第2章 学案16 坐标法-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

(3)由题意知，A正=(0,1，-2)，AC=(-2,2,-2),A元 K立=(0,23)，FN=1,1,1), (-2,2,0), cos(KZ,FN)= KZ·FN 5 5√39 设平面AEC1的法向量为n=(x,y,z), |KZ1IFN|√/13XW3 39 则n·-y-2&=0, n·AC1=-2x+2y-2x=0, ·异面直线KZ与FN所成角的余弦值为5Y3 39· 取之=1，则y=2,x=1,所以n=(1,2,1), 故选A.] 所以点C到平面ABC,的距离为A花：n=一2+4 5.√5[以A为坐标原点，AB,AD,AA1所在直线分别为x, n √6 y,z轴，建立空间直角坐标系， =6 3 课堂达标 B C 1.A[a+b=(-2,-1,2),a-b=(4,-3,-2), ∴.a=(1,-2,0),b=(-3,1,2), A .a·b=-3-2+0=-5. 故选A.] B 2.A[设直线1的一个方向向量为n。=(xy,之)， 则A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0),A1(0,0,2), 平面x-2y十2=0与2x-z十1=0的法向量分别为m1= （1,-2,0)和m2=(2,0,-1), 可得AB=(2,0,0),AD=(0,2,0),AA1=(0,0,2), 则m·n。=x-2y=0, 所以市=号+号aò+a-(得，1,2)， m2·no=2x-x=0, 不妨取x=2,则n。=(2,1,4). 可得cos(AP,AB)= AP.AB 故选A.] APIIABI 3.ABC[由题意可知，OA=(0,1,2),OB=(2,0,-1),BC= 2x号 4 3 (1,2,2), 7=7 所以OB.BC=2X1十0X2+(-1)×2=0,故A正确； 2x√（侣+1+22 所以os(0A,0)=0A·O店 -2 2 1OA11OB1√5×5 一5，故B 所以n,=coe(a市，a=35, 正确； 又油市-子 因为OB.BC=0,所以OB⊥BC,OB=5,所以点0到直 线BC的距离为√5，故C正确； 所以点P到直线AB的距离为A血<A立，A店)=号× 0C=(3,2,1), 假设0，A,B,C四点共面，则OA,OB,OC共面， 9-6 设0C=x0A+y0B,即(3,2,1)=x(0,1,2)+y(2,0,-1), 第二章 平面解析几何 因为OA,OB不共线， 2y=3, 学案16坐标法 则x=2, 此方程组无解，所以O,A,B,C四点不共面， 课堂活动 2x-y=1, 活动一 故D错误。 新知导学 故选ABC.] 问题1提示：(1)要使尽可能多的已知，点、直线落在坐标轴上； 4.A[以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， (2)如果图形中有互相垂直的两条直线，则考虑其作为坐 标轴； (3)考虑图形的对称性，可将图形的对称中心作为原，点，将图 形的对称轴作为坐标轴. 新知生成 A y 1.x1A(x1)(1)x2-x1(2)|x2-x1 D 2.(1)(x2-x1y2-y)(2)|AB|V√(z2-x)+(y2-y) K C 3)y=十y2 2 在正四棱台EFGH-MNPQ中， 新知应用 点N到平面EFGH的距离为√（√5）2一(2√2一√2)2=1， 1.(2,10)或（一10,10）[由，点M到x轴的距离等于10可知， 则K(3,0,0),F(0,0,2),N(1,1,3),Z(3,2,3), 其纵坐标为士10. 251■ 设点M的坐标为(xM,士10). 由两点间距离公式， 剩Ab,a)(-号），c(台o), 得|MN|=√(zM+4)+(10-2)7=10或 设P(x,y),则|PA|2+|PB2+|PC2 |MN|=√(xM+4)+(-10-2)7=10(舍)， =+(g)广+(+）》++-》+ 解得xM=一10或xM=2, 所以点M的坐标为(2,10)或（一10,10）.] =3+3y2-5ay+景0 2.等腰直角三角形[：AB=√(3+3)2+(-3-1)7=2√13， |AC1=√1+3)2+(7-1)7=2√13， =3+6-原)广+oa, 又1BC1=√(1-3)2+(7+3)2=2√26， .|AB|2+|AC|2=|BC|2,且|AB|=|AC, 当且仅当x=0,y=6a时，等号成立， ∴.△ABC是等腰直角三角形.] 所以所求最小值为a,此时点P的坐帮为(6，a） 3.解：设C点坐标为(x1y1),则由E为AC的中点， -3=4+ 课堂达标 2 解得21=-10， 1.D[BC的中，点为M(6,0), 得 4=2+ y1=6. 则|AM=√I+64=√65.] 2 2.C[由两点间距离公式得， 设D点坐标为(x2,y2),则由E为BD的中点， |AB|=√(2+1)2+(3-0)7=3W2, |BC1=√(-1-2)2+(0-0)F=3, 2 得 7+y2 解得=-11， y2=1, CA|=√/(2-2)2+(3-0)2=3. 4=2, 故△ABC的周长为6+3√2.] 故C点坐标为（一10,6），D点坐标为（一11,1）. 3.C[设P(t,t+3),d(M,P)=|t-2|+|t+3-1|=|t-2| 活动二 +t+2 新知导学 |-2t,t<-2, 问题2提示：点A在第一象限台x>0,y>0; =4,-2≤t≤2， 点A在第二象限曰x<0,y>0; 2t,t>2, 点A在第三象限台x<0,y<0; y=一2t在（一∞，一2）上单调递减，y=2t在(2，+∞)上单 点A在第四象限台x>0,y<0; 调递增， 点A在x轴上台y=0; 均有d(M,P)>4,所以当一2≤t≤2时，d(M,P)取得最小值4. 点A在y轴上台x=0. 故选C.] 新知应用 证明：如图，以A为原，点，边AB所在直线为x轴建立平面直 4[停，)[国为点P1-在第一家限有， 角坐标系，其中D,E分别为AC和BC的中点， 所以任释 由op=r+a-=V2r-2x币=√2（女-》'+2， 特号≤10P1<1] 5.(-2,4)3√17[：在△ABC中，A(1,-2),B(-3,2), 设A(0,0),B(c,0),C(m,n), C(-4,12),设重心为G(xGyG), 则|AB|=|c|. 又由中点坐标公式，得D(受，)E(,2), 6=13-4 3 -2,36=-2+2+12-4, 3 .重心坐标为（一2,4）. DE=生0-g-台DE1=As,P三 又AB的中点坐标为(-1,0)， 角形的中位线长度等于第三边长度的一半。 .AB边上的中线长为√(-1+4)2+(0-12)2 活动三 =3√17.] 新知应用 6.证明：取BC边所在直线为x轴，BC边的 解：以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平 中点为原点，建立平面直角坐标系，如图 面直角坐标系，如图所示 所示， 设A(m,n),B(-a,0),C(a,0)(a>0), 则|AB|2十|AC12=(m十a)2+n2+ (m-a)2+n2=2(m2+a2+n2), 又lAO川2+1OC|2=m2+n2+a2, C .|AB12+|AC12=2(AO12+1OC12). 1126人教B版数学选择性必修第一册 第二章 平面解析几何 课 学案16坐标法 记 昆学习任务 1.通过数轴上两点间的距离公式的探索，掌握平面直角坐标系中两点间的距离公式和中点坐标公 式.（数学抽象） 2.理解坐标法的意义，并会用坐标法解决有关问题.（逻辑推理） 课堂活动 仓新知应用 1.若点M到x轴和到点N(一4,2)的距离都等于 活动一掌握平面直角坐标系中的基本公式 10,则点M的坐标为 阄新知导学 2.已知△ABC的三个顶点坐标是A(一3,1)， 阅读教材P71一72，完成下列问题. B(3,一3)，C(1,7).则△ABC的形状是 问题1如何建立平面直角坐标系？ 3.已知平行四边形ABCD的两个顶点坐标分别 为A(4,2),B(5,7),对角线交点为E(-3,4), 求另外两顶点C,D的坐标. 口新知生成 1.数轴上的基本公式 如果数轴上点A对应的数为x1(即A的坐标 为 ,记作 ),且B(x2). (1)向量AB的坐标为 (2)A,B两点之间的距离为|AB|=|AB|= 「方法总结」(1)两点间距离公式的应用的两种 形式 (3)A,B两点的中点坐标为x=工1十x 2 ①在求到某点的距离满足某些条件的点P(x,y) 2.平面直角坐标系中的基本公式 的坐标时，需要根据已知条件列出关于x,y的方 已知A(x1,y1),B(x2y2). 程或方程组，解之即可. (1)AB= ②利用两点间的距离公式可以判断三角形的 (2)两点间的距离公式： 形状. |AB|= (2)利用中点坐标公式可求得以A(x1,y1), (3)中点坐标公式：若M(x,y)为AB的中点， B(x2,y2),C(x3,y3)为顶点的△ABC的重心坐 则x= x1十x2 2 条为色十，十到 3 1150 坐标法 学案16 活动二。用坐标法证明几何问题 活动三坐标法的应用 听 阄新知导学 今新知应用 记 阅读教材P72一73，完成下列问题. 已知等边三角形ABC的边长为a,在平面上求 问题2平面直角坐标系内一点A(x,y),点A 一点P,使|PA|2+|PB|2+|PC2最小，并求 所在象限与x,y的正负有什么关系？x,y分 此最小值， 别为何值时，点A在坐标轴上？ 新知生成 通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为 代数问题，然后通过代数运算等解决问题的方 法称为坐标法。 新知应用 求证：三角形的中位线长度等于第三边长度的 一半 「方法总结」用坐标法解题时，虽然平面图形的： 几何性质不依赖于平面直角坐标系的建立，但不 同的平面直角坐标系会使计算有繁简之分，因此 在建立平面直角坐标系时必须“避繁就简”. 课堂小结 1.知识清单： (1)数轴上的基本公式. 「方法总结」用坐标法解决平面几何问题的“三 步曲” (2)平面直角坐标系中的两点间距离公式、中点 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方 坐标公式和三角形中的重心坐标公式. 程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化 (3)坐标法的应用. 为代数问题； 2.方法归纳：数形结合 ! 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 3.常见误区：用坐标法解决几何问题时，最后结论 第三步：把代数运算的结果翻译成几何结论 未还原到原几何问题中. 5110 人教B版数学选择性必修第一册 5.在△ABC中，A(1,-2),B(-3,2),C(-4,12), 课 课堂达标 其重心坐标为 ,AB边上的中线长为 记 1.已知△ABC的顶点坐标分别为A(7,8), B(10,4),C(2,一4)，则BC边上的中线AM的 6.已知AO是△ABC的BC边上的中线，证明： 长为 ( |AB|2+IAC12=2(|AO12+OC2). A.8 B.13 C.2√15 D.√65 2.已知△ABC的顶点分别为A(2,3),B(-1,0), C(2,0),则△ABC的周长是 ) A.23 B.3+2√3 C.6+3√2 D.6+√10 3.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯 基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上 的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面 上任意两点A(x1,y1),B(x2,y2)的曼哈顿距 离d(A,B)=|x1-x2|+|y1-y2|,若点 M(2,1),点P是直线y=x十3上的动点，则 d(M,P)的最小值为 ( A.2 B.3 C.4 D.5 4.已知点P(x,1一x)是第一象限内的动点，则动点 P到原点O的距离OP|的取值范围是 课后反思 1152