第2章 学案26 圆的一般方程-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

圆的一般方程学案26 学案26圆的一般方程 听 课 昆学习任务 记 1.理解圆的一般方程及其特点.（数学抽象） 2.掌握圆的一般方程和标准方程的互化.（数学运算） 3.会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题.（逻辑推理） (2)二元二次方程x2+y2+Dx十Ey十F=0 课堂活动 表示圆的充要条件是D2十E2-4F>0.x2,y2 活动一理解圆的一般方程 系数不为1时，要把系数都化为1再判断. 阄新知导学 新知应用 阅读教材P107,完成下列问题. 1.圆的方程为x2+y2+x十2y-10=0,则圆心！ 坐标为 ( 问题1圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2= x2,能否化为二元二次方程的一般形式？ A.(1,-1) B(- C.(-1,2) D(- 2.若方程x2+y2-2ax十2ay十2a2+a-1=0表 问题2方程x2+y2+Dx十Ey十F=0中的D, 示圆，则实数a的取值范围是 ( ) E,F满足什么条件时，这个方程表示圆？ A.(-∞，1) B.(-∞，1] C.(1,+∞) D.[1,+∞) 「方法总结」圆的一般方程的辨析 (1)由圆的一般方程的定义知，若D2十E2-4F> 厅新知生成 0成立，则方程表示圆，否则不表示圆， (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征 1.当D2十E2-4F>0时，二元二次方程x2十y2 求解 +Dx十Ey十F=0称为圆的一般方程，其中 活动二求圆的一般方程 D,E,F都是常数. 2.方程x2十y2+Dx十Ey十F=0表示的图形 新知应用 条件 图形 已知△ABC的三个顶点为A(1,4),B(-2,3), D2+E2-4F<0 不表示任何图形 C(4,-5),求△ABC的外接圆方程、圆心坐标和 半径. D2+E2-4F=0 表示一个点（，一号 表示以 为 D2+E2-4F>0 圆心，以 为半径的圆 提醒：(1)二元二次方程表示圆时，需满足x2和 y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二 次项. 7910 人教B版数学选择性必修第一册 听 「方法总结」求圆的方程的思路 2.方法归纳：待定系数法 (1)如果是由已知条件容易求得圆心坐标、半径或 3.常见误区：二元二次方程x2十y2十Dx十Ey十 笔 需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采 F=0并不一定都能表示圆，表示圆时易忽视隐 用圆的标准方程，再用待定系数法求出a,b,r. 藏的条件D2十E2-4F>0. (2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一 般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数 课堂达标 D,E,F. 1.圆x2十y2十6x-2y=0的圆心坐标为() 活动三圆的一般方程的综合应用 A.(-3,1) B.(3,-1) C.(-6,2) D.(6,-2) 新知应用 2.已知点(0，-1)在圆x2+y2-2x-my十2=0 已知曲线C:x2+y2+2kx+(4+10)y+10k 的外部，则实数m的取值范围为 () +20=0,其中k≠-1. A.(-3,+∞) (1)求证：曲线C都表示圆，并且这些圆心都在 B.（-3,2) 同一条直线上； C.(-3,-2)U(2,+∞) (2)证明：曲线C过定点； D.(-2,2) (3)若曲线C与x轴相切，求k的值. 3.(多选)已知圆C:x2+y2+kx-2y十k2=0, k∈R,则 () A.当k=0时，圆C的面积是π B.实数飞的取值范围是 2V32√3 3,3 C.点(0,1)在C内 「方法总结」与圆有关的含有参数的二元二次 D.当C的周长最大时，圆心坐标是(0，一1) 方程的解题策略 4.已知圆C:x2+y2+2x+my+3=0关于直线 (1)将其化为圆的标准方程，可确定参数的取值范 2x一y十4=0对称，则圆C的半径为 围，并可求得有关的最值， 5.已知圆C的圆心在直线3x一y一1=0上，且过 (2)可化为k(Ax+By十C)+(x2十y2+Dx+Ey 点A(一2,3)，B(2,5),则圆C的一般方程 (Ax+By+C=0, 为 十F)=0,通过联立方程组 x2+y2+Dx+Ey+F=0 6.已知A(-1,1),B(2,-2),C(5,1). 求系数 (1)求直线BC的方程及△ABC的面积； (2)求△ABC的外接圆的方程， 课堂小结 1.知识清单： (1)理解圆的一般方程. (2)求圆的一般方程. (3)圆的一般方程的综合应用. 课后反思 1180活动四 新知应用 学案26圆的一般方程 解：建立如图所示的平面直角 课堂活动 坐标系，使圆心在y轴上.由题 活动一 意知，点P,B的坐标分别为 新知导学 A, (0,4),(10,0).设圆心坐标为 问题1提示：展开(x-a)2+(y一b)2=r2为x2+y2一2a.x AA (0,b),圆的半径为r,那么圆的 2by十a2+b2-r2=0,令D=-2a,E=-2b,F=a2+b2 方程是x2十(y-b)2=r2. r2,则x2+y2+Dx十Ey十F=0,它是二元二次方程的一般 因为P,B两点都在圆上，所以 形式 02+(4-b)2=r2, 102+(0-b)2=x2, 问题2提示：题千中的方程可配方为(+)》°+(0+号) 解得b=-10.5,r2=14.52. _D2+E2-4F ，显然当D2十E2一4F>0时，方程表示圆心 所以，圆的方程是 4 x2+(y+10.5)2=14.5. 为(？，号)，丰径为分D+B-F的圆， 把点P2的横坐标x=一2代入圆的方程，得 (-2)2+(y+10.5)2=14.52, 新知生成 所以y=√/14.52-(-2)2-10.5≈14.36-10.5=3.86(m). 2(2) √D2+E2-4F 2 即支柱A2P2的高度为3.86m. 新知应用 课堂达标 1.D[由x2+y2+x+2y-10=0可知D=1,E=2,所以 1.A[由圆的标准方程可得圆心坐标为（一3,1） D 故选A.] 1E」 =-2,-2 2 -,所以围心坐振为（合一小门 2.D[因为圆心坐标为C(一1，一5)，又与x轴相切，所以该圆 2.A[因为x2+y2-2a.x+2ay+2a2+a-1=0表示圆， 的半径为5， 则(-2a)2+(2a)2-4(2a2+a-1)>0,解得a<1, 则圆的方程为(x十1)+(y十5)2=25， 所以实数a的取值范围是（一∞，1）. 故选D.] 故选A.] 3.A[圆C的标准方程为x2十(y-1)2=4, 活动二 由于√+(2-1)严=√2<2. 新知应用 故点M在圆C内部. 解：法一：设△ABC的外接圆方程为 故选A.] x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0), 4.(x+1)2+(0y-1)2=25[由/3x一y+4=0, 点A,B,C在圆上， x+2y-1=0, 1+16+D+4E+F=0, D=-2, 解得/r1, .4+9-2D+3E+F=0,.E=2, y=1, 16+25+4D-5E+F=0,F=-23, 所以11,12的交点为点（一1,1）， .△ABC的外接圆方程为x2+y2-2x十2y-23=0, 故所求圆的圆心是点（一1,1）， 圆心坐标为(1，一1)，半径为5. 半径r=√(-1-3)2+(1-4)7=5， 法二：设△ABC的外接圆方程为(x一a)2十(y一b)2=r2, 所以所求圆的方程为(x+1)2+(y-1)2=25.] 点A,B,C在圆上， 5.解：(1)因为直线1经过点A(-5,1),B(3,7), 1(1-a)2+(4-b)2=r2, 7-13 所以直线1的斛率质一3-(-5一4' ∴.{(-2-a)2+(3-b)2=r2, (4-a)2+(-5-b)2=r2, 所以直线1的方程为y一1-是（十5）， a=1, 解得b=一1，即外接圆的圆心坐标为(1，一1)，半径为5， 即3x-4y+19=0. r=5, (2)因为点M(1,0),点N(3,2), 则MN的中点坐标为(2,1)，kMN=1, .圆的标准方程为(x-1)2+(y十1)2=25，展开易得其一般 由点斜式可得线段MN的中垂线所在直线方程为y一1 方程为x2+y2-2x十2y-23=0. =-(x-2), 4-31 _4+5 法三：ka-1十23，knc-1--3, 即x十y-3=0, 由题意可得圆心为两条直线的交点， .kAB·kAC=-1,AB⊥AC. ∴.△ABC是以角A为直角的直角三角形， 联立3x一4十19=0”解得工=-1，y=4, .外接圆圆心是线段BC的中点， x+y-3=0, 即圆心C(-1,4),且圆C的半径r=CM=√/(-1-1)2+(4-0) 线段BC的中点丝标为1，-1Dr=2BC=5。 =25, .△ABC的外接圆方程为(x-1)2+(y十1)2=25. 所以圆C的标准方程为(x+1)2十(y一4)2=20. 展开得一般方程为x2+y2-2x十2y一23=0. ■138 活动三 1(-2-a)2+(3-b)2=r2,1a=1, 新知应用 由题意得(2-a)2+(5-b)2=r2,解得{b=2, 解：(1)证明：原方程可化为 3a-b-1=0, x2=10, (x+k)2+(y+2k+5)2=5(k+1)2. 故所求图的标准方程为(x-1)2+(y一2)2=10，即x2十y2 k≠-1，.5(k+1)2>0. 2x-4y-5=0.] 故方程表示圆心为（一，一2k一5）， 半径为√51k十1的圆. 6.解：(1)直线BC的方程为y二（一2)-x一2 1-(-2)5-21 设国心为(x）,有仁=一， 化简得x一y一4=0， y=-2k-5, 点A到直线BC的距离d=-1-1-4=32, 消去，得2x-y-5=0. √2 .这些圆的圆心都在直线2x一y一5=0上. BC|=W/(2-5)2+(-2-1)z=3√2， (2)证明：将原方程变形为k(2x+4y+10)+(x2+y2+10y +20)=0.上式是关于参数k的恒等式， 所以△ABC的面积为2·d:|BC|=9, (2x+4y+10=0, (2)设△ABC外接圆的方程为x2十y2+Dx十Ey十F=0, x2+y2+10y+20=0 0,解得1， y=-3. D2+E2-4F>0, .曲线C过定点(1，一3). 将点A,B,C的坐标代入， (3),圆C与x轴相切， 1(-1)2+12-D+E+F=0, .圆心到x轴的距离等于半径， 得22+(-2)2+2D-2E+F=0, 即|-2k-5=√51k十1. 52+12+5D+E+F=0, 两边平方，得(2k十5)2=5(k+1)2 I-D+E+F=-2, D=一4， 解得k=5士3√5. 即{2D-2E+F=-8,解得(E=-2, 课堂达标 I5D+E+F=-26,F=-4. 1.A[将圆的方程整理为标准方程可得(x十3)2十(y一1) 故△ABC的外接圆的方程为x2+y2-4x-2y-4=0. =10, 可得圆心坐标为（一3,1）.故选A.] 学案27直线与圆的位置关系 2.C[由点(0，-1)在圆x2十y2-2x-my十2=0的外部， 可知0+1-0+m+2>0, 课堂活动 解得-3<m<-2或m>2. 活动一 1(-2)2+m2-4×2>0, 新知导学 故选C.] 问题1提示：相交、相切、相离. 3AB[国Cr+y+虹-2+2=0，则(x+乡)}' +(y 问题2提示：可以根据直线和圆的方程组成方程组解的个数 或者根据圆心到直线的距离与半径的关系判断 10=1-2, 新知生成 对于A,当=0时，圆C的半径为1， 210>=<<=> 故圆C的面积为π×12=π，故A正确； 新知应用 对于B,由1-62>0，解得-2<6<2 解：法一：将已知圆的方程化为标准方程 ,故B正确； 3 3 (x-a)2+(y+1)2=a, 对于C,02+12十0-2十k2=k2-1,由B项知k2< 3，故点 圆心为(a,-1),半径为√a,则圆的圆心(a,-1)到直线x十y 一2a十1=0的距离 (0,1)可能在圆内、圆上或圆外，故C错误； 对于D,当k=0时，半径取得最大值1，即C的周长最大，此 d-la-1-2a+ll-l-al_a ② √2√2 时圆心坐标为(0,1)，故D错误 故选AB.] 当=a,即a=2时，直线和圆相切； ② 4.2[由图C:x2+y2+2x+my+3=0关于直线2x-y十4 =0对称， 当2>a,即a>2时，直线和圆相离； 可得国心C的坐指为（一1，一受）， 当。<a,即0<a<2时，直线和圆相交. 圆心C在直线2x一y十4=0上， √2 法二：将直线方程与圆的方程联立成方程组 则-2+2+4=0，解得m=-4, |x+y-2a+1=0,① 故圆C的方程x2+y2+2x-4y十3=0可化为(x十1)2+(y x2+y2-2ax+2y+a2-a+1=0.② -2)2=2, 将①代入②，得2x2-6ax+5a2-a=0. 所以圆C的半径为√2.] △=(-6a)2-4×2×(5a2-a)=-4a2+8a=-4a(a-2), 5.x2+y2-2x-4y-5=0[设所求圆的标准方程为(x-a)2 当a=2时，△=0，直线与圆只有一个公共点，此时直线与圆 +(y-b)2=r2, 相切； 391■