分层作业(22)双曲线的几何性质及综合应用-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册分层作业（人教B版）

9.y 4一方=1(x≥2)63-4[以AB所在的直线为z轴， 由①+②，得|BF1|一|AF1I=4a, 所以|AB|=AF,|=|BF2|=4a,IBF1=6a. 又因为∠F1BF2=60°，所以在△BF1F2中，(2c)2=(6a) 十(4a)-2X6a×4a×分即7公2=c2=7,解得a2=1,则 M b2=c2-a2=6, A B Q 所以双由线的标准方程方-背-1.门 AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图，由题意 得|MA|一MB|=4<6,根据双曲线定义知，轨迹为双曲线 17询微号-苦=1中，a=26=5== 的右支，故2a=4,a=2,2c=6,c=3,b=√5，所以曲线PQ的 F1(-√7,0)，F2(W7,0), 轨迹才程为女一y 圆E半径为r=1,E(0,一3)，∴.|AF2|=|AF1|+2a= 4-方=1(x≥2).因为AC1=63,所以MB |AF1I+4, +|MC=|MC|+|MA|-2a≥|AC-4=6√5-4，当且仅 |AB≥|AE|-IBE|=|AE|-1(当且仅当A,E,B共线 当A,M,C三点共线时等号成立.所以这两条公路MB,MC 且B在A,E之间时取等号)， 的路程之和最短为(6√3-4)km.] ABI+AF,>AE-1+AF+4=AF+AE+ 10.8[由双曲线的方程可知a=2.因为M,N两点在双曲线 3≥EF,I+3=√(-√7)2+32+3=7， 的左支上，所以由双曲线的定义得|MF2|-|MF1|=2a= 当且仅当A是线段EF,与双曲线的交，点时取等号， 4,|NF2|-|NF,I=2a=4,所以|MF2|-IMF1|+ .lAB|十|AF2的最小值是7.] INF2|-|NF,I=8.而IMF1|+NF,|=|MN|,所 15.解：(1)令lPF1|=r1,|PF2|=r2,∠F1PF2=a, 以|MF2|+|NF2|-IMN|=8.] 在△FPF2中，由余弦定理得，|F1F2|2=r十r-2r1· 1山，C[当m>0时，方程化为三-立=1，双南线的焦点在工 r2·cosa, mm 所以4c2=(r1+r2)2-2r1r2(1+cosa)和4c2=(r1-r2)2 4 +2r1r2(1-cosa). 轴上，制。-受=俊超意有受+n=(侣》，解得m 262 因为点P在椭圆上，则r十r?=2a1r:一1十cosa =20;当m<0时，方程化为少-。 =1，双曲线的焦点 一m-m 2n2 因为点P在双曲线上，则r1-r2=2mrr2=1-cosa' 4 2b22n2 262 2n2 在y轴上，则。2=一m,62=-罕，依题意有一m十 所以nn=1十cosa1-c0sa,即1+C0sa1=cosa,整 理得cosa b2-n2 (公)=(g),解得m=-20.综上，m=士20.] b2+n2 12.C[知图，在双曲线x2-苦-1中，6=于百=2，且很皮 2b3 (2)由(1)可得 rir2-1+cos a 2b2 整理得r1r2 在x轴上， 62-n2 cos a= b2+n2, 1+62 b2+n2 b2+n2, b2-n2 由(1)可知cosa=6+W,所以sina=√1-cosa 26n 椭圆和双曲线的相同焦点为F1,F2,它们在第一象限的交 62+n2? 点为P, 1 所以Sa,F,=21r:sina=bn, 故椭圆中√a2一12=2，故a=4. 即f(b,n)=bn. 因为|PF1I+|PF2=8,|PF,|-IPF2|=2, 所以1PF1=5,1PF2|=3, 分层作业（二十二） 因为|F1F2|=2c=4, 可得cos∠F,PF,=IPF+IPF,P-EE, 答案速对 2·PF1·PF2| 装- 123456789121314 13.C[根据双曲线的定义可知， C AABCBCD C DD A BC BCC 1AF2|-|AF1I=2a,① 10.x2- y |BF1|-|BF2|=2a.② 5 3一111.x2y一1（答案不唯二）15. 因为△ABF,为等边三角形， 5 所以|AF2=|AB|=|BF2. 6.2 1011 试题精析 对子B,双曲线兰-2-1的渐近线方程为y=士2江，故B 正确； 一9=1，可得 ①C[由双曲线C:9x2-16y=144,可化为6-。 对于C,因为c=√5，可得双曲线的焦距为2√5，故C正确； a2=16,即a=4, 对于D,c-a≤|PF|≤c十a,即|PF|的最小值为√5-2.故D 所以双曲线的半实轴长为4.] 错误.] 2.A[当C的方程为x2- 5 -=1时，其渐近线方程一定为y= 10.x一二=】[因为以实轴的两个端点与虚轴的一个瑞点为 3 土V5x,但当渐近线方程为y=土√5x时，C的方程可以为x2 项点能组成一个等边三角形，所以名=an60°=5，即6 必子0)，不-定为-苦-1，故应为充分不必要 条件.] 。又周为双南线建点2同.听以号是-1，解得。 3.ABC[因为之一y2 m+54-m =1表示双曲线，所以(m+5)(4 =1,6=3,故双曲线的标准方程为x 3=1.] m)>0,解得一5<m<4,故A正确； 11x2y2 因为m十5>0，所以双曲线C的焦点在x轴上，故B正确； 一8=1（答案不唯一）[由于双曲线的焦点在工轴上， 设双曲线C的半焦距为c,则c2=m十5十4一m=9,所以c= 3,2c=6,故C正确； 所以使它的标准方程为号一影-16>00 双曲线C的离心率e=3 ∈(1，十∞)，故D错误.故 因为双曲线的离心率为3，所以6=。一√1十 m+5 十a=3,解得 选ABC.] b2=8a2. 4.BCD[实数k满足0<k<9, x2 y2 所以同时满足条件①回的双曲线的标准方程可以为x:- 8 则曲战x2一y一=1与曲线25一k9二1柳是双曲线，显 =1.] 然半实轴长与半虚轴长不相等，所以B和C均不正确； 12.B[因为动，点P在双曲线C的右支上，由双曲线定义可得 焦距都为2√34一k,焦距相等，所以A正确； |PF1-|PF2|=4, 离心率分别为34一飞和√34= 所以|PF1=|PF2|+4,因为a2=4,b2=21,所以a=2,c 5 ,不相等，所以D不正确， √25-k =√a2+b=5,所以|PF2|≥c-a=5-2=3,将|PF1l= 故选BCD.] |PF2+4代入(PF1|-4)·(PF21-4)得，PF2|· 5.C[由已知双曲线的一个顶点为(2,0)，可知双曲线的焦，点 (1PF2-4)=IPF212-4|PF2|=(|PF2-2)2-4≥-3. 在x轴上，且a=2, 故选B.] 又丰虚轴长为=22，所以双曲线的标准方程为2-令 13.C[由题意得，e,=a一 >0,4=a+6>1,则 1.故选C.] a 6.D[设双曲线方程为x2一y2=入（入≠0），因为双曲线与椭圆 十e号=2，B正确； 有相同的焦，点，且焦点坐标为(0，士4√)，所以入<0，且一2入 设m=e1十e2,则m2=e十e+2e1e2, =(45)2,得入=-24.故选D.] 9m-2+2a,=2+2.F-2+2(g 7.D[由已知m2(m2一3)<0，即0<m2<3.又因为m∈Z,所 以m1光时双南度方程为y2-音=1，因光a=1,6一E。 因为a>b>0,所以0< a1， 所以0<e1e2<1,故A正确，C错误； c=5,所以离心率e=二=5.] 由0<名<1可知，2<m2<4, 8.A[由题可知双曲线C的渐近线方程为y= ax,即bx士 所以V2<m<2,即√2<e1十e2<2,故D正确. ay=0,则点(-25,0)到渐近线的距离d=-26 故选C.] √62+a 14.C[由双曲线定义知|PF2|=2a十|PF1|, 2yb.因为e=二=2，所以02十=4，所以公=3a=3 |PF212(|PF1|+2a)2 c a a? c2, PF PF f=|PFl+PE,+4a≥8a, 即b=3 4a2 c.所以d=3.] 当且仅当PF,=PP,时，即|PF,=2a时等号成立. 9.BC[对于A,双南线头-x2=1中，a=2,6=1c=√/a+存 又|PF1|≥c-a, 所以c-a≤2a, 5,得e=C=5 所以c≤3a,即e≤3. 。=2,故A错误； 所以双曲线离心率的取值范围是(1,3].故选C.] 11102 号[由题意得PF,-PF,=3PF,=2a,所以PF, 4.D[由题可设抛物线方程为x2=-2py(p>0), -台≥-a,片以号后≤号：(，]离心中 由题意得号+3=5，则力=4，所以2=8， 故抛物线方程为x2=一8y.故选D.] 。的最大值为号】 5.B[因为抛物线y2=8x上的点(xo,ya)到抛物线焦点的距 离为3，根据抛物线的定义可得，x。十2=3，解得x。=1,代入 16空[白题意得1M,-M,=2a,故IM,=M,l y2=8x得y=8,则yo=2√2.故选B.] 十2a,如图所示， 6.A[由题知，该抛物线的标准方程为x2=8y,则该抛物线开 口向上，焦点坐标为(0,2).] 了.B[双曲线号-女=1的右焦点为(3,0)，所以抛物线y2= 2px的焦点为(3,0)，因此抛物线方程为y2=12x.结合选项 可知，点(3，一6)在该抛物线上.故选B.] 8(0,）[饺题意有12=a·,所以a=是，因此抛物线方 程为x2- 亭，共焦点坐标为0，）门 F1(-c,0)到渐近线bx十ay=0的距离d= bc bc √a2+6 c 9y=4红[辅围的方程为 2+y2=1,则a=2,b=1,c= =b, √2-1=1， 则|MF2|+|MN|=|MF1I+2a+IMN|≥|F,N|+2a= b+2a,当且仅当M,F1,N三点共线时取等号，.|MF2+ 所以箱国号+y1的右焦点为1,0。 |MN|的最小值为b+2a=10, 10≥2Va,即6<翌， 所以号=1，即力=2， 所以抛物线C的标准方程为y2=4x.] 当且仅当b=2a=5时，等号成立，又1OF1|=c,故ON|= √c2-b=a, 10.4[依题意，有F(号.0) 1 25 Sa,N,=2Sa,o=2X2|NFil·INO|=ab≤2， 及M(器周有号+答-2X2.0+%=2×所以P 即△F,NF,面积的最大值为空] =4.] 11.A[如图，连接PF,FG. 分层作业（二十三） y =41 答案速对 123 456711121314 y=-1 D A C D B B BC 由抛物线的定义可知PF|=|PQ|, 8.(o,号) 9.y2=4x10.415.2√3 所以|PQ+PG|=|PF+|PG|≥FG|=√5， 当且仅当F,P,G三点共线时，等号成立.故选A.] 试题精析 12.B[如图，作PQ,AN与准线x=一2垂直，垂足分别为点 Q,N,则|PQ|=|PF|,|PF|+|PA=IPQ|+|PA|≥ 1.D[依题意，动点M到点(0,0)的距离等于其到定直线3x十 AN=6,当且仅当Q,P,A三点共线，即，点P与点M重 4y-1=0的距离，且点(0,0)不在直线3x十4y-1=0上，因 合时，等号成立.故选B. 此动，点M的轨迹是抛物线.故选D.] 2.A[由题意知，圆C的圆心到点(0,3)的距离比到直线y=0 y2=8x 的距离大1，即圆C的圆心到点(0,3)的距离与到直线y=一1 P 的距离相等.根据抛物线的定义可知，所求轨迹是抛物线.] 3.C[由于，点(3,5)在抛物线y2=mx(m≠0)的准线上，所以 0 准线方程必为x=3,因此m<0,且-公=3，故m=一12，即 抛物线的标准方程为y2=一12x.] 103110□00□00 □口1口口1□ 分层作业（二十二） 题 学 2□2222 年级： 33333 双曲线的几何性质及综合应用 信 后 4□444口4☐ 班级： 位 5555I5 (满分：83分) 6□66☐66 姓名： 7077刀7刀7□ 8☐8□8☐8]8 9I99□99□ 5.(5分)双曲线的一个顶点为(2,0)，半虚轴长为 基础对点练· 2√2，则双曲线的标准方程是 () 1.(5分)（教材改编题）双曲线C:9x2-16y2 A)2 y? -1 y? 144的半实轴长为 42 28=1 [A]16 [B]8 =1 =1 48 8 4 [c]4 [D]3 66分)者双曲线与椭圆+若1有相同的熊 x2 2.(5分)设曲线C是双曲线，则“C的方程为 z2_y? =1”是C的渐近线方程为y=士5x”的 点，它的一条渐近线方程为y=一x,则双曲线 的方程为 () [A]y2-x2=96 [B]y2-x2=160 [A]充分不必要条件 [c]y2-x2=80 [D]y2-x2=24 [B]必要不充分条件 [c]充要条件 75分双商酸n二+片-1m长公的高心 +y2 [D]既不充分也不必要条件 率为 () 3.(6分)（多选）已知双曲线C: x2 y2 [A]√5 [B]2 m+54-m =1 则下列说法正确的是 C (o6 2 [D]3 [A]m的取值范围是（一5,4） [B]双曲线C的焦点在x轴上 86分)已知双曲线C号若=1a>0,6>0 [c]双曲线C的焦距为6 的离心率为2，则点（一2√3,0）到渐近线的距离 [D]双曲线C的离心率e的取值范围是(1，√2) 等于 () 4.(6分)（多选）若实数k满足0<k<9,则关于曲 [A]3 [B]V3 六1与面线。 =1,下列说 [o]2 [D]6 法不正确的是 ( ) 96分)（多选）若双庙线方程为-x=1,F为 [A]焦距相等 [B]半实轴长相等 双曲线的一个焦点，点P在该双曲线上，O为 [c]半虚轴长相等 [D]离心率相等 坐标原点，则 () 45 ■ [A]双曲线的离心率为，√5 [A]0<e1e2<1 [B]双曲线的渐近线方程为y=士2x [B]e+e=2 [c]双曲线的焦距为2⑤ [c]e1e2>1 [D]PF的最小值为√5+2 [o]W2<e1+e2<2 0.5分已知双曲线名-1a>0,6>0)过 4.(5分)已知rE是双曲线-=1a>0, 点（√2，√3），且以实轴的两个端点与虚轴的一 b>0)的左、右焦点，P为双曲线左支上一点，若 个端点为顶点能组成一个等边三角形，则双曲 PF22 线的标准方程为 PF,的最小值为8a,则该双曲线的离心率的 11.(5分)写出一个同时满足下列条件①②的双 取值范围是 () [A](1,3) [B](1,2) 曲线的标准方程： [c](1,3] [D](1,2] ①焦点在x轴上；②离心率为3. y2 。能力提升练。 15.(5分)已知双曲线x2-2=1(a>0,b>0)的 x2 y2 左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右 12.(5分)已知F1,F:分别是双曲线C:4一2 PF =4,则双曲线的离心率的最大 =1的左、右焦点，动点P在双曲线C的右支 支上，且PF2 上，则(PF|一4)·(PF2|-4)的最小值为 值为 [A]-4 [B]-3 6.(5分)卫知双曲线C:名1a>0,6> [c]-2 [D]-1 的左、右焦点分别为F,F2,点M在C的左支 3.(5分)设椭圆名+义 十=1，双曲线之y a26=1 上，过点M作C的一条渐近线的垂线，垂足为 N,则当|MF2|+|MN|取最小值10时， (其中a>b>0)的离心率分别为e1,e2,下列 结论错误的是 ( △F,NF2面积的最大值为 46 ■