专题14 等腰（等边）三角形中重要模型之维维尼亚模型（几何模型讲义）数学人教版2024八年级上册

专题14 等腰（等边）三角形中重要模型之维维尼亚模型 维维亚尼定理（Viviani's theorem）：在等边三角形内任意一点P到三边的垂直距离之和，等于该等边三角形的高。这个定理可一般化为：等角多边形内任意一点P跟各边的垂直距离之和，是不变的，跟该点的位置无关。它以温琴佐·维维亚尼命名。 而今天我们要学习的维维亚尼模型就是维维亚尼定理及其拓展，它的证明主要利用了等面积法，消去相等底边后得到高之间的关系，因此等腰三角形的维维亚尼模型动点只能在底边所在直线上运动，此时连接点和底边所对顶点，能江原图分割成两个底相等的三角形。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.等边三角形中维维尼亚模型 6 模型2.等腰三角形中维维尼亚模型 9 13 维维尼亚模型（又称维维亚尼模型）是几何学中基于等边或等腰三角形特性的经典模型，其核心来源于17世纪意大利数学家维维亚尼（Vincenzo Viviani）提出的维维亚尼定理。该模型通过垂直距离的定和关系，为几何问题提供了简洁的解决路径。 维维亚尼在1692年研究等边三角形时发现：‌任意内点到三边的垂直距离之和恒等于三角形的高。这一结论后被推广至等腰三角形及正多边形，成为模型的理论基础。‌ （24-25八年级上·江苏南通·期中）阅读材料：如图1，中，，P为底边上任意一点，点P到两腰的距离分别为，腰上的高为h， (1)连接，则，即：，∴，即之间的数量关系是： ． (2)深入探究:如图2，将“在中，，P为底边上任意一点”改成“P为等边三角形内一点”，作，垂足分别为E、F、M、G，则和之间有怎样的关系？请写出结论并证明；（提示：可连接）; (3)理解与应用:如图3，当点P在外时，和之间又有怎样的关系？写出结论并证明． （24-25八年级上·江苏宿迁·期末）【数学阅读】如图1，在中，，点P为边上的任意一点，过点P作，，垂足分别为D，E，过点C作，垂足为F，求证：． 小尧的证明思路是：如图2，连接，由与面积之和等于的面积可得：    【推广延伸】如图3，当点P在延长线上时，其余条件不变，请运用上述解答中所积累的经验和方法，猜想，与的数量关系，并证明． 【解决问题】如图4，在平面直角坐标系中有两条直线、，分别是函数，和的图象，、与x轴的交点分别为A，B．（1）两条直线的交点C的坐标为________________；（2）说明是等腰三角形；（3）若上的一点M到的距离是1，运用上面的结论，求点M的坐标． 1）等边三角形中维维尼亚模型 条件：在等边中，P是平面上一动点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BC，PD⊥AB，过点A作AM⊥BC。 结论：①如图1，若动点P在三角形ABC内时，则PD+PE+PF=AM； ②如图2，若动点P在三角形ABC外时，则PD+PE-PF=AM。 （当点P在三角形ABC外时，受P的位置影响，不同的位置结论稍有不同，但都可以使用等面积法证明）。    图1 图2 证明：①如图1，连结AP，BP，CP。∵是等边三角形，∴AB=BC=AC， 则， ∵； ∴PD+PE+PF=AM。 ②如图3，连结AP，BP，CP。∵是等边三角形，∴AB=BC=CA， 则， ∵； ∴PD+PE-PF=AM。 2）等腰三角形中维维尼亚模型 条件：如图，等腰（AB=AC）中，点P在BC上运动，过点P作PD⊥AB，PH⊥AC，CE⊥AB， 结论：①如图1，若动点P在边BC上时，则PE+PD=CF，AD-AF=AC-AE（即DF=CE）。 ②如图2，若动点P在BC延长线上时，则|PF-PE|=CD，|AE-AC|=|AD-AF|（即DF=CE）。 图1 图2 证明：①如图1，连结AP；∵是等边三角形，∴AB=AC， 则，∵； ∴PE+PD=CF。 ①如图2，连结AP；∵是等边三角形，∴AB=AC， 则，∵； ∴PF-PE=CD。 模型1.等边三角形中维维尼亚模型 例1（24-25八年级上·山东·期中）如图，点P在等边三角形的内部，，，，垂足分别为D，E，F，若，且，则的边长为 ． 例2（2024八年级上·重庆·专题练习）如图，点P在等边三角形的内部，，，，垂足分别为D，E，F，若，且的边长为8，则的面积为 ． 例3（24-25浙江八年级期中）数学中常常利用面积相等来证明其他的线段相等，这种方法被称为“面积法”．已知等边，点是平面上任意一点，设点到边、边的距离分别为、，的边上的高为．回答以下问题：    (1)如图（1），若点在三角形的边上，、、存在怎样的数量关系？请给出证明过程． (2)如图（2），当点在内，已知，求的值． (3)如图（3），当点在外，请直接写出与、、的数量关系，不用证明． 例4（24-25八年级上·云南昆明·期末）如图（1），已知在中， 且 过A作 于点P，点M是直线上一动点，设点M到 两边、的距离分别为m，n， 的高为h．    (1)当点M运动到什么位置时， ，并说明理由． (2)如图（2），试判断m、n、h之间的关系，并证明你的结论． (3)如图（3），当点M运动到的延长线上时，求证： 模型2.等腰三角形中维维尼亚模型 例1（24-25八年级上·广东惠州·期中）如图，是等腰三角形，点是底边上任意一点，、分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为，面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 例2（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，在等腰中，，其一腰上的高为h，M是底边上的任意一点，M到腰的距离分别为，，则 例3（24-25八年级上·广西南宁·期中）数学课上，老师画出一等腰并标注：，，然后让同学们提出有效问题并解决．请你结合同学们提出的问题给予解答．    (1)甲同学提出：如图1，过点C作于点H，可求出___________； (2)乙同学提出：的面积为：___________； (3)丙同学提出：如图2点D为边的中点，，，垂足为E、F，请求出的值； (4)丁同学说受丙同学启发，如图3点D为边上任一点，，，，垂足为E、F、H，则有．请你为丁同学说明理由． 例4（24-25七年级下·重庆·期末）在中，边上的高，点P是直线上任意一点，过P作于E，于F，且．(1)如图①，若点P在边上时，三者关系如何？请说明理由；(2)如图②，③，若点P在或的延长线上时，三者关系又如何？（直接写出结论，不需说明理由）；(3)若点P是直线上的点，，求的值． 1．（24-25八年级上·湖南怀化·期中）如图，是等腰三角形，点O 是底边上任意一点，分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为4，面积为10，则的值为（        ） A．10 B．8 C．7 D．5 2．（24-25八年级上·河南·阶段练习）已知：如图，△ABC中，∠C=90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，DO⊥AC，OF⊥AB，点D，E，F分别是垂足，且AB=10，BC=8，CA=6，则点O到三边的距离分别为（    ） A．1，1，1 B．2，2，2 C．1，2，1 D．，， 3．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在等腰中，，，BC边上的高为4，O是外一点，O到三边的垂线段分别为，，，且，则的长度为（    ）      A．7 B．5 C． D． 4．（24-25八年级上·福建泉州·期中）求证：等腰三角形底边高上任一点到两腰的距离相等，结合所给图形，把“已知”、“求证”补充完整，并完成证明过程． 已知：在中，___________，为边上的 ___________，为上一点且满足，___________．求证：___________． 5．（24-25八年级上·河南商丘·期中）如图，已知等边三角形ABC的高为7cm，P为△ABC内一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F．则PD+PE+PF＝ ． 6．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，在等腰中，点是底边的中点，过点分别作，垂足分别为点，若，则的面积为 ．    7．（24-25八年级下·四川达州·期中）如图，为等边三角形，点D是边上异于B，C的任意一点，于点E，于点F．若边上的高线，则 ．      8．（2024八年级·广东·培优）如图，中，，点P是边上任意一点，点Q是延长线上任意一点，过点P分别作于点D，于点E，过点Q分别作于点F，于点G，则 ．（填“>”“<”或“=”） 9．（24-25八年级上·广东·月考）阅读材料： 文字描述 图形展示 如图，在等腰中，，其一腰上的高为h，M是底边上的任意一点，M到腰，的距离分别为，，可得结论．    证明；连接，，，， 又，， ∵，， 结论：等腰三角形底边上的任一点到两腰的距离和等于一腰的高 【解决问题】如图，在等腰中，，其一腰上的高为，且在延长线上，到腰，的距离分别为，．，，之间有什么样的结论？依据所画图形，证明你的结论．    10．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）阅读材料：如图，中，为底边上任意一点，点到两腰的距离分别为，，腰上的高为，连接，则，即：，（定值），即为定值． (1)深入探究:将“在中，为上一点”改成“为等边三角形内一点”，作，，垂足分别为、，有类似结论吗?请写出结论并证明； (2)理解与应:用当点在外，（1）结论是否成立?若成立，请予以证明；若不成立，和之间又有怎样的关系，并说明理由． 10．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）“面积法”是指利用图形面积间的等量关系寻求线段间等量关系的一种方法． 例如：在△ABC中，AB＝AC，点P是BC所在直线上一个动点，过P点作PD⊥AB、PE⊥AC，垂足分别为D、E，BF为腰AC上的高． 如图1，当点P在边BC上时，我们可得如下推理： ∵S△ABC＝S△ABP+S△ACP，∴AC▪BF＝AB▪PD+AC▪PE． ∵AB＝AC，∴AC▪BF＝AC▪（PD+PE）．∴BF＝PD+PE． 请模仿上述方法，完成下列问题：如图2，在上例的条件下，当点P运动到BC的延长线上时，试探究BF、PD、PE之间的关系，并说明理由． 11.（24-25山西八年级上期末）已知，在等边三角形中，为边上的高. 操作发现:（1）如图1，过点分别作，，垂足分别为.请直接写出和的数量关系；（2）如图2，若点为上任意一点（不与重合），过点作，，垂足分别为.判断和的数量关系，并说明理由； 拓广探索:（3）如图3，点为等边三角形内任意一点，过点作，，，垂足分别为，探究和的数量关系，并说明理由. 12．（24-25八年级上·河北承德·期末）数学课上，老师画出一等腰并标注：，，然后让同学们提出有效问题并解决．请你结合同学们提出的问题给予解答． (1)甲同学提出：___________度； (2)乙同学提出：的面积为：___________； (3)丙同学提出：点D为边的中点，，，垂足为E、F，则有，请写出的直接依据：___________； (4)丁同学说受丙同学启发，点D为边上任一点，，，，垂足为E、F，H，则有．请你为丁同学说明理由． 13．（24-25七年级下·四川成都·期末）数学课堂上，同学们正在探索一个有趣的数学问题：如图1，点P是等边内的任意一点，过点P向三边作垂线，垂足分别为D，E，F．试探究与的周长的关系，记，的周长．（含角的直角三角形中角所对的边等于斜边的一半） (1)从特殊情形入手： ①若点P在的顶点B处，此时点D、F与点B重合，如图2，此时l与c有什么数量关系呢？小明提出了他的解法： 等边， 不妨设， ______（用含m的式子表示） 的周长=______（用含m的式子表示） 此时l与c的数量关系为______． ②若点P在的一条边BC上，如图3，此时①中的结论还成立吗？请说明理由． (2)回到一般情形，若点P不在的边界上，如图4，此时①中的结论还成立吗？请你借助特殊情形下获得的结论和方法解决这个问题，请写出解决过程． 14．（2025·江西·二模）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．例如：如图①，，则四边形为“等邻角四边形”． (1)定义理解：以下平面图形中，是等邻角四边形的是___________． ①平行四边形；②矩形；③菱形；④等腰梯形． (2)深入探究：①已知四边形为“等邻角四边形”，且，则________． ②如图②，在五边形中，，对角线平分，求证：四边形为等邻角四边形．(3)拓展应用：如图③，在等邻角四边形中，，点P为边BC上的一动点，过点P作，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，的值是否会发生变化？请说明理由． 15．（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）综合与实践 问题情境  数学活动课上，老师提出了如下问题：如图，在中，，是上一点，过点作，，垂足分别为，，过点作，垂足为，连接．        【特例探究】（1）如图1．当为边的中点时，利用面积之间的关系可以发现线段，，之间的数量关系为________． 【深入探究】（2）如图2，当为边上的任意一点时，（1）中的数量关系是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请写出成立的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】（3）如图3，当点在边的延长线上时．①试猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想．②当，，时，线段的长为________． 16.（24-25八年级上·云南曲靖·期末）如图①，已知是等边三角形，于点M，点P是直线BC上一动点，设点P到两边AB、AC的距离分别为，，的高为h． (1)当点P运动到什么位置时，，并说明理由． (2)如图②，试判断，，h之间的关系，并证明你的结论． (3)如图，当点P运动到BC的延长线上时，求证：． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 等腰（等边）三角形中重要模型之维维尼亚模型 维维亚尼定理（Viviani's theorem）：在等边三角形内任意一点P到三边的垂直距离之和，等于该等边三角形的高。这个定理可一般化为：等角多边形内任意一点P跟各边的垂直距离之和，是不变的，跟该点的位置无关。它以温琴佐·维维亚尼命名。 而今天我们要学习的维维亚尼模型就是维维亚尼定理及其拓展，它的证明主要利用了等面积法，消去相等底边后得到高之间的关系，因此等腰三角形的维维亚尼模型动点只能在底边所在直线上运动，此时连接点和底边所对顶点，能江原图分割成两个底相等的三角形。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.等边三角形中维维尼亚模型 6 模型2.等腰三角形中维维尼亚模型 9 13 维维尼亚模型（又称维维亚尼模型）是几何学中基于等边或等腰三角形特性的经典模型，其核心来源于17世纪意大利数学家维维亚尼（Vincenzo Viviani）提出的维维亚尼定理。该模型通过垂直距离的定和关系，为几何问题提供了简洁的解决路径。 维维亚尼在1692年研究等边三角形时发现：‌任意内点到三边的垂直距离之和恒等于三角形的高。这一结论后被推广至等腰三角形及正多边形，成为模型的理论基础。‌ （24-25八年级上·江苏南通·期中）阅读材料：如图1，中，，P为底边上任意一点，点P到两腰的距离分别为，腰上的高为h， (1)连接，则，即：，∴，即之间的数量关系是： ． (2)深入探究:如图2，将“在中，，P为底边上任意一点”改成“P为等边三角形内一点”，作，垂足分别为E、F、M、G，则和之间有怎样的关系？请写出结论并证明；（提示：可连接）; (3)理解与应用:如图3，当点P在外时，和之间又有怎样的关系？写出结论并证明． 【答案】(1)(2)，理由见解析(3)，理由见解析 【详解】（1）解：；故答案为：； （2）解：，理由如下： 连接，则，∵等边三角形，∴， ∵，∴， ∴，∴； （3）解：，理由如下：连接，则， ∵等边三角形，∴，∵， ∴， ∴，∴． （24-25八年级上·江苏宿迁·期末）【数学阅读】如图1，在中，，点P为边上的任意一点，过点P作，，垂足分别为D，E，过点C作，垂足为F，求证：． 小尧的证明思路是：如图2，连接，由与面积之和等于的面积可得：    【推广延伸】如图3，当点P在延长线上时，其余条件不变，请运用上述解答中所积累的经验和方法，猜想，与的数量关系，并证明． 【解决问题】如图4，在平面直角坐标系中有两条直线、，分别是函数，和的图象，、与x轴的交点分别为A，B．（1）两条直线的交点C的坐标为________________；（2）说明是等腰三角形；（3）若上的一点M到的距离是1，运用上面的结论，求点M的坐标． 【答案】数学阅读：见详解；推广延伸：，理由见详解；解决问题：（1）；（2）见详解；（3）或． 【详解】数学阅读：证明：如图2，连接，∵，， ， ∴， ，， 又∵，∴，∴， ∵，∴． 推广延伸：解：，理由如下：如图3，连接，    ∵， ， ，∴， ，， 又∵，∴，∴， ∵，∴． 解决问题：解：（1）联立，得，∴两条直线的交点C的坐标为； （2）由得，∴，∴， 由，得，∴，∴，∴， 在中， ，∴，∴是等腰三角形． （3）如图，若M点在射线上，作于E点，于F点．      图 图 在，，由图②得，∴，∴，∴M点的纵坐标为2， 由，得，∴． 如图，若M点在射线的反向延长线上，由图③得， ∴，∴M点的纵坐标为4， 由，得，．综上，M点的坐标为或． 1）等边三角形中维维尼亚模型 条件：在等边中，P是平面上一动点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BC，PD⊥AB，过点A作AM⊥BC。 结论：①如图1，若动点P在三角形ABC内时，则PD+PE+PF=AM； ②如图2，若动点P在三角形ABC外时，则PD+PE-PF=AM。 （当点P在三角形ABC外时，受P的位置影响，不同的位置结论稍有不同，但都可以使用等面积法证明）。    图1 图2 证明：①如图1，连结AP，BP，CP。∵是等边三角形，∴AB=BC=AC， 则， ∵； ∴PD+PE+PF=AM。 ②如图3，连结AP，BP，CP。∵是等边三角形，∴AB=BC=CA， 则， ∵； ∴PD+PE-PF=AM。 2）等腰三角形中维维尼亚模型 条件：如图，等腰（AB=AC）中，点P在BC上运动，过点P作PD⊥AB，PH⊥AC，CE⊥AB， 结论：①如图1，若动点P在边BC上时，则PE+PD=CF，AD-AF=AC-AE（即DF=CE）。 ②如图2，若动点P在BC延长线上时，则|PF-PE|=CD，|AE-AC|=|AD-AF|（即DF=CE）。 图1 图2 证明：①如图1，连结AP；∵是等边三角形，∴AB=AC， 则，∵； ∴PE+PD=CF。 ①如图2，连结AP；∵是等边三角形，∴AB=AC， 则，∵； ∴PF-PE=CD。 模型1.等边三角形中维维尼亚模型 例1（24-25八年级上·山东·期中）如图，点P在等边三角形的内部，，，，垂足分别为D，E，F，若，且，则的边长为 ． 【答案】3 【详解】解：连接，，， ∵，，，∴． ∵为等边三角形，， ∴，解得，即的边长为3．故答案为：3 例2（2024八年级上·重庆·专题练习）如图，点P在等边三角形的内部，，，，垂足分别为D，E，F，若，且的边长为8，则的面积为 ． 【答案】 【详解】解：连接，，，∵是等边三角形，∴， ∵，，，， ∴，故答案为：． 例3（24-25浙江八年级期中）数学中常常利用面积相等来证明其他的线段相等，这种方法被称为“面积法”．已知等边，点是平面上任意一点，设点到边、边的距离分别为、，的边上的高为．回答以下问题：    (1)如图（1），若点在三角形的边上，、、存在怎样的数量关系？请给出证明过程． (2)如图（2），当点在内，已知，求的值． (3)如图（3），当点在外，请直接写出与、、的数量关系，不用证明． 【答案】(1)，证明见解析(2)10(3) 【详解】（1）解：，证明如下：连结，如图（1）所示：         设，是等边三角形，， 于点，于点，于点， ，，， ，，； （2）解：连结、、，如图（2）所示： 设，是等边三角形，， 于点，于点，于点，于点， ，，，， ，，， ，，的值为； （3）解：，理由如下：连结、、，如图（3）所示： 设，是等边三角形，， 于点，于点，于点，于点， ，，，， ，，． 例4（24-25八年级上·云南昆明·期末）如图（1），已知在中， 且 过A作 于点P，点M是直线上一动点，设点M到 两边、的距离分别为m，n， 的高为h．    (1)当点M运动到什么位置时， ，并说明理由． (2)如图（2），试判断m、n、h之间的关系，并证明你的结论． (3)如图（3），当点M运动到的延长线上时，求证： 【答案】(1)证明见解析(2)，证明见解析(3)证明见解析 【详解】（1）解：当点P与点M重合时，， 理由：过点M作于点D，于点E，如图，则，，         ∵且 ∴是等边三角形， ∵即，∴， ∴， ∴，∴，∴； （2）解：．理由如下：如图②，连接，则 ， ∴，即， 又∵是等边三角形，∴，∴； （3）解：如图，连接，则 ， ∴，即 ， 又∵是等边三角形，∴， ∴， ∴，∴，两边同时除以2022得，， ∴，即． 模型2.等腰三角形中维维尼亚模型 例1（24-25八年级上·广东惠州·期中）如图，是等腰三角形，点是底边上任意一点，、分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为，面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接，如图，∵， ∵，∴，∴．故选：B． 例2（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，在等腰中，，其一腰上的高为h，M是底边上的任意一点，M到腰的距离分别为，，则 【答案】 【详解】解：∵，，， 又∵，∴， ∵，∴，∴．故答案为：． 例3（24-25八年级上·广西南宁·期中）数学课上，老师画出一等腰并标注：，，然后让同学们提出有效问题并解决．请你结合同学们提出的问题给予解答．    (1)甲同学提出：如图1，过点C作于点H，可求出___________； (2)乙同学提出：的面积为：___________； (3)丙同学提出：如图2点D为边的中点，，，垂足为E、F，请求出的值； (4)丁同学说受丙同学启发，如图3点D为边上任一点，，，，垂足为E、F、H，则有．请你为丁同学说明理由． 【答案】(1)5(2)25(3)(4)见解析 【详解】（1）解：，，在中，，故答案为：5； （2）解：,故答案为：25； （3）解：连接，如图所示： ，点D为边的中点，平分，，，， ，，， 由（2）知，，；       （4）证明：连接，如图所示： ，，，，，， ，，， 即：，． 例4（24-25七年级下·重庆·期末）在中，边上的高，点P是直线上任意一点，过P作于E，于F，且．(1)如图①，若点P在边上时，三者关系如何？请说明理由；(2)如图②，③，若点P在或的延长线上时，三者关系又如何？（直接写出结论，不需说明理由）；(3)若点P是直线上的点，，求的值． 【答案】(1)，理由见解析(2)在图②中，；在图③中，(3)的值为3或13 【详解】（1）解：如图，连接， ，，，，，， 又， ，，即； （2）解：如图，点在的延长线上时，连接， ， ，，即；如图，点在的延长线上时，连接， ， ，，即； （3）解：当点P在边上时，由（1）可知，，那么，故； 当点在的延长线上时，由（2）可知，，那么，故（舍去）； 当点在的延长线上时，由（2）可知，，那么，故． 综上所述，的值为3或13． 1．（24-25八年级上·湖南怀化·期中）如图，是等腰三角形，点O 是底边上任意一点，分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为4，面积为10，则的值为（        ） A．10 B．8 C．7 D．5 【答案】D 【详解】解：如图所示，连接， ∵是等腰三角形，点O 是底边上任意一点，分别与两边垂直， ∴，，∵，∴， ∴，∴，故选D． 2．（24-25八年级上·河南·阶段练习）已知：如图，△ABC中，∠C=90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，DO⊥AC，OF⊥AB，点D，E，F分别是垂足，且AB=10，BC=8，CA=6，则点O到三边的距离分别为（    ） A．1，1，1 B．2，2，2 C．1，2，1 D．，， 【答案】B 【详解】解：连接OB， ∵点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足， ∴OE=OF=OD，又∵OB是公共边，∴Rt△BOF≌Rt△BOD（HL），∴BD=BF，同理，AE=AF，CE=CD， ∵∠C=90°，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，OD=OE，∴OECD是正方形， 设OE=OF=OD=x，则CE=CD=x，BD=BF=8-x，AF=AE=6-x， ∴BF+FA=AB=10，即6-x+8-x=10，解得x=2．则OE=OF=OD=2．故选：B． 3．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在等腰中，，，BC边上的高为4，O是外一点，O到三边的垂线段分别为，，，且，则的长度为（    ）      A．7 B．5 C． D． 【答案】D 【详解】解：连接，，，如图，      由，设， ，，∵，，，， ∴，即，∴为的角平分线， 又∵，∴，∴为的中线， ∵，∴、、三点共线，∴， 在中，，∴ ∴，∴，∴，故选：D． 4．（24-25八年级上·福建泉州·期中）求证：等腰三角形底边高上任一点到两腰的距离相等，结合所给图形，把“已知”、“求证”补充完整，并完成证明过程． 已知：在中，___________，为边上的 ___________，为上一点且满足，___________．求证：___________． 【答案】，高，， 【详解】已知：在中，，为边上的高，为上一点且满足，，垂足分别为、，求证：， 证明：，为高，平分， ，，，故答案为：，高，，． 5．（24-25八年级上·河南商丘·期中）如图，已知等边三角形ABC的高为7cm，P为△ABC内一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F．则PD+PE+PF＝ ． 【答案】7cm 【详解】如图，连接PA、PB、PC，作AB边上的高CG， ∵S△ABP+S△BCP+S△ACP＝S△ABC，∴AB•PD+BC•PF+AC•PE＝AB•CG， ∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∴AB（PE+PF+PD）＝AB•CG， ∵等边三角形ABC的高为7cm，∴PE+PD+PF＝CG＝7cm.故答案为7cm 6．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，在等腰中，点是底边的中点，过点分别作，垂足分别为点，若，则的面积为 ．    【答案】 【详解】解：∵点D是等腰的底边的中点，∴， ∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，∴，故答案为：． 7．（24-25八年级下·四川达州·期中）如图，为等边三角形，点D是边上异于B，C的任意一点，于点E，于点F．若边上的高线，则 ．      【答案】10 【详解】如图所示．连接，∵是等边三角形，∴． ∵，∴， 即，∴．故答案为：10．    8．（2024八年级·广东·培优）如图，中，，点P是边上任意一点，点Q是延长线上任意一点，过点P分别作于点D，于点E，过点Q分别作于点F，于点G，则 ．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【详解】解：连接、，如图所示： ∵﹐且，，，， ∴， ∵，∴，∴．故答案为：． 9．（24-25八年级上·广东·月考）阅读材料： 文字描述 图形展示 如图，在等腰中，，其一腰上的高为h，M是底边上的任意一点，M到腰，的距离分别为，，可得结论．    证明；连接，，，， 又，， ∵，， 结论：等腰三角形底边上的任一点到两腰的距离和等于一腰的高 【解决问题】如图，在等腰中，，其一腰上的高为，且在延长线上，到腰，的距离分别为，．，，之间有什么样的结论？依据所画图形，证明你的结论．    【答案】，见解析 【详解】解：，理由如下：， 又∵，，，． 10．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）阅读材料：如图，中，为底边上任意一点，点到两腰的距离分别为，，腰上的高为，连接，则，即：，（定值），即为定值． (1)深入探究:将“在中，为上一点”改成“为等边三角形内一点”，作，，垂足分别为、，有类似结论吗?请写出结论并证明； (2)理解与应:用当点在外，（1）结论是否成立?若成立，请予以证明；若不成立，和之间又有怎样的关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析(2)，理由见解析 【详解】（1），理由如下：连接、、，则 ∵等边三角形，∴，∵，， ∴，∴， ∴； （2），理由如下：连接、、，则 ∵等边三角形，∴， ∵，，∴， ∴，∴． 10．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）“面积法”是指利用图形面积间的等量关系寻求线段间等量关系的一种方法． 例如：在△ABC中，AB＝AC，点P是BC所在直线上一个动点，过P点作PD⊥AB、PE⊥AC，垂足分别为D、E，BF为腰AC上的高． 如图1，当点P在边BC上时，我们可得如下推理： ∵S△ABC＝S△ABP+S△ACP，∴AC▪BF＝AB▪PD+AC▪PE． ∵AB＝AC，∴AC▪BF＝AC▪（PD+PE）．∴BF＝PD+PE． 请模仿上述方法，完成下列问题：如图2，在上例的条件下，当点P运动到BC的延长线上时，试探究BF、PD、PE之间的关系，并说明理由． 【答案】BF＝PD﹣PE，理由见解析 【详解】解：BF＝PD﹣PE，理由如下：如图2，连接AP， ∵S△ABC＝S△ABP﹣S△ACP，∴AC•BF＝AB•PD﹣AC•PE， ∵AB＝AC，∴BF＝PD﹣PE． 11.（24-25山西八年级上期末）已知，在等边三角形中，为边上的高. 操作发现:（1）如图1，过点分别作，，垂足分别为.请直接写出和的数量关系；（2）如图2，若点为上任意一点（不与重合），过点作，，垂足分别为.判断和的数量关系，并说明理由； 拓广探索:（3）如图3，点为等边三角形内任意一点，过点作，，，垂足分别为，探究和的数量关系，并说明理由. 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析. 【详解】（1）. 根据三角形的面积公式:S△ABC=S△ABD+S△ACD即: ∵△ABC是等边三角形,即:AB=AC=BC,∴. （2） 理由如下：∵为等边三角形∴ ∵为边上的高∴ 又∵，，∴∴ （3） 理由如下：如图，连接， ∵为等边三角形，∴ ∵为边上的高，∴ ∵，，，垂足分别为， ∴ ∴ ∴ 12．（24-25八年级上·河北承德·期末）数学课上，老师画出一等腰并标注：，，然后让同学们提出有效问题并解决．请你结合同学们提出的问题给予解答． (1)甲同学提出：___________度； (2)乙同学提出：的面积为：___________； (3)丙同学提出：点D为边的中点，，，垂足为E、F，则有，请写出的直接依据：___________； (4)丁同学说受丙同学启发，点D为边上任一点，，，，垂足为E、F，H，则有．请你为丁同学说明理由． 【答案】(1)(2)25(3)角平分线的性质(4)见解析 【详解】（1）解：∵，，∴；故答案为：； （2）解：过点作，交于点，则：， ∵，，∴， ∴；故答案为：； （3）解：连接，法一：∵，点D为边的中点，∴平分， ∵，，∴（角平分线上的性质）；故答案为：角平分线的性质； 法二：∵，点D为边的中点，∴， ∵，，∴， 又∵，∴，∴（全等三角形的性质）； 综上：可以用角平分线的性质，也可以用全等三角形的性质，得到； 故答案为：角平分线的性质或全等三角形的性质； （4）证明：连接， ∵，，，∴， ∵，，∴， 即：，∴． 13．（24-25七年级下·四川成都·期末）数学课堂上，同学们正在探索一个有趣的数学问题：如图1，点P是等边内的任意一点，过点P向三边作垂线，垂足分别为D，E，F．试探究与的周长的关系，记，的周长．（含角的直角三角形中角所对的边等于斜边的一半） (1)从特殊情形入手： ①若点P在的顶点B处，此时点D、F与点B重合，如图2，此时l与c有什么数量关系呢？小明提出了他的解法： 等边， 不妨设， ______（用含m的式子表示） 的周长=______（用含m的式子表示） 此时l与c的数量关系为______． ②若点P在的一条边BC上，如图3，此时①中的结论还成立吗？请说明理由． (2)回到一般情形，若点P不在的边界上，如图4，此时①中的结论还成立吗？请你借助特殊情形下获得的结论和方法解决这个问题，请写出解决过程． 【答案】(1)①，，；②成立，理由见解析； (2)①中的结论还成立．理由见解析 【详解】（1）解：①设，，的周长， 此时l与c的数量关系为故答案为：，，； ②成立．理由：等边， ， 不妨设，，， 的周长，此时l与c的数量关系为 （2）解：①中的结论还成立．理由：过点P作交，于I，H， 作，， ，，， 等边， ， 不妨设， ，， ， 的周长，此时l与c的数量关系为 14．（2025·江西·二模）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．例如：如图①，，则四边形为“等邻角四边形”． (1)定义理解：以下平面图形中，是等邻角四边形的是___________． ①平行四边形；②矩形；③菱形；④等腰梯形． (2)深入探究：①已知四边形为“等邻角四边形”，且，则________． ②如图②，在五边形中，，对角线平分，求证：四边形为等邻角四边形．(3)拓展应用：如图③，在等邻角四边形中，，点P为边BC上的一动点，过点P作，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，的值是否会发生变化？请说明理由． 【答案】(1)②④(2)①或或；②见解析(3)不会发生变化，理由见解析 【详解】（1）解：①平行四边形的邻角互补，不是等邻角四边形； ②矩形四个角都是直角，则邻角相等，是等邻角四边形； ③菱形的邻角互补，不是等邻角四边形；④等腰梯形的两个底角相等，是等邻角四边形． 综上，②④是等邻角四边形．故答案为：②④； （2）解：①当时，四边形为“等邻角四边形”， ∵，∴； 当时，四边形为“等邻角四边形”， 当时，四边形为“等邻角四边形”， ；故答案为：或或； ②∵，∴，∵对角线平分，∴， ∴，∴四边形为等邻角四边形； （3）解：在点P的运动过程中，的值不会发生变化，理由如下： 过C作于H，过P作于G，如图： ∵，，∴， ∴四边形是矩形，∴，，即，∴， ∵，∴，∵，∴， 在和中，，∴（）， ∴，∴， 即在点P的运动过程中，的值总等于C到AB的距离，是定值． 15．（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）综合与实践 问题情境  数学活动课上，老师提出了如下问题：如图，在中，，是上一点，过点作，，垂足分别为，，过点作，垂足为，连接．        【特例探究】（1）如图1．当为边的中点时，利用面积之间的关系可以发现线段，，之间的数量关系为________． 【深入探究】（2）如图2，当为边上的任意一点时，（1）中的数量关系是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请写出成立的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】（3）如图3，当点在边的延长线上时．①试猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想．②当，，时，线段的长为________． 【答案】（1）；（2）（1）中的数量关系仍然成立．证明见解析；（3）①；②6 【详解】解：（1），，， ，， ，．故答案为：． （2）（1）中的数量关系仍然成立． 证明：，，，， ，，． （3）①，，， ，，，； ②，，，，由①可知， ，故答案为：6． 16.（24-25八年级上·云南曲靖·期末）如图①，已知是等边三角形，于点M，点P是直线BC上一动点，设点P到两边AB、AC的距离分别为，，的高为h． (1)当点P运动到什么位置时，，并说明理由． (2)如图②，试判断，，h之间的关系，并证明你的结论． (3)如图，当点P运动到BC的延长线上时，求证：． 【答案】(1)当点P与点M重合时，，理由见解析；(2)h＝h1＋h2，证明见解析；(3)证明见解析． 【详解】（1）解：当点P与点M重合时，h1＝h2， 理由：过点M作MF⊥AB于点F，ME⊥AC于点E，如图①，则MF＝h1，ME＝h2， ∵△ABC是等边三角形，AM⊥BC，∴BM＝CM，AB＝AC， ∴S△ABM＝S△ACM，∴AB•MF＝AC•ME，∴MF＝ME，∴h1＝h2； （2）h＝h1＋h2．证明：如图②，连接AP，则 S△ABC＝S△ABP＋S△APC， ∴BC•AM＝AB•PF＋AC•PE，即BC•h＝AB•h1＋AC•h2， 又∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AB＝AC，∴h＝h1＋h2； （3）解：如图③，连接AP，则 S△APC＋S△ABC＝S△ABP， ∴AC•PE＋BC•AM＝AB•PF，即 AC•h2＋BC•h＝AB•h1， 又∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝AB，∴h2＋h＝h1， ∴，∴，两边同时除以2022得，， ∴，即． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $