分层作业(3)空间向量基本定理-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册分层作业（人教B版）

■ 0□00□00 □口1口口1□ 分层作业（三） 2□2222 年级： 33333 空间向量基本定理 卡 学号后 4□4口44口4☐ 班级： (满分：75分) 位 5555☐5 66☐6]66 姓名： 7077077 8☐8□8☐8]8 9□99□9□9□ ·基础对点练· 1.(5分)在平行六面体ABCD-AB1C1D1中，向 0 量AB1,AD1,BD是 ) [A]有相同起点的向量 1 66 [A]2a 、2 [B]等长的向量 [B]一 11 2 [c]共面向量 2a-6b+ [D]不共面向量 11,2 []2a- 6b-3c 2.(5分)下列条件中，一定使空间四点P,A,B, 1 C共面的是 ( ) [D] 2a+b+2 1 6 LAJOA+OB+OC=-OP 6.(5分)已知四棱锥P-ABCD的底面是平行四 [B1OA+OB+O元=OP 边形，E为棱PC上的点，且CE=2EP,用 [c]0A+OB+0C=20P AB,AD,AP表示向量CE为 () CD10A+OB+OC=30P 【1匝-号a-号A店-Ad 3.(6分)（多选）若{a,b,c}是空间的一组基底，则 下列各组中能构成空间一组基底的是() [1CE-号A+号A店-号Ad [A]a,2b,3c I正-号A-号a+号ad [B]a+b,b+c,c+a [c]a+2b,2b+3c,3a-9c oC成-号时-名A+号a而 [D]a十b+c,b,c 7.(5分)如图所示，点M为OA的中点，{OA, 4.(5分)已知{a,b,c}是空间的一组基底，则可以 OC,OD}为空间的一组基底.DM=xOA+ 与向量m=a十2b,n=a一c构成空间另一组 yOC+xOD,则有序实数组(x,y,之)= 基底的向量是 ( □ [A]2a+2b-c [B]a+4b-c [c]b-c [D]a-2b-2c 5.(5分)如图，设OA=a,O店=b,O心=c.若AN =NB,BM=2MC,则MN= ( 5 ■ 1 9876543210+0.5 1 8.(10分)（教材改编题）如图所 D 1 1 1 示，在平行六面体ABCD 3a+3b+3c [B] A1B,C1D1中，设AB=a,AD 1 1 =b,AA1=c,E,F分别是 [o1-3a+3b+3c 1 AD1,BD的中点. ]3a13672 '3c (1)用向量a,b,c表示D1B,EF; 11.(5分)（创新拔高题）若给定一向量组A= (2)若D1F=xa十yb十C,求实数x,y,之 {a1,a2,…,am}和向量c,若存在一组实数k1, 的值. k2,…,kn,使得c=k1a1十k2a2十…十knam, 则称向量c能由向量组A线性表示，或称向量 c是向量组A的线性组合.若A= {e1十e2,e2-eg},c=e1+me3,e1,e2,e3为三 个不共面的空间向量，且向量c是向量组A的 线性组合，则m= [A]-4 [B]-3 [o]1 [D]2 19876543210+0.5 12.(14分)如图，在平行六面体 D ABCD-A1B1C1D1中，底面 能力提升练· ABCD是边长为1的正方 9.(5分)有下列说法： 形，AA1=√2.设AB=a, ①若p=xa十yb,则p与a,b共面；②若p与a, AD=b,AA=c. b共面，则p=xa十yb;③若MP=xMA+ (1)试用a,b,c表示向量AC,BD1: yMB,则P,M,A,B共面；④若P,M,A,B共 面，则MP=xMA十yMB.其中正确的是 (2)若∠A1AD=∠A1AB=120°，求向量AC 与BD1所成的角. [A]①②③④ [B]①③④ [c]①③ [D]②④ 10.(5分)如图，在三棱锥P-ABC中，点G是 △ABC的重心，点E为线段PA的中点.设 PA=a,PB=b,PC=c,EG=( 6=1+1+1-0-21AB1|CD1cos60°+0=3-1=2，故 1BD|=2.] 时子c.o=ai+2o+2o成，2+2+}-21. 11.解：(1)A它=AB十A市=a十c,在矩形ABEF中，易知 所以点卫与A,B,C三点不共面； |AE1=5, 对于D.0=号o+号0成+号0心，号+号+号-1，所以 M成=AN-AM=AN-(A市+DM)=A(AB+AF) 点P与A,B,C三点共面.故选D.] -AD+λ(AB-AD] 3.ABD[对于A中a,2b,3c,B中a+b,b+c,c+a,D中a+ =入(a+c)-b+A(a-b)门=(a-1)b+ac, b十c,b,c,每组都不共面，能构成空间的一组基底；对于C,a 当X=子时，=-2b+, 1 +2b,2b+3c,3a-9c,满足3a-9c=3[(a+2b)-(2b+ 3C)],是共面向量，不能构成空间的一组基底.] =√-b+2c) 4.C[因为2a+2b-c=(a+2b)+(a-c),a+4b+c=2(a+ 2b)-(a-c),a-2b-2c=2(a-c)-(a+2b), -2e2+6-2lb1百-， 所以向量2a+2b-c,a+4b+c,a-2b-2c均与向量m,n 共面.] MN.AE-7(c-6).(a+e)-7(ac+e2-b.a-b 5.A[连接OM,ON(图略)， e)=2×(-3x3x号)=号， 则M-0-O成=2Oi+0)-O成. 9 而0m-0心+CM-0心+号-0心+号oi-O心) cos(MN,AE)- M.A范4 3 际X: 子o成+子o心， 女M成与正夫角的会孩值为品 所以-3O+0i)-成-号0心=是0耐+ (2)若MN⊥平面ABCD, 因为AB,ADC平面ABCD,所以MN⊥AB,MN⊥AD. 日o应-号0=2a+日0-号c故选A] 则M示.AB=[(a-1)b+c]·a=(a-1)b·a+入c·a 6.A[由题意知成=号市=号(-心)=号（市-店 =0,显然成立， 又MN.AD=[(a-1)b+]·b=(入-1)b2+Ae·b= -AD).] 0,即90-10+登-0， 7.(分0，-1[因为DM-0成-0市=0i-0成， 解得入= 3,满足题意 所以有序实数组(xy,2)=(分0，-1)] 故存在入= 3,使得MNL平面ABCD. 8.解：(1)连接AC(图略)，D,B=D,D+DB=-AA1+AB A市=a-b-c,E成=EA+A=?D,A+?Ac 分层作业（三） -号d+A)+2店+Aò)=号a-6), 答案速对一 (2)因为D正=号(D,方+D,i)=号(-AA+D,B) 6 10 C D ABD 之=-1. 9.C[若a,b共线，由p=xa十yb,知p一定与a,b共面；若a, .(20,-1) b不共线，则满足共面向量定理，p与a,b共面，故①正确，同 理③正确.若p与a,b共面，且a,b共线，则不一定有p=xa 试题精折 十yb,故②错误，同理④错误.故选C.] 1.C[向量AB,AD1,Bi显然不是有相同起点的向量，故A 10.A[点G是△ABC的重心，则AG+BG+CG=0. 错误；由该平行六面体不是正方体可知，这三个向量不是等 x PG=PA+AG,PG=PB+BG,PG=PC+CG, 长的向量，故B错误；又因为AD1-AB1=B1D1-BD,所以 所以3PG=PA+PB+PC+AG+BG+CG=PA+PB+ 向量AB,AD,BD共面，故C正确，D错误.故选C.] p元，则p元=子(PA+p店+p元. 2.D[对于A,OP=-0A-0B-O元，-1+(-1)+(-1)= 一3≠1，所以点P与A,B,C三点不共面； 所以成=P店-P店-日(P成+P成+心)-PA- 对于B,OP=0A+OB+OC,1+1十1=3≠1，所以点P与 A,B,C三，点不共面； Pi+P+P=日a+b+.故递A] 731■ 11.C[因为e1,e2,e3为三个不共面的空间向量， 9.A[因为a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t), 由题意可知，存在入u∈R,使得c=A(e1十e2)十u(e2一e3), 所以a-b=(-1-t,1-2t,0). 2=1, 所以|a-b|=√(1+t)+(1-2t)7=√5t2-2t+2 即e1十meg=入e1+(a+r)e2-μeg,所以{久十u=0,解得 m=一， -√-）+≥35 /=1, μ=-1，] 当1一=合时，a-8有是小准5故适A] m=1. 10.BD[选项A,设c=(a,b,c). 12.解：1)AC=a+b,BD,=AD,-AB=b+c-a. 由a⊥c,b⊥c,得 一2a-b十3c=0化简得a=b=c. (2)由题意得AC·BD1=(a+b)·(b+c-a)=a·b十a a-3b+2c=0, e-。2+6+6e-b:a=0-号-1+1-竖-0 因为c|=√3，所以c=(1,1,1)或（一1，一1，-1）.即A 错误； =-√2. 选项B,因为a=（-2,-1,3),b=(1,-3,2),所以a·b= 又因为1AC1=2,|BD112=(b+c-a)2=b2+c2+2b·c -2+3+6=7,a|=/14,|b|=√/14， -2b·a-2c·a+a2=1+2-√2-0+V2+1=4, 7 所以cos(a,b〉=abV14x 、1 =2,即(a,b)= 所以|BD1|=2. 则cos(AC,BD,)= AC.BD, -√21 吾所以nab}- IACIIBDI 2x2 2' 所以以a,b为邻边的平行四边形的面积S=|a|·|b|· 所以AC与BD1所成的角为120°. sin(a,b)-14x 2 =7V3,即B正确； 分层作业（四） 选项C,若a,d的夹角为钝角，则a·d=一4-1十3x<0,解 213 答案速对 得x<号当2一1即x=-3时，0与d反向 不符合题意，即C错误； 4 6 9 10:11 选项D,若>号，别a4=-4-1+3红=-5+3x>0,且 A D BD ABD a与d不可能同向，此时a,d夹角为锐角，故D正确， 7.-1 8. 故选BD.] 11.ABD[当x=y=1时，a=(1,1,1),b=(1,1,1),所以 试题精析 a∥b,故A正确； 当x十y=-1时，a·b=1+x十y=0,故B正确； 1.A[根据空间向量坐标的定义知，AB=(一1,1，一1).故 若c=(1,0,0),设存在m,n,使c=ma+nb=(m+n,mx+ 选A.] n,m+ny), 2.B[b+c=(2,0,3)+(0,2,2)=(2,2,5),a·(b+c)=2×2 (1=m+n, +3×2+(-1)×5=5.] 则0=mx十n,显然并不是对于任意x,y都能使其成立，故 3.D[由于向量a=(1,-1,2),b=(2,1,-3),所以2a十b= 0=m+ny, (4,-1,1). C错误； 故|2a+b|=√4+（-1)2+1=√18=3√2.故选D.] a·b 1+x+y 4c由ma》-治一号降华-3我 osa,b,=80-V2+7xV2+可，当x+y>-1 时，cos(a,b)>0,故(a,b)<90°； 当x=y=1时，cos(a,b）=1,故(a,b》=0°，故0°≤(a,b〉< 90°，故D正确.故选ABD.] 5.B[因为b-c=(-2,3,1),所以a·(b-c)=4-6+m=0, 解得m=2.故选B.] 2解.因为aB,所以三手子 6.A[因为a+2b=(1+2x,4,4-y),2a一b=(2-x,3, 且y≠0，解得x=2,y=-4,此时a=(2,4,1),b=(-2, -2y-2),且(a+2b)∥(2a-b),所以3(1+2x)=4(2-x), -4,-1).又由b⊥c得b·c=0, 3(4一y)=4(一2y-2),解得z=2y=二4.] 故(-2，-4，-1)·(3，-2，x)=-6+8-x=0, 得z=2,此时c=(3,-2,2). 7.-1[因为a+b=（1,1,2),ka-b=(3k+2,-k-2, (2)由(1)得a十c=(5,2,3),b+c=(1,-6,1),因向量a十c 一1)，a+b与ka一b平行，所以存在实数入，使(3k十2，一 -2,k-1)=1(1,1,2),解得k=-1.] 与向量b+e所成角0的余弦值为cos9=a+c):b+e) la+cb+c 8.-4[因为2a+3b=(-2,4,2)+(6,0,3)=(4,4,5),a-b 5-12+3 2 =(-3,2,0),所以(2a十3b)·(a-b)=-12+8+0=-4.] √38×/38 =-19 174