第2章 学案28 圆与圆的位置关系-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

圆与圆的位置关系 学案28 学案28圆与圆的位置关系 听 课笔记 昆学习任务 1.了解圆与圆的位置关系.（数学抽象） 2.掌握圆与圆的位置关系的判断方法.（数学运算） 3.能利用圆与圆的位置关系解决有关问题.（逻辑推理、数学运算） 课堂活动 厅新知生成 相离 相切 活动一两圆位置关系的判断 位置关系 相交 外离 内含 外切 内切 阄新知导学 图示 阅读教材P116一118，完成下列问题. 交点个数 r1-r2 问题1观察下面这些生活中常见的图形，回答 d>r d< d= d= 判断 几何法 <d<r1 下列问题： 十r In-r2l r1+r2 方法 r2 代数法△<0 △<0 4>0 4=0 4=0 提醒：(1)d为两圆的圆心距，r1,r2分别为两圆 半径，△为联立两圆方程消去一个未知数后的 一元二次方程的根的判别式. (2)利用代数法判断两圆位置关系时，当方程无 解或有一个解时，无法准确判断两圆的位置 (1)圆与圆之间有几种位置关系？ 关系。 (2)能否借助圆的方程来研究圆与圆的位置 (3)在判断两圆的位置关系时，优先使用几 关系？ 何法 今新知应用 已知圆C1:x2+y2-2ax-2y+a2-15=0(a>0), 圆C2:x2+y2-4ax-2y+4a2=0(a>0).试 求a为何值时，两圆C1,C2的位置关系为： 问题2能否通过一些数量关系判断两圆的位置 (1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含. 关系？ 851 人教B版数学选择性必修第一册 听 「方法总结」判断两圆的位置关系的两种方法 2.过两圆的交点的圆的方程 (1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之 已知圆C1:x2十y2十D1x十E1y十F1=0与圆 笔 记 差的绝对值、半径之和进行比较，进而判断出两圆 C2:x2十y2+D2x+E2y+F2=0相交，则过两圆 的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法 交点的圆的方程可设为x2十y2十D1x十E1y十 (2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方 F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(入≠-1). 程组，根据方程组解的个数进而判断两圆的位置 活动三求解圆与圆的综合问题 关系。 新知应用 活动二求解相交弦及圆系方程问题 求与圆x2+y2-2x=0外切且与直线x十√3y 今新知应用 =0相切于点M(3,一√3)的圆的方程. 已知两圆C1:x2+y2-2x+10y一24=0和 C2:x2+y2+2x+2y-8=0. (1)求圆C1与圆C2的位置关系； (2)求公共弦所在直线方程和公共弦长； (3)求经过点M(1,0)以及圆C1和圆C2交点 的圆的方程. 母题变式：求与圆x2十y2一2x=0外切，圆心在 x轴上，且过点(3，一√3)的圆的方程. :「方法总结」1.两圆的公共弦问题 、 (1)若圆C1:x2+y2十D1x十E1y十F1=0与圆 C2:x2十y2十D2x十E2y十F2=0相交，则两圆公 共弦所在的直线方程为(D1一D2)x十(E1一E2)y十 F1-F2=0. 「方法总结」1.处理两圆相切问题的两个步骤 (2)公共弦长的求法 (1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只 ①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利 是告诉相切，则必须分两圆内切和外切两种情况 用两点间的距离公式求出弦长. 讨论. ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的 (2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的 !半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾 圆心距等于两圆半径之差的绝对值（内切）或两圆 !股定理求解， 半径之和（外切）. 1186 圆与圆的位置关系学案28 2.合理运用代数法与几何法处理直线与圆、圆与 C.两圆公共弦长的最大值为2 听 圆的问题，建立模型，利用方程思想或数形结合思 D.两圆公共弦所在直线的方程可以是3x十4y 课笔 想求解。 -11=0 女课堂小结 4.已知圆C1:(x-a)2+y2=36与圆C2:x2+（y 一2)2=4内切，则实数a的值为 1.知识清单： 5.圆心在直线x一y-4=0上，且经过圆x2+y2 (1)两圆位置关系的判断. 一4x-6=0与圆x2+y2-4y-6=0的交点 (2)相交弦及圆系方程问题， 的圆的方程为 (3)圆与圆的综合性问题. 6.已知圆C1与x轴相切，圆心在直线2x一y=0 2.方法归纳：代数法、几何法， 上，且被直线3x一4y=0截得的弦长为2√5， 3.常见误区：忽略两圆相切包含外切与内切两种 圆C2:x2+y2+4x十4y+m=0. 情况 (1)求C1的方程； 占课堂达标 (2)若C1与C2外切，求实数m的值. 1.圆C1:x2+y2+2x-4y=4与圆C2:x2+y2 2x=0的位置关系是 A.外离 B.相切 C.相交 D.内含 2.已知圆M:x2+y2-2x一3=0，若圆M与圆 C:x2+y2-2x-6y-a=0恰有三条公切线， 则实数a= () A.9 B.-9 C.8 D.-8 3.(多选)已知圆O:x2十y2=1和圆C:(x-3) +(y-4)2=r2(r>0),则 A.若两圆相交，则r∈(4,6) B.直线x=一1可能是两圆的公切线 课后反思 871与圆相交所裁弦长最短。 准确； 因为MN|=d=2,所以最短弦长为2√-MN平=2√4-2 可以用两圆的圆心距与两圆半径之间的关系判断，比较准确 =2√2，故D项正确， 区分5种位置关系. 故选BCD.] 新知生成 00211 4.1[点P到原点的距离为|OP|=√10，又r=3,所以切线 新知应用 长为√10-9=1.] 解：圆C1,C2的方程，经配方后可化为 5.2,7[因为圆心(0,0)到直线1的距离d=一5 C1:(x-a)2+(y-1)2=16, √22+1 5, C2:(x-2a)2+(y-1)2=1, 所以直线1：y=-2x十5被圆x2十y2=12裁得的弦长是 .圆心C1(a,1),C2(2a,1),半径r1=4,r2=1. 2√n2-d=2√12-5=27.] ∴.lC,C2=√(a-2a)2+(1-1)2=a. 6.解：(1)设过A,B,C三，点的圆的一般方程为x2十y2十mx十 (1)当C1C2=r1十r2=5,即a=5时，两圆外切； ny+t=0,m2+n2-4t>0, 当|C1C2|=r1一r2=3,即a=3时，两圆内切. (1+m十t=0, m=-2, (2)当3<1C1C2<5,即3<a<5时，两圆相交. 则3十√3n十t=0, 解得人n= 4√3 (3)当|C1C21>5,即a>5时，两圆外离. 3 7+2m+√3n+t=0, (4)当|CC2|<3,即0<a<3时，两圆内含. t=1, 活动二 故过A,B,C三点的圆的一般方程为x2十y2-2z-4 3y+ 新知应用 解：(1)将两圆方程配方化为标准方程，得 1=0. C1:(x-1)2+(y+5)2=50, (2)由(1)可知，△ABC外接圆的标准方程为(x一1)2+（y C2:(x+1)2+(y+1)2=10, 2)-专设周心为M, 则圆C1的圆心坐标为(1，一5)，半径r1=5√2， 圆C2的圆心坐标为（一1，-1），半径r2=√10 则M(1,2）半径-2 又|C1C2=2W5,r1+r2=52+√10， 3 r1-r2=5W2-√/10， 因为CD1-2,则图心M到直线CD的距高d .r1-r2<C1C2<r1+r2, 两圆相交 -(四√-(-1， (2)将两圆方程相减， 得公共弦所在直线方程为x一2y十4=0. 当直线CD的斜率存在时，设直线CD的方程为y一√3=k(x 法一：圆C1的圆心为点(1，一5)，其到公共弦所在直线x -2), 2y+4=0的距离4=1-2X(-5)+41=35 25+-2 w√1+(-2)2 即kx一y十√3-2k=0,则d= ,∴.公共弦长为2√r-d=2√50-45=2√5】 √WR2+1 法二：设两圆相交于点A,B,则A,B两点的坐标满足方程组 x2+y2-2x+10y-24=0, =1, x2+y2+2x十2y-8=0, √R2+1 解得☐一4或区=0， 解得=一 y=0 y=2, 3 令A(-4,0),B(0,2), 此时，直线CD的方程为y一=-号(：-2》，即工十 所以|AB|=√(-4-0)2+(0-2)2=2√5； 5=0, 即公共弦长为2√5. 当直线CD的斜率不存在时，直线CD的方程为x=2, (3)所求圆经过两圆的交点，则可设所求圆的方程为x3十y 此时，圆心M到直线CD的距离为1，符合题意. -2x+10y-24+入(x2+y2+2x+2y-8)=0,其中1≠-1， 整理得(1+λ)x2+(1+A)y2+(2λ-2)x+(10+2λ)y-24 综上所述，直线CD的方程为x=2或x十√3y一5=0. -8入=0， 学案28圆与圆的位置关系 此圆经过点M(1,0),代入上述方程，解得入=一5. 课堂活动 所以所求圆的方程为x2十y2+3x-4=0. 活动三 活动一 新知应用 新知导学 问题1提示：(1)5种. 解：设所求圆的方程为(x一a)2+(y-b)2=r2(r>0), 由题意知所求圆与圆x2十y2一2x=0外切， (2)可以，借助圆的方程通过代数法和几何法研究圆与圆的 位置关系 则√/(a-1)2+b2=r+1.① 问题2提示：可以用公共点的个数判断，但相切、相离时不够 又所求圆过点M的切线为直线x十√3y=0,且切，点为M, 411■ 故6+3 。-3-.@ 到有号-是-”，国为>0，解得-2理4.6，不将合 la+36l=r.③ 题意，故D选项错误」 2 故选ABC.] 由①②③解得a=4,b=0,r=2或a=0,b=一4√3，r=6. 4.士2√3[由题意，得圆心C1(a,0),半径r1=6,圆心C2(0, 故所求圆的方程为(x-4)2+y2=4或x2+(y+45) 2),半径r2=2, =36. 则√(a-0)2+(0-2)2=6-2,解得a=士2√5.] 母题变式：解：因为圆心在x轴上， 5.(x-3)2+(y+1)2=16(或x2+y2-6x+2y-6=0) 所以可设圆心坐标为(a,0),半径为r, x2+y2-4x-6=0, 则所求圆的方程为(x一a)2十y2=r2, [法-：由z+y2-4y-6=0, 又因为该圆与圆x2十y2-2x=0外切， x1=一1，xg=3, 解得 y1=-1,ly2=3, 且过点(3，一√3)， 所以圆x2+y2-4x-6=0与圈x2+y2-4y-6=0的交点 所以Va=+0-+1,解得 (3-a)2+(-3)2=r2, ,=2《负值舍去). 分别为A(一1，一1)，B(3,3),连接AB(图略)，则线段AB的 垂直平分线的方程为y一1=一(x一1). 所以圆的方程为(x-4)2十y2=4. 由-1=x-1D解得{ x=3, 课堂达标 x-y-4=0, y=-1, 1.C[圆C1的方程化为标准方程得(x十1)2+(y-2)2=9,圆 所以所求圆的圆心坐标为(3，一1)，半径为√(3一3)2十(3十1) 心为C1(一1,2)，半径1=3， =4, 圆C2的方程化为标准方程得（x一1)2+y2=1,圆心为 所以所求圆的方程为(x-3)2+(y十1)2=16. C2(1,0),半径r2=1, 法二：同法一求得A(一1，一1)，B(3,3), 设所求圆的方程为(x一a)2十(y-b)2=r2, 因为|C1C2|=√(-1-1)2+(2-0)=2V2,r1-r2|< a-b-4=0, a=3, |C1C2<r2十r1, 由(-1-a)2+(-1-b)2=r2,解得b=-1, 所以圆C1:x2+y2+2x-4y=4与圆C2:x2+y2-2x=0的 (3-a)2+(3-b)2=r2, x2=16, 位置关系是相交」 所以所求圆的方程为(x-3)2+(y十1)2=16.] 故选C.] 6.解：(1)因为圆C1与x轴相切，圆心在直线2x一y=0上， 2.B[圆M:x2十y2一2x一3=0可化为(x一1)2+y2=4,圆心 故设圆心C1(a,2a),则圆C1的半径为2|a|, 为M(1,0),半径r1=2. 13a-8a 则圆心C1到直线3x一4y=0的距离d= =lal, 圆C:x2+y2-2x-6y-a=0可化为(x-1)2+(y-3)2= √32+(-4) 10+a,圆心为C(1,3),半径r2=10+a,a>-10. 因为圆C1被直线3x一4y=0截得的弦长为2√3 若圆M与圆C恰有三条公切线，则两圆外切 所以(2a)-d=√3|a|=√3，解得a=士1，则圆C1的 由|MC1=r1十r2,所以√(1-1)+(0-3)=2+√10+a, 半径为2， 解得a=一9. 因此圆C1的方程为(x一1)2+(y一2)2=4或(x+1)2+(y +2)2=4. 故选B.] (2)圆C2的标准方程为(x十2)2+(y十2)2=8-m,则8一m 3.ABC[圆O的圆心为原，点，半径为1，圆C的圆心为C(3, >0,可得m<8, 4),半径为r, 则圆心C2(一2，一2)，半径为√8-m, 对于A,因为|0C=√32+4=5， 当a=1时，C1(1,2),|C1C2|=√/(1+2)+(2+2)2=5=2 若两圆相交，则|r-1|<|OC引<r+1,即|r-1|<5<r+1, 十/8-m, 因为r>0,解得4<r<6, 则r∈(4,6)，故A选项正确， 解得m=-1; 当a=-1时，C1(-1,-2), 对于B,原，点到直线x=一1的距离为1，则直线x=一1与圆 O相切， 1C1C2|=√/(-1+2)2+(-2+2)2=1=2+√8-m,此时 若直线x=一1与圆C相切，则r=3十1=4， m不存在。 综上所述，m=一1. 即当r=4时，直线x=一1是两圆的公切线，故B选项正确； 对于C,将两圆方程作差可得6x十8y十r2一26=0， 学案29习题课 与圆有关的最值问题 当直线6x十8y十r2-26=0过原，点，即r2=26时，r=√26 课堂活动 ∈(4,6)， 活动一 两圆的相交弦的弦长取最大值2，且此时两圆的相交弦为圆 1.d-r d+r O的一条直径，故C选项正确； 2.d-r d+r 对于D,若两圆的相交弦所在直线的方程为3x十4y一11=0， 3.2r 142