专题04 直线与圆的位置关系（压轴题专项训练）数学苏科版九年级上册

专题04 直线与圆的位置关系 目录 典例详解 类型一、直线与圆的位置关系求参 类型二、圆的切线性质定理 类型三、圆的切线判定定理 类型四、切线长定理 类型五、三角形的内切圆 类型六、三角形的周长、面积与内切圆半径关系 类型七、圆的平移 类型八、圆的折叠 类型九、动圆相切求t 压轴专练 类型一、直线与圆的位置关系求参 一、知识点 直线与圆的位置关系主要有三种：相切、相交和相离。 1.相切：当直线与圆心的距离等于圆的半径时，直线与圆相切。此时，直线与圆有且仅有一个公共点，即切点。 2.相交：当直线与圆心的距离小于圆的半径时，直线与圆相交。此时，直线与圆有两个公共点。 3.相离：当直线与圆心的距离大于圆的半径时，直线与圆相离。此时，直线与圆没有公共点。 二、方法 若d=r，则直线与圆相切；若d<r，则直线与圆相交；若d>r，则直线与圆相离。 例1．如图，已知点到直线的距离为5，如果在以点为圆心的圆上有且只有两个点到直线的距离为2，那么这个圆的半径长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了圆与直线的位置关系．要掌握直线与圆的三种位置关系中各自的特点，并根据特殊的位置关系求出相对应的半径的长度是解题的关键．已知点O到直线l的距离为5，要使圆上有且只有两个点到直线l的距离为2．过点O作直线l的垂线，垂足为A．当圆与直线l的位置关系满足： 以O为圆心的圆与直线l相交，且在直线l两侧到直线l距离为2的点中，只有两个在圆上．从距离角度看，圆的半径r要满足：，即，得出答案． 【详解】解：已知点O到直线l的距离为5，要使圆上有且只有两个点到直线l的距离为2． 过点O作直线l的垂线，垂足为A． 当圆与直线l的位置关系满足： 以O为圆心的圆与直线l相交，且在直线l两侧到直线l距离为2的点中，只有两个在圆上． 从距离角度看，圆的半径r要满足：，即． 故选：D 变式1-1．在中，，，，以点C为圆心，r为半径作圆，若与直线相离，则r的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，以及勾股定理．根据题意画出草图，过点作于点，利用勾股定理求出，再根据直线与圆相离得到，最后利用等面积法求解，即可解题． 【详解】解：根据题意画图如下， 过点作于点， ，，， ， 以点C为圆心，r为半径作圆，且与直线相离， ， ， 解得， 故选：C． 变式1-2．如图，在梯形中，，，，，，点是边上一点，以为圆心，为半径的，与边只有一个公共点时，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】作于E，找到两个临界状态，一个是恰好与相切时，此时点D是切点，得到半径为，另一个是经过点A时，则，建立方程求解即可． 【详解】解：作于E，则，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵ ∴， 当点运动到点E时，，此时与相切， ∴， 当经过点A时，    设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：； ∴以为圆心，为半径的，与边只有一个公共点时，则的取值范围是； 故答案为：． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、直角梯形的性质、勾股定理，矩形的判定与性质等知识，注意分情况讨论是解题的关键． 变式1-3．如图，在直角三角形中，，，，以直角顶点为顶点作，设的半径为． (1)请直接写出当为何值，与所在直线相切． (2)当与斜边只有一个公共点时，请直接写出的取值范围． (3)当与的三条边只有两个公共点时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（）如图，过点作于，当时，与所在直线相切，利用求出即可求解； （）由（）知，当时，与所在直线相切，即此时与斜边只有一个公共点；再利用图形可求出当时，与斜边只有一个公共点，据此即可求解； （）利用（）图解答即可求解； 本题考查了直线和圆的位置关系，切线的性质，勾股定理，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过点作于， 当时，与所在直线相切， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴当时，与所在直线相切； （2）解：由（）知，当时，与所在直线相切，即此时与斜边只有一个公共点； 如图，可知当时，与斜边只有一个公共点； 综上，与斜边只有一个公共点时，或； （3）解：由上图可知，当或时，与的三条边只有两个公共点． 类型二、圆的切线性质定理 一、切线性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径。 2、 切线的主要性质 1. 切线和圆只有一个公共点。 2. 圆心到切线的距离等于半径。 3. 垂直于过切点的半径。 4. 过圆心垂直于切线的直线必过切点。 5. 过切点垂直于切线的直线必过圆心。 例2．如图，是的切线，切点是点，直线交于点、，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理和切线的性质．根据切线的性质知，再根据圆周角定理得到，然后利用直角三角形的两锐角互余得到的度数． 【详解】解：， ， 是的切线， ， ． 故选：B． 变式2-1．如图，点A，B，C，D柜上，点B是的中点，过点C作的切线交的延长线于点E．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，连接并延长与圆交于点F，连接．根据圆周角定理得出，根据圆内接四边形的性质得出，根据切线的性质得出，然后根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：连接，连接并延长与圆交于点F，连接．    ∵B是的中点， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴． ∵是的切线， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理等知识，熟练掌握性质定理是解题的关键． 变式2-2．如图，圆O是的外接圆，，过点C作圆O的切线，交的延长线于点D，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，90度的圆周角所对的弦是直径，根据可得是的直径，则由圆周角定理可得，由切线的性质推出，据此根据直角三角形两锐角互余可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，圆O是的外接圆， ∴是的直径， ∴， ∵是的切线， ∴，即， ∴， 故答案为：． 变式2-3．如图，在中，点是边上一点，以为直径的与边相切于点，交边于点，连接、． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）连接，根据是的直径，得出．根据切线性质得出，根据余角性质得出．根据，得出，即可证明结论； （2）设的半径为，则，根据勾股 定理得出，解方程即可． 【详解】（1）证明：连接． ∵是的直径， ∴，即． ∵是的切线， ∴，即， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：由题意可知． 设的半径为，则， ∴． 在中，， 即， 解得， ∴的半径为6． 类型三、圆的切线判定定理 一、圆的切线判定定理 圆的切线判定定理表述为：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。这里的关键在于理解“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”两个条件。 二、切线判定方法 1.判定定理法：若一条直线满足经过半径的外端且垂直于这条半径，则可直接判定该直线为圆的切线。 2.定义法：若直线与圆有唯一公共点，则根据切线的定义，该直线为圆的切线。 3.距离判定法：计算圆心到直线的距离，若该距离等于圆的半径，则直线为圆的切线。 在运用切线判定定理时，通常会结合几何图形的性质进行证明。例如，可以通过证明直线与半径垂直来证明该直线为切线。常用的证明垂直的方法包括利用勾股定理逆定理、特殊角计算、等角代换、平行线性质以及三角形全等或相似等。 例3．如图是某校数学课外活动上，小明同学的尺规作图作业，观察作图痕迹，下列说法不一定成立的是（   ） A．是线段的垂直平分线 B．，都是的切线 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，垂直平分线的作图，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由作图痕迹得出是线段的垂直平分线，再结合圆周角定理得，因为都是的半径，得证，都是的切线，运用垂径定理得，即得，进行解答即可． 【详解】解：由作图痕迹得出是线段的垂直平分线，故A选项不符合题意； 由作图痕迹得出是的直径， ∴， ∵都是的半径， ∴，都是的切线， 故B选项不符合题意； 则， ∴， ∴， 故D选项不符合题意； 无法证明， 故C选项符合题意； 故选：C 变式3-1．如图，在中，，以为圆心，为半径作，则下列说法正确的是（    ） A．点在上 B．点在外 C．直线与相切 D．直线与只有一个交点 【答案】C 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系以及直线与圆的位置关系，熟练掌握位置关系是解题的关键．根据点在圆外，点在圆上判断选项A B错误；再根据直线与圆的位置关系判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：， 故点在外，故选项A错误； ，故点在上，故选项B错误； ，故直线与相切，故选项C正确； 直线与有两个交点，故选项D错误． 故选C． 变式3-2．如图，以正方形的边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交边于点E，若的周长为12，则四边形周长为 ． 【答案】14 【分析】根据正方形的性质，得到，，推出均为圆O的切线，根据切线长定理，推出，推出正方形的边长为4，设设，则，，勾股定理求出的值，再根据周长公式进行求解即可． 【详解】解：∵以正方形的边为直径作半圆O， ∴，，， ∴均为圆O的切线， ∵过点C作直线切半圆于点F，交边于点E， ∴， ∵的周长为12， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴，， ∴四边形周长， 故答案为：14． 【点睛】本题考查了正方形的性质、圆的切线判定、切线长定理、勾股定理等知识点，利用正方形的性质和圆的切线的判定得出均为圆O的切线是解题关键． 变式3-3．如图，在中，，，点在上，过点和点． (1)求证：是的切线； (2)点是下方圆上一点，，延长交于点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是切线的判定定理，圆周角定理，勾股定理，含角的直角三角形的性质． （1）连接，根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质得到，进而得到，再根据切线判定求解． （2）连接，易证是的直径，设，利用含角的直角三角形的性质得到，由勾股定理求出的半径，由勾股定理即可求出． 【详解】（1）解：连接． ， ． ， ， ， 即， 为的半径， 是的切线． （2）解：连接． ∵， ∴， ∴是的直径， 设， ，，， 则， ， 解得，（不符合题意舍去）， ， ， ∴． 类型四、切线长定理 一、知识点 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。注意，切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称。切线是直线，不能度量，而切线长是线段的长，可以度量。 推论：圆外切四边形的两组对边之和相等。 二、方法 切线长定理的证明方法： 可以通过证明两个直角三角形全等来证明切线长定理。设圆外一点为P，从P点引圆的两条切线PA、PB，切点为A、B，圆心为O。连接OA、OB，由于OA、OB都是半径，所以OA=OB。又因为PA、PB都是切线，所以∠OAP=∠OBP=90°。根据HL全等条件，可以证明△OAP≌△OBP，所以PA=PB。同时，由于△OAP≌△OBP，所以∠AOP=∠BOP，即圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 切线长定理的应用方法： 切线长定理在几何证明中有着广泛的应用。例如，可以证明线段相等、角相等、垂直关系等。在解决实际问题时，可以先根据题目条件画出图形，然后利用切线长定理及其推论进行证明。同时，要注意切线和切线长的区别，切线是直线，不能度量，而切线长是线段的长，可以度量。 此外，切线长定理还可以与勾股定理、垂径定理等几何定理相结合，解决更复杂的几何问题。 例4．如图，与相切于点，与相切于点，为上一点，过点与相切的直线分别交，于点，．若的周长为，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．10 【答案】C 【分析】本题可根据切线长定理，将的周长转化为与、有关的线段长度，再结合与的关系求解的长．本题主要考查切线长定理．解题的关键在于利用切线长定理得出线段间的等量关系，进而将的周长转化为与相关的表达式来求解． 【详解】解：∵，是的切线，切点分别为，， ∴． 又∵，是的切线，切点分别为，， ∴． 同理，∵，是的切线，切点分别为，， ∴． ． ∴． 又∵， ∴． ∵的周长为，即， ∴，可得， 解得． 故选：C 变式4-1．如图，过外一点P作的两条切线，，切点分别为A，B，与交于点D，与弧交于点E，为的直径．若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】连接，由切线长定理得，则，由为的直径，得，则，再证明是等边三角形，得，求得，则，可证明是等边三角形，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， 分别与相切于点， ， ， 为的直径，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ∴是等边三角形， ， 故选：B． 【点睛】此题重点考查切线的性质定理、切线长定理、等腰三角形的“三线合一”、直径所对的圆周角是直角、三角形的中位线定理、等边三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 变式4-2．如图，正方形的边长为6，以边为直径在正方形内部作半圆，圆心为O，过点A作半圆的切线，与半圆相切于点F，与相交于点E，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线长定理，正方形的性质，勾股定理；由于与圆切于点，根据切线长定理有，；设．则，， 然后在三角形中由勾股定理可以列出关于的方程，即可求出． 【详解】解：与圆切于点， ∴根据切线长定理有，， 设， 则，， 在三角形中由勾股定理得：， ， ． 故答案为：． 变式4-3．类似于三角形的内切圆，我们定义：与四边形各边都相切的圆叫做四边形的内切圆．请结合定义，解答下列问题： (1)请你判断下列说法是否正确（正确的打“”，错误的打“”）， ①邻边不相等的矩形一定没有内切圆；（    ） ②正方形一定有内切圆；（    ） ③四边形中，若，，则四边形没有内切圆（    ） (2)如图1，若四边形有内切圆，求证：． (3)如图2，四边形中，若，它的内切圆与边，，，分别相切于点，，，，连接，交于点． ①求证：； ②连接，若的半径为1，当时，求的取值范围． 【答案】(1)，，； (2)见解析 (3)①见解析；② 【分析】（1）因为邻边不相等的矩形不能满足内切圆的圆心到各边的距离相等，所以①正确；因为正方形满足内切圆的圆心到各边的距离相等，所以②正确；因为四边形中，，，所以四边形满足内切圆的圆心到各边的距离相等，所以③错误； （2）设分别与相切于点，得到，，继而得到，，即可得到结论； （3）①连接，由是四边形的内切圆，可得，进而得，同理可得，进而可得，即可证明结论； ②连接，作于点，于点，得到，，可证明四边形是矩形，得到，根据勾股定理得到，，得出，得到求出． 【详解】（1）解；①邻边不相等的矩形不能满足内切圆的圆心到各边的距离相等， 邻边不相等的矩形一定没有内切圆， 故①正确； ②正方形满足内切圆的圆心到各边的距离相等， 正方形一定有内切圆， 故②正确； ③四边形中，，， 四边形满足内切圆的圆心到各边的距离相等， 故③错误； 故答案为：，，； （2）证明：如图，设分别与相切于点， ， ， ， ； （3）①证明∶如图，连接， 是四边形的内切圆， ， ， ， 同理可得， ， ， ， ，， ， ， ； ②解：如图，连接，作于点，于点， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了上直线的圆的位置关系，切线的性质，切线长定理，四边形内角和定理，圆周角定理，直角三角形的性质，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理，解不等式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 类型五、三角形的内切圆 1、 知识点 1. 定义：三角形的内切圆是与三角形三边都相切的圆，其圆心称为内心，是三角形三条角平分线的交点。2.性质： （1） 任意一个三角形都有且只有一个内切圆。 （2） 内切圆的圆心到三角形三边的距离相等。 （3） 内切圆的半径r可由公式r=2S/C计算，其中S为三角形面积，C为周长。 （4） 在直角三角形中，内切圆半径r有特殊表达式：r=(a+b-c)/2或r=ab/(a+b+c)，其中a、b为直角边，c为斜边。 相关推论： （1） 以内切圆和三角形的三个切点为顶点的三角形是原三角形的内接三角形之一。 （2） 三角形的外接圆半径R、内切圆半径r及内心与外心间距OI满足关系式r²+OI²=(R−r)²。 2、 作图方法 1. 作出三角形的两个内角平分线。 2. 两条角平分线的交点即为内切圆圆心O。 3. 过O点向任意边作垂线，垂足为P。 4. 以O为圆心，OP为半径作圆，即为所求三角形的内切圆。 例5．如图，在中，，是内心，是外心，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用三角形内心的性质得到，则可计算出，然后利用圆周角定理得到的度数． 【详解】解：过点I分别作，如图 ∵点I是的内心， ∴，， ∵，， ∴， 即 ∴， ∵点O是的外心， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的内心，三角形的外心，圆周角定理，三角形的内角和定理，解题关键是理解三角形的内心的意义，三角形的外心的意义． 变式5-1．如图，四边形内接于，点在的延长线上，点是的内心，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆内接四边形、三角形内心、三角形内角和定理等知识，理解并掌握圆内接四边形的性质以及三角形内心的定义和性质是解题关键．首先根据邻补角的定义以及圆内接四边形的性质确定的值，结合三角形内心的定义可知平分，平分，进而可得，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∵点是的内心， ∴平分，平分， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 变式5-2．如图，在中，，的角平分线、交于点，则以点为圆心，以 为半径，可作的内切圆． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形内心的定义，等腰三角形的性质，三角形内接圆，根据题意可得点O是的内心，即点到三边的距离相等，再根据等腰三角形三线合一可得，进而可得当以点为圆心，以为半径，可作的内切圆． 【详解】解：根据题意可得点O是的内心，即点到三边的距离相等， ∵， ∴， ∴当以点为圆心，以为半径，可作的内切圆． 故答案为：． 变式5-3．综合与实践 基本图形法：在复杂图形中，找到或构造基本图形，再利用基本图形的概念和性质，寻求解题的突破口，从而达到解决几何问题的目的，我们把这种解决几何问题的方法叫做基本图形法． 【基本图形】 （1）①如图1，点是的内心，若，则_____； ②如图2，，平分，求证：． 【方法运用】 （2）运用基本图形法解决下面问题： 如图3，点是的内心，以点为圆心，为半径画弧，交的延长线于点，连接，若，猜想线段的关系，并进行证明． 【拓展延伸】 （3）如图4，四边形的对角线与相交于点，，两点分别是的内心和外心，若，求证：． 【答案】（1）①；②见解析；（2），，理由见解析；（3）见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定，三角形内角和定理，三角形内心和外心的性质，三角形中位线的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质和构造辅助线． （1）①利用角平分线的性质得出，进而利用直角三角形得出，利用三角形内角和定理可得结果； ②利用角平分线的性质得出，利用即可判定三角形全等； （2）利用上题结论可得出，，，继而可得； （3）连接，延长至点，使，连接，得出， 在利用三角形的外心等条件依据三角形的中位线得出，继而可得． 【详解】解：（1）①∵点是的内心， 平分，平分， , ， ， ， 故答案为：； ②平分， ． 在和中， ； （2），，理由如下： 如图，连接， 是的内心， 平分． 又∵， 根据基本图形（图2），可推出． ，． 是的内心，， 根据基本图形（图1），可推出． ． ． ； （3）如图，连接，延长至点，使，连接， 由（2）知，，，，， ， 由基本图形（图1）可知，， ， 在和中， ， ， 是的外心，， ， 又， ， ． 类型六、三角形的周长、面积与内切圆半径关系 一、知识点 1.三角形的周长：三角形的周长等于其三条边的长度之和，公式表示为：L=a+b+c，其中a、b、c分别为三角形的三条边。 2.三角形的面积：三角形面积的计算有多种方法，常用的有底乘高除以2，公式表示为：S=1/2底高。另外，三角形面积也可以用海伦公式计算，即S=√p(p-a)(p-b)(p-c)，其中p为三角形周长的一半，即p=1/2(a+b+c)。 3.内切圆半径：三角形的内切圆半径r与三角形的面积S和周长L有关系，公式表示为：S=1/2Lr。通过这个公式，我们可以知道，给定三角形的面积和周长，就可以求出其内切圆的半径。对于直角三角形，内切圆半径r还可以表示为r=(a+b-c)/2，其中a、b为直角边，c为斜边。 二、方法 1.利用周长公式计算三角形的周长：给定三角形的三条边，直接相加即可得到三角形的周长。 2.利用面积公式计算三角形的面积：根据题目给出的条件，选择合适的面积公式进行计算。如果知道三角形的底和高，就用底乘高除以2；如果知道三角形的三边，就用海伦公式。 3.利用内切圆半径公式求解问题：给定三角形的面积和周长，或者给定直角三角形的两条直角边和斜边，可以利用内切圆半径公式求出内切圆的半径。 4.综合应用：在实际问题中，三角形的周长、面积和内切圆半径可能同时出现，需要灵活运用上述知识点和方法进行求解。 例6．等腰三角形的底边长为10，腰长为13，则它的内切圆的半径为（    ） A．6 B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查三角形的内切圆，根据三角形的面积与三角形的周长和内切圆半径之间的关系，进行求解即可． 【详解】解：如图，，为的内切圆，与三边相切于点，连接，连接， 则：点是三条角平分线的交点， ， ∴，， ∴三点共线， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：， ∴， ∴，即的半径为； 故选C． 变式6-1．如图，中，，，，的长分别为，，．则可以用含，，的式子表示出的内切圆直径，下列表达式错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作于点，作于点，作于点，连接、、，先证明四边形是正方形，得到，根据切线长定理得到，，再利用，得出；利用勾股定理得到，结合，利用因式分解的知识得出，则有；利用等面积法得到，代入数据得出，即可得出结论． 【详解】解：如图，作于点，作于点，作于点，连接、、， 是的内切圆， ，，，， ， 四边形是正方形， ， ，， ， ， 整理得：，故A选项表达式正确，不符合题意； ， ， ， ， ，故C选项表达式正确，不符合题意； ， ， 整理得：，故D选项表达式正确，不符合题意； 当时，根据等腰直角三角形的性质可知，此时，故B选项表达式错误，符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形的内切圆、切线长定理、正方形的性质与判定、因式分解、勾股定理、三角形的面积公式，熟练掌握内切圆半径与三角形周长、面积之间的关系是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何知识储备，适合有能力解决几何难题的学生． 变式6-2．三国时期数学家刘徽用“衰分术”证明了《九章算术》中的“勾中容圆径”公式：在直角三角形中，若直角边边长分别为，斜边长为，则该直角三角形的内切圆直径．当时，该直角三角形的内切圆半径为 ． 【答案】2 【分析】该题考查了勾股定理，根据勾股定理求出，再代入求解即可． 【详解】解：当时， 则， 则， 故该直角三角形的内切圆半径为2， 故答案为：2． 变式6-3．阅读与思考 阅读下列材料，完成下面的任务． 关于“三角形的内切圆”的研究报告 【研究内容】如图，在中，三边，，，是它的内切圆，切点分别为，，，如何求、、的长呢？ 【解法】是的内切圆，切点为，，，，，．设，，，则有，，如果设，那么有． 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：______． (2)如图，这是一张三角形纸片，为它的内切圆，小悦沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，，，求三角形纸片的周长． (3)如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，，，，求． 【答案】(1)； (2)三角形纸片的周长是； (3)． 【分析】（1）由题意得出，则可得出答案； （2）由题意得，如图，设切点分别为，，，则，由三角形周长可得出答案； （3）设，依题意得，，根据勾股定理可得，解方程得出，则可得出答案． 【详解】（1）解：是的内切圆，切点为，，， ，，， 设，，，则有， 三式相加可得， ， 故答案为：； （2）解：的周长为， 由题意得， 如图，设切点分别为，，，则， ，， ， 三角形纸片的周长， ；， （3）解：设，依题意得，， ，， ， 根据勾股定理可得，整理得， 解得或不合题意，合去， ， ，， ． 【点睛】本题考查的知识点是三角形内切圆与内心、切线长定理、勾股定理解直角三角形、解一元二次方程，解题关键是熟练掌握三角形内切圆的性质、切线长定理． 类型七、圆的平移 一、圆的平移定义 圆的平移是指将圆作为一个整体，在平面上沿着某一确定方向移动一定距离，移动过程中圆的形状和大小不会发生改变，仅位置发生变化。 二、平移要素 1、平移方向：确定圆移动的具体方向，如向左、向右、向上或向下。 2、平移距离：确定圆在选定方向上移动的具体距离。 三、平移性质 1、形状大小不变：平移后的圆与平移前的圆半径相等，因此形状完全相同。 2、对应部分比例相等：平移后的圆上任意一点与平移前对应点的连线，长度相等且方向一致，满足相似图形的定义。 方法： 一、确定平移方向和距离 根据题目要求或图形分析，确定圆的平移方向和距离。 二、画出平移后的圆 1、确定圆心位置：根据平移方向和距离，计算出平移后圆心的位置。 2、画出圆：以平移后的圆心为圆心，原圆的半径为半径，画出平移后的圆。 三、验证平移结果 通过比较平移前后的圆，验证平移方向和距离是否正确，以及平移后的圆是否保持原圆的形状和大小。 例7．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（   ） A．1 B．1或5 C．3 D．3或5 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．分两种情况讨论：位于轴左侧和位于轴右侧，根据平移的性质和圆的切线的性质分别求解，即可得到答案． 【详解】解：的圆心P的坐标为， ， 的半径为2， ， ，， 当位于轴左侧且与轴相切时，平移的距离为1， 当位于轴右侧且与轴相切时，平移的距离为5， 平移的距离为或， 故选：B． 变式7-1．如图所示，在平面直角坐标系中，半径为3，且点A的坐标为，将沿x轴的负方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（    ） A．2 B．5 C．8 D．2或8 【答案】D 【分析】本题主要考查了切线的性质，坐标与图形，解题的关键是熟练掌握切线的性质．平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可． 【详解】解：当位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为2； 当位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为8； 综上分析可知：平移的距离为2或8． 故选：D． 变式7-2．如图，的半径，直线l与相切于点C，将其沿方向平移至直线，交于点，交线段于点H，若，则平移的距离是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，平移的性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 连接，结合切线的性质，垂径定理，得到，再利用勾股定理求出，最后根据求解，即可解题． 【详解】解：连接， 直线l与相切于点C， ， ，即交于点， 的半径，， ， ， ； 故答案为：． 变式7-3．在中，以O为圆心，为半径画圆交的延长线于点C．将沿射线方向平移，当A点平移到点C时得到． (1)尺规作图：过C作交圆O于点E，连接并延长交于点F． (2)求证：为圆O切线． (3)若圆O半径为6，，______． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)9 【分析】本题主要考查圆与三角形综合问题，熟悉相关的知识是解题的关键；（1）以C为圆心长为半径画弧，以B为圆心长为半径画弧交于P点，连接即可求解；（2）连接，证明即可求解；（3）设，根据勾股定理解出x的值即可． 【详解】（1）解：如图以C为圆心长为半径画弧，以B为圆心长为半径画弧交于P点，连接交圆O于点E，此时，连接并延长交于点F； （2）连接； 由题意得； ∵； ∴； ； ∵； ∴； ∴； ∴在和中； ∴（）； ∴； ∴； ∴为圆O切线． （3）如图：过点F做于点M； 由题意可得，； 连接； 则在和中； ； ∴（） ∴； 设； ∵圆O半径为6，； ∴，，； 在中，由勾股定理得； ； 即； 解得：； ∴； 故答案为：9． 类型八、圆的折叠 一、知识点 1、圆的定义与性质：圆心是圆内部的一个固定点，半径是从圆心到圆周上任意一点的线段。圆具有无限多条对称轴，即通过圆心的任意直线都是对称轴。此外，圆上等弧所对的圆周角相等，圆的切线与通过切点的半径垂直。 2、折叠原理：折叠在数学中体现了轴对称性，即图形经过折叠后，某些部分能够完全重合。在解决圆的折叠问题时，需要理解和运用这一原理。 3、相关数学概念：在解决圆的折叠问题时，还会涉及到全等思想、相似思想、勾股定理、代换思想等数学概念。 二、方法 1、抓住折叠前后的不变量：在解决圆的折叠问题时，首先需要找出折叠前后的不变量，如线段长度、角度大小等。这些不变量是解决问题的关键。 2、利用圆的性质解决问题：根据圆的定义和性质，可以推导出一些与折叠问题相关的结论。例如，利用圆的对称性，可以判断折叠后的图形形状和位置。 3、运用转化思想：在解决圆的折叠问题时，常常需要将问题转化为其他形式，如转化为线段问题、角度问题等，从而简化问题，降低难度。 4、数形结合思想：在解决圆的折叠问题时，需要运用数形结合的思想，将几何图形与代数表达式相结合，通过代数运算求解几何问题。 5、动手实践与逻辑推理：通过观察、动手折叠和逻辑推理等活动，可以加深对圆的折叠问题的理解和认识，提高解决问题的能力。 例8．如图，的半径为5，弦的长为8，将劣弧沿直线折叠后的图形如图，则点O到弧所在圆的切线长为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了翻转变换、垂径定理及圆的切线的性质，难度不大，找出翻转过后的弧所在圆的圆心是解题关键．根据题意先画出图形，可知翻转过后的弧所在的圆和全等，且两个圆的圆心相距为6，又已知圆的半径，故根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解解：如图所示： 根据题意：，点为翻转过后的弧所在圆的圆心， 则有， 又∵，是的切线， ∴． 故选：B． 变式8-1．如图，为半圆上的一条弦，将沿着对折，折叠后的弧恰好与半圆的直径相切于点，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】折叠后的弧所在的圆的圆心为，连接、、，与交于点，由折叠的性质可知，垂直平分，由垂径定理可得，设，，则，，利用勾股定理得出，再根据圆的切线的性质，得出，利用的长得到关于的一元二次方程，利用公式法求出，即可求解． 【详解】解：如图，折叠后的弧所在的圆的圆心为，连接、、，与交于点， 由折叠的性质可知，垂直平分， ， 为半圆上的一条弦，， ， 设，， ，，， ， ， ， ， 折叠后的弧所在的圆与半径相等， ， 折叠后的弧恰好与半圆的直径相切于点， ， ， ， 整理得：， 解得：（负值舍去）， ， ， 故选：C． 【点睛】本题是圆与三角形综合题，考查了轴对称的性质，垂径定理，勾股定理，圆的切线的性质，解一元二次方程等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键． 变式8-2．如图，已知扇形的半径为18，圆心角为，E是半径上一点，F是弧上一点．将扇形沿对折，使得折叠后的圆弧恰好与半径相切于点G，若，则O到折痕的距离为 ． 【答案】 【分析】过点作的垂线，交的延长线于，连接交于，连接，则点、、在以点为圆心，为半径的圆上，证明四边形为矩形，求出的长，再求出的长，证明，得出，进而可得，即可得解． 【详解】解：如图，过点作的垂线，交的延长线于，连接交于，连接，则点、、在以点为圆心，为半径的圆上， ， 由折叠的性质可得：， ∴与是等圆， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，扇形的半径为18， ∴，， ∴， ∴， 连接，由折叠的性质可得， ∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴O到折痕的距离为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、三角形的性质、矩形的判定与性质、圆的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 变式8-3．点，，在上，将沿折叠后，与交于． (1)若，求的度数． (2)如图，点恰是翻折所得的中点，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题是圆的综合题目，考查了圆内接四边形的性质，圆心角、弧、弦之间的关系，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，本题综合性强，熟练掌握圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定与性质是解题的关键． （1）将还原后点的对应点为，连接、，则，，求出，由三角形的外角性质即可得出答案； （2）由（1）得，证出，由等腰三角形的性质得出，，设，则，在中，由三角形内角和定理得出方程，解方程即可； 【详解】（1）解：将还原后点的对应点为，连接、，如图所示： 则，， ， ； （2）（2）由（1）得， ，， ， 点是翻折所得的中点， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，由三角形内角和定理得：， 解得， 即． 类型九、动圆相切求t 一、知识点 动圆相切问题涉及的主要知识点包括： 1.圆的切线性质：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线。 2.动点问题：在几何图形中，动点是指位置会随时间或其他变量变化的点。在动圆相切问题中，动点通常是圆心或直径的一个端点。 3.距离和速度的关系：在动态几何问题中，经常需要根据动点的速度和运动时间来计算其走过的距离。 二、方法 解决动圆相切求t的问题，通常需要使用以下方法： 1.确定动点轨迹：根据题目条件，确定动点的运动轨迹，可能是直线、圆或其他曲线。 2.建立距离关系：利用圆的切线性质，建立动点到切线的距离关系。这个距离应该等于圆的半径。 3.利用速度和时间关系：根据动点的速度和运动时间，计算动点走过的距离。将这个距离代入到距离关系中，得到一个关于时间的方程。 4.解方程求时间：解这个方程，得到动点运动到使圆与直线相切所需的时间t。 例如，在直线l上有一个动点P，以点P为圆心作一个半径为r的圆。当点P以一定速度沿直线l移动时，我们需要求出圆与直线l相切的时间t。这时，我们可以过点P作PH垂直于直线l，当PH等于r时，圆与直线l相切。然后，根据点P的速度和时间关系，我们可以求出PH的长度随时间的变化关系，进而求出使PH等于r的时间t。 例9．在矩形中，，点从点出发沿边以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒： (1)如图1， 秒后，的面积等于； (2)在运动过程中，若以为圆心、为半径的与相切（如图1），求值； (3)如图2，若以为圆心，为半径作．在运动过程中，是否存在这样的值，使正好与四边形的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)0或或 【分析】（1）由题意可知，，从而得到，，然后根据的面积为列方程求解即可； （2）如图1所示：连接．依据勾股定理可求得的长，然后依据切线长定理可知，从而可求得的长，由圆的半径相等可知，然后在中依据勾股定理列方程求解即可； （3）先判断不与，相切，然后分与相切；与相切，根据半径等于构建方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，，，则， ∵ ∴，即， 解得， 故当运动时间为3秒时，的面积为； （2）解：如图1，设切点为，连接． ∵， ∴与相切， ∴分别与，相切， ∴． ∵与相切， ∴， 在中，依据勾股定理可得． ∴． ∵， ∴，． 在中，依据勾股定理可得，， 解得； （3）解∶①由题意知不与，相切， 当与相切时，设切点为E，连接， 则，， 则四边形是矩形， ∴， ∴， 解得或； 当与相切时， 则， ∴， 解得，（舍去）， 综上，当t的值为0或或时，正好与四边形的一边（或边所在的直线）相切． 【点睛】本题主要考查的是主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了三角形的面积公式、切线长定理、勾股定理、圆的性质，依据题意列出关于t的方程是解题的关键． 变式9-1．如图，在平面直角坐标系中，四边形的边与轴重合，，，，，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． (1)写出点坐标； (2)点从点出发，以每秒个长度单位的速度向点运动，点从点出发，以每秒个长度单位的速度在线段之间作来回运动，它们同时出发，当点停止运动时，点也停止运动，设它们运动的时间为．过点作直线的垂线，交折线于点，过点的直线记作． 当时， ．（用含的代数式表示）； 当的面积为时，求的值； 当直线与以为直径的圆相切时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)；为秒或秒；的值为秒或秒或秒或秒． 【分析】（1）如图，过点作于点，先证是等腰直角三角形，得，，进而得，结合点的坐标为，点的坐标为，得，从而得点的坐标为； （2）由点的坐标为，点的坐标为，得，从而得，又点的坐标为，得，进而根据时间、路程和速度的关系即可得解；过作交于点，连接，当与重合时，证是等腰直角三角形，得，此时，从而得当时，点在线段上，当时，点在线段上，进而根据这两种情况讨论求解即可得解；先证明直线与直线重合或平行，进而分从向运动，经过点时，从向运动，经过点，从向运动，经过点，从向运动，经过点时，四种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵点的坐标为， ∴ ∴ ∴点的坐标为， 故答案为∶； （2）解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∵点从点出发，以每秒个长度单位的速度在线段之间作来回运动，它们同时出发，当点停止运动时，点也停止运动， ∴当时，；当时，， 故答案为：； 过作交于点，连接， 当与重合时， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴此时， ∴当时，点在线段上，当时，点在线段上， 当，点在线段上时， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴即， 解得或， 当时，，（秒）， 当时，，（秒），不符合题意，应舍去， 当，点在线段上时， 由（）得点的坐标为， ∵， ∴的边上的高为， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴即， 解得， ∴（秒）， 综上，为秒或秒； ③设直线为， 把点，点代入得 ， 解得，， ∴直线为， ∵过点的直线记作 ∴直线与直线重合或平行， 如图，当从向运动，经过点时， ∵， ∴以为直径的圆与直线相切点， ∵把点代入得，解得， ∴， ∴， ∴秒， 如图，当从向运动，经过点时，此时， ∴，， ∴，， ∴以为直径的圆与直线相切于点，， ∴， ∴（秒）， 如图，当从向运动，经过点时，同理可得，以为直径的圆与直线相切于点，， ∴， ∴（秒）， 如图，当从向运动，经过点时，同理可得，以为直径的圆与直线相切于点，令直线于轴交于点， ∴，， ∴， ∴， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴（秒）， 综上可得当直线与以为直径的圆相切时，的值为秒或秒或秒或秒． 【点睛】本题主要考查了切线的判定及性质，等腰三角形形的性质，勾股定理，求一次函数解析式，一次函数的图像及性质，平行四边形的判定及性质，一元二次方程的应用，熟练掌握切线的判定及性质，等腰三角形形的性质，平行四边形的判定及性质，一元二次方程的应用是解题的关键． 变式9-2．如图1，在矩形中，边长，，其中a，b（）分别是方程的两个根，连接．点O从点C出发，沿向点B运动（到达点B停止运动），速度为每秒1个单位，设运动时间为秒．在运动过程中，以O为圆心，的长为半径作半圆，交射线于点Q． (1)______； (2)如图2，当t为多少时，点O运动到的角平分线上，此时，半圆O与有怎样的位置关系，并加以说明； (3)如图3，当且半圆O与的边有两个交点时，则t的取值范围为 ． 【答案】(1)5 (2)，半圆O与相切，说明见解析 (3) 【分析】（1）先解一元二次方程，得到，；根据矩形的性质，得到，利用勾股定理即可求解； （2）运用角平分线性质定理得，可得是圆的切线，根据面积可求出，即可得到的值； （3）根据题意，分为当半圆与有2个交点；当点半圆与有1个交点，与有1个交点；当点半圆与有1个交点，与有1个交点；三种情况讨论，分别求出半径的范围，即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：由，即， 解得：，， ，，其中，分别是方程的两个根， ，， 四边形是矩形， ， 在中，，， ， 故答案为：5； （2）解：如图，过点作，垂足为点， 是的平分线， 又在矩形中，，，， ， ， 是的切线，即与相切， 又， ， ，即， ， ； （3）解：如图，当半圆与相切时，此时半圆与的边有1个交点，即为切点，设切点为，连接， 由（2）知，， 如图，当点与点重合时，此时半圆与的边有2个交点， 此时，为半圆的直径，， ， 当时，半圆与有2个交点， 即半圆与的边有2个交点； 如图，此时，半圆与有1个交点，与有1个交点， 如图，当半圆与相切时，此时半圆与的边有3个交点，设与半圆的切点为，连接， ， ， 当时，半圆与有1个交点，与有1个交点， 即半圆与的边有2个交点； 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，直线与圆的位置关系，切线的判定，矩形判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是画出图形，分类讨论． 变式9-3．如图，在平面直角坐标系中，点D的坐标为，以D为圆心，5个单位长度为半径作圆，交x轴于点M，N，的边在x轴上，，，点B的坐标为，，先在x轴水平向左运动，当的边第一次与相切时，将向上平移3个单位长，继续水平向左运动，当点B运动到上时，停止运动，已知整个运动过程中的运动速度始终为每秒2个单位长度．设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，的边第一次与相切？ (2)当的边第二次与相切时，求t的值及与公共部分的面积； (3)在整个运动过程中，当的边与有两个公共点时，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)秒时，的边第一次与相切 (2)秒，面积为 (3)当的边与有两个公共点时，t的取值范围为． 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，切线的性质，扇形面积． （1）由题意得的边第一次与相切是与相切，根据坐标与图形的性质结合切线的性质即可求解； （2）由题意得当直线与相切时，是的边第二次与相切，根据坐标与图形的性质结合切线的性质即可求解； （3）结合（1）和（2）的结论即可求解． 【详解】（1）解：的边第一次与相切是与相切，此时到y轴的距离为的半径5， ∵点B的坐标为，， ∴到y轴的距离为， 此时（秒）， 即时，的边第一次与相切； （2）解：将向上平移3个单位长度时，（秒）， 此时， 继续向左运动，当直线与相切时，是的边第二次与相切． 如图，设切点为E，连接， ∵的半径为5， ∴， ∵， ∴， 此时点C与点D重合， ∴， 此时与公共部分是半径为5，圆心角为的扇形，其面积为； （3）解：由（1）得时，的边与只有一个公共点， 由（3）得时，的边与有三个公共点， ∴当的边与有两个公共点时，t的取值范围为． 1．如图，已知，以为直径的交于点D，与相切于点A，连接．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆的切线定理，直角三角形两锐角互余，有圆周角定理可得出，有圆的切线定理可得出，由直角三角形两锐角互余即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵以为直径的与相切于点A， ∴， ∴． 故选：D． 2．如图，已知点在上，，直线与相切，切点为，且为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了切线的性质，三角形内角和以及等腰三角形的性质，根据C为的中点，三角形内角和可求出，再根据切线的性质即可求解． 【详解】∵，为的中点， ∴ ∵ ∴ ∵直线与相切， ∴， ∴ 故选：A． 3．分别与相切于两点．点在上，不与点重合．若，则的度数为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查的是切线的性质，圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，先画图，连接，，求解，再根据C的位置结合圆周角定理与圆的内接四边形的性质可得答案. 【详解】解：如图，连接，， ∵分别与相切于两点， ∴， ∵， ∴， ∴，， 故选：D 4．如图，是的弦，与相切于点B，圆心O在线段上．已知，则的大小为 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，连接，由切线的性质可得，根据直角三角形两锐角互余可得的度数，再由圆周角定理即可得到答案． 【详解】解；如图所示，连接， ∵与相切于点B， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．如图，、是圆O的切线，A、B为切点，是直径，， 【答案】/70度 【分析】本题考查切线的性质，切线长定理，等腰三角形的性质．根据是切线，得到，从而，根据切线长定理得到，从而，进而由三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：∵是切线， ∴，即， ∵， ∴， ∵、是圆O的切线， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 6．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点P，A均在格点上． （1）线段的长为 ； （2）直线与的外接圆相切于点．点在射线上，点在线段的延长线上，满足，且与射线垂直．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理的推论，等腰三角形的性质，正方形的性质，三角形中位线的判定和性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）利用勾股定理进行求解即可； （2）利用圆周角定理的推论，正方形的性质确定圆心，再根据全等三角形和等腰三角形的三线合一确定线段的中点，利用网格确定点为线段的中点，则为三角形的中位线，利用一组平行线确定点为线段的中点，证明和，得出，即，最后利用切线的性质和等腰三角形的性质，得出为等腰三角形，再利用等腰三角形的性质得出． 【详解】解：（1）由勾股定理得， 故答案为：； （2）如图所示，点即为所求， 作法：直线PA与射线BC的交点为；取圆与网格线的交点和，连接；取格点，连接，与相交于点；连接并延长，与相交于点，与直线相交于点；连接并延长，与网格线相交于点，连接，与网格线相交于点；连接，与线段的延长线相交于点，则点M，N即为所求． 理由：∵， ∴为圆的直径， ∵为正方形的对角线， ∴, ∴垂直平分线段， ∴点为圆的圆心， ∴， 又， ， ， 平分， ∴点为线段的中点， 由网格可知点为线段的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴点为线段的中点， ∵， ， ， ∴， 又， ∴， , 即， 延长交于点， ∵， ∴, ， ∴ ∵为圆的切线， ∴， ， , ∴， 即， ∵， ， ∴为等腰三角形， ∴， ∴点即为所求． 7．如图，点是斜边边上的一点，以为半径的与边相切于点．求证：平分． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了圆的切线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 连接，根据圆的切线的性质得到，则根据平行线的判定与性质得到，再由等边对等角得到，即可等量代换求证． 【详解】证明：连接， ∵与边相切于点， ∴，即， ∵为直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴平分． 8．如图，的顶点，在上，圆心在边上，，与相切于点，连接． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了切线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）由切线的性质得到，据此根据角的和差关系可得答案； （2）由等边对等角得到，再由三角形内角和定理可得，则可证明，进而可证明． 【详解】（1）解：∵与相切与点， ∴， ∴， ∵， ∴; （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 9．如图，是的外接圆，．过点作，垂足为，交于点，交于点．过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)的半径 【分析】（1）根据垂直，切线的性质得到，可得是等腰直角三角形，由此即可求解； （2）根据垂径定理得到，是等腰直角三角形，由（1）得到，则，如图所示，连接，设，则，由此勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵，是的切线，即， ∴， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， 由（1）得， ∴， 如图所示，连接，设，则， ∴在中，， ∴， 解得，， ∴， ∴的半径． 【点睛】本题主要考查圆内接三角形的综合，掌握垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，切线的性质等周四，数形结合分析是关键． 10．如图，在中，是直角，为的中点，为的切线交的延长线于点．连接，． (1)点与的位置关系是 ，线段与线段的数量关系是 ； (2)过点作，与的延长线交于点．根据题意补全图形，判断的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若的半径为，求的长． 【答案】(1)在线段上；； (2)补图见解析，为等腰三角形 (3) 【分析】（1）根据圆周角定理与弧，弦，圆心角定理可得答案； （2）补图如下， 连接，证明，，结合，可得，进一步可得结论； （3）如图，过作于，求解，，，，可得，从而可得答案. 【详解】（1）解：∵是直角， ∴为直径， ∵为圆心， ∴在线段上； ∵为的中点， ∴， ∴； （2）解：补图如下，为等腰三角形，理由如下： 连接， ∵为的切线交的延长线于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （3）解：如图，过作于， ∵的半径为，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，圆周角定理的应用，弦，弧，圆心角之间的关系，切线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 1 / 70 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 直线与圆的位置关系 目录 典例详解 类型一、直线与圆的位置关系求参 类型二、圆的切线性质定理 类型三、圆的切线判定定理 类型四、切线长定理 类型五、三角形的内切圆 类型六、三角形的周长、面积与内切圆半径关系 类型七、圆的平移 类型八、圆的折叠 类型九、动圆相切求t 压轴专练 类型一、直线与圆的位置关系求参 一、知识点 直线与圆的位置关系主要有三种：相切、相交和相离。 1.相切：当直线与圆心的距离等于圆的半径时，直线与圆相切。此时，直线与圆有且仅有一个公共点，即切点。 2.相交：当直线与圆心的距离小于圆的半径时，直线与圆相交。此时，直线与圆有两个公共点。 3.相离：当直线与圆心的距离大于圆的半径时，直线与圆相离。此时，直线与圆没有公共点。 二、方法 若d=r，则直线与圆相切；若d<r，则直线与圆相交；若d>r，则直线与圆相离。 例1．如图，已知点到直线的距离为5，如果在以点为圆心的圆上有且只有两个点到直线的距离为2，那么这个圆的半径长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式1-1．在中，，，，以点C为圆心，r为半径作圆，若与直线相离，则r的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式1-2．如图，在梯形中，，，，，，点是边上一点，以为圆心，为半径的，与边只有一个公共点时，则的取值范围是 ． 变式1-3．如图，在直角三角形中，，，，以直角顶点为顶点作，设的半径为． (1)请直接写出当为何值，与所在直线相切． (2)当与斜边只有一个公共点时，请直接写出的取值范围． (3)当与的三条边只有两个公共点时，请直接写出的取值范围． 类型二、圆的切线性质定理 一、切线性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径。 2、 切线的主要性质 1. 切线和圆只有一个公共点。 2. 圆心到切线的距离等于半径。 3. 垂直于过切点的半径。 4. 过圆心垂直于切线的直线必过切点。 5. 过切点垂直于切线的直线必过圆心。 例2．如图，是的切线，切点是点，直线交于点、，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 变式2-1．如图，点A，B，C，D柜上，点B是的中点，过点C作的切线交的延长线于点E．若，则（    ） A． B． C． D． 变式2-2．如图，圆O是的外接圆，，过点C作圆O的切线，交的延长线于点D，则的度数是 ． 变式2-3．如图，在中，点是边上一点，以为直径的与边相切于点，交边于点，连接、． (1)求证：； (2)若，求的半径． 类型三、圆的切线判定定理 一、圆的切线判定定理 圆的切线判定定理表述为：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。这里的关键在于理解“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”两个条件。 二、切线判定方法 1.判定定理法：若一条直线满足经过半径的外端且垂直于这条半径，则可直接判定该直线为圆的切线。 2.定义法：若直线与圆有唯一公共点，则根据切线的定义，该直线为圆的切线。 3.距离判定法：计算圆心到直线的距离，若该距离等于圆的半径，则直线为圆的切线。 在运用切线判定定理时，通常会结合几何图形的性质进行证明。例如，可以通过证明直线与半径垂直来证明该直线为切线。常用的证明垂直的方法包括利用勾股定理逆定理、特殊角计算、等角代换、平行线性质以及三角形全等或相似等。 例3．如图是某校数学课外活动上，小明同学的尺规作图作业，观察作图痕迹，下列说法不一定成立的是（   ） A．是线段的垂直平分线 B．，都是的切线 C． D． 变式3-1．如图，在中，，以为圆心，为半径作，则下列说法正确的是（    ） A．点在上 B．点在外 C．直线与相切 D．直线与只有一个交点 变式3-2．如图，以正方形的边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交边于点E，若的周长为12，则四边形周长为 ． 变式3-3．如图，在中，，，点在上，过点和点． (1)求证：是的切线； (2)点是下方圆上一点，，延长交于点，求的长． 类型四、切线长定理 一、知识点 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。注意，切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称。切线是直线，不能度量，而切线长是线段的长，可以度量。 推论：圆外切四边形的两组对边之和相等。 二、方法 切线长定理的证明方法： 可以通过证明两个直角三角形全等来证明切线长定理。设圆外一点为P，从P点引圆的两条切线PA、PB，切点为A、B，圆心为O。连接OA、OB，由于OA、OB都是半径，所以OA=OB。又因为PA、PB都是切线，所以∠OAP=∠OBP=90°。根据HL全等条件，可以证明△OAP≌△OBP，所以PA=PB。同时，由于△OAP≌△OBP，所以∠AOP=∠BOP，即圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 切线长定理的应用方法： 切线长定理在几何证明中有着广泛的应用。例如，可以证明线段相等、角相等、垂直关系等。在解决实际问题时，可以先根据题目条件画出图形，然后利用切线长定理及其推论进行证明。同时，要注意切线和切线长的区别，切线是直线，不能度量，而切线长是线段的长，可以度量。 此外，切线长定理还可以与勾股定理、垂径定理等几何定理相结合，解决更复杂的几何问题。 例4．如图，与相切于点，与相切于点，为上一点，过点与相切的直线分别交，于点，．若的周长为，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．10 变式4-1．如图，过外一点P作的两条切线，，切点分别为A，B，与交于点D，与弧交于点E，为的直径．若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 变式4-2．如图，正方形的边长为6，以边为直径在正方形内部作半圆，圆心为O，过点A作半圆的切线，与半圆相切于点F，与相交于点E，则 ． 变式4-3．类似于三角形的内切圆，我们定义：与四边形各边都相切的圆叫做四边形的内切圆．请结合定义，解答下列问题： (1)请你判断下列说法是否正确（正确的打“”，错误的打“”）， ①邻边不相等的矩形一定没有内切圆；（    ） ②正方形一定有内切圆；（    ） ③四边形中，若，，则四边形没有内切圆（    ） (2)如图1，若四边形有内切圆，求证：． (3)如图2，四边形中，若，它的内切圆与边，，，分别相切于点，，，，连接，交于点． ①求证：； ②连接，若的半径为1，当时，求的取值范围． 类型五、三角形的内切圆 1、 知识点 1. 定义：三角形的内切圆是与三角形三边都相切的圆，其圆心称为内心，是三角形三条角平分线的交点。2.性质： （1） 任意一个三角形都有且只有一个内切圆。 （2） 内切圆的圆心到三角形三边的距离相等。 （3） 内切圆的半径r可由公式r=2S/C计算，其中S为三角形面积，C为周长。 （4） 在直角三角形中，内切圆半径r有特殊表达式：r=(a+b-c)/2或r=ab/(a+b+c)，其中a、b为直角边，c为斜边。 相关推论： （1） 以内切圆和三角形的三个切点为顶点的三角形是原三角形的内接三角形之一。 （2） 三角形的外接圆半径R、内切圆半径r及内心与外心间距OI满足关系式r²+OI²=(R−r)²。 2、 作图方法 1. 作出三角形的两个内角平分线。 2. 两条角平分线的交点即为内切圆圆心O。 3. 过O点向任意边作垂线，垂足为P。 4. 以O为圆心，OP为半径作圆，即为所求三角形的内切圆。 例5．如图，在中，，是内心，是外心，则的度数为（　　） A． B． C． D． 变式5-1．如图，四边形内接于，点在的延长线上，点是的内心，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 变式5-2．如图，在中，，的角平分线、交于点，则以点为圆心，以 为半径，可作的内切圆． 变式5-3．综合与实践 基本图形法：在复杂图形中，找到或构造基本图形，再利用基本图形的概念和性质，寻求解题的突破口，从而达到解决几何问题的目的，我们把这种解决几何问题的方法叫做基本图形法． 【基本图形】 （1）①如图1，点是的内心，若，则_____； ②如图2，，平分，求证：． 【方法运用】 （2）运用基本图形法解决下面问题： 如图3，点是的内心，以点为圆心，为半径画弧，交的延长线于点，连接，若，猜想线段的关系，并进行证明． 【拓展延伸】 （3）如图4，四边形的对角线与相交于点，，两点分别是的内心和外心，若，求证：． 类型六、三角形的周长、面积与内切圆半径关系 一、知识点 1.三角形的周长：三角形的周长等于其三条边的长度之和，公式表示为：L=a+b+c，其中a、b、c分别为三角形的三条边。 2.三角形的面积：三角形面积的计算有多种方法，常用的有底乘高除以2，公式表示为：S=1/2底高。另外，三角形面积也可以用海伦公式计算，即S=√p(p-a)(p-b)(p-c)，其中p为三角形周长的一半，即p=1/2(a+b+c)。 3.内切圆半径：三角形的内切圆半径r与三角形的面积S和周长L有关系，公式表示为：S=1/2Lr。通过这个公式，我们可以知道，给定三角形的面积和周长，就可以求出其内切圆的半径。对于直角三角形，内切圆半径r还可以表示为r=(a+b-c)/2，其中a、b为直角边，c为斜边。 二、方法 1.利用周长公式计算三角形的周长：给定三角形的三条边，直接相加即可得到三角形的周长。 2.利用面积公式计算三角形的面积：根据题目给出的条件，选择合适的面积公式进行计算。如果知道三角形的底和高，就用底乘高除以2；如果知道三角形的三边，就用海伦公式。 3.利用内切圆半径公式求解问题：给定三角形的面积和周长，或者给定直角三角形的两条直角边和斜边，可以利用内切圆半径公式求出内切圆的半径。 4.综合应用：在实际问题中，三角形的周长、面积和内切圆半径可能同时出现，需要灵活运用上述知识点和方法进行求解。 例6．等腰三角形的底边长为10，腰长为13，则它的内切圆的半径为（    ） A．6 B． C． D．3 变式6-1．如图，中，，，，的长分别为，，．则可以用含，，的式子表示出的内切圆直径，下列表达式错误的是（   ） A． B． C． D． 变式6-2．三国时期数学家刘徽用“衰分术”证明了《九章算术》中的“勾中容圆径”公式：在直角三角形中，若直角边边长分别为，斜边长为，则该直角三角形的内切圆直径．当时，该直角三角形的内切圆半径为 ． 变式6-3．阅读与思考 阅读下列材料，完成下面的任务． 关于“三角形的内切圆”的研究报告 【研究内容】如图，在中，三边，，，是它的内切圆，切点分别为，，，如何求、、的长呢？ 【解法】是的内切圆，切点为，，，，，．设，，，则有，，如果设，那么有． 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：______． (2)如图，这是一张三角形纸片，为它的内切圆，小悦沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，，，求三角形纸片的周长． (3)如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，，，，求． 类型七、圆的平移 一、圆的平移定义 圆的平移是指将圆作为一个整体，在平面上沿着某一确定方向移动一定距离，移动过程中圆的形状和大小不会发生改变，仅位置发生变化。 二、平移要素 1、平移方向：确定圆移动的具体方向，如向左、向右、向上或向下。 2、平移距离：确定圆在选定方向上移动的具体距离。 三、平移性质 1、形状大小不变：平移后的圆与平移前的圆半径相等，因此形状完全相同。 2、对应部分比例相等：平移后的圆上任意一点与平移前对应点的连线，长度相等且方向一致，满足相似图形的定义。 方法： 一、确定平移方向和距离 根据题目要求或图形分析，确定圆的平移方向和距离。 二、画出平移后的圆 1、确定圆心位置：根据平移方向和距离，计算出平移后圆心的位置。 2、画出圆：以平移后的圆心为圆心，原圆的半径为半径，画出平移后的圆。 三、验证平移结果 通过比较平移前后的圆，验证平移方向和距离是否正确，以及平移后的圆是否保持原圆的形状和大小。 例7．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（   ） A．1 B．1或5 C．3 D．3或5 变式7-1．如图所示，在平面直角坐标系中，半径为3，且点A的坐标为，将沿x轴的负方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（    ） A．2 B．5 C．8 D．2或8 变式7-2．如图，的半径，直线l与相切于点C，将其沿方向平移至直线，交于点，交线段于点H，若，则平移的距离是 ． 变式7-3．在中，以O为圆心，为半径画圆交的延长线于点C．将沿射线方向平移，当A点平移到点C时得到． (1)尺规作图：过C作交圆O于点E，连接并延长交于点F． (2)求证：为圆O切线． (3)若圆O半径为6，，______． 类型八、圆的折叠 一、知识点 1、圆的定义与性质：圆心是圆内部的一个固定点，半径是从圆心到圆周上任意一点的线段。圆具有无限多条对称轴，即通过圆心的任意直线都是对称轴。此外，圆上等弧所对的圆周角相等，圆的切线与通过切点的半径垂直。 2、折叠原理：折叠在数学中体现了轴对称性，即图形经过折叠后，某些部分能够完全重合。在解决圆的折叠问题时，需要理解和运用这一原理。 3、相关数学概念：在解决圆的折叠问题时，还会涉及到全等思想、相似思想、勾股定理、代换思想等数学概念。 二、方法 1、抓住折叠前后的不变量：在解决圆的折叠问题时，首先需要找出折叠前后的不变量，如线段长度、角度大小等。这些不变量是解决问题的关键。 2、利用圆的性质解决问题：根据圆的定义和性质，可以推导出一些与折叠问题相关的结论。例如，利用圆的对称性，可以判断折叠后的图形形状和位置。 3、运用转化思想：在解决圆的折叠问题时，常常需要将问题转化为其他形式，如转化为线段问题、角度问题等，从而简化问题，降低难度。 4、数形结合思想：在解决圆的折叠问题时，需要运用数形结合的思想，将几何图形与代数表达式相结合，通过代数运算求解几何问题。 5、动手实践与逻辑推理：通过观察、动手折叠和逻辑推理等活动，可以加深对圆的折叠问题的理解和认识，提高解决问题的能力。 例8．如图，的半径为5，弦的长为8，将劣弧沿直线折叠后的图形如图，则点O到弧所在圆的切线长为（   ） A．3 B． C．4 D． 变式8-1．如图，为半圆上的一条弦，将沿着对折，折叠后的弧恰好与半圆的直径相切于点，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 变式8-2．如图，已知扇形的半径为18，圆心角为，E是半径上一点，F是弧上一点．将扇形沿对折，使得折叠后的圆弧恰好与半径相切于点G，若，则O到折痕的距离为 ． 变式8-3．点，，在上，将沿折叠后，与交于． (1)若，求的度数． (2)如图，点恰是翻折所得的中点，若，求的度数． 类型九、动圆相切求t 一、知识点 动圆相切问题涉及的主要知识点包括： 1.圆的切线性质：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线。 2.动点问题：在几何图形中，动点是指位置会随时间或其他变量变化的点。在动圆相切问题中，动点通常是圆心或直径的一个端点。 3.距离和速度的关系：在动态几何问题中，经常需要根据动点的速度和运动时间来计算其走过的距离。 二、方法 解决动圆相切求t的问题，通常需要使用以下方法： 1.确定动点轨迹：根据题目条件，确定动点的运动轨迹，可能是直线、圆或其他曲线。 2.建立距离关系：利用圆的切线性质，建立动点到切线的距离关系。这个距离应该等于圆的半径。 3.利用速度和时间关系：根据动点的速度和运动时间，计算动点走过的距离。将这个距离代入到距离关系中，得到一个关于时间的方程。 4.解方程求时间：解这个方程，得到动点运动到使圆与直线相切所需的时间t。 例如，在直线l上有一个动点P，以点P为圆心作一个半径为r的圆。当点P以一定速度沿直线l移动时，我们需要求出圆与直线l相切的时间t。这时，我们可以过点P作PH垂直于直线l，当PH等于r时，圆与直线l相切。然后，根据点P的速度和时间关系，我们可以求出PH的长度随时间的变化关系，进而求出使PH等于r的时间t。 例9．在矩形中，，点从点出发沿边以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒： (1)如图1， 秒后，的面积等于； (2)在运动过程中，若以为圆心、为半径的与相切（如图1），求值； (3)如图2，若以为圆心，为半径作．在运动过程中，是否存在这样的值，使正好与四边形的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 变式9-1．如图，在平面直角坐标系中，四边形的边与轴重合，，，，，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． (1)写出点坐标； (2)点从点出发，以每秒个长度单位的速度向点运动，点从点出发，以每秒个长度单位的速度在线段之间作来回运动，它们同时出发，当点停止运动时，点也停止运动，设它们运动的时间为．过点作直线的垂线，交折线于点，过点的直线记作． 当时， ．（用含的代数式表示）； 当的面积为时，求的值； 当直线与以为直径的圆相切时，直接写出的值． 变式9-2．如图1，在矩形中，边长，，其中a，b（）分别是方程的两个根，连接．点O从点C出发，沿向点B运动（到达点B停止运动），速度为每秒1个单位，设运动时间为秒．在运动过程中，以O为圆心，的长为半径作半圆，交射线于点Q． (1)______； (2)如图2，当t为多少时，点O运动到的角平分线上，此时，半圆O与有怎样的位置关系，并加以说明； (3)如图3，当且半圆O与的边有两个交点时，则t的取值范围为 ． 变式9-3．如图，在平面直角坐标系中，点D的坐标为，以D为圆心，5个单位长度为半径作圆，交x轴于点M，N，的边在x轴上，，，点B的坐标为，，先在x轴水平向左运动，当的边第一次与相切时，将向上平移3个单位长，继续水平向左运动，当点B运动到上时，停止运动，已知整个运动过程中的运动速度始终为每秒2个单位长度．设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，的边第一次与相切？ (2)当的边第二次与相切时，求t的值及与公共部分的面积； (3)在整个运动过程中，当的边与有两个公共点时，直接写出t的取值范围． 1．如图，已知，以为直径的交于点D，与相切于点A，连接．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．如图，已知点在上，，直线与相切，切点为，且为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 3．分别与相切于两点．点在上，不与点重合．若，则的度数为（    ） A． B． C． D．或 4．如图，是的弦，与相切于点B，圆心O在线段上．已知，则的大小为 ． 5．如图，、是圆O的切线，A、B为切点，是直径，， 6．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点P，A均在格点上． （1）线段的长为 ； （2）直线与的外接圆相切于点．点在射线上，点在线段的延长线上，满足，且与射线垂直．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明） ． 7．如图，点是斜边边上的一点，以为半径的与边相切于点．求证：平分． 8．如图，的顶点，在上，圆心在边上，，与相切于点，连接． (1)求的度数； (2)求证：． 9．如图，是的外接圆，．过点作，垂足为，交于点，交于点．过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的半径． 10．如图，在中，是直角，为的中点，为的切线交的延长线于点．连接，． (1)点与的位置关系是 ，线段与线段的数量关系是 ； (2)过点作，与的延长线交于点．根据题意补全图形，判断的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若的半径为，求的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$