第2章 学案25 圆的标准方程-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

-1. 即a2+2a+1+1=a2-2a+1+9, 7.3x-2y+5=0[设A(a,b),则 ∴.a=2,r=|MC|=w10, b-1a+1 2 .圆的标准方程为(x一2)2十y2=10. 2 活动二 解得2=-1所以A(-1,1. b=1, 新知导学 设点B(2,一1)到直线l2的距离为d, 问题3提示：3种，分别是，点M在圆O内，在圆O上，在圆O 当d=AB时取得最大值，此时直线l2垂直于直线AB. 外，可以用|OM与r作比较来判定. 13 新知生成 ,=一-2' => < 3 新知应用 所以直线L,的方程为y-1=2(x+1),即3x-2y十5=0.] 1.ABC[对于A,圆M的标准方程为(x-4)2+(y+3)2=25, 8.2x-y+3=0[易得A不在11和l2上， 其圆心为点(4，一3)，A正确： 因此l1,l2分别为∠B,∠C的平分线， 对于B,由于(1-4)2+(0+3)2<25，则，点(1,0)在圆内，B 所以点A关于11，l2的对称点在BC边所在的直线上. 正确； 设点A关于L1的对称点为A1(x1y), 对于C,由圆M的标准方程可知半径为5，C正确； 点A关于l2的对称点为A2(x2y2), 对于D,由于(-3-4)2+(1十3)2>25，则点(-3,1)在圆外， 4+x_1-1-1=0, D错误. 则2 2 x1=0, 解得 故选ABC.] y+1, (-41=-1, y1=3, 2.-2或-6(-∞，-6)U(-2,十∞)[当点P在圆C上 所以A1(0,3) 时，2+号）‘+1-1D1, 又易得点A关于12的对称点A2的坐标为(-2，一1)， 解得a=-2或a=-6. 所以BC边所在直线的方程为y-3=之-0、 =1-3=-2-0' 当点P在圆C外时，由(2+g)+(1-1)>1, 即2x-y+3=0.] 解得a<-6或a>-2.] 学案25圆的标准方程 活动三 新知应用 课堂活动 解：法一：设圆心C的坐标为(a,b). 活动一 因为圆心C在直线l:x一y十1=0上， 新知导学 所以a一b+1=0.① 问题1提示：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫 因为A,B是圆上两点，所以|CA|=|CB|, 做圆，定点称为圆心，定长称为半径， 根据两点间的距离公式， 确定圆的因素：圆心和半径. 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小 有√(a-1)2+(b-1)2=√(a-2)2+(6+2)2, 问题2提示：设圆上任意一点M(x,y),则|MA|=r,由两点 即a-36-3=0.② 由①②可得a=一3，b=一2.所以圆心C的坐标是（一3，一2）： 间的距离公式，得/(x-a)2+(y-b)2=r, 化简可得(x-a)2+(y-b)2=r2. 圆的半径r=|AC|=(1+3)2+(1+2)2=5. 新知生成 所以圆的标准方程是(x+3)2十(y十2)2=25. 1.圆心半径 法二：如图，设线段AB的中点为D, 2.(x-a)2+(y-b)2=r2 可得点D的金标为（受，一），直 新知应用 -2-1 解：(1)由圆心为点(4，一1)，且过点(5,2)， 线AB的斜率为k加=2-行=一3， 可得半径r=√(5-4)2+(2+1)2=√/10， 因此，线段AB的垂直平分线'的 .圆的标准方程为(x一4)2+(y十1)2=10. 1 (2)设圆心为C(0,b), 方程是y十=(-)，即 ∴.r=√(3-0)2+(-4-b)7=5, x-3y-3=0. .(4+b)2=16=42, 由垂径定理可知，圆心C也在线段AB的垂直平分线上，联 .4+b=4或4+b=一4， 立-3-3=0得=-3， .b=0或b=一8， x-y+1=0, y=-2. ∴圆的标准方程为x2+y2=25或x2+(y十8)2=25. 所以圆心C的坐标是（一3，一2） (3)设圆心为M(a,0),|MC|=|MD|, 圆的半径r=|AC1=√(1+3)2+(1+2)7=5. .(a+1)2+(0-1)2=(a-1)2+(0-3)2, 所以圆的标准方程是(x十3)2十(y十2)2=25. 371■ 活动四 新知应用 学案26圆的一般方程 解：建立如图所示的平面直角 课堂活动 坐标系，使圆心在y轴上.由题 活动一 意知，点P,B的坐标分别为 新知导学 A, (0,4),(10,0).设圆心坐标为 问题1提示：展开(x-a)2+(y一b)2=r2为x2+y2一2a.x AA (0,b),圆的半径为r,那么圆的 2by十a2+b2-r2=0,令D=-2a,E=-2b,F=a2+b2 方程是x2十(y-b)2=r2. r2,则x2+y2+Dx十Ey十F=0,它是二元二次方程的一般 因为P,B两点都在圆上，所以 形式 02+(4-b)2=r2, 102+(0-b)2=x2, 问题2提示：题千中的方程可配方为(+)》°+(0+号) 解得b=-10.5,r2=14.52. _D2+E2-4F ，显然当D2十E2一4F>0时，方程表示圆心 所以，圆的方程是 4 x2+(y+10.5)2=14.5. 为(？，号)，丰径为分D+B-F的圆， 把点P2的横坐标x=一2代入圆的方程，得 (-2)2+(y+10.5)2=14.52, 新知生成 所以y=√/14.52-(-2)2-10.5≈14.36-10.5=3.86(m). 2(2) √D2+E2-4F 2 即支柱A2P2的高度为3.86m. 新知应用 课堂达标 1.D[由x2+y2+x+2y-10=0可知D=1,E=2,所以 1.A[由圆的标准方程可得圆心坐标为（一3,1） D 故选A.] 1E」 =-2,-2 2 -,所以围心坐振为（合一小门 2.D[因为圆心坐标为C(一1，一5)，又与x轴相切，所以该圆 2.A[因为x2+y2-2a.x+2ay+2a2+a-1=0表示圆， 的半径为5， 则(-2a)2+(2a)2-4(2a2+a-1)>0,解得a<1, 则圆的方程为(x十1)+(y十5)2=25， 所以实数a的取值范围是（一∞，1）. 故选D.] 故选A.] 3.A[圆C的标准方程为x2十(y-1)2=4, 活动二 由于√+(2-1)严=√2<2. 新知应用 故点M在圆C内部. 解：法一：设△ABC的外接圆方程为 故选A.] x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0), 4.(x+1)2+(0y-1)2=25[由/3x一y+4=0, 点A,B,C在圆上， x+2y-1=0, 1+16+D+4E+F=0, D=-2, 解得/r1, .4+9-2D+3E+F=0,.E=2, y=1, 16+25+4D-5E+F=0,F=-23, 所以11,12的交点为点（一1,1）， .△ABC的外接圆方程为x2+y2-2x十2y-23=0, 故所求圆的圆心是点（一1,1）， 圆心坐标为(1，一1)，半径为5. 半径r=√(-1-3)2+(1-4)7=5， 法二：设△ABC的外接圆方程为(x一a)2十(y一b)2=r2, 所以所求圆的方程为(x+1)2+(y-1)2=25.] 点A,B,C在圆上， 5.解：(1)因为直线1经过点A(-5,1),B(3,7), 1(1-a)2+(4-b)2=r2, 7-13 所以直线1的斛率质一3-(-5一4' ∴.{(-2-a)2+(3-b)2=r2, (4-a)2+(-5-b)2=r2, 所以直线1的方程为y一1-是（十5）， a=1, 解得b=一1，即外接圆的圆心坐标为(1，一1)，半径为5， 即3x-4y+19=0. r=5, (2)因为点M(1,0),点N(3,2), 则MN的中点坐标为(2,1)，kMN=1, .圆的标准方程为(x-1)2+(y十1)2=25，展开易得其一般 由点斜式可得线段MN的中垂线所在直线方程为y一1 方程为x2+y2-2x十2y-23=0. =-(x-2), 4-31 _4+5 法三：ka-1十23，knc-1--3, 即x十y-3=0, 由题意可得圆心为两条直线的交点， .kAB·kAC=-1,AB⊥AC. ∴.△ABC是以角A为直角的直角三角形， 联立3x一4十19=0”解得工=-1，y=4, .外接圆圆心是线段BC的中点， x+y-3=0, 即圆心C(-1,4),且圆C的半径r=CM=√/(-1-1)2+(4-0) 线段BC的中点丝标为1，-1Dr=2BC=5。 =25, .△ABC的外接圆方程为(x-1)2+(y十1)2=25. 所以圆C的标准方程为(x+1)2十(y一4)2=20. 展开得一般方程为x2+y2-2x十2y一23=0. ■138人教B版数学选择性必修第一册 课 学案25 圆的标准方程 记 昆学习任务 1.会用定义推导圆的标准方程，并掌握圆的标准方程的特征.（数学抽象） 2.能根据所给条件求圆的标准方程.（数学运算） 3.能准确判断，点与圆的位置关系.（数学运算） 课堂活动 今新知应用 写出下列圆的标准方程： 活动一求圆的标准方程 (1)圆心是点(4，-1)，且过点(5,2)； 阄新知导学 (2)圆心在y轴上，半径长为5，且过点(3，一4)； 阅读教材P103一104，完成下列问题。 (3)过两点C(一1,1)和D(1,3),圆心在x 问题1圆是怎样定义的？确定它的要素是什 轴上. 么？各要素与圆有怎样的关系？ 问题2已知圆心为A(a,b),半径为r,你能推导 出圆的方程吗？ 「方法总结」直接法求圆的标准方程的策略 确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常 厅新知生成 用到中点坐标公式、两点间的距离公式，有时还用 1.定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的 到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条 集合称为圆，其中定点是 ,定长是圆的 弦的中垂线的交点必为圆心”等， 活动二判断点与圆的位置关系 2.标准方程：在平面直角坐标系中，以C(a,b)为 阄新知导学 圆心，r(r>0)为半径的圆的标准方程 为 阅读教材P104,完成下列问题. 提醒：(1)圆心在原点的圆的标准方程为x2十 问题3平面内的点M(xoy)与圆O:x2+y2=r2 y2=r2. 有几种位置关系？如何判定？ (2)单位圆：当圆心在原点(0,0)，半径r=1时， 方程为x2十y2=1,称为单位圆. (3)相同的圆，建立的坐标系不同时，圆心坐标 不同，导致圆的方程不同，但圆的半径不变 1176 圆的标准方程学案25 后新知生成 「方法总结」求圆的标准方程的两种方法 听 (1)几何法：利用圆的几何性质，直接求出圆的圆 课 点M(xo,yo)与圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2 心坐标和半径，从而得到圆的标准方程， (r>0)的位置关系及判断方法 记 (2)待定系数法：由三个独立条件得到三个方程， 位置关系利用距离判断 利用方程判断 解方程组得到圆的标准方程中的三个参数，从而 点M在 ICMI=r (x。-a)2+(y-b)2 确定圆的标准方程。 圆上 活动四圆的标准方程的实际应用 点M在 CM> (x。-a)2+(y-b)2 圆外 今新知应用 点M在 CM< (x。-a)2+(y0-b)2 如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.圆拱跨 圆内 度AB=20m,拱高OP=4m,建造时每间隔 今新知应用 4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高 1.(多选)已知圆M的标准方程为(x-4)2十(y 度（精确到0.01m). P.P 十3)2=25，则下列说法正确的是 ( A.圆M的圆心为点(4，一3) 41A20AA B.点(1,0)在圆内 C.圆M的半径为5 D.点(-3,1)在圆内 2已知点P(2,1D和圆C:+》°+-1)=1， 若点P在圆C上，则实数a= ;若点P 在圆C外，则实数a的取值范围为 「方法总结」判断点与圆的位置关系的两种 方法 (1)几何法：利用点到圆心的距离与半径比较大 小，并作出判断。 (2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断 式子两边的大小，并作出判断。 「方法总结」解决圆的标准方程的实际应用题 活动三掌握求圆的标准方程的两种方法 时应遵循以下几个步骤 新知应用 认真审题，明确题意，从题目中抽象出 审题 几何模型，明确题中已知和待求的数据 已知圆心为C的圆经过A(1,1),B(2,一2)两 点，且圆心C在直线1：x-y+1=0上，求此圆 建立适当的平面直角坐标系，通过点的 建系 的标准方程. 坐标及已知条件，求出几何模型的方程 求解 利用直线、圆的性质等有关知识求解 还原 将运算结果还原为对实际问题的解释 7710 人教B版数学选择性必修第一册 4.已知直线l1:3x-y+4=0,l2:x十2y-1=0, 课堂小结 则以11，l2的交点为圆心，且经过点A(3,4)的 笔 1.知识清单： 圆的方程是 (1)圆的标准方程。 5.已知直线1经过点A(-5,1),B(3,7). (2)点与圆的位置关系. (1)求直线L的方程； (3)圆的标准方程的实际应用. (2)若圆C经过M(1,0),N(3,2)两点，且圆心 2.方法归纳：几何法、代数法、待定系数法、数 在直线1上，求圆C的标准方程. 形结合， 3.常见误区：由标准方程得圆心坐标时，符号 出错。 名课堂达标 1.圆(x十3)2+(y一1)2=10的圆心坐标为 ( A.(-3,1) B.(3,-1) C.(-6,2) D.(6,-2) 2.以点C(一1，一5)为圆心，并与x轴相切的圆的 方程是 ( A.(x+1)2+(y+5)2=9 B.(x+1)2+(y+5)2=16 C.(x-1)2+(y-5)2=9 D.(x+1)2+(y+5)2=25 3.已知圆C以点(0,1)为圆心，2为半径，则点 M(1,2)与圆C的位置关系是 ) A.在圆内 B.在圆上 C.在圆外 D.无法判断 课后反思 178