第27章  相似综合复习-2025-2026学年九年级数学下册复习与小测

9数下复习与小测 第27章相似，综合复习 考点1相似图形 1.下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相 似形的为( 甲 乙 丙 A.甲和乙 B.乙和丁 C.甲和丙 D.甲和丁 考点2相似三角形的判定与性质 2.【2025河南中考】如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在 网格线的交点上，点D,E分别是边BA,CA与网格线的交点，连接DE,则DE的长为() A月 B.1 C./2 D.V3 3.【2025江西中考】如图，△ABC是面积为1的等边三角形，分别取AC,BC,AB的中点得 到△A1B1C1;再分别取A1C,B1C,A1B1的中点得到△A2B2C2;,依此类推，则△AnB,nC的 面积为( A A B A.(+1 B.(月” c.” D.(分n-1 11/33 9数下复习与小测 4.【2025河北中考】如图，在五边形ABCDE中，AE//BC,延长BA,BC,分别交直线DE于点M,N. 若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽△DCN,则这个条件是() M 30 4 A.∠B+∠4=180° B.CD//AB C.∠1=∠4 D.∠2=∠3 5.【2025四川眉山中考】如图，一次函数y=ax+b与反比例函数y=的图象相交于A(1,4), B(4,m)两点，与x轴交于点C,点D与点A关于点O对称，连接AD· (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点P在x轴的负半轴上，且△AOC与△POD相似，求点P的坐标， 12/33 9数下复习与小测 6.一块直角三角形木板，它的一条直角边BC长2m,面积为1.5m2. (1) (3)6 4) (1)甲、乙两人分别按图（1)、图（2)用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积 较大； (2)丙、丁两人分别按图(3)、图(4)用它设计一个长方形桌面.请分别求出图(3)、图 (4)中长方形的面积y(m)与DE的长x(m)之间的函数解析式，并分别求出面积的最大值 考点3相似的应用 7.【2025四川内江中考】阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球.”这句话生 动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物.这一原理在生 活中随处可见.如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头 如图乙所示，动力臂0A=150cm,阻力臂0B=50cm,BD=20cm,则AC的长度是() 甲 D A.80 cm B.60cm C.50 cm D.40 cm 13/33 9数下复习与小测 考点4位似 8.【2024黑龙江绥化中考】如图，矩形0ABC各顶点的坐标分别为0(0,0)，A(3,0),B(3,2), C(0,2),以原点0为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点B在第一象限对应点的坐 标是() Y 210 B A 0123x A.(9,4) B.(4,9) c.(1 0.(1,3) 9.【2025广东中考】如图，把△A0B放大后得到△C0D,则△AOB与△C0D的相似比是 4 D B 6 10.【2025安徽中考】如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角 坐标系xOy,△ABC的顶点和A1均为格点（网格线的交点）.已知点A和A1的坐标分别为 (-1,-3)和(2,6). (1)在所给的网格图中描出边AB的中点D,并写出点D的坐标； (2)以点0为位似中心，将△ABC放大得到△A1B1C1,使得点A的对应点为A1,请在所给的 网格图中画出△A1B1C1· 14/339数下复习与小测 第27章相似，综合复习 考点1相似图形 1.下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相 似形的为( 甲 丙 A.甲和乙 B.乙和丁 C.甲和丙 D.甲和丁 答案：D 解析：如果两个多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形是相似多边形.由题 图可知，只有甲和丁的对应角相等，且对应边成比例，所以甲和丁是相似形.故选D. 考点2相似三角形的判定与性质 2.【2025河南中考】如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在 网格线的交点上，点D,E分别是边BA,CA与网格线的交点，连接DE,则DE的长为() D B B.1 0.√2 D.V3 答案：B 解析：·题图中四周网格线构成的四边形是矩形，AC是其对角线，DE所在的直线是其对称 轴，能-是：DE/BC,△ADEn△ABC,“器-点即=克DE=1.故选B 3.【2025江西中考】如图，△ABC是面积为1的等边三角形，分别取AC,BC,AB的中点得 到△A1B1C1;再分别取A1C,B1C,A1B1的中点得到△A2B2C2;…,依此类推，则△AnBnCn的 面积为( 19/58 9数下复习与小测 A, B A B A(孕)+ B.()” c.()” D.(2)n-1 答案：C 解析：由题知，点A1,B1,C1分别是AC,BC,AB的中点，所以A1B1/AB,B1C1/AC,A1C1/BC, AB1=AB,B,G1=AC,A1C1=8C,所以易符△A1B,C1∽△BAC,则e6=(8)2= SAABC 又因为△ABC的面积为1，所以△A1B1C1的面积为同理可得，△A2B2C2的面积为()？， △A43B3C3的面积为()3，，所以△An B.Cn的面积为()”.故选C. 4.【2025河北中考】如图，在五边形ABCDE中，AE/BC,延长BA,BC,分别交直线DE于点M,N. 若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽△DCN,则这个条件是() M A 2 30 4 B C A.∠B+∠4=180° B.CD//AB C.∠1=∠4 D.L2=∠3 答案：D 解析 选项 分析 2B+24=180,CD//BM,LCDN=ZAME.AE//BC, A ·∠AEM=∠CND,.△MAE∽△DCN,故A不符合题意 rCD/AB,∴LCDN=∠AME.AE/BC,LAEM=∠CND, B ∴△MAE∽△DCN,故B不符合题意 AE/BC,∠1+∠B=180o.∠1=∠4，∠B+∠4=180o .由A可知 C △MAE∽△DCN,故C不符合题意 20/58 9数下复习与小测 D 根据L2=∠3，再结合已知条件不能证明△MAE∽△DCN,故D符合题意 5.【2025四川眉山中考】如图，一次函数y=ax+b与反比例函数y=的图象相交于A(1,4), B(4,m)两点，与x轴交于点C，点D与点A关于点O对称，连接AD· (1)求一次函数和反比例函数的解析式； 解：把A(1,4代入y-得4=点k=4,反比例函数的解析式为y=兰.把B(4,m)代入y= 得m=1=1,B(4,1).一次函数y=ax+b与反比例函数y=的图象相交于A(1,4),B(4,1) 4 (4=a+b,÷a二1，a一次函数的解析式为y=-x+5 两点，1=4a+b,“b=5, (2)点P在x轴的负半轴上，且△AOC与△POD相似，求点P的坐标 解：设P(m,0).点D与点A关于点0对称，A(1,4),∴0A=OD=V12+42=√17.·直线AB 与x轴交于C(5,0),0C=5.:△A0C与△P0D相似，∠A0C=∠P0D,÷△A0C∽△D0P或 △A0C△PoD胎-器器-胎票-高或恶-点0P=5或0P-吕点P的 5 坐标为(-5,0)或(-号，0) 6.一块直角三角形木板，它的一条直角边BC长2m,面积为1.5m2. 1) (1)甲、乙两人分别按图(1)、图(2)用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积 较大； 解：BC=2m,面积为1.5m2,AC= 1.5 =1.5(m),∴AB=VBC2+AC=2.5m设正 x2 方形的边长为xm.如题图(1)，：四边形CDEF是正方形， 21/58 9数下复习与小测 ∠ADE=∠C=90°，DE=CD=x,AD=1.5-x.∠A=∠A,÷Rt△ADE∽Rt△ACB, 1.5 ,解得x-号如题图(2)，：四边形GDEF是正方形，DE/GF,LCED= ∠B,∠EDC=A,RtADEGRt△ABC,=怎=是即%=DC=x,÷AD=AC- DC-是号xA=A,AGD=C=90，R△ADG∽△ABC,=-%,即元 x4 25 解得x-碧：>碧。题图(1)的正方形面积较大 (2)丙、丁两人分别按图(3)、图(4)用它设计一个长方形桌面.请分别求出图(3)、图 (4)中长方形的面积y(m)与DE的长x(m)之间的函数解析式，并分别求出面积的最大值 解：如题图(3)，'四边形CDEF是长方形，÷∠ADE=LC=90°，DE=CF=x.'∠A=∠A, R△ADER△ACB,小能-答-寻则AD=x,DC=AC-AD=,长方形的 面积y=DB×DC=x:=--12+是：<0，图象开口向下，当x=1时， 4 长方形的面积有最大值为m2.在题图(4)中，同理得△DECR△ABC,一器=是-=月 DG-,DA=AC-DC-号x.同理得R△ADGR△ABC,=-二-营则DG 含DA=经x刘，÷长方形的面积y=DB×DG=x×号刘=-岩-2+”是< 5251 25 25 0,÷图象开口向下，当x=时，长方形的面积有最大值为m2. 考点3相似的应用 7.【2025四川内江中考】阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球.”这句话生 动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物.这一原理在生 活中随处可见.如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头， 如图乙所示，动力臂0A=150cm,阻力臂0B=50cm,BD=20cm,则AC的长度是( ) B 甲 A.80 cm B.60 cm C.50cm D.40 cm 答案：B 解析：AC⊥AB,BD1AB,.AC/BD,·.△AOC∽△BOD, AC OA BD -0B 22/58 9数下复习与小测 0A=150am,0B=50am,BD=20am,光=0AC=60am.故选B. 考点4位似 8.【2024黑龙江绥化中考】如图，矩形0ABC各顶点的坐标分别为0(0,0)，A(3,0),B(3,2), C(0,2),以原点0为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点B在第一象限对应点的坐 标是( 21C B A 0123x A.(9,4) B.(4,9) c.(1,) D.(1,) 答案：D 解析：以原点0为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点B在第一象限对应点的坐标 是(3×2×，即(1，)，故选D. 9.【2025广东中考】如图，把△AOB放大后得到△COD,则△A0B与△C0D的相似比是 B 6 答案：1：3 解析：：△AOB放大后得到△COD,·△AOB∽△COD,·△AOB与△COD的相似比为 0B:0D=2:6=1:3.故答案为1：3· 10.【2025安徽中考】如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角 坐标系xOy,△ABC的顶点和A1均为格点（网格线的交点）.已知点A和A1的坐标分别为(-1，- 3)和(2,6). 23/58 9数下复习与小测 (1)在所给的网格图中描出边AB的中点D,并写出点D的坐标； 解：如图所示，D点即为所求，D点坐标为(-2，-1)· (2)以点O为位似中心，将△ABC放大得到△A1B1C1,使得点A的对应点为A1,请在所给的 网格图中画出△A1B1C1 解：如图所示，△A1B1C1即为所求 24/58