1.1 正数和负数 同步练习 2025-2026学年人教版（2024）数学七年级上册

1.1正数和负数 学习目标：1.了解正数和负数是从实际需要中产生的. 2.理解正数、负数及0的意义，掌握正数、负数的表示方法. 3.会用正数、负数表示具有相反意义的量.（重点、难点） 重点：理解正数、负数及0的意义. 难点：会用正数、负数表示具有相反意义的量. 知识点一 正数、负数的定义 1. 正数 像2%，4，3.5这样大于0的数叫做正数.有时，为了明确表达意义，在正数的前面加上符号“+”（正）.如+2，+0.7，，…. 【注意】“+”一般有略不写，如2，0.7，，…，都是正数，“+”读作“正”. 2. 负数 像-3，-2.7%，-4.5这样在正数前加上符号“-”（负）的数叫做负数. 【注意】负数前面的“-”号不能省略，读作“负”.负数是小于0的数. “+”“-”的双重意义 （1）作为运算符号是加、减号，如3+2-1; （2）作为数的性质符号是正、负号，如+7，-5. 3. 0的特性 0既不是正数，也不是负数.0是正数与负数的分界. 即学即练（2024秋·吉林长春·七年级统考期中）下列各数中，正数有哪些？负数有哪些？ ，，，，，，，． 学生：如何判断一个数是正数还是负数？ 老师：判断一个数是正数还是负数，不能简单地理解为带“+”号的数就是正数，带“-”号的数就是负数，如-（）不是负数，因为它是在负数前面加了“-”号得到的数，不符合负数的定义. 知识点二 具有相反意义的量 1. 具有相反意义的量的含义 如果两个量意义相反，且是同一类对象，那么这两个量就叫做具有相反意义的量. 【注意】两个量所表示的属性相同. 2. 日常生活中，表示相反意义的常用词语 收入 盈利 上升 零上 增加 向东(南) 前进 … 支出 亏损 下降 零下 减少 向西(北) 后退 … 3. 具有相反意义的量的表示 我们可以用正数和负数分别表示具有相反意义的量，若规定其中的一种量为正（可任意选择），则它的相反意义的量为负.习惯上把“前进、上升、收入、零上、盈利”等规定为正，把“后退、下降、支出、零下、亏损”等规定为负. 1.具有相反意义的量的正负性是相对的，没有硬性规定，是可以任意选择的.例如:若规定收入1000元记作+1000元，则支出500元记作-500元;若规定上升1.5m记作+1.5m，则下降0.8m记作-0.8m. 2.具有相反意义的量中的两个量表示的意义相反，且必须是同类量.如节约3t汽油与浪费1t水就不是具有相反意义的量. 3.具有相反意义的量是成对出现的，单独的一个量不是具有相反意义的量. 4.用正数、负数表示具有相反意义的量时，选择的基准不同，表示的结果也不同.如据调查显示，2024年中国18~44岁女性的平均身高为158cm，以158cm为基准，小红的身高为160cm，记为+2cm，但是在2015年，中国18~44岁女性的平均身高为157.2cm，若以此为基准，小红的身高应记为+2.8cm. 5.用正、负数表示具有相反意义的量时常犯的错误 （1）对负数表示的意义理解不清.具有相反意义的两个量，若一个量规定为正，用正数表示，则另一个量就为负，用负数表示. （2）用正、负数表示具有相反意义的量时忽略了量的单位.把一个量去掉它后面的单位名称后，它就是一个数，而不再是一个量了.本题往往易因漏掉后面的单位而出错. 学生：具有相反意义的量必须是同类量吗？ 老师：具有相反意义的量必须是同类量，只要求意义相反，不要求数量相等.如盈利5000元与亏损4000元是具有相反意义的量. 即学即练1. （1）（2025春·黑龙江哈尔滨·六年级统考期中）在天气预报中，零上12度用表示，那么零下5度表示为 ． （2）（2025春·黑龙江绥化·六年级统考期末）如果盈利300元用元表示，那么亏损300元表示为 元． （3）（2024秋·广东广州·七年级广州市南武实验学校校考期中）水位升高时水位变化记作m，那么水位下降记作 ． 即学即练2. （2025春·四川达州·七年级校考阶段练习）某超市2024年上半年的营业额与2024年同月营业额相比的增长率如下表所示．请根据表格信息回答下列问题： 月  份 1 2 3 4 5 6 比上年同月增长% 1.8 0 0.2 1.5 0.3 0.4 (1)该超市2024年上半年的营业额与2024年同月营业额相比，哪几个月是增长的？ (2)2024年1月和4月比上年同月增长率是负数表示什么意思？ (3)2024年上半年与2024年上半年同月相比，营业额没有增长的是哪几个月？ 知识点三 对数“0”的再认识 1. 表示没有 例如，0个西瓜，意思是没有西瓜. 2. 表示数时起到占位的作用 如20244中的两个0，从右到左分别占的是十位和千位. 3. 表示某种量的基准 例如，0℃不是表示没有温度，而是表示在标准大气压下，水开始结冰的温度. 4. 表示某些数量的分界 0既不是正数，也不是负数，是正数和负数的分界. 5. 表示起点 例如，在米尺上，刻度的起点为“0”. 即学即练（2025秋·山西晋城·七年级统考期末）下列说法正确的是（　　） A．0既是正数又是负数 B．0是最小的正数 C．0既不是正数也不是负数 D．0是最大的负数 题型一 正数和负数的实际意义 1. 用具有相反意义的量表示位置 例1 （2024秋·广东惠州·七年级惠州一中校联考期中）学校、家、书店，依次坐落在一条南北走向的大街上，学校在家的南边20米，书店在家的北边70米，小明同学从家出发，向北走了50米，接着又向南走了﹣20米，此时小明的位置是（　　） A．在家 B．在书店 C．在学校 D．在家的北边30米处 举一反三（2024秋·广东韶关·七年级期中）学校、小明家、书店依次坐落在一条南北走向的大街上，学校在小明家南边20m，书店在小明家北边100m.小明同学从家里出发，向北走了50m，接着又向南走了70m，此时小明的位置是( ). A． 在家 B．在书店 C．在学校 D．不在上述地方 2. 用正数、负数记录成绩 例2 （2024秋·辽宁本溪·七年级统考期中）数学考试成绩分以上为优秀，以分为标准，老师将一小组五名同学的成绩简记为“，，，，”．这五名同学的实际成绩最高的应是（    ） A．分 B．分 C．分 D．分 举一反三（2024秋·陕西西安·七年级高新一中校考期中）为“倡导健康生活，推进全民健身”，育英中学利用课余时间进行立定跳远比赛，初一年级男生跳远成绩以2.00米为标准，超出记为正，不足记为负．若小东跳出了1.85米，应记作 米． 为了计算方便，常把高于平均数、标准数或某一基准数的量规定为正，把与它们具有相反意义的量用负数表示. 3. 用正数、负数表示误差范围 例3（2024秋·浙江丽水·七年级校联考期中）某种零件，标明加工要求是φ20±0.02mm（φ表示直径，单位：毫米），+0.02和-0.02表示直径在（20+0.02）mm到（20-0.02）mm之间的产品都属于合格产品，经检查，一个零件的直径是19.9mm，该零件 （填“合格”或“不合格”） 举一反三（2024秋·广东深圳·七年级统考期末）一次社会调查中，某小组了解到某种品牌的薯片包装上注明净含量为，则下列同类产品中净含量不符合标准的是（    ） A． B． C． D． 4. 用正数、负数表示时间 例4（2024秋·四川巴中·七年级南江县第四中学校考阶段练习）某项科学研究，以45分钟为1个时间单位，并记每天上午10时为0，10时以前记为负，10时以后记为正．例如，9：15记为－1，10：45记为1，以此类推，上午7：45应记为 ． 时间是60进制，而要用10进制的正数、负数表示时间，其基准数又选择上午10时，因此极易因混淆而出错. 题型二 与正数、负数相关的表格信息题 例5（2024秋·辽宁抚顺·七年级校考阶段练习）一位病人上午8时的体温是39.4℃，下表表示该病人一天中的体温变化： 时间 11时 14时 17时 20时 23时 凌晨2时 凌晨5时 上午8时 体温℃ -1.2 +1 +0.5 -1.2 -0.5 -0.5 -0.4 +0.2 (1)这位病人的最高体温出现在几时？最高体温和最低体温相差多少度？ (2)从这位病人的病情变化看，请你分析他的病情在恶化还是好转？ 举一反三（2024秋·山东泰安·六年级统考期中）一位病人8时的体温是，下表是该病人一天中的体温变化． 时间 体温变化（相对于上一次测得温度）（） 11时 14时 17时 20时 23时 2时（次日） 5时（次日） 8时（次日） (1)次日8时，这位病人的体温是多少摄氏度？ (2)这位病人的体温最低是多少摄氏度？最高是多少摄氏度？ (3)若正常体温是，那么这位病人的病情是在恶化还是在好转？ 题型三 正数、负数的规律探究题 例6 观察下面依次排列的一列数，请按照相同的规律写出后面的三个数： （1）1，，3，，5，，7，，____，____，____… （2），，，，，，，，____，___，___，… 举一反三 比-1小的整数如下列这样排列         第一列  第二列  第三列  第四列           -2      -3      -4      -5           -9      -8      -7      -6           -10     -11     -12     -13           -17     -16     -15     -14           …      …      …      …     在上述的这些数中，观察它们的规律，回答数-100将在哪一列． 编号法探究数组的排列规律 探究一组数的排列规律时，应全面分析题中所给的所有数据，要从符号和数字两个方面进行观察.可以先把已知的数据按顺序编上序号,再分别确定符号和数字与序号的统一关系，进而确定数据排列规律与序号的关系.若数据是分数还要分别观察分子和分母与序号的统一关系 1、 选择题. 1.下面关于0的说法： （1）0是最小的正数； （2）0是最小的非负数； （3）0既不是正数也不是负数； （4）0既不是奇数也不是偶数； （5）0是最小的自然数； （6）海拔0m就是没有海拔． 其中正确说法的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2025春·湖南永州·七年级校考期中）如果向北走3米记作米，那么米表示（   ） A．向东走8米 B．向西走8米 C．向南走8米 D．向北走8米 3．中国是世界上最早使用负数的国家，战国时期李悝所著的《法经》中已使用负数．如果公元前500年记作年，那么公元2025年应记作（    ） A．年． B．年． C．年． D．年． 4．（2025秋·广东肇庆·七年级统考期末）中国是世界上最早认识和应用负数的国家，比西方早一千多年，在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，首次引入负数，如果收入100元记作元，则元表示(    ) A．支出45元 B．收入45元 C．支出55元 D．收入55元 5．（2025春·黑龙江哈尔滨·七年级校联考期末）如果“盈利”记作，那么表示（    ） A．盈利 B．亏损 C．少赚 D．亏损 6．（2024秋·浙江宁波·七年级校考期中）一袋进口大豆的质量标识为“千克”，则下列大豆中合格的是（    ） A．千克 B．千克 C．千克 D．千克 二、填空题. 7．（2025秋·河北廊坊·七年级统考期末）每袋大米以50kg为标准，其中超过标准的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，则图中第3袋大米的实际重量是 kg. 8．（2025秋·福建龙岩·七年级统考期末）绵阳冬季某日的最高气温是3℃，最低气温为-1℃，那么当天的温差是 ℃． 9．（2025秋·辽宁沈阳·七年级沈阳市第一二六中学校考期末）某食品包装袋上标有“净含量385±5”，这包食品的合格净含量范围是 克～390克． 10．（2025秋·内蒙古巴彦淖尔·七年级校考期末）通常在生产图纸上，对每个产品的合格范围有明确的规定．例如，图纸上注明一个零件的直径是，表示这个零件直径的标准尺寸是30mm，实际产品的直径最大可以是30.03mm，最小可以是 11．（2025秋·四川成都·七年级统考期末）北京时间2024年11月20日23时在卡塔尔首都多哈海湾球场举行世界杯开幕式，北京与多哈的时差为，那么卡塔尔世界杯是在多哈当地时间2024年11月 日 时举行开幕式的． 12．（2025秋·山东滨州·七年级统考期末）体育课上，全班男同学进行了100米测验，合格成绩为15秒，下表是某小组10名男生的成绩记录，其中“”表示成绩大于15秒．这个小组男生的合格率为 ． 13.观察下列依次排列的一列数，它的排列有什么规律？请接着写出后面的3个数，你能说出第10个数，第100个数，第2012个数吗？ （1）1，－1，1，－1，1，－1，________，________，________…； （2）－1, ________，________，________. 三、解答题 14．（2025秋·河北石家庄·七年级校考期末）20筐白菜，以每筐15千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示．记录如下： 与标准质量的差值 (单位：千克) −3.5 −2 −1.5 0 1 2.5 筐数 2 4 2 1 3 8 (1)20筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重___千克． (2)与标准重量比较，20筐白菜总计超过或不足多少千克? (3)若白菜每千克售价1.8元，则出售这20筐白菜可卖多少元? 15．（2025秋·四川南充·七年级四川省南充高级中学校考期末）某检修小组乘一辆汽车沿一条东西向公路检修线路，约定向东为正，某天从地出发到收工时，行走记录如下：（单位：）+15，-2，+5，-3，+8，-3，-1，+11，+4，-5，-2，+7，-3，+5 （1）请问：收工时检修小组距离有多远？在地的哪一边？ （2）若检修小组所乘的汽车每一百千米平均耗油8升，则汽车从地出发到收工大约耗油多少升？ 16．（2025秋·山东滨州·七年级统考期末）某食品厂从生产的袋装食品中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如下表： 与标准质量的差值（单位：g） 5 2 0 1 3 6 袋   数 1 4 3 4 5 3 这批样品的平均质量比标准质量多还是少？多或少几克？若每袋标准质量为500克，则抽样检测的总质量是多少？ 1.1正数和负数 学习目标：1.了解正数和负数是从实际需要中产生的. 2.理解正数、负数及0的意义，掌握正数、负数的表示方法. 3.会用正数、负数表示具有相反意义的量.（重点、难点） 重点：理解正数、负数及0的意义. 难点：会用正数、负数表示具有相反意义的量. 觉悟和恒心。 知识点一 正数、负数的定义 4. 正数 像2%，4，3.5这样大于0的数叫做正数.有时，为了明确表达意义，在正数的前面加上符号“+”（正）.如+2，+0.7，，…. 【注意】“+”一般有略不写，如2，0.7，，…，都是正数，“+”读作“正”. 5. 负数 像-3，-2.7%，-4.5这样在正数前加上符号“-”（负）的数叫做负数. 【注意】负数前面的“-”号不能省略，读作“负”.负数是小于0的数. “+”“-”的双重意义 （1）作为运算符号是加、减号，如3+2-1; （2）作为数的性质符号是正、负号，如+7，-5. 6. 0的特性 0既不是正数，也不是负数.0是正数与负数的分界. 即学即练（2024秋·吉林长春·七年级统考期中）下列各数中，正数有哪些？负数有哪些？ ，，，，，，，． 【分析】根据正数和负数的定义判断即可． 【详解】解：正数有： ，，，；负数有：，，． 【点睛】本题考查对正数和负数定义的理解和运用，主要考查学生的理解能力和辨析能力，熟练掌握实数分类及先关概念是解决问题的关键． 学生：如何判断一个数是正数还是负数？ 老师：判断一个数是正数还是负数，不能简单地理解为带“+”号的数就是正数，带“-”号的数就是负数，如-（）不是负数，因为它是在负数前面加了“-”号得到的数，不符合负数的定义. 知识点二 具有相反意义的量 4. 具有相反意义的量的含义 如果两个量意义相反，且是同一类对象，那么这两个量就叫做具有相反意义的量. 【注意】两个量所表示的属性相同. 5. 日常生活中，表示相反意义的常用词语 收入 盈利 上升 零上 增加 向东(南) 前进 … 支出 亏损 下降 零下 减少 向西(北) 后退 … 6. 具有相反意义的量的表示 我们可以用正数和负数分别表示具有相反意义的量，若规定其中的一种量为正（可任意选择），则它的相反意义的量为负.习惯上把“前进、上升、收入、零上、盈利”等规定为正，把“后退、下降、支出、零下、亏损”等规定为负. 1.具有相反意义的量的正负性是相对的，没有硬性规定，是可以任意选择的.例如:若规定收入1000元记作+1000元，则支出500元记作-500元;若规定上升1.5m记作+1.5m，则下降0.8m记作-0.8m. 2.具有相反意义的量中的两个量表示的意义相反，且必须是同类量.如节约3t汽油与浪费1t水就不是具有相反意义的量. 3.具有相反意义的量是成对出现的，单独的一个量不是具有相反意义的量. 4.用正数、负数表示具有相反意义的量时，选择的基准不同，表示的结果也不同.如据调查显示，2024年中国18~44岁女性的平均身高为158cm，以158cm为基准，小红的身高为160cm，记为+2cm，但是在2015年，中国18~44岁女性的平均身高为157.2cm，若以此为基准，小红的身高应记为+2.8cm. 5.用正、负数表示具有相反意义的量时常犯的错误 （1）对负数表示的意义理解不清.具有相反意义的两个量，若一个量规定为正，用正数表示，则另一个量就为负，用负数表示. （2）用正、负数表示具有相反意义的量时忽略了量的单位.把一个量去掉它后面的单位名称后，它就是一个数，而不再是一个量了.本题往往易因漏掉后面的单位而出错. 学生：具有相反意义的量必须是同类量吗？ 老师：具有相反意义的量必须是同类量，只要求意义相反，不要求数量相等.如盈利5000元与亏损4000元是具有相反意义的量. 即学即练1. （1）（2025春·黑龙江哈尔滨·六年级统考期中）在天气预报中，零上12度用表示，那么零下5度表示为 ． （2）（2025春·黑龙江绥化·六年级统考期末）如果盈利300元用元表示，那么亏损300元表示为 元． （3）（2024秋·广东广州·七年级广州市南武实验学校校考期中）水位升高时水位变化记作m，那么水位下降记作 ． 【答案】（1）（2） （3） 即学即练2. （2025春·四川达州·七年级校考阶段练习）某超市2024年上半年的营业额与2024年同月营业额相比的增长率如下表所示．请根据表格信息回答下列问题： 月  份 1 2 3 4 5 6 比上年同月增长% 1.8 0 0.2 1.5 0.3 0.4 (1)该超市2024年上半年的营业额与2024年同月营业额相比，哪几个月是增长的？ (2)2024年1月和4月比上年同月增长率是负数表示什么意思？ (3)2024年上半年与2024年上半年同月相比，营业额没有增长的是哪几个月？ 【答案】(1)3月，5月，6月是增长的(2)负数表示降低，营业额下降(3)没有增长的是1月，2月，4月. 【分析】（1）根据正数表示增长，可得负数表示降低；（2）根据正数表示增长，可得负数表示降低；（3）根据正数表示增长，可得负数表示降低，0表示不变． 【详解】（1）由正数表示增长，该超市2024年上半年的营业额与2024年同月营业额相比，3月、5月、6月是增长的；（2）由负数表示降低，可得2024年1月和4月比上年同月增长率是负数，表示降低，营业额下降；（3）2024年上半年与2024年上半年同月相比，营业额没有增长即比上年同月增长%为0的有2月、1月、4月． 【点睛】本题考查了正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示． 知识点三 对数“0”的再认识 2. 表示没有 例如，0个西瓜，意思是没有西瓜. 6. 表示数时起到占位的作用 如20244中的两个0，从右到左分别占的是十位和千位. 7. 表示某种量的基准 例如，0℃不是表示没有温度，而是表示在标准大气压下，水开始结冰的温度. 8. 表示某些数量的分界 0既不是正数，也不是负数，是正数和负数的分界. 9. 表示起点 例如，在米尺上，刻度的起点为“0”. 即学即练（2025秋·山西晋城·七年级统考期末）下列说法正确的是（　　） A．0既是正数又是负数 B．0是最小的正数 C．0既不是正数也不是负数 D．0是最大的负数 【答案】C 【分析】根据有理数的分类判断即可． 【详解】∵0既不是正数也不是负数，故选C． 【点睛】本题考查了零的属性，熟练掌握0既不是正数也不是负数是解题的关键． 题型一 正数和负数的实际意义 5. 用具有相反意义的量表示位置 例1 （2024秋·广东惠州·七年级惠州一中校联考期中）学校、家、书店，依次坐落在一条南北走向的大街上，学校在家的南边20米，书店在家的北边70米，小明同学从家出发，向北走了50米，接着又向南走了﹣20米，此时小明的位置是（　　） A．在家 B．在书店 C．在学校 D．在家的北边30米处 【答案】B 【分析】在用正负数表示向指定方向变化的量时，通常把向指定方向变化的量规定为正数，而把向指定方向的相反方向变化的量规定为负数．向北走是+50米，向南走-20米就是向北走20米． 【详解】解：向南走了-20米，实际是向北走了20米，∴此时小明的位置是在家的北边50+20=70米处，即在书店．故选：B． 【点睛】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 举一反三（2024秋·广东韶关·七年级期中）学校、小明家、书店依次坐落在一条南北走向的大街上，学校在小明家南边20m，书店在小明家北边100m.小明同学从家里出发，向北走了50m，接着又向南走了70m，此时小明的位置是( ). A．在家 B．在书店 C．在学校 D．不在上述地方 【答案】C 【分析】规定向北为正，向南为负，计算后即可判断此时小明的位置. 【详解】解：规定向北为正，向南为负， 由题意得：+50+（-70）=-20m， 所以此时在小明家的正南20m，即此时小明的位置是学校， 故选C. 【点睛】本题考查正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 6. 用正数、负数记录成绩 例2 （2024秋·辽宁本溪·七年级统考期中）数学考试成绩分以上为优秀，以分为标准，老师将一小组五名同学的成绩简记为“，，，，”．这五名同学的实际成绩最高的应是（    ） A．分 B．分 C．分 D．分 【答案】C 【分析】根据正负数的意义，求得每名同学的成绩，即可求解； 【详解】解：由题意可得这五位同学的实际成绩分别为： （分）；（分）；（分）；（分）；（分） 因为 所以实际成绩最高的应该是分； 故选：C． 【点睛】此题考查了正负数的实际应用，根据题意求得五名同学的成绩是解题的关键． 举一反三（2024秋·陕西西安·七年级高新一中校考期中）为“倡导健康生活，推进全民健身”，育英中学利用课余时间进行立定跳远比赛，初一年级男生跳远成绩以2.00米为标准，超出记为正，不足记为负．若小东跳出了1.85米，应记作 米． 【答案】-0.15/ 【分析】运用超出标准记为正，不足记为负即可解答． 【详解】解：以2.00米为标准，超出记为正，不足记为负，若小东跳出了1.85米，则记作﹣0.15米． 故答案为：﹣0.15． 【点睛】本题主要考查了正负数的意义，正确理解“超出记为正，不足记为负”是解答本题的关键． 为了计算方便，常把高于平均数、标准数或某一基准数的量规定为正，把与它们具有相反意义的量用负数表示. 7. 用正数、负数表示误差范围 例3（2024秋·浙江丽水·七年级校联考期中）某种零件，标明加工要求是φ20±0.02mm（φ表示直径，单位：毫米），+0.02和-0.02表示直径在（20+0.02）mm到（20-0.02）mm之间的产品都属于合格产品，经检查，一个零件的直径是19.9mm，该零件 （填“合格”或“不合格”） 【答案】不合格 【分析】先求出合格直径范围，再判断即可． 【详解】解：由题意得，合格直径范围为：19.98mm--20.02mm， 若一个零件的直径是19.9mm，则该零件不合格． 故答案为：不合格． 【点睛】本题考查了正数和负数的知识，解答本题的关键是求出合格直径范围． 举一反三（2024秋·广东深圳·七年级统考期末）一次社会调查中，某小组了解到某种品牌的薯片包装上注明净含量为，则下列同类产品中净含量不符合标准的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据净含量为60±5g可得该包装薯片的净含量，再逐项判断即可． 【详解】解：∵薯片包装上注明净含量为60±5g，∴薯片的净含量范围为：55≤净含量≤65， 故D不符合标准，故选：D． 【点睛】本题主要考查了正负数的定义，计算出净含量的范围是解答此题的关键． 8. 用正数、负数表示时间 例4（2024秋·四川巴中·七年级南江县第四中学校考阶段练习）某项科学研究，以45分钟为1个时间单位，并记每天上午10时为0，10时以前记为负，10时以后记为正．例如，9：15记为－1，10：45记为1，以此类推，上午7：45应记为 ． 【答案】-3 【分析】由题意得，以上午10时为0，向前每45分钟为一个“-1”，上午7：45与10时相隔135分钟，，即可得． 【详解】解：由题意得，以上午10时为0，向前每45分钟为一个“-1”，∵上午7：45与10时相隔135分钟，，∴上午7：45应记为：-3，故答案为：-3． 【点睛】本题考查了正负数的实际应用，相反意义的量，解题的关键是理解题意，掌握相反意义的量． 时间是60进制，而要用10进制的正数、负数表示时间，其基准数又选择上午10时，因此极易因混淆而出错. 题型二 与正数、负数相关的表格信息题 例5（2024秋·辽宁抚顺·七年级校考阶段练习）一位病人上午8时的体温是39.4℃，下表表示该病人一天中的体温变化： 时间 11时 14时 17时 20时 23时 凌晨2时 凌晨5时 上午8时 体温℃ -1.2 +1 +0.5 -1.2 -0.5 -0.5 -0.4 +0.2 (1)这位病人的最高体温出现在几时？最高体温和最低体温相差多少度？ (2)从这位病人的病情变化看，请你分析他的病情在恶化还是好转？ 【答案】(1)最高体温出现在17时；最高体温和最低体温相差2.6℃ (2)病情好转 【分析】（1）根据题意分别求出各个时间的温度，找出这位病人的最高体温出现在几时即可，注意此题只要在病人上午8时的体温的基础上根据表格进行加减即可求出． （2）根据计算的结果，如果病人的体温维持在正常温度37℃左右，就说明病情在好转． 【详解】（1）这位病人的最高体温出现在17时，即39.4-1.2+1+0.5=39.7℃， 最低体温=39.4-1.2+1+0.5-1.2-0.5-0.5-0.4=37.1℃， ∴最高体温和最低体温相差39.7℃-37.1℃=2.6℃； （2）体温逐渐降低到人体正常温度37℃左右，病情好转． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算以及正数和负数的知识，解题的关键是理解升降都是相对前一次而言的． 举一反三（2024秋·山东泰安·六年级统考期中）一位病人8时的体温是，下表是该病人一天中的体温变化． 时间 体温变化（相对于上一次测得温度）（） 11时 14时 17时 20时 23时 2时（次日） 5时（次日） 8时（次日） (1)次日8时，这位病人的体温是多少摄氏度？ (2)这位病人的体温最低是多少摄氏度？最高是多少摄氏度？ (3)若正常体温是，那么这位病人的病情是在恶化还是在好转？ 【答案】(1)次日上午8时，这位病人的体温是； (2)这位病人的体温最低是，最高是； (3)从体温看，这位病人的病情是在好转． 【分析】（1）用早晨8时的体温是加上表中记录的数据可得结果； （2）用原来体温加上前面的体温变化数据算出答案即可； （3）利用（2）的数据，结合后面的体温变化得出答案即可． 【详解】（1）解：， 答：次日上午8时，这位病人的体温是； （2）解：早晨8时的体温是， 11时的体温是：， 14时的体温是：， 17时的体温是：， 20时的体温是：， 23时的体温是：， 次日上午2时的体温是：， 次日上午5时的体温是：， 次日上午8时的体温是， ∴这位病人的体温最低是，最高是； （3）解：由（2）可知，若正常体温是，那么从体温看，这位病人的病情是在好转． 【点睛】此题考查正数和负数，有理数的加减混合运算，理解题意，正确理解正负数是表示相对意义的量是解决问题的关键． 题型三 正数、负数的规律探究题 例6 观察下面依次排列的一列数，请按照相同的规律写出后面的三个数： （1）1，，3，，5，，7，，____，____，____… （2），，，，，，，，____，___，___，… 【答案】（1）9，，11；（2） 【分析】（1）根据连续整数，只有奇偶数的符号不同，找到规律写出后面的三个数即可； （2）根据分子和分母相差1，且每两个数的符号相同，据此规律写出后面的三个数即可． 【详解】（1）观察数据发现：这组数的绝对值是连续的整数，只有奇偶数的符号不同， 则后面三个数的符号为正，负，正，数据为9，10,11； 即9，，11 故答案为：9，，11； （2）观察数据发现：分子和分母相差1，且每两个数的符号相同， 则后面三个数的符号为：负，负，正，数据为； 即； 故答案为： 【点睛】本题考查了正负数的规律，找到符号规律是解题的关键． 举一反三 比-1小的整数如下列这样排列         第一列  第二列  第三列  第四列           -2      -3      -4      -5           -9      -8      -7      -6           -10     -11     -12     -13           -17     -16     -15     -14           …      …      …      …     在上述的这些数中，观察它们的规律，回答数-100将在哪一列． 【答案】第三列 【详解】试题分析：观察图形可知，8个数字一个循环周期，-2到-100一共有100-2+1=99个数字，99÷8=12…3，所以-100是13循环周期的第3个数字，所以在第三列，据此即可解答问题． 试题解析：因为-2到-100一共有100-2+1=99个数字， 99÷8=12…3， 所以-100是第13循环周期的第3个数字，所以在第三列． 答：-100将在第三列． 编号法探究数组的排列规律 探究一组数的排列规律时，应全面分析题中所给的所有数据，要从符号和数字两个方面进行观察.可以先把已知的数据按顺序编上序号,再分别确定符号和数字与序号的统一关系，进而确定数据排列规律与序号的关系.若数据是分数还要分别观察分子和分母与序号的统一关系 2、 选择题. 1.下面关于0的说法： （1）0是最小的正数； （2）0是最小的非负数； （3）0既不是正数也不是负数； （4）0既不是奇数也不是偶数； （5）0是最小的自然数； （6）海拔0m就是没有海拔． 其中正确说法的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】0既不是正数也不是负数，是最小的非负数，最小的自然数，是偶数，判断即可得到结果． 【详解】解：（1）0是最小的正数，错误，0不是正数也不是负数； （2）0是最小的非负数，正确，非负数即为正数与0； （3）0既不是正数也不是负数，正确； （4）0既不是奇数也不是偶数，错误，0是偶数； （5）0是最小的自然数，正确； （6）海拔0m就是没有海拔，错误，海拔0m就是与海平面高度相同； 则正确的说法有3个． 故选：D． 【点睛】此题考查了有理数的分类和意义，掌握有理数的分类和0的意义是解本题的关键． 2．（2025春·湖南永州·七年级校考期中）如果向北走3米记作米，那么米表示（   ） A．向东走8米 B．向西走8米 C．向南走8米 D．向北走8米 【答案】C 【分析】利用相反意义的量即可判断． 【详解】向北走3米记作米， 米表示向南走8米， 故选择：C． 【点睛】本题考查相反意义的量，掌握相反意义的量，会用相反词识别相反意义的量是解题关键． 3．中国是世界上最早使用负数的国家，战国时期李悝所著的《法经》中已使用负数．如果公元前500年记作年，那么公元2025年应记作（    ） A．年． B．年． C．年． D．年． 【答案】C 【分析】根据相反意义的量进行求解即可． 【详解】解：公元前500年记作年， 公元前为“”， 公元后为“”， 公元2025年就是公元后2025年， 公元2025年应记作年． 故选：C． 【点睛】本题考查了相反意义的量，理解相反意义的量是解题的关键． 4．（2025秋·广东肇庆·七年级统考期末）中国是世界上最早认识和应用负数的国家，比西方早一千多年，在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，首次引入负数，如果收入100元记作元，则元表示(    ) A．支出45元 B．收入45元 C．支出55元 D．收入55元 【答案】C 【分析】根据具有相反意义的量分析即可求解． 【详解】解：收入100元记作元，则元表示支出55元， 故选：C． 【点睛】本题考查了具有相反意义的量，理解负数表示相反意义的量是解题的关键． 5．（2025春·黑龙江哈尔滨·七年级校联考期末）如果“盈利”记作，那么表示（    ） A．盈利 B．亏损 C．少赚 D．亏损 【答案】B 【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答． 【详解】解：∵“盈利”记作， ∴表示亏损． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 6．（2024秋·浙江宁波·七年级校考期中）一袋进口大豆的质量标识为“千克”，则下列大豆中合格的是（    ） A．千克 B．千克 C．千克 D．千克 【答案】C 【分析】根据有理数的加法，可得合格范围，根据合格范围，再逐一判断即可． 【详解】解：∵一袋进口大豆的质量标识为“千克”， ∴大豆的质量的合格范围是千克， A、千克千克，故A不符合题意； B、千克千克，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、千克千克，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了正数和负数的实际应用，理解质量标识的合格范围是解题关键． 二、填空题. 7．（2025秋·河北廊坊·七年级统考期末）每袋大米以50kg为标准，其中超过标准的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，则图中第3袋大米的实际重量是 kg. 【答案】49.3 【详解】解：根据有理数的加法可得50+（﹣0.7）=49.3kg. 故答案为：49.3. 8．（2025秋·福建龙岩·七年级统考期末）绵阳冬季某日的最高气温是3℃，最低气温为-1℃，那么当天的温差是 ℃． 【答案】4 【分析】求该日的温差就是作减法，用最高气温减去最低气温，列式计算． 【详解】解：3-（-1）=4（℃） 答：当天的温差是4℃． 故答案为4． 【点睛】本题主要考查了有理数的减法的应用，注意符号不要搞错． 9．（2025秋·辽宁沈阳·七年级沈阳市第一二六中学校考期末）某食品包装袋上标有“净含量385±5”，这包食品的合格净含量范围是 克～390克． 【答案】380 【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：选385克为标准记为0，超过部分为正，不足的部分为负，直接得出结论即可． 【详解】385+5=390（克）， 385-5=380（克）， 所以某食品包装袋上标有“净含量385±5”，这包食品的合格净含量范围是 380克～390克； 故答案为380． 【点睛】此题考查了正负数的应用，首先要知道以谁为标准，规定超出标准的为正，低于标准的为负，由此用正负数解答问题． 10．（2025秋·内蒙古巴彦淖尔·七年级校考期末）通常在生产图纸上，对每个产品的合格范围有明确的规定．例如，图纸上注明一个零件的直径是，表示这个零件直径的标准尺寸是30mm，实际产品的直径最大可以是30.03mm，最小可以是 【答案】29.98mm 【分析】根据正数和负数的定义即可解题． 【详解】解：一种零件的直径是径是mm，则零件尺寸最大为30+0.03=30.03mm， 零件尺寸最小为30-0.02=29.98mm， 【点睛】本题考查了正数和负数的定义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 11．（2025秋·四川成都·七年级统考期末）北京时间2024年11月20日23时在卡塔尔首都多哈海湾球场举行世界杯开幕式，北京与多哈的时差为，那么卡塔尔世界杯是在多哈当地时间2024年11月 日 时举行开幕式的． 【答案】 20 18 【分析】利用北京时间减去五小时，即可得到答案． 【详解】解：北京与多哈的时差为，即北京时间多哈时间， （时）， 即卡塔尔世界杯是在多哈当地时间2024年11月20日18时举行开幕式的． 故答案为：20，18． 【点睛】本题考查了有理数的加减运算，解题的关键是理解题中给出的“时差运算”． 12．（2025秋·山东滨州·七年级统考期末）体育课上，全班男同学进行了100米测验，合格成绩为15秒，下表是某小组10名男生的成绩记录，其中“”表示成绩大于15秒．这个小组男生的合格率为 ． 【答案】 【分析】由表格可得出，，，，，都是合格，进而得出这个小组男生的合格率． 【详解】∵由表格可得出，，，，，都是合格， ∴这个小组男生的合格率为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正负数的意义，找出合格人数是解题的关键． 13.观察下列依次排列的一列数，它的排列有什么规律？请接着写出后面的3个数，你能说出第10个数，第100个数，第2012个数吗？ （1）1，－1，1，－1，1，－1，________，________，________…； （2）－1, ________，________，________. 【答案】（1）填1，－1，1（2）填，，-. 【详解】试题分析：（1）第一个数是正1，第二个数是-1，依次类推，第奇数个数是1，第偶数个数是-1； （2）由已知一串数可以知道：这串数的规律是：（把1看成）所有数的分子都是1，所有数的分母是1，2，3，4，5，6，7，…自然数集，第奇数个数是负数，第偶数个数是正数． 试题解析：（1）1，-1，1，-1，1，-1，1，-l， 规律为第一个数是正1，第二个数是-1，依次类推，第奇数个数是1，第偶数个数是-1；第10个数为-1，第100个数为-1，第2012个数为-1； （2），，-. 第10个数为，第100个数为，第2012个数为. 三、解答题 14．（2025秋·河北石家庄·七年级校考期末）20筐白菜，以每筐15千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示．记录如下： 与标准质量的差值 (单位：千克) −3.5 −2 −1.5 0 1 2.5 筐数 2 4 2 1 3 8 (1)20筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重___千克． (2)与标准重量比较，20筐白菜总计超过或不足多少千克? (3)若白菜每千克售价1.8元，则出售这20筐白菜可卖多少元? 【答案】（1）6；（2）与标准重量比较，20筐白菜总计超过5千克；（3）出售这20筐白菜可卖549元. 【分析】（1）求出最重的一筐的重量和最轻的一筐的重量，相减即可得出答案； （2）将20筐白菜的重量相加即可得出答案； （3）将总重量乘以价格即可得出答案. 【详解】解：（1）根据题意可得 最重的一筐重：15+2.5=17.5（千克） 最轻的一筐重：15-3.5=11.5（千克） ∴最重的一筐比最轻的一筐重：17.5-11.5=6（千克）； （2）2×(-3.5)+4×(-2)+2×(-1.5)+1×0+3×1+8×2.5=5 答：与标准重量比较，20筐白菜总计超过5千克； （3）1.8×(15×20+5)=549（元） 答：出售这20筐白菜可卖549元. 【点睛】本题主要考查了正负数在实际生活中的应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性. 15．（2025秋·四川南充·七年级四川省南充高级中学校考期末）某检修小组乘一辆汽车沿一条东西向公路检修线路，约定向东为正，某天从地出发到收工时，行走记录如下：（单位：）+15，-2，+5，-3，+8，-3，-1，+11，+4，-5，-2，+7，-3，+5 （1）请问：收工时检修小组距离有多远？在地的哪一边？ （2）若检修小组所乘的汽车每一百千米平均耗油8升，则汽车从地出发到收工大约耗油多少升？ 【答案】（1）收工时检修小组在地的东边，距离地36千米；（2）汽车站从地出发收工大约耗油5.92升． 【分析】(1)将所有的正负数相加即可判断. (2)将所有数的绝对值相加,再与单位耗油量相乘即可. 【详解】(1)+ ∵，∴收工时检修小组在地的东边． 答：收工时检修小组在地的东边，距离地36千米． (2) (升) 答：汽车站从地出发收工大约耗油5．92升． 【点睛】本题考查有理数正负性在生活中的运用,关键在于理解题意,合理运用正负加减. 16．（2025秋·山东滨州·七年级统考期末）某食品厂从生产的袋装食品中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如下表： 与标准质量的差值（单位：g） 5 2 0 1 3 6 袋   数 1 4 3 4 5 3 这批样品的平均质量比标准质量多还是少？多或少几克？若每袋标准质量为500克，则抽样检测的总质量是多少？ 【答案】这批样品的平均质量比标准质量多，多1.2克，抽样检测的总质量是10024克． 【分析】根据表格中的数据计算与标准质量的差值的总数，再除以20，如果是正数，即多，如果是负数，即少；根据标准质量结合前边的结论进行计算抽样检测的总质量． 【详解】与标准质量的差值的和为-5×1+（-2）×4+0×3+1×4+3×5+6×3=24，其平均数为24÷20=1.2，即这批样品的平均质量比标准质量多，多1.2克． 则抽样检测的总质量是（500+1.2）×20=10024（克）． 【点睛】本题考查了正数和负数，掌握有理数的加法是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $