即得函数的值域。 应用判别式法时必须考虑原函数的定义域，并且注意变形过程中的等价性。 另外，此种形式还可使用分离常数法解法。 6.导数法求最值：对可导函数求导，令，求出极值点，判断函数的单调性： (1)如果定义域为闭区间，额函数的最值一定取在极值点处或区间端点处； (2)如果定义域是开区间且函数存在最值，则函数最值一定取在极值点处。 三、对勾函数与飘带函数 (一).对勾函数：f(x)＝ax＋(ab＞0) (1)当a＞0，b＞0时，f(x)在(－∞，－]，[，＋∞)上是增函数，在[－，0)，(0，]上是减函数； (2)当a＜0，b＜0时，f(x)在(－∞，－]，[，＋∞)上是减函数，在[－，0)，(0，]上是增函数； (二).飘带函数：f(x)＝ax＋(ab＜0) (1)当a＞0，b＜0时，f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数； (2)当a＜0，b＞0时，f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是减函数； 【即学即练3-1】(23-24高一上·福建泉州·阶段练习)函数的单调减区间是(    ) A． B． C． D． 【即学即练3-2】(24-25高一上·全国·课后作业)函数，，则的最大值为 ，最小值为 . 知识点04 函数的奇偶性 一、函数的奇偶性概念 定义 图象特点 偶函数 对于定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 对于定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 二、奇偶性的运算 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 奇函数 三、函数奇偶性常用结论 1.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件． 2.若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下： (1)f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔＝－1. (2)f(x)为偶函数⇔f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔＝1. 3.如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0. 4.如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． 5.在关于原点对称的区间上：奇函数具有相同的单调性；偶函数具有相反的单调性． 6.若y＝f(x＋a)是奇函数⇔f(x)关于点(a,0)对称； 若y＝f(x＋a)是偶函数⇔f(x)关于直线x=a对称． 7.奇函数的最值：若奇函数f (x)在区间D上有最值，则; 8.若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式. 即，其中：； 四、常见的奇偶函数 1.为偶函数； 2.为奇函数； 3.为奇函数； 4.为奇函数； 5.为奇函数； 6.为偶函数； 7.为奇函数； 【即学即练4】(24-25高一下·山西大同·阶段练习)下列函数中是奇函数的是(   ) A． B． C． D． 知识点05 函数的图象 函数图象变换 1.平移变换 ①把函数的图像沿轴向左平移个单位得到函数的图像； ②把函数的图像沿轴向右平移个单位得到函数的图像； ③把函数的图像沿轴向上平移个单位得到函数的图像； ④把函数的图像沿轴向下平移个单位得到函数的图像； 2.函数自身的对称变换 (1)如果f(x＋a)＝f(b－x)⇔y＝f(x)关于直线x＝对称． (2)若y＝f(x)关于直线x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(2a－x)＝f(x)f⇔(2a＋x)＝f(－x) (3)若y＝f(x)关于点(a，b)对称 ⇔ f(a＋x)＋f(a－x)＝2b ⇔ f(2a－x)+f(x)=2b ⇔ f(2a＋x)+f(－x)=2b (4)若y＝f(x)关于点(a，0)对称 ⇔ f(a＋x)＝－f(a－x) ⇔ f(2a－x)＝－f(x) ⇔ f(2a＋x)＝－f(－x) 3.两个函数之间的对称变换 (1)函数f(x)与函数的图像关于轴对称； (2)函数f(x)与函数的图像关于轴对称； (3)函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线对称； (4)函数f(x)与的图象关于直线x＝a对称； (5)函数f(x)与函数的图像关于坐标原点对称； (6)函数f(x)与＝2b－f(－x)的图象关于点(0，b)对称； (7)函数f(x)与＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称； (8)函数与其反函数图像关于直线对称； 4.翻折变换 (1)的图像是将函数的图像保留轴上方的部分不变，将轴下方的部分关于轴对称翻折上来得到的（如图（a）和图（b））所示 (2)的图像是将函数的图像只保留轴右边的部分不变，并将右边的图像关于轴对称得到函数左边的图像即函数是一个偶函数（如图（c）所示）. 5.伸缩变换 ①将上每一点的纵坐标伸长或缩短到原来的倍得到. ②将上每一点的横坐标伸长或缩短到原来的倍得到. 【即学即练5】(23-24高一上·北京·期中)函数的单调递减区间是 ． 题型01 函数概念辨析 【典例1-1】(24-25高一上·陕西·期末)下列图象中，可以表示函数的为(    ) A． B． C． D． 【典例1-2】(24-25高一上·四川广安·开学考试)清代诗人高鼎在《村居》中写道：“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．在儿童从学校放学回到家，再到田野这段时间内，下列图象中能大致刻画儿童离家距离与时间关系的是( ) A． B． C． D． 【典例1-4】(多选)(24-25高一上·河北邯郸·期末)已知集合且，集合且，下列图象能作为集合到集合的函数的是(    ) A． B． C． D． 【典例1-3】(24-25高一上·湖南长沙·期中)已知集合，，给出下列四个对应关系：①，②，③，④，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是(    ) A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【变式1-1】(25-26高一上·全国·课前预习)下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是(   ) A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【变式1-2】(24-25高一上·上海·阶段练习)若函数的定义域和值域分别为和，则组成函数的个数是( ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式1-3】(24-25高一上·全国·课后作业)给定集合，，则下列不能表示从集合到集合的函数的是(    ) A． B． C． D． 【变式1-4】(23-24高一上·贵州贵阳·阶段练习)设是含数3的有限实数集，是定义在上的函数，若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，的可能取值只能是(    ) A． B．3 C．-3 D．0 【变式1-5】(多选)(25-26高一上·山东德州·开学考试)若，，下列对应关系或关系式是集合A到B的函数的有(   ) A．，，f：； B．，，f：； C．，，f： D．A与B的对应关系如图所示： 【变式1-6】(23-24高一上·湖北武汉·期中)写出一个定义域为，值域为的函数 ． 题型02 函数的定义域 【典例2-1】(25-26高一上·全国·单元测试)函数的定义域是(   ) A． B． C．且 D．且 【典例2-2】(24-25高三下·云南昭通·期中)函数的定义域为(　　) A．或 B．或 C． D． 【典例2-3】(25-26高一上·全国·课后作业)已知集合，则(   ) A． B． C． D． 【典例2-4】(24-25高一上·全国·课后作业)函数 的定义域是(    ) A．或 B．或   C．或 D． 或 【典例2-5】(24-25高一上·宁夏银川·期中)若函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 【变式2-1】(24-25高一下·广东汕头·阶段练习)若有意义，则实数的取值范围是( ) A．或 B．或 C． D． 【变式2-2】(25-26高一上·全国·课前预习)下列函数中，定义域为的是(   ) A． B． C． D． 【变式2-3】(24-25高一上·江苏无锡·期中)函数的定义域为(    ) A． B． C． D． 【变式2-4】(多选)(24-25高一上·黑龙江鹤岗·期中)使函数的定义域是的一个充分不必要条件的是(   ) A． B． C． D． 【变式2-5】(多选)(24-25高一上·江苏扬州·期中)下列说法正确的有(    ) A．函数的定义域是 B．“”是“关于的方程有一正根和一负根”的充要条件 C．“”是“”的必要条件 D．已知集合，，全集，若，则实数的取值集合为 【变式2-6】(2024·河南信阳·一模)已知不等式的解集为，则函数的定义域为 . 【变式2-7】(23-24高一上·广东广州·期中)函数的定义域为 . 【变式2-8】(24-25高一上·天津静海·阶段练习)已知函数的定义域是R，则的取值范围是 . 题型03 复合函数的定义域 【典例3-1】(24-25高二下·福建泉州·期末)已知函数的定义域为，则函数的定义域为(   ) A． B． C． D． 【典例3-2】(23-24高一上·安徽蚌埠·期末)函数的定义域为，则函数的定义域为(    ) A． B． C． D． 【典例3-3】(25-26高一上·吉林·期中)已知函数的定义域为，则函数的定义域为(    ) A． B． C． D． 【典例3-4】(23-24高一上·天津北辰·期中)设函数，则的定义域为 ． 【变式3-1】(24-25高二下·吉林·期末)已知函数的定义域为，则函数的定义域为(   ) A． B． C． D． 【变式3-2】(24-25高二上·广东阳江·阶段练习)函数的定义域为，则函数的定义域为(    ) A． B． C． D． 【变式3-3】(24-25高一上·辽宁鞍山·期中)已知函数的定义域为，则的定义域为(    ) A． B． C． D． 【变式3-4】(多选)(23-24高一上·四川成都·期中)若函数的定义域为，则下列选项是函数 的定义域的真子集的有(    ) A． B． C． D． 【变式3-5】(24-25高一上·四川广安·开学考试)已知函数的定义域是，则的定义域是 ． 【变式3-6】(23-24高二上·陕西西安·阶段练习)若函数的定义域为，则的定义域为 ． 题型04 函数的值域 【典例4-1】(2024·陕西西安·二模)已知集合，，则( ) A． B． C． D． 【典例4-2】(23-24高一上·重庆云阳·阶段练习)函数的值域为(    ) A． B． C． D． 【典例4-3】(23-24高一上·江苏苏州·期中)函数的值域为(    ) A． B． C． D． 【典例4-4】(23-24高一上·浙江·阶段练习)函数的值域为(    ) A． B． C． D． 【变式4-1】(24-25高一上·上海·随堂练习)函数，的值域为(    )． A． B． C． D． 【变式4-2】(24-25高一上·辽宁朝阳·期末)函数的值域为(   ) A． B． C． D． 【变式4-3】(2024高三·全国·专题练习)已知定义在上的函数的值域为，则函数的值域为(    ) A． B． C． D． 【变式4-4】(24-25高一下·吉林四平·开学考试)取整函数不超过x的最大整数，如，已知函数，则函数的值域是(    ) A． B． C． D． 【变式4-5】(24-25高一上·湖南·期中)函数的值域为(    ) A． B． C． D． 【变式4-6】(多选)(23-24高三上·湖南·阶段练习)已知函数的定义域和值域均为，则(    ) A．函数的定义域为 B．函数的定义域为 C．函数的值域为 D．函数的值域为 题型05 已知函数值域求参数或其范围 【典例5-1】(24-25高一上·上海·阶段练习)已知，若函数的值域为，则的取值范围是 ． 【典例5-2】(23-24高一上·福建福州·阶段练习)已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【典例5-3】(23-24高一上·福建龙岩·期末)已知函数，若的值域为，则实数的取值范围(   ) A． B． C． D． 【典例5-4】(多选)(24-25高一上·四川绵阳·期末)若，函数的值域是，且，则下列结论中正确的是(    ) A． B． C．若，则 D． 【变式5-1】(23-24高一上·四川广安·期中)若函数的值域为，则实数m的取值范围是(    )． A． B． C． D． 【变式5-2】(23-24高一上·山东济南·期中)已知函数的定义域与值域均为，则实数的取值为(    ) A．-4 B．-2 C．1 D．-1 【变式5-3】(23-24高三上·江苏南通·开学考试)已知函数，的值域是，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【变式5-4】(多选)(23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中)若函数的值域为，则的可能取值为(    ) A． B． C． D．0 【变式5-5】(2024·辽宁·模拟预测)函数的值域是，则实数的取值范围是 . 【变式5-6】(2024高三·全国·专题练习)已知函数的值域为，则k的取值范围是 ． 题型06 函数的解析式 【典例6-1】(2023高一·全国·专题练习)二次函数的图象的顶点为，对称轴为y轴，则二次函数的解析式可以为(    ) A． B． C． D． 【典例6-2】(2025高二·全国·专题练习)已知，则(   ) A． B． C． D． 【典例6-3】(24-25高一·全国·假期作业)若函数，则(    ) A． B． C． D． 【典例6-4】(23-24高一上·湖南衡阳·期中)函数满足若，则(    ) A． B． C． D． 【变式6-1】(24-25高一上·福建福州·期中)若函数是二次函数，满足，则=(    ) A． B． C． D． 【变式6-2】(24-25高二下·辽宁鞍山·期末)已知，则(   ) A． B． C． D． 【变式6-3】(24-25高一上·江苏连云港·期中)已知函数，且函数的定义域为，则(   ) A．， B．， C．， D．， 【变式6-4】(23-24高一上·上海·期中)已知存在函数和使得函数的定义域为，且表达式为，则的表达式不可能为(    ) A． B． C． D． 【变式6-5】(24-25高三下·江西南昌·阶段练习)已知方程(且)，且，则的解为 ． 【变式6-6】(24-25高一上·全国·课后作业)已知函数，则 ． 题型07 分段函数 【典例7-1】(24-25高一上·贵州毕节·期末)已知函数，则(    ) A．2 B．1 C． D．0 【典例7-2】(25-26高一上·全国·单元测试)设已知函数，则(   ) A． B．0 C．6 D．9 【典例7-3】(多选)(24-25高一上·江苏淮安·期中)已知函数的值域为，那么的取值可以是(    ). A． B． C． D． 【变式7-1】(25-26高三上·广西柳州·开学考试)已知函数，则(   ) A．3 B．4 C．6 D．8 【变式7-2】(2025高一上·北京·专题练习)在一条笔直的公路上有A、B、C三地，C地位于A、B两地之间，甲车从A地沿这条公路匀速驶向C地，乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地．在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车各自与C地的距离y(km)与甲车行驶时间t(h)之间的函数关系如图所示．下列结论正确的有 ①甲车出发2h时，两车相遇;②乙车出发1.5h时，两车相距170km;③乙车出发2h时，两车相遇 ④甲车到达C地时，两车相距40km 【变式7-3】(2025高三·全国·专题练习)Dirichlet函数是近代分析学的重要研究对象，在微积分中有着非常广泛应用．已知Dirichlet函数的定义为若，则可以是(    ) A． B． C． D． 【变式7-4】(2025高一上·浙江杭州·专题练习)已知边长为1的正方形，为边的中点，动点在正方形边上沿运动，设点经过的路程为，的面积为，则关于的函数的图像大致为(    ) A． B． C． D． 【变式7-5】(多选)(2025高二下·全国·专题练习)设函数，，用表示，的最大者，记为，则( ) A． B． C．的值域为 D．不等式的解集为 【变式7-6】(2025高一·全国·专题练习)设是定义在上的函数，且，在区间上，其中，．若，则的值为 ． 题型08 判断是否相同函数 【典例8-1】(2025高一上·全国·专题练习)下列四组函数中表示同一个函数的是(   ) A． B． C． D． 【典例8-2】(25-26高一上·全国·单元测试)下列函数中，与函数是同一个函数的是(   ) A． B． C． D． 【典例8-3】(多选)(24-25高二下·浙江宁波·期中)下列说法正确的有(    ) A．和表示同一个函数 B．函数的定义域为，则函数的定义域为 C．函数的值域为 D．定义在上的函数满足，则 【典例8-4】(25-26高一上·全国·课前预习)若函数与是同一个函数，则 ． 【变式8-1】(24-25高一上·四川绵阳·阶段练习)下列表示是同一个函数的是(    ) A． B． C．， D． 【变式8-2】(25-26高一上·全国·课前预习)下列四组函数中，能表示同一个函数的一组是(   ) A． B． C． D． 【变式8-3】(24-25高一上·江苏徐州·期中)下列各组函数中，图象不完全相同的是(   ). A．和； B．和. C．和 D．，和， 【变式8-4】(24-25高一上·吉林长春·阶段练习)下列各组函数表示同一函数的是(    ) A．， B．， C．， D．， 【变式8-5】(多选)(24-25高一上·吉林通化·阶段练习)下列说法正确的是(    ) A．函数的定义域为，则函数的定义域为 B．和表示同一个函数 C．函数的值域为 D．定义在上的函数满足，则 【变式8-6】(24-25高一上·上海·课堂例题)下列各组函数：①，；②，；③，；④，；⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系与一次函数．其中表示相同函数的是 (填入所有正确项的序号)． 题型9 用定义判断、证明单调性 【典例9-1】(23-24高三上·上海杨浦·期中)已知函数，.若成立，则下列论断中正确的是(    ) A．函数在上一定是增函数； B．函数在上一定不是增函数； C．函数在上可能是减函数； D．函数在上不可能是减函数. 【典例9-2】(24-25高一上·湖北武汉·期末)“”是“在上单调递减”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例9-3】(24-25高一上·福建福州·期中)下列说法错误的有(    ) A．函数是减函数 B．如果，当时，都有，则在区间上单调递增 C．函数的定义域为，若在区间以及都单调递增，则是增函数 D．函数是减函数，若，则 【典例9-4】(25-26高一上·全国·课后作业)已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为 ． 【变式9-1】(25-26高一上·全国·课后作业)若函数在上是减函数，且，则下列选项错误的是(   ) A． B． C． D． 【变式9-2】(25-26高三上·江苏南通·开学考试)设函数的定义域为，则“”是“不是减函数”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式9-3】(24-25高一上·内蒙古赤峰·期末)已知函数的定义域为，满足且，则不等式的解集为(   ) A． B． C． D． 【变式9-4】(24-25高一下·安徽蚌埠·开学考试)已知函数的定义域为，对、，满足，当时，，且，则不等式的解集为(    ) A． B． C． D． 【变式9-5】(多选)(24-25高三下·重庆·阶段练习)已知定义域为R的函数不是常值函数，当时，，而且对任意的有，则下列说法正确的有(    ) A． B．若，则 C．在单调递减 D．若，则不等式的解集为 【变式9-6】(2025高一·全国·专题练习)设为非零实数，函数若对任意，，都有成立，则实数的取值范围为 ． 题型10 由图象判断单调性 【典例10-1】(25-26高一上·山东德州·开学考试)若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是(   ) A． B． C． D． 【典例10-2】(2025·北京东城·一模)中国茶文化博大精深，茶水的口感与水的温度有关.一杯的热红茶置于的房间里，茶水的温度(单位：)与时间(单位：)的函数的图象如图所示.已知不相等，下列说法正确的是(    )      A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【典例10-3】(24-25高一上·湖北·期中)定义运算，设函数，则下列命题正确的有(    ) A．的定义域为 B．的值域为 C．的单调递减区间为 D．不等式的解集为或 【典例10-4】(25-26高三上·北京·开学考试)已知函数与，其中实数．给出下列四个结论： ①函数在区间上单调递增；②对任意的与的图象都只有一个公共点； ③若与的图象没有公共点，则的取值范围是； ④当与的图象有两个公共点时，这两个公共点横坐标的差大于1． 其中所有正确结论的序号是 ． 【变式10-1】(24-25高一上·陕西咸阳·期中)如图所示是函数的图象，则下列说法正确的是(   ) A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．此函数在定义域上不单调 D．对于，都有唯一的自变量与之对应 【变式10-2】(24-25高一上·全国·课后作业)已知函数的部分图象如下，则下列说法中正确的是(    ) A．在区间内，的最小值为 B．在区间内，的最大值为 C．在区间内，的最小值为 D．在区间内，的最大值为 【变式10-3】(多选)(2025高三·全国·专题练习)(多选)已知函数，的图象如图所示，则下列说法正确的是(    ) A．是函数的单调递增区间 B．是函数的单调递减区间 C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减 【变式10-4】(多选)(25-26高一上·全国·单元测试)已知函数的图象由如图所示的两条曲线组成，则下列说法正确的是(    ) A． B．是单调增函数 C．的定义域是 D．的值域是 【变式10-5】(23-24高一上·河北石家庄·期中)函数在区间上的最小值为 ． 【变式10-6】(24-25高一上·上海·课前预习)，其图像如图1． (1)从左至右图像上升还是下降？ ；(2)在区间 上，随着的增大，的值随之 ． 题型11 复合函数的单调性 【典例11-1】(24-25高一上·广东广州·期中)函数的单调递减区间是(    ) A． B． C． D． 【典例11-2】(24-25高一下·贵州毕节·期末)函数的最大值为(   ) A． B． C． D． 【典例11-3】(多选)(23-24高一上·河北沧州·期中)下列命题中正确的是(    ) A．函数在上单调递减 B．函数在上是增函数 C．函数在上单调递增 D．已知是定义在上的减函数，若，则 【典例11-4】(24-25高一上·江苏苏州·期中)若函数在区间上存在最小值，则实数a的取值范围是 ． 【变式11-1】(2024高三·全国·专题练习)函数的单调增区间为(   ) A． B． C．和 D． 【变式11-2】(24-25高一上·福建福州·期中)函数的单调递减区间是(    ) A． B． C． D． 【变式11-3】(24-25高一上·福建泉州·期中)已知函数在上单调递增，则的单调减区间为(    ) A． B． C． D． 【变式11-4】(2024高一·全国·专题练习)下列结论正确的是(    ) A．函数的单调增区间是 B．函数在定义域内单调递减 C．函数 的单调递增区间是 D．函数的单调递减区间是 【变式11-5】(多选)(23-24高一上·福建福州·期中)关于函数的结论，下列说法正确的有(    ) A．的单调减区间是 B．的单调增区间是 C．的最大值为2 D．没有最小值 【变式11-6】(24-25高一上·辽宁·期中)若函数在上单调递减，则的取值范围是 ． 题型12 已知单调性求参数或其范围 【典例12-1】(24-25高一上·广西河池·阶段练习)已知函数在上单调递减，则的取值范围为(   ) A． B． C． D． 【典例12-2】(25-26高三上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习)已知函数在上单调递减，则的取值范围为(    ) A． B． C． D．[0，1] 【典例12-3】(多选)(24-25高一下·云南红河·开学考试)已知函数是上的函数，且满足对于任意的，都有成立，则可能是(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【典例12-4】(2025高三·全国·专题练习)已知函数在区间上为减函数，则实数的取值范围是 ． 【变式12-1】(24-25高一下·云南昭通·开学考试)“”是函数在上是增函数的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式12-2】(2025高三·全国·专题练习)“”是“函数在区间上单调递减”的(    )． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式12-3】(25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习)已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【变式12-4】(2025高三·全国·专题练习)若函数在上单调递增，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【变式12-5】(24-25高一上·浙江·期中)下列结论错误的是(   ) A．若，则在上单调递增 B．在上单调递增 C．在定义域内单调递减 D．若在R上单调递增，则a的取值范围为 【变式12-6】(2025高一·全国·专题练习)设实数，若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围为 ． 题型13 由单调性求函数值域、最值 【典例13-1】(2024高二上·江苏·学业考试)函数的值域为(    ) A． B． C． D． 【典例13-2】(2025·甘肃金昌·模拟预测)已知正数x，y满足，则的取值范围为(   ) A． B． C． D． 【典例13-3】(多选)(24-25高一上·广东江门·期中)对任意实数，用表示函数和中的最小值，记为，则 (      ) A．有最大值，无最小值 B．当的最大值为 C．不等式的解集为 D．的单调递增区间为 【典例13-4】(25-26高一上·全国·单元测试)函数在区间上的值域为 ． 【变式13-1】(25-26高一上·全国·课前预习)函数在区间上的最小值是(    ) A．0 B．1 C． D．4 【变式13-2】(2025高一·全国·专题练习)函数的最值为(    )． A．最大值为8，最小值为0 B．不存在最小值，最大值为8 C．最小值为0，不存在最大值 D．不存在最小值，也不存在最大值 【变式13-3】(2025高三·全国·专题练习)已知函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 【变式13-4】(2025·湖北武汉·模拟预测)已知函数的定义域为，且满足下列性质： ①；② 则下列说法一定正确的为(   ) A．在上无最小值 B．在上单调递减 C．在上有最小值 D．在上单调递增 【变式13-5】(多选)(25-26高三上·江苏扬州·开学考试)设，函数，则下列说法正确的是(    ) A．当时， B．当时，方程有两个实数根 C．当时，函数存在最大值 D．当时，函数在区间上单调递增 【变式13-6】(2025高二·全国·专题练习)函数满足，若在区间内的最大值为5，则最小值为 ． 题型14 已知最值求参数 【典例14-1】(24-25高一上·全国·课后作业)若函数在区间内的最大值为3，则(    ) A．3 B．4 C．5 D．3或5 【典例14-2】(2025高三·全国·专题练习)已知函数在区间上的最大值为5，则(    ) A．2 B．3 C．15 D．3或15 【典例14-3】(多选)(24-25高一上·贵州·期中)形如的函数，我们称之为“对勾函数”.“对勾函数”具有如下性质：该函数在上单调递减，在上单调递增.已知函数在区间上的最大值比最小值大，则实数a的值可以是(   ) A．2 B．14 C． D． 【典例14-4】(24-25高一上·上海闵行·期末)若函数在区间上的最小值为，则实数a的取值范围为 【变式14-1】(24-25高二下·宁夏石嘴山·阶段练习)若函数在区间上的最大值为3，则实数(   ) A． B．1 C．3 D． 【变式14-2】(24-25高一上·湖南·阶段练习)若函数的最小值是8，则实数m的值为(   ) A．6或10 B．6或10 C．6或10 D．6或10 【变式14-3】(24-25高一上·安徽亳州·阶段练习)若函数在上的最大值为，则(   ) A． B．1 C． D． 【变式14-4】(24-25高三上·陕西·阶段练习)已知函数的最小值为0，则实数的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【变式14-5】(多选)(24-25高一上·江苏无锡·期中)已知函数，，，已知的最小值为1，则实数的取值可能为(    ) A． B． C． D． 【变式14-6】(23-24高二下·浙江宁波·期中)已知函数.若函数对一切均成立，则实数的取值范围 . 题型15 奇偶性的判断 【典例15-1】(25-26高一上·全国·单元测试)函数在上的图象大致是(    ) A． B． C． D． 【典例15-2】(25-26高一上·新疆·期中)设函数，则下列函数中为奇函数的是(    ) A． B． C． D． 【典例15-3】(多选)(2025高一上·全国·专题练习)已知定义在R上的函数满足，当时，，，则(    ) A． B．为奇函数 C．为减函数 D．当时， 【典例15-4】(25-26高三上·北京·阶段练习)已知函数，关于函数有下列说法： ①该函数图象关于轴对称；②该函数图象关于原点对称；③该函数图象不经过第三象限： ④该函数图象有且只有三个点的横、纵坐标都是整数． 其中错误的是 【变式15-1】(2025高一上·全国·专题练习)若函数是定义在上的函数，那么“”是“函数是奇函数”的(    ) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式15-2】(25-26高一上·全国·课后作业)已知函数，设，则是(    ) A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减，上递增 D．在上单调递增，上递减 【变式15-3】(24-25高一上·辽宁大连·期中)已知函数，下面有关结论错误的有(    ) A．定义域为 B．值域为 C．在上单调递减 D．图象关于原点对称 【变式15-4】(25-26高三上·安徽·开学考试)已知函数，则下列说法错误的是(    ) A．是奇函数 B．是偶函数 C．的图象关于对称 D．的图象关于对称 【变式15-5】(多选)(25-26高三上·山东济宁·阶段练习)已知函数对任意都有，若的图象关于直线对称，且对任意的，且，都有，则下列结论正确的是(　　) A．是偶函数 B． C． D．在上单调递减 【变式15-6】(25-26高一上·全国·课后作业)若函数在区间[－2023，2023]上的最大值为4，则最小值为 ． 题型16 已知奇偶性求解析式 【典例16-1】(2025高一·全国·专题练习)已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的解析式是(    )． A． B． C． D． 【典例16-2】(2025·云南·模拟预测)已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，则(   ) A． B． C． D． 【典例16-3】(多选)(24-25高一上·四川绵阳·期末)若函数是定义在上的奇函数，，当时，，则(    ) A． B．函数图象关于直线对称 C．函数图象关于点中心对称 D．当时， 【典例16-4】(2025高三·全国·专题练习)已知是奇函数，是偶函数，且，则 ， ． 【变式16-1】(23-24高一上·江苏淮安·阶段练习)设是定义在上的奇函数，当时，，则(    ) A． B．1 C． D． 【变式16-2】(24-25高一下·安徽阜阳·期末)已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式是(    ) A． B． C． D． 【变式16-3】(24-25高二下·重庆沙坪坝·期末)设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则(   ) A． B． C． D． 【变式16-4】(24-25高一上·上海静安·期末)设函数是定义在上的奇函数，当时,，则不等式的解集为(    ) A．() B．[] C． D． 【变式16-5】(多选)(25-26高三上·安徽合肥·阶段练习)下列选项中正确的有(    ) A．“”是“”的既不充分也不必要条件 B．与表示同一函数 C．函数的值域为 D．若是奇函数，当时，，则时， 【变式16-6】(24-25高一上·山东威海·期末)已知为上的奇函数，当时，，则不等式的解集为 ． 题型17 抽象函数的奇偶性 【典例17-1】(23-24高一上·河南周口·阶段练习)设是定义在上的偶函数，且在内是增函数，又，则不等式的解集是(    ) A． B． C． D． 【典例17-2】(24-25高一下·云南昭通·期末)已知函数的定义域为，且，若，则(   ) A． B． C．为增函数 D．为奇函数 【典例17-3】(多选)(25-26高一上·云南·期中)已知函数的定义域为，对于任意的，都有成立，则( ) A． B．若，则 C．一定是偶函数 D．若，则 【典例17-4】(2025·重庆·模拟预测)已知定义在上的奇函数满足，则 . 【变式17-1】(23-24高二下·云南·阶段练习)设为奇函数，为偶函数，则(    ) A． B． C． D． 【变式17-2】(2025·山东菏泽·一模)已知函数的定义域为，且，若，则(    ) A． B．是奇函数 C．是增函数 D． 【变式17-3】(24-25高二下·江苏南京·期末)已知定义域为R的函数，满足是奇函数，是偶函数，则下列说法不一定正确的是(   ) A．的图象关于直线对称 B． C．的一个周期为4 D．的图象关于点对称 【变式17-4】(2025·河南·模拟预测)已知是定义在上的奇函数，且对任意，都有，则(    ) A．2 B．1 C．0 D． 【变式17-5】(多选)(25-26高一上·云南·期中)已知函数的定义域为，满足，且，则( ) A． B．为奇函数 C． D． 【变式17-6】(24-25高一上·内蒙古赤峰·期末)已知函数对于任意实数，都有，且. (1)求的值；(2)令，求证:函数为奇函数； (3)求的值. 题型18 单调性、奇偶性的应用 【典例18-1】(2025高二下·湖南·学业考试)若奇函数在区间上是增函数，且最小值为3，则它在区间上是(    ) A．增函数且有最大值 B．增函数且有最小值 C．减函数且有最大值 D．减函数且有最小值 【典例18-2】(24-25高一上·辽宁丹东·期中)已知函数，那么不等式的解集为( ) A． B． C． D． 【典例18-3】(多选)(2025·湖北黄冈·一模)定义在上的函数和，为奇函数，为偶函数，且，则(　　) A． B． C．的图象关于对称 D．8为的一个周期 【典例18-4】(2025高一上·全国·专题练习)已知函数是定义在上的偶函数，若函数在上单调递增，则不等式的解集为 ． 【变式18-1】(24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末)已知函数是奇函数且在区间上单调递增，则函数在区间上(    ) A．单调递增，有最小值 B．单调递增，有最大值 C．单调递减，有最小值 D．单调递减，有最大值 【变式18-2】(25-26高三上·江苏·开学考试)设函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，当时，，则(    ) A． B．0 C．1 D．2025 【变式18-3】(2025·福建漳州·模拟预测)定义在上的奇函数满足：，且，，若，则不等式的解集为(   ) A． B． C． D． 【变式18-4】(25-26高一上·云南·期中)已知是定义域为的奇函数，满足，若，则( ) A． B．1 C．5 D． 【变式18-5】(25-26高一上·全国·课后作业)(多选)已知函数对任意的都有，函数的图象关于直线对称，且对任意的，，都有．则下列结论正确的是(    ) A．是偶函数 B． C． D．的图象关于点对称 【变式18-6】(25-26高三上·上海静安·阶段练习)已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则 . 一、单选题 1.(24-25高一上·全国·课前预习)下列表示函数图象的是(   )        A. B. C. D. 2.(25-26高一上·四川内江·开学考试)函数中自变量x的值可以是(    ) A．3 B．4 C．5 D．6 3.(23-24高一上·河南·阶段练习)已知函数的定义域为，则函数的定义域为(    ) A． B． C． D． 4.(24-25高一上·湖南邵阳·阶段练习)下列说法正确的是(    ) A．，对任意的，，这个对应是A到B的函数 B．若函数的定义域为，则函数的定义域为 C．和表示同一函数 D．函数的最小值是 5.(24-25高一上·江苏无锡·阶段练习)函数的值域为(    ) A． B． C． D． 6.(24-25高一上·山东威海·阶段练习)已知函数，则(   ) A． B． C． D． 7.(24-25高一上·广东广州·阶段练习)已知，函数在区间上的最大值是5，则a的取值范围是(   ) A． B． C． D． 8.(24-25高一上·湖北武汉·期末)已知函数的定义域为，对任意的，都有，当时，，且，若，则不等式的解集是(    ) A．或 B． C．或 D． 二、多选题 9.(25-26高一上·全国·课后作业)已知函数，关于函数的结论正确的是(    ) A． B． C．若，则 D．的解集为 10.(24-25高二下·浙江温州·阶段练习)设，则(   ) A．当时， B．当时，有3个零点 C．有实数解 D．当时，有个零点 11.(24-25高一上·安徽亳州·期末)已知函数的定义域为，且，则下列结论正确的是(   ) A． B．函数是偶函数 C．函数是周期为4的周期函数 D． 三、填空题 12.(24-25高一下·广东汕头·期末)判断为 函数(选填 “奇” “偶” “非奇非偶”) 13.(24-25高一下·河北保定·期中)已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为 . 14.(23-24高一上·北京·期中)设函数，，且函数，定义域均为，记：①；②；③；④． (1)若，满足条件④，则a的取值范围为 ．； (2)若，恰满足条件①、条件②、条件③、条件④的一个，则a的取值范围为 ． 四、解答题 15.(23-24高三上·江西宜春·阶段练习)已知函数. (1)若，求的值；(2)当时，的解集为，求. 16.(24-25高一上·浙江杭州·期中)已知，，函数． (1)若，求的最小值；(2)若，求不等式的解集(用表示)． 17.(25-26高一上·全国·课后作业)已知函数满足任意的实数，都有，且当时，． (1)求的值；(2)判断在上的单调性并证明． 18.(24-25高一上·广东广州·期中)已知函数，. (1)若函数的定义域为，求实数的取值范围； (2)若任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数，函数的最小值是，求实数的值. 19.(24-25高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末)我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．依据推广结论，已知的图象关于点成中心对称图形． (1)求的解析式；(2)求的值； (3)已知在上单调递增，若存在，使得在上的值域为，求实数的取值范围． 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 第三章函数的概念与性质复习讲义 内容概览 题型01函数概念辩析 题型02函数的定义域 1.教学目标、教学重难点 题型03复合函数的定义域 题型04函数的值域 2.知识点01函数概念 题型05已知函数值域求参数或其范围 题型06函数的解析式 题型07分段函数 3.知识点02函数的三要素 题型08判断是否相同函数 第3章函数的概念与性质复习 题型09用定义判断、证明单调性 题型10由图象判断单调性 4.知识点03函数的单调性、最值 题型11复合函数的单调性 题型12已知单调性求参数或其范围 5.知识点04函数的奇偶性 题型13由单调性求函数值域、最值 题型14已知最值求参数 题型15奇偶性的判断 6.知识点05函数的图象 题型16已知奇偶性求解析式 题型17抽象函数的奇偶性 题型18单调性、奇偶性的应用 教学目标、教学重难点 1.理解函数的概念及表示方法： 2.掌握求定义域的方法；理解掌握区间的概念、表示： 3.掌握求函数解析式的常用方法，会判断两个函数是不是同一个函数： 4理解掌握分段函数及其定义域，会用图象表示分段函数，从而解决分段函数问题： 教学目标 5.理解单调性有关概念，掌握定义法判断函数单调性的步骤，掌握单调区间的写法： 6理解函数的最大（小）值的概念及其几何意义，掌握求最值的方法： 7理解奇偶性概念，掌握奇偶性判断方法，会求与奇偶函数有关的函数解析式： 8.能处理与函数单调性、奇偶性相关的综合问题， 1、重点：函数概念、性质的理解及应用； 教学重难点 2、难点：抽象函数的单调性、复合函数的单调性、奇偶性与单调性的综合应用； 知识清单 知识点01函数的概念 （一)函数概念： 1函数定义：一般地，设A,B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f使对于集合A中的任 意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数x)和它对应，那么就称fA→B为从集合A到集合B的一个函 数，记作y=x),x∈A. (I).直线x=a与函数y=x)的图象至多有1个交点. (2)在函数的定义中，非空实数集A,B,A即为函数的定义域，值域为B的子集。 2函数的三要素：定义域、解析式、值域. (1)在函数y=(x),x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域： 第1页共40页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (②)与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{fx)x∈A}叫做函数的值域。 显然，值域是集合B的子集， (3)函数的对应关系（解析式）：y=f(x),x∈A. 3相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等. 4.函数的三种表示方法： 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.优点：简明，给自变量求函数值， 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系。 优点：直观形象，反应变化趋势， 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 优点：不需计算就可看出函数值. 5.区间： (1)一般区间 集合 区间名称 符号表示 数轴表示 {xa≤x≤b} 闭区间 [a,b7 (xa<x<b) 开区间 (a,b) {xa≤rKb} 左闭右开区间 [4,b {xaKx≤b} 左开右闭区间 (a,b] (2)特殊区间 集合 区间名称 符号表示 数轴表示 {xr≥a [a,+∞) xx>a (a,+o∞) {xk≤a叫 (-∞，a {x<a} (一∞，① R (一∞，十∞) 注意：不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示 【即学即练1】(25-26高一上河北石家庄·开学考试)如图所示各图中反映了变量y是x的函数是() 知识点02函数的三要素 (一)定义域 1常见求定义域的限制条件： (1)分式的分母不为零： (2)偶次方根的被开方数大于或等于零： (3)对数的真数大于零，底数大于零且不等于1： (4)零次幂或负指数次幂的底数不为零； 5)三角函数中的正切y=tnx的定义域是{xx∈R,且x≠k+艺，kEZ: 第2页共40页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (⑥对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域. 2.复合函数的定义域 如果函数y)的定义域为A,函数t=g(8)的定义域为B,值域为C, 则当C二A时，称函数y=f(g(x)为f与g(s)在B的复合函数， 其中t叫做中间变量，tg(8)叫做内层函数，yf叫做外层函数 (1)若已知x)的定义域为[a,],则gx)的定义域为不等式a≤g(w)≤b的解集； (2)已知gx)的定义域为[a,b],则fx)的定义域为函数y=gx)x∈[a,b])的值域. (3)函数fg(x)的定义域是指x的取值范围，而不是g(x)的取值范围. (二)求函数解析式的常用方法 (1)当已知函数的类型时，可用待定系数法求解： (2)当已知表达式为g(x】时，可考虑配凑法或换元法： 若易将含x的式子配成gx),用配凑法。若易换元后求出x,用换元法。 (3)若求抽象函数的解析式，通常采用方程组法： (④)求分段函数的解析式时，要注意符合变量的要求； (⑤)当出现大基团换元转换繁琐时，可考虑配凑法求解： (⑥若已知成对出现f()与f()或fx),f(-x)类型的抽象函数表达式，则常用解方程组法构造另一个方程， 消元的方法求出f(x)。 (三)分段函数： 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分 别注明各部分的自变量的取值情况， (1)分段函数虽由几个部分构成，但它表示同一个函数， (②)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集， (3)各段函数的定义域不可以相交，写分段函数的定义域时，区间端点应不重不漏 (四)求函数值域的常用方法 (1)分离常数法： 将形如y=甘(a≠0)的函数分离常数，变形过程为：s=a+M a=+ ax+b axtb 再结合x的取值范围确定兰的取值范围，从而确定函数的值域， axtb 2)换元法：如：fx)=ax+b+Vcx+a(ac≠0)，可令t=Vcx+dt≥0)，得到x=-d, 从而函数可以化为：fx)=g(0=a山+t+bt≥0， 即关于t的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t的取值范围的限制， (3)基本不等式法和对勾函数 (4)单调性法 (⑤)求导法 第3页共40页 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【即学即练2-112425高一上广东江门：期中)函数f四)=4+2的定义域为) A.(2,4] B.(-∞，4] C.（-0,2)U(2,+m） D.(-m,2)U(2,4] 【即学即练2-2】(24-25高一上河北石家庄期中)函数y= 3+x的值域是() 4-2x A.（-0,+0) B.(-0,2)U(2,+0) c.(m(+ o.（}6+） 【即学即练2-3】(24-25高一上·全国·课后作业)若f(x)是一次函数，2f(2)-3fI)=5,2f(0)-f(-1)=1, 则f(x)=() A.3x+2 B.3x-2 C.2x+3 D.2x-3 知识点O3函数的单调性、最值 一、单调性与最值有关概念 (一)增函数、减函数的定义 增函数 减函数 定 般地，设函数x)的定义域为，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2 义 当x1<x2时都有x孔x2),称函数x)在区间D上是增函数当x<x2时都有fx)>x2),称函数x)在区间D上是减函数 y-Ax) y=fx) 图 A1) Ax)Ax2) 象 0x1 2 2 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 注意：x，x,的三个特征 1任意性：x,x,必须是任意的，不可以随便取两个特殊值： 2.有序性：一般要对x和x,的大小进行规定，通常规定x<x2: 3同区间性：即x,x,同属于一个单调区间. (仁).单调性 1.若函数y=x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y=x)在这一区间上具有（严格的）单调性， 2.函数单调性是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题， (三).增函数与减函数形式的等价变形 y=)在区间D上是增函数对vx1<x,都有x1fx)今(K1一x[x)一P0→/)f20: X1-X2 y=在区间D上是减函数台对x<2,都有x>fx)9(1一xx)-九K0f20. X1一X2 (四).单调区间 1若函数y=x)在区间D上是增函数或减函数，区间D叫做函数y=x)的单调区间. 第4页共40页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.单调区间Dc定义域I,故求单调区间时应树立“定义域优先”的原则. 3遵循最简原则，，单调区间应尽可能大： 4.单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示： 5.如有多个单调区间应分开写，不能用并集符号“U”连接，也不能用“或”连接，只能用，”或“和隔开. 6.单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开， (五).函数的最值（值域）概念 前提设函数y=∫x)的定义域为，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意的x∈I,都有fx)≤M: (3)对于任意的x∈I,都有fx)≥M; (2)存在x,∈I,使得fx)=M (4)存在x∈I,使得f(x)=M 结论M为最大值 M为最小值 二、单调性的常见运算性质 (一).单调性的运算 1.增函数（7)+增函数()=增函数 2.减函数()+减函数()=减函数 3f)为，则-y为N,高为 4增函数()-减函数()=增函数刀 5.减函数()-增函数()=减函数 6.增函数(/)+减函数()=未知（导数） 7.函数y=x)与函数y=fx)十C(C为常数)具有相同的单调性， 8.若心0，则x)与x)单调性相同；若K0,则x)与x)单调性相反 9.在公共定义域内，函数y=x)w)>0)与y=f(x)和y=f(具有相同的单调性 10.若x),g()均为区间A上的增（减）函数，则x)十gx)也是区间A上的增（减）函数. 11.若x),gx)均为区间A上的增（减）函数，且x)>0,gx)>0,则fx)gx)也是区间A上的增（减）函数. (二)复合函数的单调性： 1.函数fx)=h[g(x)]是由y=h(u)与u=g8)复合而成（在公共定义域内）： 其中：y=h(u称为外函数，u=g()称为内函数； 2.复合函数单调性判断：“同增异减”. (1)内函数()外函数()，则复合函数()： (2)内函数()外函数()，则复合函数()： (3)内函数()外函数()，则复合函数()： (4)内函数()外函数()，则复合函数()： 三、函数值域求法 1利用单调性求最值：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值（值域）， (I)若函数y=x)在区间[a,b]上单调递增，则ymr=b),ymn=fa). (2)若函数y=人x)在区间[a,b]上单调递减，则max=,ymn=fb). 第5页共40页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)若函数y=x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大（小）值.函 数的最大（小）值是整个值域范围内的最大（小）值】 2.图象法求最值：作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域 ()分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作 图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域. (2)f(x)的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中， 然后确定靠下（或靠上）的部分为该f(x)函数的图象，从而利用图象求得函数的值域. 3.换元法求最值： (①)在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围. (2)换元的作用有两个： ①通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消 灭”根式，达到简化解析式的目的 ②可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理 4分离带数法求最值：形如y=二支y=“(口，c至少有一个不为零)的函数，可用此法 cx+d 以y=为例，解题步骤如下： cx+d 第一步，用分子配凑出分母的形式，将函数变形成y=+的形式， 第二步，求出函数y=在定义域范围内的值域，进而求出y=档的值域。 5判别式法：主要用于含有=次的分式函数，形如：y=器的函数，可用此法 将函数式化成关于x的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数y的取值范围，即得函数的值域。 应用判别式法时必须考虑原函数的定义域，并且注意变形过程中的等价性。 另外，此种形式还可使用分离常数法解法。 6.导数法求最值：对可导函数f(x)求导，令(x)=0,求出极值点，判断函数的单调性： (1)如果定义域为闭区间，额函数的最值一定取在极值点处或区间端点处： (2)如果定义域是开区间且函数存在最值，则函数最值一定取在极值点处。 三、对勾函数与飘带函数 （一)对勾函数：)=m+bab>0) 0当a>0,b>0时，网在(-，-月层十四上是增函数，-层0,0， 白1上是减函数： 4>0,b>0 第6页共40页 而学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 (②)当a<0,b<0时，)在(-o,一 (∈)，飘带函数：f)=m+b(ab<0) (1)当a>0,b<0时，x)在(-o,0),(0,十o)上都是增函数； a>0,b<0 a<0,b>0 (2)当a<0,b>0时，x)在(-o,0),(0,+o)上都是减函数： 【即学即练3-1】(23-24高一上福建泉州阶段练习)函数f(x)=x-2x的单调减区间是() A.[1,2] B.[-1,0] c.[0,2] D.[2,+∞) 【即学即练32】(24,25高一上全国课后作业)函数/6)，xL2],则f)的最大值为一，最小值 为 知识点04函数的奇偶性 一、函数的奇偶性概念 定义 图象特点 偶函数对于定义域内任意一个x,都有一x)=x),那么函数x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数对于定义域内任意一个x,都有一x)=一x),那么函数x)是奇函数关于原点对称 二、奇偶性的运算 f(x) g(x) f(x)+g(x)f(x)-g(x) f(x)·g(x) f(x)÷g(x)f[g(x)] 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 奇函数 三、函数奇偶性常用结论 1.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件. 2.若fx≠0，则奇（偶）函数定义的等价形式如下： 红)为奇函数-刘=--刘+0)=0得=-L 2)f为偶函数台f-x)=fw)台f(-)-fx)=0二8=1. f(x) 3如果一个奇函数fx)在x=0处有定义，那么一定有f0)=0. 4.如果函数fx)是偶函数，那么fx)=fs), 5.在关于原点对称的区间上：奇函数具有相同的单调性；偶函数具有相反的单调性. 第7页共40页 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.若y=fx十四是奇函数台fx关于点(a,)对称： 若y=fx十是偶函数台fx关于直线=对称. 7.奇函数的最值：若奇函数f(8)在区间D上有最值，则fmzx(x)+fmim(x)=0; 8.若函数fx)的定义域关于原点对称，则函数f(x)能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式. 即f☒=g(x)+h(☒)，其中：g(☒)=[f☒)+f(-x)],h(☒)=[f☒)-f(-x)]: 四、常见的奇偶函数 1.fx)=ax+ax(a>0,a≠1)为偶函数： 2.fx)=a-ax(a>0,a≠1)为奇函数： 30)-后-a>0a≠1)为奇函数 4f6y)=logb(a>0,a≠1，b≠0)为奇函数： 5.fx)=loga(x2+1士x)(a>0,a≠1)为奇函数： 6.fx)=lax+bl+Iax-b为偶函数： 7.f&)=lax+bl-lax-b为奇函数： 【即学即练4】(24-25高一下山西大同阶段练习)下列函数中是奇函数的是() A.f(x)=x+1B.f(x)=x到 C.f(x)=-2x D.f(x)=x2+x 知识点05函数的图象 函数图象变换 1.平移变换 ①把函数y=f(x)的图像沿x轴向左平移a个单位得到函数y=f(x+a(a>O)的图像； ②把函数y=f(x)的图像沿x轴向右平移a个单位得到函数y=f(x-a)(a>O)的图像： ③把函数y=f(x)的图像沿y轴向上平移a个单位得到函数y=f(x)+a(a>0)的图像： ④把函数y=f(x)的图像沿y轴向下平移a个单位得到函数y=f(x)-a(a>O)的图像； 2.函数自身的对称变换 ()如果十@=化一x)y=)关于直线x=艺对称。 (2)若y=x)关于直线x=a对称台a十x)=fa一x)台f2a-x)=x)f台(2a+x)=-x) (3)若y=x)关于点(a,b)对称台术a+x)+a一x)=2b台2a一x)tfx)=2b台2a十x)tf-x)=2b (4)若y=x)关于点(a,0)对称台a十x)=一a一x)台2a一x)=一w)台2a十x)=一f-x) 3.两个函数之间的对称变换 (I)函数x)与函数g(x)=f(-x)的图像关于y轴对称： (2)函数x)与函数g(x)=-fx)的图像关于x轴对称： B)函数y=a+)与y=-x)的图象关于直线x=+对称； 2 (4)函数fx)与g(x)=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称： 第8页共40页 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (⑤)函数x)与函数g(x)=-f(-x)的图像关于坐标原点(0,0)对称： (6)函数x)与g(x)=2b一一x)的图象关于点(0，b)对称： (7)函数x)与g(x)=2b一2a一x)的图象关于点(a,b)对称： (8)函数fx)与其反函数g(x)=f1☒)图像关于直线y=x对称： 4.翻折变换 (I)y=f(x)的图像是将函数f(x)的图像保留x轴上方的部分不变，将x轴下方的部分关于x轴对称翻折 上来得到的（如图(a)和图(b)所示 (2)y=f()的图像是将函数f(x)的图像只保留y轴右边的部分不变，并将右边的图像关于y轴对称得到 函数y=f(x左边的图像即函数y=f()是一个偶函数（如图(c)所示）· f() =f(x) (a) (b 5.伸缩变换 ①将y=f(x)上每一点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍得到y=4f(x)(A>O) ②将y=f)上每一点的横坐标伸长(0<a<)或缩短(@>)到原来的始倍得到y=f(am)(o>0) 【即学即练5】(23-24高一上北京·期中)函数f(x)=x(x-2的单调递减区间是 题型精讲 题型01函数概念辨析 【典例1-1】(24-25高一上陕西期末)下列图象中，可以表示函数的为) 【典例1-2】(24-25高一上四川广安.开学考试)清代诗人高鼎在《村居》中写道：“儿童散学归来早，忙趁东 风放纸鸢”.在儿童从学校放学回到家，再到田野这段时间内，下列图象中能大致刻画儿童离家距离与时间 关系的是() 第9页共40页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 个离家距离/米 个离家距离/米 ◆离家距离/米 ◆离家距离/米 1750-- 1750 000- A B C. 1000 750 D 1016时间7分 16时间/分 1016时间7分 16时间立分 【典例1-4】（多选）24-25高一上河北邯郸期末)已知集合A={x-2≤x≤2且x≠1}，集合B={y-1≤y≤2且 y≠O},下列图象能作为集合A到集合B的函数的是() 【典例1-32425高-一上湖南长沙期中尼知果合M=红2，N=九2,4，给出下列四个对应关系：①y= ②y=x+1,③y=x,④y=x2,请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是( A.①② B.①③ C.②④ D.③④ 【变式1-1】(25-26高一上全国课前预习)下列从集合A到集合B的对应关系，其中y是x的函数的是() AA=B=R,对应关系f:→y=片 B.A=B=R,对应关系f:x→y=x2 C.A=B=R,对应关系∫：x→y=±x D.A=B=N,对应关系f:→y=月 【变式1-2】(24-25高一上上海阶段练习)若函数y=f(x)的定义域和值域分别为A=1,2,3}和B=1,2}, 则组成函数的个数是() A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 【变式1-3】(24-25高一上·全国课后作业)给定集合A=R,B={xk≤0}，则下列不能表示从集合A到集合 B的函数的是() A.y=-x2 B.y=- c.y=-风 D.y=-vx 【变式1-4】(23-24高一上·贵州贵阳阶段练习)设D是含数3的有限实数集，∫(x)是定义在D上的函数，若 f(x)的图象绕原点逆时针旋转45°后与原图象重合，则在以下各项中，∫(3)的可能取值只能是() A.5 B.3 C.-3 D.0 【变式1-5】（多选）25-26高一上山东德州开学考试)若x∈A,y∈B,下列对应关系或关系式是集合A到B 第10页共40页