2025-2026学年北师大版（2012）九年级数学上册期中试卷

2025-2026学年北师大版数学九年级上册期中试卷 一．选择题（共10小题） 1．下列方程中是一元二次方程的是（　　） A．2（x+1）2＝3（x+1） B．ax2+3x+4＝0 C． D．x（x+2）＝x2﹣5 2．在平面中，下列命题为真命题的是（　　） A．四边相等的四边形是正方形 B．对角线相等的四边形是菱形 C．四个角相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 3．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 4．“敬老爱老”是中华民族的优秀传统美德．小刚、小强计划利用暑期从A，B，C三处养老服务中心中，随机选择一处参加志愿服务活动，则两人恰好选到同一处的概率是（　　） A． B． C． D． 5．如图，已知∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是（　　） A．∠C＝∠AED B．∠B＝∠D C． D． 6．如图是某景区大门部分建筑，已知AD∥BE∥CF，AC＝16m，当DF：DE＝4：3时，则AB的长是（　　） A．10m B．11m C．12m D．13m 7．已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，且满足1，则m的值是（　　） A．3 B．1 C．3或﹣1 D．﹣3或1 8．如图，不等臂跷跷板AB的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为60cm；当AB的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为90cm，则跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是（　　） A．36cm B．40cm C．42cm D．45cm 9．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC的中点，EF∥AB交BC于点F．若AB＝4，则EF的长为（　　） A． B．1 C． D．2 10．如图，边长为的正方形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，点E为BC边上一动点（不与点B，点C重合），OF⊥OE交CD于点F，点G为EF中点．给出如下四个结论：①∠OEF＝45°；②点E在运动过程中，△OEF面积不变化；③△CEF周长的最小值为；④点E在运动过程中，当OG＝FC时，∠EFC＝60°．其中正确的结论是（　　） A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④ 二．填空题（共6小题） 11．若，则 　 　 ． 12．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和8个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率0.4，则估计盒子中大约有红球 　 　 个． 13．近年来，我国数字技术不断革新，影响着全民阅读形态．为预计某市2024年数字阅读市场规模，经查询得数据：该市2021年数字阅读市场规模为412万元，2023年数字阅读市场规模为523万元．设该市年平均增长率为x，根据题意可列方程 　 　 ． 14．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像A′B′，设AB＝36cm，A′B′＝24cm，小孔O到AB的距离为30cm，则小孔O到A′B′的距离为 　 　 cm． 15．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，F为对角线AC的中点，EF⊥AC交BC于E．则线段EF的长为　 　 ． 16．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E，F分别为边AB，AD的中点，BF与ED，EC分别交于点M，N．计算MN的长为 　 　 ． 三．解答题（共8小题） 17．解方程： （1）16x2+8x＝3（公式法）； （2）2x2﹣4x﹣5＝0（配方法）； （3）3（x﹣1）2＝x2﹣1； （4）． 18．已知关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠D＝∠CAE． （1）求证：△ABD∽△ECA； （2）若AC＝6，CE＝4，求BD的长度． 20．如图，在学完图形的变换后，小明绘制了编号分别为A，B，C的三张不透明卡片（除图案外其余完全相同）．现将这三张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小明从中随机抽取一张卡片，卡片上的图案是轴对称图形的概率为 　 　 ； （2）小明从中随机抽取一张卡片，记下后，背面朝上洗匀放回，再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求两次抽到同一张卡片的概率． 21．春节期间，佛山连锁超市派调查小组调查某种商品的销售情况，下面是调查后小李与其他两位成员交流的情况． 小李：“该商品的进价为50元/件．” 成员甲：“当定价为60元/件时，平均每天可售出800件．” 成员乙：“若售价每提高5元，则平均每天少售出100件．” 根据他们的对话，完成下列问题： （1）若售价定为65元/件时，平均每天可售出　 　 件； （2）若超市希望该商品平均每天能盈利12000元，且尽可能扩大销售量，则该商品应该怎样定价？ 22．如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上． （1）求BC的长． （2）求灯泡到地面的高度AG． 23．如图，在菱形ABCD中，E是AD的中点，CE，BA的延长线交于点F，连接AC，DF． （1）求证：AF＝CD； （2）连接BD，请判断BD与DF的位置关系，并说明理由； （3）当菱形ABCD满足 　 　 时，四边形ACDF是菱形． 24．如图，△ABC中，AB＝AC＝10厘米，BC＝12厘米，D是BC的中点，点P从B出发，以a厘米/秒（a＞0）的速度沿BA匀速向点A运动，点Q同时以1厘米/秒的速度从D出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设它们的运动时间为t秒． （1）若a，t＝2，求证：△ABC∽△PBQ； （2）若a＝2，那么t为何值时，以B、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似？说明理由． 2025-2026学年北师大版数学九年级上册期中试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B B C C A A B D 一．选择题（共10小题） 1．下列方程中是一元二次方程的是（　　） A．2（x+1）2＝3（x+1） B．ax2+3x+4＝0 C． D．x（x+2）＝x2﹣5 【分析】将选项A中的方程整理得2x2+x﹣1＝0，则可对此选项进行判断；根据当a＝0时，方程ax2+3x+4＝0不是一元二次方程，则可对选项B进行判断；根据方程不是整式方程，则可对选项C进行判断；将选项D中的方程整理得2x+5＝0，则可对此选项进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：对于选项A， 将方程2（x+1）2＝3（x+1），整理得：2x2+x﹣1＝0，符合一元二次方程的定义， 故选项A符合题意； 对于选项B， 当a＝0时，方程ax2+3x+4＝0不是一元二次方程， 故选项B不符合题意； 对于选项C， 方程不是整式方程，不符合一元二次方程的定义， 故选项C不符合题意； 对于选项D， 将方程 x（x+2）＝x2﹣5，整理得：2x+5＝0，不符合一元二次方程的定义， 故选项D不符合题意． 故选：A． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，解决问题的关键是理解只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0）． 2．在平面中，下列命题为真命题的是（　　） A．四边相等的四边形是正方形 B．对角线相等的四边形是菱形 C．四个角相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案，不是真命题的可以举出反例． 【解答】解：A、四边相等的四边形不一定是正方形，例如菱形，故此选项错误； B、对角线相等的四边形不是菱形，例如矩形，等腰梯形，故此选项错误； C、四个角相等的四边形是矩形，故此选项正确； D、对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，如图所示，故此选项错误． 故选：C． 【点评】此题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 3．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可． 【解答】解：根据勾股定理，得AB，AC，BC＝2， ∴△ABC的三边的值从大到小分别为， A、图中的三角形的三边从大到小分别为2，，1， ∵， ∴图中的三角形（阴影部分）不与△ABC相似， 故该选项不符合题意； B选项中，同理得出图中的三角形三边从大到小为， ∵， ∴图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似， 故该选项符合题意； C选项中，同理得出图中的三角形三边从大到小为， ∵， ∴图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似， 该选项不符合题意； D选项中，同理得出图中的三角形三边从大到小为， ∵， ∴图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似， 故该选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键． 4．“敬老爱老”是中华民族的优秀传统美德．小刚、小强计划利用暑期从A，B，C三处养老服务中心中，随机选择一处参加志愿服务活动，则两人恰好选到同一处的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】画出树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好到一处的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：画树状图如图： 共有9种等可能的结果数，其中两人恰好到一处的结果数为3， ∴明明和亮亮两人恰好到一处的概率， 故选：B． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 5．如图，已知∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是（　　） A．∠C＝∠AED B．∠B＝∠D C． D． 【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【解答】解：∵∠1＝∠2 ∴∠DAE＝∠BAC ∴A，B，D都可判定△ABC∽△ADE 选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 【点评】此题考查了相似三角形的判定： ①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似； ②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似； ③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 6．如图是某景区大门部分建筑，已知AD∥BE∥CF，AC＝16m，当DF：DE＝4：3时，则AB的长是（　　） A．10m B．11m C．12m D．13m 【分析】由AD∥BE∥CF，利用平行线分线段成比例，即可求出AB的长． 【解答】解：∵AD∥BE∥CF， ∴，即， ∴AB＝12m． 故选：C． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键． 7．已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，且满足1，则m的值是（　　） A．3 B．1 C．3或﹣1 D．﹣3或1 【分析】由于方程有两个不相等的实数根可得Δ＞0，由此可以求出m的取值范围，再利用根与系数的关系和1，可以求出m的值，最后求出符合题意的m值． 【解答】解：根据条件知： α+β＝﹣（2m+3），αβ＝m2， ∴1， 即m2﹣2m﹣3＝0， 所以，得， 解得m＝3． 故选：A． 【点评】1、考查一元二次方程根与系数关系与根的判别式及不等式组的综合应用能力．一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根； （3）Δ＜0⇔方程没有实数根． 2、一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2，x1•x2． 8．如图，不等臂跷跷板AB的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为60cm；当AB的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为90cm，则跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是（　　） A．36cm B．40cm C．42cm D．45cm 【分析】过点B作BC⊥AH，垂足为C，再证明A字模型相似△AOH∽△ABC，从而可得，过点A作AD⊥BH，垂足为D，然后证明A字模型相似△ABD∽△OBH，从而可得，最后进行计算即可解答． 【解答】解：如图：过点B作BC⊥AH，垂足为C， ∵OH⊥AC，BC⊥AC， ∴∠AHO＝∠ACB＝90°， ∵∠BAC＝∠OAH， ∴△AOH∽△ABC， ∴， ∴， 如图：过点A作AD⊥BH，垂足为D， ∵OH⊥BD，AD⊥BD， ∴∠OHB＝∠ADB＝90°， ∵∠ABD＝∠OBH， ∴△ABD∽△OBH， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴1， 解得：OH＝36， ∴跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是36cm， 故选：A． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键． 9．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC的中点，EF∥AB交BC于点F．若AB＝4，则EF的长为（　　） A． B．1 C． D．2 【分析】利用平行四边形的性质、线段中点定义可得出CEAC，证明△CEF∽△CAB，利用相似三角形的性质求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OCAC， ∵点E为OC的中点， ∴CEOCAC， ∵EF∥AB， ∴△CEF∽△CAB， ∴，即， ∴EF＝1， 故选：B． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 10．如图，边长为的正方形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，点E为BC边上一动点（不与点B，点C重合），OF⊥OE交CD于点F，点G为EF中点．给出如下四个结论：①∠OEF＝45°；②点E在运动过程中，△OEF面积不变化；③△CEF周长的最小值为；④点E在运动过程中，当OG＝FC时，∠EFC＝60°．其中正确的结论是（　　） A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④ 【分析】①易证得△OBE≌△OCF（SAS），则可证得结论①正确； ②由OE的值随着点E在运动，先变大，后减少，根据三角形面积公式即可判断选项②错误； ③先求得，设BE＝CF＝x，则，利用勾股定理得到，利用非负数的性质求得EF的最小值，即可求得选项③正确；④利用直角三角形斜边中线的性质，即可得出选项④正确． 【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，AC、BD相交于点O， ∴OB＝OC，∠OBC＝∠OCD＝45°，AC⊥BD， ∵OE⊥OF， ∴∠BOC＝∠EOF＝90°， ∴∠BOE＝∠COF， 在△OBE和△OCF中， ， ∴△OBE≌△OCF（ASA）， ∴OE＝OF， ∵∠BOE＝∠COF， ∴∠EOF＝∠BOC＝90°， ∴△OEF是等腰直角三角形； ∴∠OEF＝45°，故①正确； ②∵OE的值随着点E在运动，先变大，后减少， ∴△OEF面积也先变大，后减少；故②错误； ③∵△OBE≌△OCF， ∴BE＝CF， ∴， 设BE＝CF＝x，则， ∴， ∴当时，EF有最小值，最小值为， ∴△CEF周长的最小值为；故③正确； ④∵∠EOF＝∠BCD＝90°，G为EF中点． ∴， ∴点E在运动过程中，OG与CG始终相等，故④正确； 综上，①③④正确， 故选：D． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线以及等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 二．填空题（共6小题） 11．若，则 　　 ． 【分析】根据等比性质进行计算，即可解答． 【解答】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查比例的性质，熟练掌握等比性质是解题的关键． 12．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和8个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率0.4，则估计盒子中大约有红球 　12　 个． 【分析】先根据摸到黄球的频率及黄球的个数求出球的总个数，继而得出答案． 【解答】解：根据题意知，袋中球的总个数约为8÷0.4＝20， 所以估计盒子中大约有红球20﹣8＝12（个）， 故答案为：12． 【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据黄球的频率得到相应的等量关系． 13．近年来，我国数字技术不断革新，影响着全民阅读形态．为预计某市2024年数字阅读市场规模，经查询得数据：该市2021年数字阅读市场规模为412万元，2023年数字阅读市场规模为523万元．设该市年平均增长率为x，根据题意可列方程 　412（1+x）2＝523　 ． 【分析】利用该市2023年数字阅读市场规模＝该市2021年数字阅读市场规模×（1+该市年平均增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程． 【解答】解：根据题意得：412（1+x）2＝523． 故答案为：412（1+x）2＝523． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 14．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像A′B′，设AB＝36cm，A′B′＝24cm，小孔O到AB的距离为30cm，则小孔O到A′B′的距离为 　20　 cm． 【分析】利用已知得出：△ABO∽△A′B′O，进而利用相似三角形的性质求出即可． 【解答】解：设小孔O到A′B′的距离为x cm， 由题意可得：△ABO∽△A′B′O， 则， 解得：x＝20． 故答案为：20． 【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 15．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，F为对角线AC的中点，EF⊥AC交BC于E．则线段EF的长为　　 ． 【分析】由题意得EF是线段AC的垂直平分线，推出AE＝EC，在Rt△ABE中，根据勾股定理得出方程，求出AE，再在Rt△AFE中，根据勾股定理即可求解． 【解答】解：∵F为对角线AC的中点，EF⊥AC交BC于E． ∴EF是线段AC的垂直平分线， ∴AE＝EC， 设AE＝CE＝x，则BE＝8﹣x， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°， ∴△ABE是直角三角形， 在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+BE2＝AE2， 即42+（8﹣x）2＝x2， 解得：x＝5， 即AE＝5， ∵AB＝4，BC＝8， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：AC， ∴FA＝2， 在直角三角形AEF中，由勾股定理得：EF． 故答案为：． 【点评】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． 16．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E，F分别为边AB，AD的中点，BF与ED，EC分别交于点M，N．计算MN的长为 　　 ． 【分析】过点F作FT⊥AD交DE的延长线于T，先证明FT是△AED的中位线得FT＝0.5，再证明△BCE和ABF全等得∠BCE＝∠ABF，CE＝BF，进而得∠BMC＝90°，再求出CE＝BF，利用三角形面积公式求出BN，然后证明△FMT和△BME相似得MF，由此及可得出MN的长． 【解答】解：过点F作FT⊥AD交DE的延长线于T，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形，AB＝2， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠A＝∠ABC＝90°， ∵点E，F是AB，AD的中点， ∴AE＝BE＝AF＝DF＝1， ∵FT⊥AD，∠A＝90° ∴FT∥AB， ∴FT是△AED的中位线， ∴FTAE＝0.5， 在△BCE和ABF中， ， ∴△BCE≌ABF（SAS）， ∴∠BCE＝∠ABF，CE＝BF， ∵∠ABF+∠CBM＝∠ABC＝90°， ∴∠BCE+∠CBM＝90°， ∴∠BMC＝90°， 即BM⊥CE， 在Rt△BCE中，由勾股定理得：CE， ∴CE＝BF＝√5， ∵S△BCECE•BNBC•BE， ∴BN， ∵FT∥AB， ∴△FMT∽△BME， ∴， ∴， ∴MF， ∴MN＝BF﹣BN﹣MF． 【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理，三角形的面积公式，相似三角形的性质进行计算是解决问题的关键． 三．解答题（共8小题） 17．解方程： （1）16x2+8x＝3（公式法）； （2）2x2﹣4x﹣5＝0（配方法）； （3）3（x﹣1）2＝x2﹣1； （4）． 【分析】（1）利用公式法求解即可； （2）利用配方法求解即可； （3）利用因式分解法求解即可； （4）利用公式法求解即可． 【解答】解：（1）原方程整理得16x2+8x﹣3＝0， Δ＝82﹣4×16×（﹣3）＝256＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，； （2）原方程移项得：2x2﹣4x＝5， ， ， ， ， 或， ∴，； （3）原方程整理得：3（x﹣1）2﹣（x+1）（x﹣1）＝0， （x﹣1）[3（x﹣1）﹣（x+1）]＝0， （x﹣1）（2x﹣4）＝0， x﹣1＝0或2x﹣4＝0， ∴x1＝1，x2＝2； （4）由方程判别式得： ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． 【点评】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法． 18．已知关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等实数根可得Δ＝b2﹣4ac＞0，可得关于m的不等式，求解即可； （2）利用根与系数的关系可得x1+x2＝1﹣2m，x1x2＝m2+m﹣2，再整体代入若，求解即可． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m﹣2）x+m2﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2． ∴Δ＝（2m﹣2）2﹣4×1×（m2﹣2）＞0， 解得：m； （2）∵x1和x2是一元二次方程x2+（2m﹣2）x+m2﹣2＝0的两根， ∴x1+x2＝2﹣2m，x1x2＝m2﹣2， ∵， （2﹣2m）2﹣3m2+6＝3． ∴m2﹣8m+7＝0， 解得：m1＝7，m2＝1， ∵m， ∴m＝1． 【点评】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系、根的判别式，熟记根与系数的关系和根的判别式的内容是解题关键． 19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠D＝∠CAE． （1）求证：△ABD∽△ECA； （2）若AC＝6，CE＝4，求BD的长度． 【分析】（1）由AB＝AC可得到∠ABC＝∠ACB，则∠ABD＝∠ACE，即可证得结论； （2）根据相似三角形的性质即可求解． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵∠D＝∠CAE． ∴△ABD∽△ECA； （2）解：∵AB＝AC，AC＝6， ∴AB＝AC＝6， ∵△ABD∽△ECA， ∴， ∴， ∴BD＝9． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定方法，掌握相似三角形的判定方法是解题关键，注意利用等腰三角形的性质来找角相等． 20．如图，在学完图形的变换后，小明绘制了编号分别为A，B，C的三张不透明卡片（除图案外其余完全相同）．现将这三张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小明从中随机抽取一张卡片，卡片上的图案是轴对称图形的概率为 　　 ； （2）小明从中随机抽取一张卡片，记下后，背面朝上洗匀放回，再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求两次抽到同一张卡片的概率． 【分析】（1）直接利用概率公式可得答案． （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及两次抽到同一张卡片的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）小明从中随机抽取一张卡片，卡片上的图案是轴对称图形的概率为． 故答案为：； （2）画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两次抽到同一张卡片的结果数有3中， ∴两次抽到同一张卡片的概率为． 【点评】本题考查利用轴对称设计图案，列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 21．春节期间，佛山连锁超市派调查小组调查某种商品的销售情况，下面是调查后小李与其他两位成员交流的情况． 小李：“该商品的进价为50元/件．” 成员甲：“当定价为60元/件时，平均每天可售出800件．” 成员乙：“若售价每提高5元，则平均每天少售出100件．” 根据他们的对话，完成下列问题： （1）若售价定为65元/件时，平均每天可售出　700　 件； （2）若超市希望该商品平均每天能盈利12000元，且尽可能扩大销售量，则该商品应该怎样定价？ 【分析】（1）根据题意，直接列出算式，即可求解； （2）设该商品应该定价为x元/件，列出关于x的方程，进而即可求解． 【解答】解：（1）由题意得：800﹣（65﹣60）÷5×100＝700（件）， 故答案为：700； （2）设该商品应该定价为x元/件， 由题意得：， 解得：x1＝70，x2＝80， ∵尽可能扩大销售量， ∴x＝70， 答：该商品应该定价为70元/件． 【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 22．如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上． （1）求BC的长． （2）求灯泡到地面的高度AG． 【分析】（1）直接利用相似三角形的判定与性质得出BC的长； （2）根据相似三角形的性质列方程进而求出AG的长． 【解答】解：（1）由题意可得：FC∥DE， 则△BFC∽△BED， 故， 即， 解得：BC＝3； （2）∵AC＝5.4m， ∴AB＝5.4﹣3＝2.4（m）， ∵光在镜面反射中的入射角等于反射角， ∴∠FBC＝∠GBA， 又∵∠FCB＝∠GAB， ∴△BGA∽△BFC， ∴， ∴， 解得：AG＝1.2（m）， 答：灯泡到地面的高度AG为1.2m． 【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键． 23．如图，在菱形ABCD中，E是AD的中点，CE，BA的延长线交于点F，连接AC，DF． （1）求证：AF＝CD； （2）连接BD，请判断BD与DF的位置关系，并说明理由； （3）当菱形ABCD满足 　∠B＝60°　 时，四边形ACDF是菱形． 【分析】（1）根据菱形的性质得到AB∥CD，求得∠AFE＝∠DCE，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论AF＝CD； （2）根据菱形的性质得到AB＝AD＝CD，求得AB＝AD＝AF，得到∠ADF＝90°，根据垂直的定义得到BD⊥DF； （3）根据等边三角形的判定定理得到△ABC是等边三角形，求得AB＝AC，根据菱形的判定定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD， ∴∠AFE＝∠DCE， ∵E是AD的中点， ∴AE＝DE， 在△AFE与△DCE中， ， ∴△AFE≌△DCE（AAS）， ∴AF＝CD； （2）解：BD⊥DF， 理由：如图， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝CD， ∵AF＝CD， ∴AB＝AD＝AF， ∴∠ABD＝∠ADB，∠ADF＝∠AFD， ∴∠ADB+∠ADF180°＝90°， ∴∠ADF＝90°， ∴BD⊥DF； （3）解：当菱形ABCD满足∠B＝60°时，四边形ACDF是菱形， ∵∠B＝60°，AB＝BC， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC， ∴AC＝CD， ∵AF＝CD，AF∥CD， ∴四边形ACDF是菱形． 故答案为：60°． 【点评】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键． 24．如图，△ABC中，AB＝AC＝10厘米，BC＝12厘米，D是BC的中点，点P从B出发，以a厘米/秒（a＞0）的速度沿BA匀速向点A运动，点Q同时以1厘米/秒的速度从D出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设它们的运动时间为t秒． （1）若a，t＝2，求证：△ABC∽△PBQ； （2）若a＝2，那么t为何值时，以B、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似？说明理由． 【分析】（1）根据题意将PB于BQ的长分别计算出来，然后根据以及∠B＝∠B证明即可； （2）根据题意，一共有两种相似情况：△BPQ∽△BDA或△BQP∽△BDA，然后利用代数式表达出各自情况下BP、BQ的值，利用三角形相似的性质建立方程计算即可． 【解答】解：（1）当t＝2时，BP；BQ＝6﹣2＝4， ∴3， 又∵∠B＝∠B， ∴△ABC∽△PBQ； （2）当a＝2时，BP＝2t，DQ＝t， ∵D是BC中点，BC＝12， ∴BD＝DC＝6， ∴BQ＝6﹣t， 当△BPQ∽△BDA时， 则有：， ∵BP＝2t，BD＝6，BQ＝6﹣t，BA＝10， ∴， 解得； 当△BQP∽△BDA时， 则有， ∵BP＝2t，BD＝6，BQ＝6﹣t，BA＝10， ∴， 解得， ∴当a＝2时，s或s时，△BQP与△BDA相似 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/10/21 15:57:15；用户：张思雨；邮箱：18366661343；学号：24445058 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $