精品解析：河北省石家庄市新华区第二十八中学2025-2026学年上学期九年级10月月考数学试题 -

九年级数学练习 一、选择题 1. 下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，表示两栋楼房，则下列说法正确的是（ ） A. 两楼之间的距离是 B. 从点看点的仰角是 C. 从点看点的仰角是 D. 从点看点的俯角是 5. 如图，点为反比例函数的图象上一点，过点作轴，垂足为．若的面积为，则的值为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 6. 大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，为线段的黄金分割点（）．如果的长度为，那么的长度是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 3 8. 如图所示，已知，下列比例式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 9. 若点，，都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点分别在的边上，增加下列哪些条件不能使与相似（ ） A. B. C. D. 11. 定义新运算：，例如，则函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 12. 一次函数的图象可以由正比例函数的图象向左平移一个长度单位得到．类似地，反比例函数的图像可以由反比例函数的图像向左平移一个长度单位得到．下列关于反比例函数的图像性质描述错误的是（ ） A. 函数图像与y轴交点坐标为 B. 当时，y随x的增大而减小 C. 函数图像与x轴没有交点 D. 当时，y随x的增大而减小 二、填空题 13. 如图，河坝的横断面的坡比是，坝高米，则的长度是______米． 14. 已知，那么______． 15. 蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流是电阻的反比例函数，其图像如图所示．当电流时，______Ω． 16. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩形的两边分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，现有两动点P，Q，点P以每秒3个单位的速度从点O出发向终点A运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点A出发向终点B运动，连接，，．设运动时间为t秒．若A，P，Q为顶点的三角形与相似时，则______． 三、解答题 17. 计算或解方程： （1）； （2）． 18. 如图，已知，点E、F在线段上，，． （1）求证：∽； （2）若，求的长． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，在y轴右侧，以原点O为位似中心画一个，使它与位似，且位似比是． （1）请画出； （2）与的周长之比为______； （3）若内部一点M的坐标为，则点M的对应点的坐标是______． 20. 某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是件，11月份的销售量是720件． （1）若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； （2）市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利元，则售价应降低多少元？ 21. 为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，海监船继续向东航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东方向上． （1）求B处到灯塔P的距离； （2）已知灯塔P的周围150海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？请说明理由． 22. 为了做好校园“甲流”防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒．已知消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量y（单位：）与时间x（单位：）成正比例函数关系，药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系，函数图像如图所示． 信息窗 1．药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中的含药量为． 2．空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室． 3．当室内空气中的含药量不低于时，对杀灭病毒有效． （1）直接写出m，n的值； （2）求本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间： （3）从消毒开始，至少需要多长时间学生才能回到教室？ 23. 如图，已知，是一次函数和反比例函数图象的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）观察图像，直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量的取值范围． 24. 如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角为α，BD、CE所在直线相交所成的锐角为β． （1）问题发现当α＝0°时，＝_____；β＝_____°． （2）拓展探究 试判断：当0°≤α＜360°时，和β的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． （3）在△ADE旋转过程中，当DE∥AC时，直接写出此时△CBE的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学练习 一、选择题 1. 下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了图形相似的概念：形状相同，大小不同的两个图形；根据图形相似的概念即可作出判断． 【详解】解：由图形相似的概念知，选项D中的两个图形不相似； 故选：D． 2. 下列函数中，是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的定义，根据反比例函数解析式：进行逐项分析，即可作答． 【详解】A、不是反比例函数，故该选项不符合题意； B、是反比例函数，故该选项符合题意； C、不是反比例函数，故该选项不符合题意； D、不是反比例函数，故该选项不符合题意； 故选：B． 3. 如图，在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数定义，勾股定理，熟练掌握锐角的正弦的定义是解本题的关键．先利用勾股定理求出，再在中利用即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故选：C． 4. 如图，表示两栋楼房，则下列说法正确的是（ ） A. 两楼之间的距离是 B. 从点看点的仰角是 C. 从点看点的仰角是 D. 从点看点的俯角是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形—俯角、仰角的定义，根据俯角、仰角的定义解答即可，熟练掌握俯角、仰角的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、两楼之间的距离是，故原说法不正确，不符合题意； B、从点看点的仰角是，故原说法不正确，不符合题意； C、从点看点的仰角是，故原说法正确，符合题意； D、从点看点的俯角是，故原说法不正确，不符合题意； 故选：C． 5. 如图，点为反比例函数的图象上一点，过点作轴，垂足为．若的面积为，则的值为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．再根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，然后去绝对值即可得到满足条件的的值． 【详解】解：∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 6. 大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，为线段的黄金分割点（）．如果的长度为，那么的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据题意得出，即可求解． 【详解】解：∵P为的黄金分割点，， ∴， ∵的长度为， ∴， ∴， ∴的长度是， 故选：A． 7. 如图所示，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．取格点，连接，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：如图，取格点，连接， 由题意得：， ， ， ，， 即， 是直角三角形， ， ． 故选：C． 8. 如图所示，已知，下列比例式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例， 根据平行线分线段成比例定理即可得出结论． 【详解】解：， ， 故选：B. 9. 若点，，都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．根据反比例函数图像上点的坐标特征分别代入，求出、、的值，比较即可得答案． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴，，， 解得：，，， ∴， 故选：A． 10. 如图，点分别在的边上，增加下列哪些条件不能使与相似（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形相似的判定：①有两个对应角相等的三角形相；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．由已知及三角形相似的判定方法，对每个选项分别分析、判断解答出即可． 【详解】解：由题意得， A、当时，，故本选项不符合题意； B、当时，不能推断与相似，故选项符合题意； C、当时，，故本选项不符合题意； D、当时，，故本选项不符合题意． 故选：B． 11. 定义新运算：，例如，则函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据新定义得到，则函数的图象是由双曲线在第二象限的图象以及双曲线在第一象限的图象组成，由此即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴函数的图象是由双曲线在第二象限的图象以及双曲线在第一象限的图象组成， ∴四个选项中只有D选项符合题意， 故选D． 【点睛】本题主要考查了函数的新定义和反比例函数图象，解题的关键是根据题意写出函数的表达式． 12. 一次函数的图象可以由正比例函数的图象向左平移一个长度单位得到．类似地，反比例函数的图像可以由反比例函数的图像向左平移一个长度单位得到．下列关于反比例函数的图像性质描述错误的是（ ） A. 函数图像与y轴交点坐标为 B. 当时，y随x的增大而减小 C. 函数图像与x轴没有交点 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】先画出函数图像，根据反比例函数的性质和函数的图像即可得． 【详解】解：如图所示， 当时，， 则函数图像与y轴交点坐标为； 根据函数图象得，当时，y随x的增大而减小；函数图像与x轴没有交点； 当时，y随x的增大而减小； 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象，解题的关键是掌握反比例函数的性质． 二、填空题 13. 如图，河坝的横断面的坡比是，坝高米，则的长度是______米． 【答案】6 【解析】 【分析】根据坡比的概念解答即可．本题考查解直角三角形的实际应用，理解坡比是坡面垂直高度与水平宽度的比值是解题关键． 【详解】解：根据题意可知， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 已知，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】根据比例的性质得出：，再代入到原式计算即可． 【详解】由，得，则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质对式子进行灵活变形是解题关键． 15. 蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流是电阻的反比例函数，其图像如图所示．当电流时，______Ω． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，从实际问题中整理出反比例函数模型是解决此类问题的关键． 用点M的坐标求出反比例函数的解析式，再把电流代入求出电阻，即可作答． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴． 则 当时，电阻， 故答案为：12 16. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩形的两边分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，现有两动点P，Q，点P以每秒3个单位的速度从点O出发向终点A运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点A出发向终点B运动，连接，，．设运动时间为t秒．若A，P，Q为顶点的三角形与相似时，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形、相似三角形的判定与性质、矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，分类讨论是解答的关键． 根据题意和坐标与图形性质求得，和，分和两种情况，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：根据题意，，，， 当时， ∵点B的坐标为， ∴，即， 解得：， 当时， ∴，即， 解得：或（不合题意，舍去）， 综上所述：或． 三、解答题 17. 计算或解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程和特殊角度的三角函数值的混合运算，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和各个特殊角度的锐角三角函数值． （1）根据因式分解法解一元二次方程即可； （2）先将各个特殊角度的锐角三角函数化简，再进行计算即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴或， 解得：，． 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，已知，点E、F在线段上，，． （1）求证：∽； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴∽； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，然后根据，即可证明； （2）根据相似三角形的性质即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵∽，， ∴， ∵， ∴． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，在y轴右侧，以原点O为位似中心画一个，使它与位似，且位似比是． （1）请画出； （2）与的周长之比为______； （3）若内部一点M的坐标为，则点M的对应点的坐标是______． 【答案】（1） 即为所求： （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查作图位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． （1）根据位似的性质作图即可； （2）根据位似的性质解答即可； （3）由位似变换可得，点的横纵坐标分别除以，即可得点的横纵坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，与位似，且位似比是． ∴与的周长之比为 【小问3详解】 解：∵，与位似，且位似比是． 又∵点M的坐标为 ∴点M的对应点的坐标为． 故答案为：． 20. 某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是件，11月份的销售量是720件． （1）若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； （2）市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1） （2）20元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设月平均增长率为，根据9月份的销售量11月份的销售量建立方程，解方程即可得； （2）设售价应降低元，根据利润每件的利润销售量建立方程，解方程可得的值，再根据商家要求尽量减少库存即可得． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设售价应降低元， 由题意得：， 整理得：， 解得或， ∵商家决定降价促销，同时尽量减少库存， ∴， 答：售价应降低20元． 21. 为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，海监船继续向东航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东方向上． （1）求B处到灯塔P的距离； （2）已知灯塔P的周围150海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？请说明理由． 【答案】（1）B处到灯塔P的距离为海里 （2） 解：不安全，理由如下： 由（1）可知 ， ∵， ∴海监船继续向正东方向航行是不安全的． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键． （1）过点P作于点D，求出的度数，设海里，则海里，利用锐角三角函数进行列方程求解即可； （2）在中，解直角三角形求出的值即可判定． 【小问1详解】 解：过点P作于点D， 由题意得，海里，，， 设海里，则海里， 在中， ， 在中，， ∴， 解得， 在中，． 答：B处到灯塔P的距离为海里． 【小问2详解】 略 22. 为了做好校园“甲流”防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒．已知消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量y（单位：）与时间x（单位：）成正比例函数关系，药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系，函数图像如图所示． 信息窗 1．药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中的含药量为． 2．空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室． 3．当室内空气中的含药量不低于时，对杀灭病毒有效． （1）直接写出m，n的值； （2）求本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间： （3）从消毒开始，至少需要多长时间学生才能回到教室？ 【答案】（1）， （2）本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为12分钟 （3）从消毒开始，至少需要学生才能回到教室 【解析】 【分析】（1）由“药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中的含药量为”可得，； （2）分别设y与x的正比例函数、反比例函数关系式，把点代入后求出关系式，再把代入关系式分别解出x的值相减即可； （3）空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室，把代入中，解出x的值即可； 本题主要考查了一次函数与反比例的图象和性质，待定系数法求解函数关系式，已知函数值求自变量的值等，熟练掌握一次函数与反比例的图象和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意知，． 【小问2详解】 ∵消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量与时间x成正比例函数关系， ∴设， 把点代入中，得，解得， ∴药物燃烧时，y关于x的函数关系式为， ∵当室内空气中的含药量不低于时，对杀灭病毒有效， 药物燃烧时，当时，， ∴药物燃烧时，才开始对杀灭病毒起效； ∵药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系， ∴设反比例函数式为， 把点代入中，得， ∴反比例函数式为， 药物燃烧完成后，当时，， ∴（）， ∴本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为12分钟． 【小问3详解】 ∵空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室， 把代入中，解得， 即从消毒开始，至少需要学生才能回到教室． 23. 如图，已知，是一次函数和反比例函数图象的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）观察图像，直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）设反比例函数解析式为：，把代入反比例函数，得出的值，再把代入求出n，设一次函数的解析式，运用待定系数法即可求解； （2）设直线与轴交于点，把三角形的面积看成是三角形和三角形的面积之和进行计算． （3）根据图象，分别观察交点的那一侧能够使一次函数的值大于反比例函数的值，从而求得的取值范围． 【小问1详解】 解：设反比例函数解析式为：， ∵在反比例函数的图象上， ． 反比例函数的解析式为． 在上， ，即， ． 设一次函数的解析式， 经过，， ． 解之得． 一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：设是直线与轴的交点， 当时，， 解得， 点． ． ∵， ． 【小问3详解】 解：由图象可知当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方， 一次函数值大于反比例函数值时自变量的取值范围为：或． 【点睛】本题考查了用待定系数法确定反比例函数的比例系数，求出函数解析式；要能够熟练借助直线和轴的交点运用分割法求得不规则图形的面积． 24. 如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角为α，BD、CE所在直线相交所成的锐角为β． （1）问题发现当α＝0°时，＝_____；β＝_____°． （2）拓展探究 试判断：当0°≤α＜360°时，和β的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． （3）在△ADE旋转过程中，当DE∥AC时，直接写出此时△CBE的面积． 【答案】（1），45； （2）和β的大小无变化； （3）△BCE的面积为 或． 【解析】 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质，线段的中点的定义即可判断． （2）结论：和β的大小无变化．如图2中，延长CE交AB于点O，交BD于K．证明△DAB∽△EAC，即可解决问题． （3）分两种情形：①当点E在线段AB上时，②当点E在线段BA的延长线上时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：如图1中， ∵∠B＝90°，BA＝BC， ∴∠A＝45°，AC＝ =AB， ∵点D、E分别是边AB、AC的中点， ∴BD＝AB，EC＝AC， ∴＝，β＝45°； 故答案为，45． 【小问2详解】 解：结论：和β的大小无变化．理由如下： 如图2中，延长CE交AB于点O，交BD于K． 由（1）得：AE＝AD，AC＝AB，∠DAE＝∠BAC， ∴＝，∠DAB＝∠EAC， ∴， ∴△DAB∽△EAC， ∴＝＝，∠OBK＝∠OCA， ∵∠BOK＝∠COA， ∴∠BKO＝∠CAO＝45°，即β＝45°， ∴和β的大小无变化． 【小问3详解】 解：∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝4， ∴， ∵点E分别是边AC的中点， ∴， 当点E在线段AB上时，， ∴S△BCE＝ =， 当点E在线段BA的延长线上时，， ∴S△BCE＝ =． 综上所述，△BCE的面积为 或． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $