5.3.2事件之间的关系与运算 教案-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第二册

课题 5.3.2事件之间的关系与运算 学科 数学 教材 人教B版（2019）必修第二册 章节 第五章第三部分第二小节 课程类型 新授 课时安排 1课时 年级 高一 教学目标及教学重点、难点 教学目标： · 1．了解事件间的包含关系和相等关系． · 2．理解互斥事件与对立事件的概念与关系．(难点) · 3．会用互斥事件与对立事件的概率公式求概率．(重点) · 4．了解并事件与交事件的概念，会进行事件的运算. 核心素养 · 1．通过互斥事件与对立事件关系的判定，培养逻辑推理的核心素养． · 2．通过互斥与对立事件的概率计算，培养数据分析与数学运算的核心素养. 教学方法和手段 教学方法：启发式教学，讲授法、讨论法和练习法 教学手段：教科书、多媒体辅助教学 教学过程(表格描述) 教学 环节 主要教学活动 设置意图 新课引入 【情境展示】 某班数学建模课分成 5 个小组 (编号为1，2，3，4，5) 采用合作学习的方式进行，课堂上教师会随机选择一个小组的成果进行展示. 不难看出，这一试验的样本空间可记为 Ω = {1，2，3，4，5}. 记事件 E = {1}，F = {1，2}，G = {1，3}，H = {1，2，3}，I = {4，5}，说出每一事件的实际意义，并尝试理解上述各事件之间的关系. （学生以小组为单位积极讨论，之后展示成果） 通过生活情境引出本节课题。 新课讲解 知识点 1：事件的包含与相等 知识点 2：事件的和 (并) 与事件的积 (交) 知识点 3：事件的互斥与对立 知识点 4：事件的混合运算 预设答案：事件 E：老师选择第 1 小组的成果进行展示； 事件 F：老师选择第 1 小组或第 2 小组的成果进行展示； 综上可知，如果事件 E 发生，那么事件 F 一定发生；即如果教师选择了第 1 组，那么“选择了第 1 组或者第 2 组”也就一定发生了. 教师在学生回答的基础上示范讲解事件的包含与相等： 一般地，若事件 A 发生时，事件 B 一定发生，则称“A 包含于 B”(或“B 包含 A”)，记作 A ⊆ B (或 B ⊇ A). 维恩图表示如下： 若 A ⊆ B，则有， （1）A 发生是 B 发生的充分条件，B 发生是 A 发生的必要条件； （2）事件 A 发生的可能性不比事件 B 发生的可能性大，即 P(A) ≤ P(B). 教师引导：对于上面关于事件的包含关系的讲解，我们可以从五个角度去理解，从事件发生的角度看，A ⊆ B意味着如果事件 A 发生，则事件B一定发生；从包含的样本点来看，A ⊆ B意味着A的每一个样本点都是B的样本点； 从逻辑角度看，A ⊆ B意味着A 发生是 B 发生的充分条件，B 发生是 A 发生的必要条件；从维恩图来看，A ⊆ B意味着表示A的图形在表示B的图形的内部；从发生的概率大小角度来看，A ⊆ B意味着P(A) ≤ P(B).这些性质都需要我们理解和掌握。 此外，若事件 A 发生时，事件 B 一定发生；且事件 B 发生时，事件 A 也一定发生，则称“A 与 B 相等”，记作 A = B. 维恩图表示如下： 不难看出，A = B ⇔ A ⊆ B 且 B ⊆ A； 若 A = B，则有， （1） A 发生是 B 发生的充要条件； （2）事件 A 发生的可能性等于事件 B 发生的可能性，即 P(A) = P(B). 教师讲解：给定事件A，B，所有A中样本点与B中样本点组成的事件称为A与B的和(或并)，记作A＋B(或A∪B)． 教师布置任务：请大家按照事件包含关系的分析思路，想一想A＋B在不同的角度分别意味着什么？可以小组之间交流讨论，之后我们一起总结。 师生总结：A＋B如下图阴影部分所示： 由定义可知，事件A＋B发生时，当且仅当事件A与事件B中至少有一个发生． 不难看出， ①A⊆(A＋B)且B⊆(A＋B)， ②P(A)≤P(A＋B)且P(B)≤P(A＋B)； ③P(A＋B)≤P(A)＋P(B)． 教师讲解： 给定事件A，B，由A与B中的公共样本点组成的事件称为A与B的积(或交)，记作AB(或A∩B)，如下图阴影部分所示： 由定义可知，事件AB发生时，当且仅当事件A与事件B发生． 教师提问：类比前面的情况，你能得出P(AB)与P(A)的大小关系，以及P(AB)与P(B)的大小关系吗？ 学生思考后回答：P(AB)≤P(A), P(AB)≤P(B). 教师讲解：给定事件 A，B，若 A 与 B 不能同时发生，则称 A 与 B 互斥； 记作：AB = ∅ (或 A∩B = ∅). 维恩图表示如下： 不难看出，任意两个基本事件都是互斥的，∅ 与任意事件互斥. 直观上可以看出，当 A 与 B 互斥 (即 A∩B = ∅) 时， P(A + B) = P(A) + P(B)， 这称为互斥事件的概率加法公式. 一般地，如果 A1，A2，···，An 是两两互斥事件，则 P(A1 + A2 + ··· + An) = P(A1) + P(A2) + ··· + P(An). 教师提问：对于情境展示中的问题，互斥事件有哪些呢？ 学生思考后回答：E与I，F与I，G与I，H与I. 教师讲解： 给定样本空间 Ω 与事件 A，则由 Ω 中所有不属于 A 的样本点组成是事件称为 A 的对立事件，记作，用集合的观点看，是 A 在 Ω 中的补集. 维恩图表示如下： 如果，则称 A 与 B 相互对立. 由定义可知，每次随机试验，在事件A与中，有一个发生，且只有一个发生； 由必然事件的概率为 1，可得. 教师提问：不难看出，互斥和对立是有区别的，试着自己组织语言，总结它们之间的关系并举例说明。 （学生交流讨论，梳理表达，展示答案，教师补充并总结） 教师总结：如果 A 与 B 相互对立，则 A 与 B 互斥，但反之不成立；即“A 与 B 相互对立”是“ A 与 B 互斥”的充分不必要条件. 例如：掷一个骰子时，“出现1点”和“出现偶数点”为互斥事件，“出现1点”和“不出现1点”为对立事件. 教师讲解：前面实际上我们给出了事件的三种运算:求两个事件的和，求两个事件的积，求一个事件的对立事件，因为事件运算的结果仍是事件，所以可以进行事件的混合运算，例如(A)＋(B)，这表示的是(A)与(B)的和，实际意义是：A发生且B不发生，或者A不发生且B发生，换句话说就是A与B中恰有一个发生。 同数的加、减、乘、除混合运算一样，事件的混合运算也有优先级，我们规定:求积运算的优先级高于求和运算，因此(A)＋(B)可简写为A ＋ B. 从多个角度去理解事件的包含关系，了解如何用概率来描述事件之间的关系，通过实例加深理解。 通过让学生自行讨论，培养学生的类比思想，提升数学归纳能力。 让学生举例，培养学生发现生活中数学知识的能力，提升数学学科素养。 当堂 练习 PPT展示练习题，学生回答，教师讲解 通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。 课堂 总结 回顾本节知识，总结概括 通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。 板书设计： 一、引入 利用“抽取扑克牌”引出事件之间的关系 二、知识精讲 知识点 1：事件的包含与相等 1. 事件的包含 2. 事件的相等 知识点 2：事件的和 (并) 与事件的积 (交) 1. 事件的和(并) 2. 事件的积(交) 知识点 3：事件的互斥与对立 1. 事件的互斥 2. 对立事件 知识点 4：事件的混合运算 三、例题点拨-通过例题进行讲解，便于理解 四、知识拓展-增强学生解题技巧 五、当堂训练 六、课堂小结 教学设计反思 在本节课的教学中教学目标的设定清晰明确，具有针对性，在讲解过程中突出重难点，对重难点进行了详细且透彻的讲解，使学生能够了解事件的包含与相等、事件的和 (并) 与事件的积 (交)、事件的互斥与对立、事件的混合运算，达到本节课的教学目的． 通过本节课的教学，我认为在以下几个方面做得比较好： 成功创设了情境，激发了学生的学习兴趣； 通过小组合作和自主探究，培养了学生的合作意识和探究能力； 板书设计清晰明了，有助于学生理解和记忆知识。 同时，也发现了一些需要改进的地方： 在引导学生理解事件的混合运算中，部分学生的逻辑思维能力还有待加强； 在练习环节，部分题目的难度设置不够合理，需要进一步优化； 在总结归纳环节，可以更加深入地拓展相关知识，帮助学生形成更完整的知识体系。 针对以上问题，我将在今后的教学中加强对学生逻辑思维能力的培养，优化练习题目的设置，并注重知识的拓展和延伸，以提高学生的数学素养和综合能力。 学科网（北京）股份有限公司 $