3.2勾股定理的逆定理 课件 2025-2026学年苏科版（2024）数学八年级上册

3.2 勾股定理的逆定理 1 分组画图：画边长是下列各组数的三角形.(单位：cm) A：3、4、3；   B：3、4、5； C：3、4、6；  数学实验 测量：用你的量角器分别测量一下上述各三角形的最大角的度数，并记录如下： A：_______________________________ B：_______________________________ C：_______________________________ 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 32+32>42 32+42=52 32+42<62 猜想：让我们猜想一下，一个三角形各边长数量应满足怎样的关系式时，这个三角形才可能是直角三角形呢？ 你的猜想是___________________________________________________ . 若一个三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形一定是直角三角形 2 图2 如图1，△ABC的三边a，b，c满足a2+b2 =c2，能否证明△ABC为直角三角形? 图1 解：作Rt△A'B'C'，使∠C'=90°，B'C'=a，A'C'=b (图2)， 由勾股定理，得A'B'2 =a2+b2 ∵AB2 =a2+b2， ∴A'B'=AB 在△ABC和△A1B1C1中， ∴△ABC≌△A'B'C'（SSS） ∴∠C = ∠C'=90°， 即△ABC是直角三角形 如果三角形的三边长分别为a、b、c，且a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形. 勾股定理逆定理 符号语言： a2+b2=c2 C A B b a c 且∠C=90° ∵在△ABC中， ∴△ABC是直角三角形， 四千多年前，古埃及人在建造金字塔时就已经知道如何构造一个直角三角形.他们在一根绳子上打上距离相等的结，然后由三人拉成一个三角形，使得每条边被结点分成3段、4段、5段.这样得到的三角形一定是直角三角形. 数学史 5 运用勾股定理的逆定理，是判定一个三角形是_____三角形或证明三角形的一个内角是______的__________之一. 直角 直角 重要方法 (3，4，5)、(6，8，10)、(9，12，15)，(12，16，20)，… 如果三个正整数a，b，c满足关系 a2+b2 =c2，则称a，b，c为勾股数 . 写出几组勾股数，说说勾股数有哪些规律. (8，15，17)、(10，24，26)、(12，35，37)，… (5，12，13)、(7，24，25)，(9，40，41)、(11，60，61)、… 三边同时扩大n倍 例1. 已知：a，b，c为正整数，且a2+b2=c2. 求证：ka，kb，kc (k为正整数)构成勾股数 . 证明：∵a2+b2=c2 ∴ (ka)2+(kb)2=k2a2+k2b2 =k2(a2+b2) =k2c2=(kc)2 ∵a，b，c，k为正整数， ∴ka，kb，kc为正整数 ∴ka，kb，kc (k为正整数)构成勾股数 变式1、古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果m表示大于１的整数，a=2m，b=m2-1，c=m2+1，那么a、b、c为勾股数，你认为对吗？ b2=（m2-1）2=m4-2m2+1 c2=（m2+1）2=m4+2m2+1 ∴△ABC是直角三角形， 解：∵a2=（2m）2=4m2 ∴a2+b2=c2 ∠C=90° 8 变式2、古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果m表示大于１的整数，a=2m+1，b= ，c=，那么a、b、c为勾股数，对吗？ 解：∵b2=（）2= (a4-2a2+1) c2=（）2= (a4+2a2+1) ∴△ABC是直角三角形， ∴a2+b2=c2 ∴a2+b2=a2+(a4-2a2+1)= (a4+2a2+1) ∠C=90° 9 练习1、判断由线段a、b、c为三边组成的三角形是否为直角三角形. （1）a=2.5，b=2，c=1.5； ∴以a、b、c为三边组成的三角形是直角三角形，∠A=90° 解：在△ABC中，c<b<a 练习1、判断由线段a、b、c为三边组成的三角形是否为直角三角形. ∴以a、b、c为三边组成的三角形不是直角三角形 解：在△ABC中，c>a>b 变式、若△ABC的三边a、b、c满足条件a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，试判断△ABC的形状. 解：∵△ABC的三边a、b、c满足条件a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c， ∴ (a210a+25)+(b224b+144)+(c226c+169)=0 ∴ (a5)2+(b12)2+(c13)2=0 ∴ a5，b12，c13， ∴ a2+b2=52+122=132=c2 ∴以a、b、c为三边组成的△ABC是直角三角形，∠C=90° 例2、已知直角三角形的三边长分别是a，b，c，下列说法是否正确? (1)长分别为2a，2b，2c的三条线段能组成一个直角三角形; (2)长分别为，，的三条线段能组成一个直角三角形 . 解：∵直角三角形的三边长分别是a、b、c， ∴不妨设a<b<c， (1) ∴ (2a)2 + (2b)2 = (2c)2 ∴长分别为2a，2b，2c的三条线段能组成一个直角三角形 则 a2 + b2 = c2 (2) ∴ a + b > c ∴ ()2 +()2 > ()2 ∴长分别为 的三条线段不能组成一个直角三角形 练习1、一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图所示，你说这个零件符合要求吗? D A B C 3 4 5 13 12 解：符合要求 在△DAB中，DA=3，AB=4，DB=5， ∴DA2+AB2=32+42=9+16=25=DB2 ∴∠DAB=90° 在△DBC中，DB=5，BC=12，DB=13， ∴DB2+BC2=52+122=25+144=169=DC2 ∴∠DBC=90° ∴符合要求 14 变式、已知某校有一块四边形空地ABCD，如图现计划在该空地上种草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需100元，问需投入多少元? 解：在Rt△DAB中，∠A=90°，AB=3m，DA=4m， ∴DB==5m， 在△DBC中，DB=5m，BC=12m，CD=13m， ∴DB2+BC2=52+122=25+144=169=DC2 ∴∠DBC=90° ∴S四边形ABCD=S△DAB+S△DBC= = =6+30=36m2 ∴需投入 36100=3600元 15 想一想 2.并分别以△ABC和△DEF的各边为边向外作正方形，其中2个小正方形的面积的和等于大正方形的面积吗？ 1.观察下图的△ABC 和△DEF，是直角三角形吗？ 练习2、如图，AD⊥BC，垂足是D.如果CD=1，AD=2，BD=4，那么∠BAC是直角吗？证明你的结论. B A D C 理由：∵AD⊥BC ∴∠ADC=∠ADB=90° 在Rt△ADC中，CD=1，AD=2 ∴AC2=CD2+AD2=12+22=1+4=5 在Rt△ADB中，AD=2，BD=4 ∴AB2=AD2+BD2=22+42=4+16=20 而BC2=(CD+BD)2=(1+4)2=25 ∴AC2+AB2=BC2 ∴ ∠BAC=90° 解：∠BAC是直角 变式1、如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC=BC. 求证：∠EFA=90° A D C B F E a 3a 4a 2a 2a 4a 5a a a 18 小结 1. 要判断一个三角形是不是直角三角形，你有哪些方法？ 2.通过本课的学习，你对数形结合思想有怎样的认识？ 代数运算在判断三角形形状中发挥了重要作用 3.三角形的三边大小与三角形的形状有内在联系吗？ $