第2章 学案18 直线的方向向量、法向量-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

串m5g 活动二 新知导学 故选B.] 问题2提示：A(x1y1),B(x2,y2)是直线l上两个不同的点， s[,][) [由直线1的斜率∈[-V5,1], 则AB=(x2一x1y2一y1)是直线l的一个方向向量，它可以 表示任意直线的方向向量，当x2≠x1,即直线1的倾斜角日≠ 可得[o,]u[门 0时脑=9)=a4(2） 6.解：(1)直线1过点P(2,2),且与以A(-1,-1)和B(3,2-√3)为 (x2-x1)·(1,k)=(x2-x1)·(1,tan0)=(x2-x1)· 端点的线段相交.在平面直角坐标系中画出图象如图， (，么8)-6-n0以 4 新知生成 3 2 P 2.(1)不存在 1上 B 新知应用 0 -3-2-1☑1234x 1 1.[0,)U(x)[ra≠+kx,k∈z, -2 ∴.cosa≠0，sina≠土1. -3 令直线1的倾斜角为0， w=二号-1m22-g, 3 3-2 'tan 0=2 sin 2a -=3 sin a cos a 所以直线1的斜率的取值范围为(-∞，一√3]U[1,十∞). sina∈(-l,1),∴.tan0∈(-3，w3), (2)由(1)可知，k∈(-∞，一√3]U[1,+∞)， 直线PA的领针角为子，直线PB的领针角为经， 又0E0,x,故9e[0,)u(管] 2.解：法-：PQ=(4,W3-3)-(1,-3)=(3,3), 由此可得直线1的领针角。的取值范周为[至，)U(受】， “PQ=(3,W5)为直线1的一个方向向量， 由图可知，当直线1的斜率不存在时，所得直线符合题意，此 3,令直线1的领斜角为0， 时直线1的倾斜角α= 2 综上，直线1的倾斜角。的取值范调为[至，] tan 0=3 ,则0=30时 故该直线的斜率为 ,倾斜角为30° 学案18直线的方向向量、法向量 课堂活动 法二：由题意得，直线1的斜率为0=5-3》二（一3） 4-1 活动一 新知导学 3 问题1提示：不一定.可能平行，也可能重合. 新知生成 今复线1的领外扇为9m9=得0=90 平行或重合(1)(1,0)(0,1)(2)共线 新知应用 直线1的-个方向向量a=(1,A)=(1,）, 1.D[由点A(-1,3),B(1,9),可得直线AB的方向向量为 活动三 AB=(2,6), 新知导学 因为经过A,B两点的直线的一个方向向量为(1，k), 问题3提示：无数个，两个. 所以k=3. 问题4提示：设v=(x,y),且v⊥a,则x十2y=0,令x=2,则 故选D.] y=一1.故v=(2,一1)为与a垂直的一个向量. 1-(-5)6 新知生成 2.证明：法-：a加一2-（-32， 垂直(1)互相垂直(2)(yo,-xo)(yo,-xo) -二8-吕-2 新知应用 1.D[由题意得AB-(3,2)-(-1,3)=(4,-1)为直线1的 kAB=kAC,A,B,C三点共线. 一个方向向量，∴.直线1的法向量v=(-1,-4).] 法二：AB=(2,1)-(-1,-5)=(3,6), AC=4,5)-(-1,-5)=5,10)=号A, 29 30°[y=(√3，-3)为直线l的法向量， 则a=(-3,-√5)为直线l的方向向量. AB∥AC, 又AB与AC有公共点A,A,B,C三点共线. k=一33 -3-31 1128 3,0=30% 新知生成 令直线l的倾斜角为0，∴tan0= y一y0=k(x-x0) 直线1的斜率为，倾斜角为30.] 新知应用 3 解：(1)如图所示， 课堂达标 1.A[直线1的方向向量为（√3,1）， 则，=石-号，则1的倾针角为309 故选A.] 0 2.D[直线L的斜率为一√5，因此直线1的一个方向向量为 因为A(1,1),B(5,1), (1,-√3)， 所以AB∥x轴， 选项A,B,C中对应向量与(1，一√3)不共线， 所以AB边所在直线的方程为y=1」 (W5,-3)=√3(1，-5)， (2)因为∠A=60°， 所以直线1的一个方向向量的坐标为（√，一3）. 所以kAc=tan60°=√3， 故选D.] 所以直线AC的方程为y-1=√3(x-1). 3.A[由题意得k%=-3, 因为∠B=45°， 所以PQ的倾斜角为120°， 所以kc=tan135°=-1， 又直线PQ的法向量与直线PQ垂直， 所以直线BC的方程为y一1=一(x一5). 故PQ的法向量所在直线的倾斜角为30°.] 活动三 4-2[由巴知得=2-0 新知导学 0--2.J 问题3提示：y-b=kx,即y=kx十b. 5.7[AB=(4,m)-(-2,3)=(6,m-3), 新知生成 1.a b AB为直线L的一个方向向量，AB⊥v, 2.y=kx+b ∴.6×2+(-3)×(m-3)=0,∴.m=7.] 新知应用 6.解：AB=(1-x,4),BC=(4,8). 解：(1)由斜截式得直线1的方程为y=3x一3. A,B,C三点共线， (2)在直线y=3x一3中，令y=0,得直线1在x轴上的截距 ∴.ABBC, 即8(1-x)=16 为1，则直线1与坐标轴所周成的三角彩的面软S=合×1× .x=-1. 直线的一个方向向量可以为BC=(4,8). 1-31=2 母题变式(1)：解：因为直线1与y轴的交点到坐标原点的距离 学案19直线的点斜式方程与斜截式方程 为3，所以直线1在y轴上的截距b=3或b=一3.故所求直 课堂活动 线方程为y=3x十3或y=3x-3. 活动一 母题变式(2)：解：设直线方程为y=3x十b,则x=0时，y=b; 新知导学 y=0时x=-，南已可得号161=6 1 问题1提示：显然，满足①的直线有无数条，满足②的直线是 即b2=36,∴.b=士6， 唯一的，即横坐标为1的，点都在直线乙1上，且直线L1上所有 故所求直线方程为y=3x十6或y=3x-6. 点的横坐标也都为1；同样，满足③的直线有无数条，满足④ 课堂达标 的直线是唯一的，我们只需找异于点B的任意一点P(x,y), 1.CD[平行于y轴的直线与y轴不相交，所以在y轴上没有 南2手2即y一3=2(x一2)，周此直线6上的点都满足 裁距，故A不正确；直线在y轴上的截距即为直线与y轴交 方程y一3=2(x一2)，而满足方程y一3=2(x一2)的点也都 点的纵坐标，可正、可负、可为0，故B不正确；直线的斜裁式 在直线12上. 方程y=kx十b所表示的直线斜率要存在，且直线在y轴上 新知生成 的截距要存在，所以直线的斜截式方程不能表示垂直于x轴 F(x,y)=0F(x,y)=0 的直线，故C正确；直线y=2x一1在y轴上的截距为一1，故 新知应用 D正确.] A[因为点A(1,m)在x-y+1=0上，故1一m+1=0,解 得m=2.] 2BC[A不正确，方程=号不含点(-1,2，是袋B,C正 确；D不正确，只有斜率存在时，直线才有点斜式和斜截式 活动二 新知导学 方程.] 3.D[设直线1的倾斜角为a,则a=60°， 问题2提示：若P与P。重合，则x=x0,y=yo;若P与P。不 ∴.k=tan60°=√3， 重合，则=二，即y一y6=k(x一x). x一x0 .直线1的方程为y=√3x一2.门 291■人教B版数学选择性必修第一册 学案18直线的方向向量、法向量 记 昆学习任务 1.理解直线的方向向量、法向量的概念.（数学抽象） 2.会求直线的方向向量和法向量.（数学运算） 3.理解直线的方向向量、法向量与直线的斜率之间的关系并会简单应用.（逻辑推理） 课堂活动 今新知应用 1.经过A(一1,3)，B(1,9)两点的直线的一个方 活动一理解直线的方向向量 向向量为(1，k),则= () 阄新知导学 A C.-3 D.3 阅读教材P78一79，完成下列问题. 2.平面内点A(-1,一5)，B(2,1),C(4,5),证明： 问题1平面内两个非零向量平行，则这两个向 A,B,C三点共线， 量所在的直线一定平行吗？ 同新知生成 一般地，如果表示非零向量α的有向线段所在 的直线与直线l 则称向量a 「方法总结」直线的方向向量的求法 为直线l的一个方向向量，记作a∥l. (1)在直线上任意找两点P,Q,则PQ(QP)为直 (1)a= 是所有倾斜角为0°（即与y轴 线的一个方向向量， 垂直)的直线的一个方向向量； (2)a=(t,0)(t≠0)表示与x轴平行或重合的直 b= 是所有倾斜角为90°（即与x轴垂 线的方向向量，a=(0,t)(t≠0)表示与y轴平行 直)的直线的一个方向向量 或重合的直线的方向向量. (2)如果a为直线1的一个方向向量，那么对于 活动二理解直线的方向向量与倾斜角、 任意的实数λ≠0，向量λa都是l的一个方向向 斜率的关系 量，而且直线1的任意两个方向向量 一定 询新知导学 (3)如果A(x1,y1),B(x2,y2)是直线l上两个 阅读教材P79一81，完成下列问题. 不同的点，则AB=(x2一x1y2一y1)是直线1 问题2直线的方向向量与直线的倾斜角、斜率 的一个方向向量. 有什么样的关系？ 提醒：(1)任意的直线都有方向向量. (2)任意直线的方向向量不唯一 (3)直线的方向向量是非零向量， 1156 直线的方向向量、法向量学案18 后新知生成 「方法总结」直线的方向向量与倾斜角、斜率之 听 间的关系 1.如果直线l的倾斜角为0，则a=(cos0,sin0) (1)如果直线l的倾斜角为0，则a=(cos0,sin0) 为直线1的一个方向向量. 记 如果直线1的斜率为k,则a=(1,)为直线l 为直线1的一个方向向量. 的一个方向向量. (2)如果直线L的斜率为，则a=(1,k)为直线1 2.如果a=(u,v)为直线l的一个方向向量，则 的一个方向向量 (1)当u=0时，直线1的斜率 ,倾斜角 活动三理解直线的法向量 为90°. 阄新知导学 (2)当u≠0时，直线l的斜率存在，且=tan0 阅读教材P81,完成下列问题. u 问题3平面内过一定点与已知直线垂直的非零 提醒：(1)任意斜率不存在的直线的方向向量为 向量有多少个？单位向量有多少个？ a=(0,1). (2)斜率存在的直线的方向向量a=(1,k) (3)任意直线的方向向量都可表示为a=(cos0,sin0). 今新知应用 问题4若a=(1,2)是直线1的一个方向向量. 1.直线1的方向向量为 cos a,sin 2a 你能求出与a垂直的一个向量吗？ a≠登+x,k∈Z,则直线1的领斜角的取值 范围是 2.直线1过点P(1,-3),Q(4,√3-3)，求直线1 的一个方向向量、斜率和倾斜角 厅新知生成 一般地，如果表示非零向量ⅴ的有向线段所在 直线与直线l ,则称向量v为直线的 一个法向量，记作y⊥1. (1)一条直线的方向向量与法向量 (2)当xo,yo不全为0时，若a=（(xo,yo)为直 线l的方向向量，则v= 为直线l的 法向量；若v=(xo,y。)为直线1的法向量，则 a三 为直线1的方向向量. 提醒：(1)任意直线都有法向量. (2)直线的法向量不唯一 (3)直线的法向量是非零向量。 5710 人教B版数学选择性必修第一册 听 今新知应用 2.已知直线1的斜率为一√5，则直线1的一个方 向向量的坐标为 ( 1.直线1过点A(-1,3)和B(3,2),则直线1的 记 A.(-1,-√3) B.(3,-1) 法向量为 A.(-1,4) B.（2,5) C.(-√3，-1) D.(3,-3) C.(5,-2) D.(-1,-4) 3.直线PQ的斜率为一3，则直线PQ的法向量 2.直线L的法向量为v=(√3，一3)，则直线1的斜 所在直线的倾斜角为 () 率为 ,倾斜角为 A.30 B.60° C.120° D.150° 「方法总结」直线的法向量的求法 4.经过A(0,2),B(1,0)两点的直线的方向向量 若直线的方向向量为a=(xo,yo),则直线的法向 为(1，k),则k的值是 量v=(yo,一xo),即要求直线的法向量，只需先 5.直线l上两点A(一2,3)，B(4,m),若直线1的 求直线的方向向量即可. 法向量为v=(2,一3)，则m= 课堂小结 6.若A(x,-1),B(1,3),C(5,11)三点共线，求 实数x的值，并求直线的一个方向向量 1.知识清单： (1)直线的方向向量. (2)直线的方向向量与倾斜角、斜率的关系， (3)直线的法向量， 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区： (1)斜率不存在、斜率为零的直线的方向向量、 法向量易混淆， (2)对直线的方向向量与斜率的关系搞不清楚， 课堂达标 1.已知直线1的方向向量为（√3,1），则1的倾斜 角为 ( ) A.30 B.60° C.120 D.150° 课后反思 1158