24.3正多边形和圆同步练习2025-2026学年人教版数学九年级上册

24.3 正多边形和圆 学校:___________姓名：___________班级：__________ 一、单选题 1．若正多边形的一个外角为，则这个正多边形的中心角的度数是（    ） A． B． C． D． 2．一个正多边形的中心角为，这个正多边形的边数是（    ） A．3 B．5 C．8 D．10 3．正六边形的边心距为，则该正六边形的边长是(   ) A． B．2 C．3 D．2 4．将一个正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角的大小不可能是（    ） A．60° B．90° C．180° D．360° 5．若一个正多边形的中心角为，则这个正多边形的边数为（   ） A．七 B．八 C．九 D．十 6．如图，已知的内接正方形的边长为1，则的半径为（    ） A． B． C．1 D． 7．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．等边三角形 B．平行四边形 C．正五边形 D．正八边形 8．下列命题正确的是（   ） A．各边相等的多边形是正多边形 B．正多边形一定是中心对称图形 C．正多边形外接圆的圆心角是它的中心角 D．正多边形外接圆的半径是它的半径 9．如图，正多边形内接于半径相等的圆，其中正多边形的周长最大的是图形（    ）    A．① B．② C．③ D．无法判定 10．如图，正六边形ABCDEF内接于，若的周长是，则正六边形的边长是（　　）    A． B．3 C．6 D． 二、填空题 11．边长为3的等边三角形内接于，则的半径为． 12．如图，点O是正六边形的中心点，连接，则的度数为． 13．如图，若以AB为边长作⊙O的内接正多边形，则这个多边形是正边形． 14．如图，点O是正五边形的中心，连接，则的度数为． 15．如图，正八边形ABCDEFGH内接于☉O，点P是上的任意一点，则∠CPE的度数为． 16．如图，正五边形的边长为，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，则的度数为． 三、解答题 17．要用圆形铁片截出边长为a的正方形铁片，选用的圆形铁片的半径至少是多少？ 18．如图，正三角形ABC内接于⊙O，若AB=cm，求⊙O的半径． 19．如图，要拧开一个边长的六角形螺帽，扳手张开的开口b至少要多少？ 20．如图，正方形内接于是的中点，连接．求证：； 21．如图，正六边形内接于，边长为2． (1)求的直径的长； (2)求的度数． 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】本题考查正多边形的外角和定理，正多边形的中心角，利用多边形的外角得到正多边形的边数，然后根据正多边形的中心角定义即可求解，掌握正多边形的外角和定理是解题的关键． 【详解】∵正多边形的一个外角为， ∴正多边形的边数为， ∴这个正多边形的中心角的度数是， 故选：． 2．C 【分析】本题考查的是正多边形的中心角的有关计算；熟记正多边形的中心角与边数的关系是解题的关键． 根据正多边形的边数周角中心角，计算即可得解． 【详解】解：这个多边形的边数是， 故答案为：C． 3．B 【详解】试题解析：如图： ∵正六边形的边心距为， ∴OB=，AB=OA， ∵OA2=AB2+OB2， ∴OA2=（OA）2+（）2， 解得OA=2． 故选B． 考点：1．正多边形和圆；2．勾股定理． 4．B 【分析】根据旋转的性质，以及正多边形的中心角的度数，进行判断即可． 【详解】解：正六边形的中心角的度数为：， ∴正六边形绕其中心旋转或的整数倍时，仍与原图形重合， ∴旋转角的大小不可能是； 故选B． 【点睛】本题考查旋转图形，正多边形的中心角．熟练掌握旋转的性质，正多边形的中心角的度数的求法，是解题的关键． 5．B 【分析】本题主要考查了正多边形的性质，掌握正多边形的中心角相等以及计算公式成为解题的关键． 根据正多边形的中心角计算公式为：中心角边数，求解即可． 【详解】解：设正多边形的边数为． 由题意可得：，解得：． 故选B． 6．B 【分析】利用正方形的性质结合勾股定理得出的半径． 【详解】解：连接，如图所示， ∵的内接正方形的边长为1， ∴， 在中，， ∴． 故选：B． 【点睛】此题考查了正多边形和圆、勾股定理，正确掌握正方形的性质是本题的关键． 7．D 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别； 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；据此逐项判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 8．D 【分析】根据正多边形的概念和性质逐一判断即可． 【详解】解：、各边相等，各内角相等的多边形是正多边形，不符合题意； 、当正多边形的边数为偶数时，它一定是中心对称图形，不符合题意； 、正多边形的每条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，不符合题意； 、正多边形外接圆的半径是正多边形的半径，符合题意. 故选：D. 【点睛】本题考查多边形的性质，正确记忆正多边形的特点是解题关键． 9．C 【分析】根据圆内接多边形的周长小于圆周长，再利用逐步逼近法选择答案． 【详解】解：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周长越来越接近圆周长， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了正多边形与圆，关键是知道圆内接多边形的周长小于圆周长． 10．C 【分析】如图所示，由正六边形ABCDEF内接于，可知是等边三角形，由的周长是，可得即可得出结果． 【详解】解：如图所示：    ∵正六边形ABCDEF内接于， 是等边三角形， ∵的周长是， 故选： 【点睛】本题主要考查了圆内接正六边形的性质，等边三角形的判定及性质，正确运用圆与正六边形的性质是解此题的关键． 11． 【分析】本题考查了正多边形和圆的计算．作于D点，连接，构造直角三角形利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得的长即可． 【详解】解：作于D点，连接， ∵等边三角形内接于，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴的半径为． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查正多边形的中心角，连接，根据中心角的计算方法，求出的度数，进而求出的度数即可． 【详解】解：连接， ∵点O是正六边形的中心点， ∴， ∴； 故答案为： 13．六 【分析】根据题意可得，进而证明是等边三角形，得到，即可证明出这个多边形是正六边形． 【详解】解：如图，连接OB， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴这个多边形是正六边形． 故答案为：六． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质和判定，圆内接正多边形的性质，解题的关键是根据题意求出． 14．18 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正五边形的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理是解题的关键．连接，根据正五边形的性质，可得，由此得到，再利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵点O是正五边形的中心， ∴， 在中，，， ∴． 故答案为：18． . 15．． 【分析】连接OD,OC,OE,利用正八边形的中心角的定义，计算圆心角∠COE，根据圆心角与圆周角的关系定理计算即可． 【详解】连接OD,OC,OE, ∵八边形ABCDEFGH是正八边形, ∴∠COD=∠DOE==45°, ∴∠COE=45°+45°=90°, ∴∠CPE=∠COE =45°. 故答案为：45°． 【点睛】本题考查了正多边形的中心角，圆心角与圆周角关系定理，连接半径，构造中心角是解题的关键． 16． 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，正多边形和圆，连接，由题意可知为等边三角形，得到，再根据五边形为正五边形，可得，进而根据角的和差关系即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由题意得，， ∴是等边三角形， ∴， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， 故答案为：． 17．半径至少为a． 【分析】画出正方形外接圆，连接AC，求出正方形外接圆半径即可． 【详解】解：如图所示，连接AC， ∵∠D＝90°， ∴AC为直径， 在 Rt△ACD中，AC＝＝a， ∴半径至少为a． 【点睛】本题考查了正多边形和圆的计算，解题关键是画出图形，准确进行计算． 18．2cm 【分析】利用等边三角形的性质得出点O既是三角形内心也是外心，进而求出∠OBD=30°，BD=CD，再利用锐角函数关系得出BO即可． 【详解】过点O作OD⊥BC于点D，连接BO， ∵正三角形ABC内接于⊙O， ∴点O即是三角形内心也是外心， ∴∠OBD=30°，BD=CD=BC=AB=， ∴cos30°===， 解得：BO=2， 即⊙O的半径为2cm． 【点睛】考查了正多边形和圆，利用正多边形内外心的特殊关系得出∠OBD=30°，BD=CD是解题关键． 19．扳手张开的开口b至少要12mm． 【分析】由题意可得：六边形为正六边形，可得六边形的六条边相等，每个内角为过点A作AG⊥BF，垂足为点G，再利用含的直角三角形的性质求解 再利用勾股定理求解 结合等腰三角形的性质可得答案. 【详解】解：如图所示，由题意得：六边形为正六边形， 六边形的六条边相等，每个内角为 过点A作AG⊥BF，垂足为点G， 因为∠BAF＝120°， 所以∠BAG＝60°， 所以∠ABG＝30°， 在Rt△ABG中，AB＝12mm，∠AGB＝90°，∠ABG＝30°， 所以AG＝AB＝×12＝6(mm)， 由勾股定理得BG＝＝＝6(mm)， 即b＝BF＝2BG＝2×6＝12 (mm). 答：扳手张开的开口b至少要12mm． 【点睛】本题考查的是正多边形与圆，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，熟练应用以上知识解题是解题的关键. 20．证明见详解 【分析】本题考查正多边形与圆，正方形的性质，证明，即可得出． 【详解】证明：四边形是正方形， ， ． 是的中点， ， ， ． 21．(1) (2) 【分析】本题考查正多边形和圆，圆周角定理： （1）连接，求出的度数，得到是等边三角形，得到，即可得出结果； （2）根据圆周角定理，即可得出结果． 【详解】（1）解：连接． ∵正六边形内接于， ∴， 又， ∴是等边三角形． ∴． ∴． （2）解：∵， ∴． 答案第10页，共10页 答案第1页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $