第27章  相似综合小测-2025-2026学年九年级数学下册复习与小测

9数下复习与小测 第27章相似，综合小测 一、选择题（共24分)》 1.【2024安徽六安期末】下列各组多边形一定相似的是（) A.两个等腰三角形 B.两个平行四边形 C.两个正五边形 D.两个六边形 2.【2025江苏准安期末】如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，点A,B,C都在格点 上，AC,BC分别与网格线交于点D,E,则DE的长为() E A B C.1 D 3.如图，在△ABC中，AG平分∠BAC,点D在边AB上，线段CD与AG交于点E,且∠ACD=∠B, 则下列结论中错误的是() A.△ACD∽△ABC B.△ADE∽△ACG D C.△ACE∽△ABG D.△ADE∽△CGE 4.【2024吉林长春期中】已知两个相似的五边形，如果一组对应边的长分别为3c,4cm, 且它们面积的差为28cm2，则较大的五边形的面积为() A.44.8cm2 B.45 cm2 C.64 cm2 D.54 cm2 5.【2025芜湖一模】如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点0为 位似中心的位似图形，且相似比为，点A,B,E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6， 则C点坐标为( OA B E A.(4,3) B.(4,2) c.3,9 D.(3,2) 15/33 9数下复习与小测 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4,CD1AB,垂足为D,E为BC的中点， AE与CD交于点F,则DF的长为() B 0 A.2 B.3v2 032 D.2 3 10 7.【2025陕西西安期末】如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm,AB=5cm,点P从点C出 发以1cm/s的速度沿CB一BA运动，运动时间为ts,以点A,P,C为顶点的三角形与 △ABC相似（不全等）时，t的值为() A号 B3 c或号 0或曾 8.如图，在△ACD中，AD=6,BC=5,AC2=AB·(AB+BC),且△DAB△DCA,若AD= 3AP,点Q是线段AB上的动点，则PQ的最小值是() D B A父 B. 2 C 2 D号 二、填空题（共15分） 9.在平面直角坐标系xOy中，点M(1,3),N(4,3),以点0为位似中心，将线段MN放大为原来的 2倍得到线段M'N,M',N'均落在二次函数y=x2+bx+c的图象上，则b的值为 10.【2025长春期末】如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC,垂足为点F,连 接DF.分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB;②CF=2AF;③FD=DC;④DC:AD=2:V2. 其中正确的结论有 (填序号). E 16/33 9数下复习与小测 11.如图，平面直角坐标系中，矩形0ABC的顶点B在第一象限，点C在x轴上，点A在y轴上， D,E分别是AB,0A的中点.过点D的双曲线y=(k>0,x>0)与BC交于点G,连接DC,F在 DC上，且DF:FC=2:1,连接DE,EF.若△DEF的面积为4，则k的值为 D A B E G 0 12.【2025江苏苏州期末】如图，在⊙0中，直径AB=4,C是AB上一动点，作CB的垂直平 分线，交⊙O于D,E两点，连接CD,BE.当点C与点O重合时，BE=;在点C的运动过程中， AC+BE的最大值为 A B E 13.如图，在△ABC中，AB=AC,点D在BC边上，∠BAD=90°-4C,点F在AC上，BF1AD, 垂足为E,CD=2,AD=4V5. (1)线段BD的长为； (2)线段EF的长为 E B D 17/33 9数下复习与小测 三、解答题（共61分） 14.【2024浙江温州期末】如图，在8×6的方格中，△ABC是格点三角形（顶点均在格点上）， 请按要求画图 (1)在图（1)中，作格点△AEF,使得△AEF与△ABC相似，相似比为2； (2)在图（2)中画出△ABC绕着格点O顺时针旋转90°得到的△A'B'C. 图1) 图(2) 15.如图，正方形ABCD的边长为2，E,F为线段AC上两动点（不与点A,C重合），且∠EBF= 45° （1)求证：△ABF∽△BEF. (2)求证：无论点E,F在线段AC上怎样运动，总有(52-怎· D E B 18/33 9数下复习与小测 16.如图，已知距离为6的两条平行线L1,L2与⊙0分别交于A,B两点，AB为直径，且与l2不 垂直，D为⊙0上一点，过D作l,的平行线m交AB于点C,连接AD,BD.若能=BD=6,求 AB的长 l> 17.学科实践一测量物体的高度.活动课题：借助标杆测量校园内路灯的高度.活动工具：标 杆、皮尺、激光仪等工具.方案设计：如图（1)，AB表示路灯的高度.在路灯旁的水平空地 上直立一根高2米的标杆CD,调整地面上激光仪的位置点E,使从点E处发出的激光束恰好 同时经过D,A,(图中各点均在同一竖直平面内)测量数据：笃行小组按照上述方案，测得 CE=3米，BC=5.7米. 问题解决： （1)根据笃行小组的测量数据，计算路灯的高度AB, 0 图(1) B 19/33 9数下复习与小测 质疑反思：在交流中，一位同学对笃行小组的方案提出质疑：如果路灯底部不可直接到达，将 无法测得线段BC的长，因此不能求得路灯高度.笃行小组在此基础上对原有方案进行补充： 如图(2)，在点E处再直立一根同样高度的标杆EF，调整地面上激光仪的位置点G,使从点 G处发出的激光束恰好同时经过F,A,（图中各点均在同一竖直平面内) 按照此方案，笃行小组的同学认为再测量一条线段，即可求出路灯的高度 图(2) G B (2)他们计划测量的线段是，若用m米表示该线段的长，则路灯的高度AB可用含m的 代数式表示为米. 18.【2025四川乐山模拟】【解决问题】 (1)如图(1)，ACD B 点C,D在线段AB上，AC=BD,若LA=∠B=∠ECF=90°， 求证：∠EDF=90°. 20/33 9数下复习与小测 【知识迁移】(2)如图(2)，△ABE中，AE=BE,∠AEC=∠BED,点C,D在线段AB上， 点F在线段BE上，若LA=LECF,求证：∠EDF=∠A. 【拓展应用】 (3)如图（3)，点E在平行四边形ABCD(AB<BC)的边DC的延长线上，△CEF∽△CBA, 在线段DC上确定点M,使得∠AMF=∠ACF,并说明理由 B 21/339数下复习与小测 第27章相似，综合小测 一、选择题（共24分) 1.【2024安徽六安期末】下列各组多边形一定相似的是( A.两个等腰三角形 B.两个平行四边形 C.两个正五边形 D.两个六边形 答案：C 解析：A选项，两个等边三角形相似，但是两个等腰三角形不一定相似，故A不符合题意：B 选项，两个平行四边形对应角不一定相等，对应边不一定成比例，所以不一定相似，故B不符 合题意；C选项，两个正五边形的对应角相等，对应边成比例，两图形相似，故C符合题意： D选项，两个正六边形相似，但是两个六边形不一定相似，故D不符合题意.故选C. 2.【2025江苏淮安期末】如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，点A,B,C都在格点 上，AC,BC分别与网格线交于点D,E,则DE的长为() E A时 B C.1 答案：B 解析：如图，取格点H,F.正方形网格中每个小正方形的边长为1，·AB=1,CF=2,CH= 3~EF/BH,÷需-品-号.DE/AB,△DEC∽△ABC,88-=DB=号AB=号， 故选B. 3.如图，在△ABC中，AG平分∠BAC,点D在边AB上，线段CD与AG交于点E,且∠ACD=∠B, 则下列结论中错误的是() B G A.△ACD∽△ABC B.△ADE∽△ACG C.△ACE∽△ABG D.△ADE∽△CGE 25/58 9数下复习与小测 答案：D 解析：：∠ACD=∠B,∠CAD=∠BAC,·.△ACD∽△ABC,故选项A的结论正 确.·△ACD∽△ABC,·∠ADC=∠ACB.又：∠BAG=∠CAE,.△ADE△ACG,故选项B 的结论正确.：∠BAG=∠CAE,∠ACD=∠B,△ACE∽△ABG,故选项C的结论正确.由已 知条件无法证明△ADE∽△CGE,故选项D的结论错误.故选D. 4.【2024吉林长春期中】已知两个相似的五边形，如果一组对应边的长分别为3cm,4cm, 且它们面积的差为28c2,则较大的五边形的面积为() A.44.8cm2 B.45 cm2 C.64 cm2 D.54 cm2 答案：C 解析：设较大的五边形的面积为xcm2.依题意，得8=()尸， 解得x=64, 即较大的五边形的面积为64cm2.故选C. 5.【2025芜湖一模】如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点0为 位似中心的位似图形，且相似比为，点A,B,E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6， 则C点坐标为( B E A.(4,3) B.(4,2) c3) D.(3,2) 答案：D 解析：正方形ABCD与正方形BEFG是以原点0为位似中心的位似图形，且相似比为号~品 BG 号：BG=6,AD=BC=2.:四边形ABCD是正方形， AD1/BG,AB=AD=2,△0ADn△0BG,小=品=有0=后 0A=1,·0B=3,C点坐标为(3,2)，故选D. 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4,CD1AB,垂足为D,E为BC的中点， AE与CD交于点F,则DF的长为（) 26/58 9数下复习与小测 B A号 B.3? 4 C.2 3 0.2 10 答案：C B 解析：连接DE, A如图所示.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4, .AB=4v2.CD L AB,.AD BD, CD=2AB=2V2.:E为BC的中点，DE是△ABC的中位线， DE/AC,DE=AC=2,△DEF∽△CAR,DE-E-号， CF-AC-2 DP=CD=9.故选C 7.【2025陕西西安期末】如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm,AB=5cm,点P从点C 出发以1c/s的速度沿CB-BA运动，运动时间为ts,以点A,P,C为顶点的三角形与 △ABC相似（不全等）时，t的值为() A号 89 c减 4 0减曾 答案：D 解析：LACB=90°，AC=3am,AB=5m,BC=VAB2-ACz=4cm.当△ACB∽△PCA 时，易如点P在BC上，是=能号=子“CP=号cm:点P从点C出发以1cm/s的速度运 27/58 9数下复习与小测 动，t==景当△ACB∽△APC时，如图，B 9 CBC=AB CP AC ∠APC=∠ACB=90,∴÷=？GP=号cm,÷BP=VBC2-CP= 5 cm 36 BP+BC=曾cm~点P从点C出发以1cm/s的速度运动，t=三=兰综上所述，t的值 为或时，以点A,P,C为顶点的三角形与△ABC相似.故选D. 8.如图，在△ACD中，AD=6,BC=5,AC2=AB·(AB+BC),且△DAB∽△DCA,若AD=3AP, 点Q是线段AB上的动点，则PQ的最小值是（) B A号 B.6 2 答案：A B 解析： :△DAB△DCA,小架-品“5D曾，解得BD=4(负值己舍去)，“后-号-名是， AC =3AB.AC2 AB.(AB+BC),(AB)2=AB.(AB+BC),AB=4,AB =BD. 如图，过B作BH1AD于H,∴AH=2AD=3,BH=VAB2-AH=V4-32=V7.“AD= 3AP,AD=6,·AP=2.当PQ1AB时，PQ的值最小，此时∠AQP=∠AHB=90°. PAQ=∠BAH,△APQn△MBH,小猫=器小导=号PQ=竖.放选A 二、填空题（共15分） 28/58 9数下复习与小测 9.在平面直角坐标系xOy中，点M(1,3),N(4,3),以点0为位似中心，将线段MN放大为原来的 2倍得到线段M'N',M',N'均落在二次函数y=x2+bx+c的图象上，则b的值为 答案：±10 解析：：点M(1,3),N(4,3),以点O为位似中心，将线段MN放大为原来的2倍得到线段M'N', M'(2,6),N'(8,6)或M'(-2,-6),N'(-8,-6).当二次函数y=x2+bx+c的图象过M'(2,6), N'8,6)时，-名=生，解得b=-10:当二次函数y=x2+bx+c的图象过M(-2,-6),N'(- 8,-60时，名=，解得b=10.综上，b=士10，故答案为士10· 10.【2025长春期末】如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE1AC,垂足为点F,连 接DF.分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB;②CF=2AF;③FD=DC; ④DC:AD=2:V√2.其中正确的结论有」 (填序号). E D F 答案：①②③ E D 解析：如图，B M C过D作OM//BE交AC于N,交BC于M.:四边形ABCD是矩 形，·AD/BC,∠ABC=90°，AD=BC,·∠EAC=∠ACB.:BE⊥AC于点F,·∠ABC= ∠APE=90,△ABPn△CAB,放①正确.：AD/BC,△ABPn△CBF,小二-怎：AB= AD=BC,F-京CF=2AF,故②正确.：DE/BM,BE/DM,四边形BMDE是平 行四边形，BM=DE=AD=2BC,BM=CM,÷CN=NF.:BE1AC于点F,DMI/BE, ·DN1CF,DM垂直平分CF,DF=DC,故③正确.设AE=a,AB=b,则AD=2a. ∠ABE+LAEB=∠EAF+∠AEB=90°， ABE=EAR:BAE=ADC=90r,△BAEMADC,…荒=品片=台即b=V2a, 29/58 9数下复习与小测 品=品=兰，即DC:AD=V2.2,故@错误.故答案为0@3. 11.如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B在第一象限，点C在x轴上，点A在y轴上，D, E分别是AB,OA的中点.过点D的双曲线y=(k>0,x>O)与BC交于点G,连接DC,F在DC 上，且DF:FC=2:1,连接DE,EF.若△DEF的面积为4，则k的值为， A B E G 0 C 答案：8 解析：设矩形0ABC中，OA=2a,AB=2b.D,E分别是AB,OA的中点，点D(b,2a),E(0,a). y G Q 如图， 过点F作FP1BC于点P,延长PF交OA于点Q.:四边形OABC是 矩形，·.∠Q0C=∠0CP=∠CPQ=90°，·四边形0CPQ是矩形， 0Q=PC,PQ=0C=2b.:FP1BC,AB1BC,PP/DB,△CFP△CDB,号-G 需，即号=g=子CP=号aFP=多则EQ=E0-00=号，AQ=A0-0Q=a,FQ PQ-PF=b.△DEF的面积为4，S据DrQ-SAADE-S△ErQ=4,即片(b+)a- 2ab-2xba=4，∴ab=4,则k=2ab=8. 12.【2025江苏苏州期末】如图，在⊙O中，直径AB=4,C是AB上一动点，作CB的垂直平 分线，交⊙O于D,E两点，连接CD,BE.当点C与点O重合时，BE=；在点C的运动过程中， AC十BE的最大值为， 30/58 9数下复习与小测 D A B E 答案：2，是 解析：当点C与点O重合时，设DE与BC交于点H,如图(1)所示.：⊙0的直径AB=4,·BC= CD=2.:DE是CB的垂直平分线，·.CH=BH.根据垂径定理得DH=EH.在△DCH和△EBH CH=BH, 中， {∠DHC=∠EHB,△DCH≌△EBH(SAS),CD=BE=2.如图(2)所示，连接AD,设DE DH EH, 与BC交于点H.设CH=BH=X,·BC=2x,AH=AB-BH=4-x,·AC=AB-BC= 4-2L:A=∠B,∠AHD=∠EHB,六△AHD∽△EHB,÷铝-8：DH=EH,B= BH·AH=x(4-x).在Rt△EHB中，由勾股定理得BE=VHE2+BH严=√x(4-x)+x2= 2V反，÷4C+BE=4-2x+2W反=-2(V反-2)2+3当V反-是=0时，AC+BE的值最 大，最大值为此时x=受符合题意.故答案为2，· OC 图(1) 图(2) 13.如图， DC在△ABC中，AB=AC,点D在BC边上，∠BAD=90-C, 点F在AC上，BF1AD,垂足为E,CD=2,AD=4V5. （1)线段BD的长为； 答案：10 31/58 9数下复习与小测 H D 解析：如图， 过A作AH1BC于H.设∠ACB=C,则∠BAD=90°-G x. BF1AD,÷LAEB=90°，÷∠ABE=90°-∠BAE=3a.“AB=AC,÷∠ABC=∠ACB, LABE=2Q=∠CBE.:∠AEB=∠DEB=90°，BE=BE,·△ABE≌△DBE(ASA),AE= DE,AB BD,.AE DE=AD =2v5.AB =BD AC=x,BC =x+2,.BH CH= ，DH=牛-2.：∠AHD=∠BED=90，∠ADH=∠BDB,△ADH△BDB, x+2 2 BD DE.. 25,÷1=-8(舍去)，x2=10.经检验，x=10是原分式方程的解，…BD=10. 故答案为10， (2)线段EF的长为 答案： 解析：由（1)知AB=BD=AC=10,DH=4,BH=6,·AH=8.如图，过C作CG1AD 交AD的延长线于G,∠G=∠AHD=90.:∠ADH=∠CDG,△ADH△CDG,小沿=2铝 器5=品=亮CG=DG= 5 5 .:EF⊥AD,CG1AD,÷EFI/CG,÷△AEF∽△AGC, 三、解答题（共61分) 14.【2024浙江温州期末】如图，在8×6的方格中，△ABC是格点三角形（顶点均在格点上）， 请按要求画图. 图(1) 图(2) (1)在图(1)中，作格点△AEF,使得△AEF与△ABC相似，相似比为2； 解：△AEF如图(1)所示 32/58 9数下复习与小测 (2)在图（2)中画出△ABC绕着格点O顺时针旋转90°得到的△A'B'C'· 解：△A'B'C'如图(2)所示.--L- 15.如图，正方形ABCD的边长为2，E,F为线段AC上两动点（不与点A,C重合），且 ∠EBF=45° D B (1)求证：△ABF∽△BEF. 【证明】在正方形ABCD中，∠BAC=45°.∠EBF=45°，·∠BAC=∠EBF. '∠BFE=∠AFB,·△ABF∽△BEF (2)求证：无论点，P在线段AC上怎样运动，总有（器尸-票 解：：△ABP∽△BER,“能-=，BP2=AP,ER同理可证△BCB∽△PBE, 器-品B2=cBEP,(2-器- BF 16.如图，已知距离为6的两条平行线l1,12与⊙0分别交于A,B两点，AB为直径，且与l2不 垂直，D为O0上一点，过D作l4的平行线m交AB于点C,连接AD,BD,若能-系BD=6,求 AB的长 m 33/58 9数下复习与小测 AE D -m 解：如图， 过点D作DE⊥I1于点E,延长ED交l2于点F 4/k,DF14//m,=能-号设DE=2x,则DF=3x:EF=6,2x+ 3x=6,解得x=台，DE=号，DF=碧：AB是O0的直径，∠ADB=90°，∠ADE+ ∠BDF=90°.：∠ADE+∠DAE=90°，÷.∠DAE=∠BDF.:∠AED=LDFB=90°， △DAEn△BDF,“品-器在Rt△BDF中，BD=6,DF=号，~BF=VBD-DF= 62-(号2-，g-，AD=3在R△ABD中，BD=6,AD=3,AB 5 VAD2+BD2=V32+62=3W5.故AB的长为3V5. 17.学科实践一测量物体的高度.活动课题：借助标杆测量校园内路灯的高度.活动工具：标 杆、皮尺、激光仪等工具.方案设计：如图(1)，AB表示路灯的高度.在路灯旁的水平空地 上直立一根高2米的标杆CD,调整地面上激光仪的位置点E,使从点E处发出的激光束恰好同 时经过D,A.(图中各点均在同一竖直平面内)测量数据：笃行小组按照上述方案，测得CE=3 米，BC=5.7米 D 图(1)E B 问题解决： （1)根据笃行小组的测量数据，计算路灯的高度AB. 解：AB/CD,△ECDn△EBA岩=器：CE=3米，BC=57米， GD=2米，EB=EC+BC=3+57=8,7(米)，品=品，AB=58米 答：路灯的高度AB为5.8米 质疑反思：在交流中，一位同学对笃行小组的方案提出质疑：如果路灯底部不可直接到达，将 无法测得线段BC的长，因此不能求得路灯高度.笃行小组在此基础上对原有方案进行补充： 34/58