第2章对称图形-圆 易错精选练习卷-2025-2026学年苏科版数学九年级上册

第2章对称图形-圆易错精选题练习卷-2025-2026学年数学九年级上册苏科版 一、单选题 1．下列说法正确的是（   ） A．过圆心的直线是圆的直径 B．直径是弦，弦是直径 C．半圆是轴对称图形 D．长度相等的两条弧是等弧 2．若一个圆内接正多边形的中心角是，则这个多边形是（   ） A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正七边形 3．用反证法证明时，假设结论“点在圆内”不成立，那么点与圆的位置关系只能是（   ） A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆心上 D．点在圆上或圆外 4．把一个圆心角为，半径为的扇形纸片，通过用胶水粘贴制作成了一个底面周长为的圆锥侧面，如图所示，则圆锥上粘贴部分（图中阴影部分）的面积是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，点是上一点，以为直径的半圆经过的顶点，，交，于点，，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 6．如图，四边形内接于，点 E 在的延长线上．若，则（　） A． B． C． D． 7．如图，均为上的点，且，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，已知是的直径，，是上的两点，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 9．如图，四边形是的内接四边形，连接对角线，交于点，且，为的直径，若，，则的长为（    ） A． B．9 C． D． 10．如图，在等腰直角三角形中，，点在以斜边为直径的半圆上，为的中点，则点沿半圆由点运动至点的过程中，线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知一个扇形的圆心角为，其弧长为，则该扇形的面积为 ． 12．如图，是的直径，圆上的点D与点C，E分布在直线的两侧，，则 ． 13．如图，在中，点D在边上，过的内心I作于点E．若，，则的长为 ． 14．如图，分别切于A，B两点，，点C是劣弧上一点，则的度数为 ． 15．如图，在矩形中，，，点E，F分别是，边上的两动点，且，点G为的中点，点H为边上一动点，连接，，则的最小值为 ． 16．如图，在直线上有相距5cm的两点和（点在点的右侧），以为圆心作半径为1cm的圆，过点作直线．将以的速度向右移动（点始终在直线上），则与直线在 秒时相切． 三、解答题 17．已知：如图，在中，弦．求证：． 18．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，经过格点A，B，C，交网格线于点D．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． (1)在图1中画出该圆的圆心O，再画出的中点E，然后在优弧上画点F，连接，使得； (2)在图2中画出线段绕点A逆时针旋转得到的线段（点M与点C对应）． 19．如图，已知：是的直径，弦于点E，G是上的一点，、的延长线交于点．若，的度数为，求的度数． 20．如图，已知，以点O为圆心，2为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C，画射线交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 21．如图，内接于为的直径，的平分线交于点．连接，过点作，交的延长线于点． (1)求证： 是的切线； (2)若，求的长． 22．问题提出：（1）如图，在四边形中，连接、，，，将绕点逆时针旋转，得到，点的对应点落在点，点的对应点为点，可知，点、、在一条直线上，则为______三角形，、，的数量关系为______； 探究发现：（2）如图，在中，为直径，点为弧的中点，点为圆上一个点，连接、、、、，且，请求出、、的数量关系； 拓展延伸：（3）如图，在等腰直角三角形中，点为的中点，若，平面内存在一点，且，，当点为中点时，______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第2章对称图形-圆易错精选题练习卷-2025-2026学年数学九年级上册苏科版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D B C B D D C D 1．C 【分析】本题考查了圆的认识∶熟练掌握与圆有关的概念(弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、弧、等圆、等弧等)是解决问题的关键，也考查了轴对称图形，根据直径、弦的定义对A选项和B选项进行判断∶根据对称轴图形的定义对C选项进行判断；根据等弧的定义对D选项进行判断． 【详解】解∶A．过圆心的弦是圆的直径，所以A选项不符合题意； B．直径是弦，过圆心的弦是直径，所以B选项不符合题意； C．半圆是轴对称图形，所以C选项符合题意； D．在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以D选项不符合题意； 故选∶C 2．B 【分析】本题考查圆内接正多边形，根据圆内接正边形的中心角的度数为，进行求解即可． 【详解】解：， 故这个多边形为正九边形； 故选：B． 3．D 【分析】本题考查了反证法和点与圆的位置关系，熟练掌握反证法的步骤“假设结论不成立，从假设出发推出矛盾，假设不成立，则结论成立”是解题的关键. 【详解】解：点与圆的位置关系有种，分别是： 点在圆上、点在圆内、点在圆外 假设结论”点在圆内“不成立 则点与圆的位置关系为”点在圆上或圆外“ 故选：D ． 4．B 【分析】本题考查圆锥的计算和扇形面积的计算，先求出围成圆锥的扇形弧长为，已知扇形的弧长为，可知粘贴部分的弧长为，利用扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：∵圆锥的底面周长为， ∴围成圆锥的扇形弧长为， ∵已知扇形的弧长为， ∴粘贴部分的弧长为， ∴圆锥上粘贴部分的面积是． 故选：B． 5．C 【分析】如图，连接、、、，设，根据圆的基本知识及直径所对的圆周角是直角得，即，推出，证明垂直平分，继而得到，，根据圆内接四边形的性质得，在中，根据三角形内角和建立关于的方程，求解后再根据弧长公式即可得出答案． 【详解】解：如图，连接、、、，设， ∵为半圆的直径，，， ∴，即， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵四边形内接于圆， ∴， ∵， ∴， 在中，， 解得：， ∴的长为：． 故选：C． 【点睛】本题考查弧长的计算，圆内接四边形的性质，直径所对的圆周角是直角，垂直平分线的判定，等边对等角，平行线判定和性质，掌握弧长的公式、圆内接四边形的性质是解题的关键． 6．B 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，根据圆周角定理可得，再由圆内接四边形对角互补可得的度数，再由平角的定义可得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， 故选：B． 7．D 【分析】本题考查了圆心角，弦，弧之间的关系．由A、B、C、D是⊙O上的点，，根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两条弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等作答即可． 【详解】解：∵， ∴，，故A选项说法正确，不符合题意； ∴，即，故B选项说法正确，不符合题意； ∵， ∴，即， ∴，故C选项说法正确，不符合题意； 不能证明，故D选项说法错误，符合题意； 故选：D． 8．D 【分析】本题考查的是圆周角定理．根据圆周角定理“一条弧所对的圆周角是这条弧所对的圆心角的一半”求出的度数． 【详解】解：， ， 故选：D． 9．C 【分析】本题考查的是垂径定理，勾股定理，理解垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答关键． 连接，根据勾股定理求出，根据垂径定理得到，得到答案． 【详解】解：如图，连接OC， ，， ，． ， ，， ， ． 故选：C． 10．D 【分析】取的中点，连接、、，根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半，得出，再结合等腰三角形三线合一的性质，得到，从而推出点的运动轨迹是以为直径的圆上，取的中点，以长为半径作，交、于点、，过点作于，即点在运动，利用等腰直角三角形的性质，求出，连接交于点，此时线段有最小值，先利用勾股定理求出，再根据求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接、、， 在等腰直角三角形中，， ，， 点是的中点， ， ， ， 为的中点， ，， ， 点的运动轨迹是以为直径的圆上， 取的中点，以长为半径作，交、于点、，过点作于，即点在运动， ， ， ，， ，， ， ， 连接交于点，此时线段有最小值， 在中，， ， 故选：D． 【点睛】本题是圆与三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的斜边中线，直径所对圆周角、点到圆的距离等知识，确定点的运动轨迹是解题关键． 11． 【分析】本题考查了弧长公式、扇形面积公式，设该扇形的半径为，由弧长公式求出，再由扇形面积公式计算即可得解． 【详解】解：设该扇形的半径为， ∵一个扇形的圆心角为，其弧长为， ∴， ∴， ∴该扇形的面积为. 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，则，又是的直径，则，然后用角度和差即可求解，掌握圆周角定理的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故答案为：． 13．7 【分析】本题主要考查了三角形的内心，切线长定理，解题的关键是掌握切线长定理． 过点作,画出内切圆，利用切线长定理表示出相等的线段，假设，利用列出方程求解即可． 【详解】解：如图，过点作,画出内切圆， 根据切线长定理得，， 又∵， ∴， 即， 假设，则,， ∴， 解得， ， 故答案为：7． 14．/度 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，多边形内角和．根据切线的性质得到，根据四边形内角和为，得出，根据圆周角定理以及圆内接四边形的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，当点在劣弧上时，连接，， 取优弧上的点D，连接， ∵分别与相切于两点， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， 故答案为：． 15．9 【分析】因为，点为的中点，根据直角三角形斜边上中线的性质得出，所以是以为圆心，以1为半径的圆弧上的点，作关于的对称点，连接，交于，交以为圆心，以1为半径的圆于，此时的值最小；根据勾股定理求得问题可求． 【详解】解：∵，G是EF的中点，则有， 则点在以圆心，1为半径的圆在长方形内的弧上运动． 作关于的对称点，连接，交于，交以为圆心，以1为半径的圆于点， 由两点之间线段最短，此时的值最小， 则的最小值= 且， 则的最小值． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了最短路径问题，点与圆的位置关系，轴对称图形的性质以及勾股定理．关键在于将所求折线和转化两定点之间的连线长问题． 16．2或3 【分析】本题考查了切线的判定与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，当圆心到直线的距离等于圆的半径，则直线与圆相切．熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．根据切线的判定方法，当点到的距离为时，与相切，然后计算出圆向右移动的距离，然后计算出对应的时间． 【详解】解：当点到的距离为时，与相切， 开始时点到的距离为5， 当圆向右移动或时，点到的距离为，此时与相切， 或， 即与直线在2秒或3秒时相切． 故答案为：2或3． 17．见解析 【分析】本题主要考查了弧，弦与圆周角之间的关系， 先证明，再证明得到，则可证明，据此可证明结论． 【详解】证明：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 18．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）取格点G和K，连接，，，则四边形是正方形，连结，，与交于点Q，可知，取与中间格线的交点P，则，作直线，则直线是的垂直平分线，与的垂直平分线交于点O，则为点O为圆心；直线与交于点E，则点E为的中点；取格点T，此时四边形是平行四边形，射线交于点F，连结，根据夹在两平行线间的弧相等，可得； （2）取格点，连接，此时且，连接并延长交于点H，连接并延长交水平格线于点N，连接，则线段即为所作． 【详解】（1）解：如图所示就是所求作的图形； （2）解：如图，线段即为所作． 【点睛】本题考查了作圆的圆心，作图旋转图形，正方形的判定与性质，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，垂径定理，，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 19． 【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、直角三角形的性质，熟记直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 连接，根据圆心角、弧、弦的关系定理求出，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出，再根据直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：如图，连接， 的度数为， ， ， ， ， ． 20．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，全等三角形的性质与判定，求弧长，熟知相关知识是解题的关键． （1）由作图方法可得，再利用可证明，据此可证明结论； （2）根据（1）所求可得，再根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）证明：由作图方法可得， 又∵， ∴， ∴，即； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴的长． 21．(1)见解析 (2) 【分析】（1）通过连接，利用角平分线性质、圆周角定理及平行线性质，证明，从而得出是切线． （2）先利用勾股定理求出的长度，再根据弧、弦关系及等腰直角三角形性质求出、的长度，最后利用相似三角形求出的长． 【详解】（1）证明：∵连接， ∵平分， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是的切线． （2）解：如图， ∵为的直径， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴即， ∴ ∵，， ∴． ∴即， ∴, ∴ ∴ ∵ ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的切线判定、圆周角定理、勾股定理及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理和性质是解题的关键． 22．（）等腰直角，；（）；（）或． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，掌握圆周角定理，旋转的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据旋转的性质得到为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出、、的数量关系； （）延长交于，连接、、，根据圆周角定理得到，由（）的结论解答； （）分点在直线的左侧和点在直线的右侧两种情况，根据（）（）的结论计算，得到答案． 【详解】解：（）由旋转变换的性质可知，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：等腰直角，； （）如图，延长交于，连接，， ∵是直径， ∴，， 由（）可知：， 又， ∴， ∴； （）如图，当点在直线的左侧时，连接、， ∵，，点为的中点， ∴，， ∵，点为中点， ∴， ∴， ∵，，， 由勾股定理得，， 由（）得，， ∴， 解得，， 如图，当点在直线的右侧时，连接、， 同理可知：， ∵，， ∴， 由勾股定理可求得：， 由（）的结论可知，， 故答案为：或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $