2.2 直线及其方程-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（人教B版）

2.2　直线及其方程 2.2.1　直线的倾斜角与斜率 学习目标 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念. 2.理解直线斜率的几何意义,掌握倾斜角与斜率的对应关系. 3.掌握过两点的直线的斜率公式. 4.直线倾斜角与斜率的对应关系在解题中的应用. 1.直线的倾斜角 (1)定义:一般地,给定平面直角坐标系中的一条直线,如果这条直线与x轴相交,将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ,则称θ为这条直线的倾斜角;如果这条直线与x轴平行或重合,则规定这条直线的倾斜角为0°. (2)性质:一般地,如果A(x1,y1),B(x2,y2)是直线l上两个不同的点,直线l的倾斜角为θ,则: ①当y1=y2时(此时必有x1≠x2),θ=0°; ②当x1=x2时(此时必有y1≠y2),θ=90°; ③当x1≠x2且y1≠y2时,tan θ=. 2.直线的斜率 (1)定义:如果直线l的倾斜角为θ,则当θ≠90°时,称k=tan θ为直线l的斜率;当θ=90°时,称直线l的斜率不存在.  (2)若A(x1,y1),B(x2,y2)是直线l上两个不同的点,则当x1≠x2时,直线l的斜率为k=;当x1=x2时,直线l的斜率不存在. 3.直线的方向向量 (1)定义:一般地,如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合,则称向量a为直线l的一个方向向量,记作a∥l. (2)直线l的方向向量的性质. ①如果a为直线l的一个方向向量,那么对于任意的实数λ≠0,向量λa都是l的一个方向向量,而且直线l的任意两个方向向量一定共线. ②如果A(x1,y1),B(x2,y2)是直线l上两个不同的点,则=(x2-x1,y2-y1)是直线l的一个方向向量. (3)直线的方向向量与直线的斜率的关系. 一般地,如果已知a=(u,v)为直线l的一个方向向量,则: ①当u=0时,显然直线l的斜率不存在,倾斜角为90°; ②当u≠0时,直线l的斜率是存在的,而且此时(1,k)与a=(u,v)都是直线l的一个方向向量,由直线的任意两个方向向量共线可知1×v=k×u,从而k=,因此可知倾斜角满足tan θ=. 4.直线的法向量 (1)定义:一般地,如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l垂直,则称向量v为直线l的一个法向量,记作v⊥l. (2)直线的方向向量与法向量互相垂直. 斜率与倾斜角的对应关系: 图示 倾斜角 (范围) α=0° 0°<α<90° α=90° 90°<α<180° 斜率 (范围) 0 (0,+∞) 不存在 (-∞,0) 结论:直线的斜率与倾斜角不是一一对应,当倾斜角为90°时,直线的斜率不存在. 　直线的倾斜角和斜率 [例1] (1)过两点A(3-m-m2,-2m),B(m2+2,3-m2)的直线的倾斜角为135°,则实数m的值为　　　　.  (2)已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点,则l的倾斜角的取值范围是　　　　,直线l的斜率k的取值范围是　　　　　　　　　.  解析:(1)根据题意,两点A(3-m-m2,-2m),B(m2+2,3-m2)的直线的倾斜角为135°, 则kAB==tan 135°=-1, 变形可得m2+3m+2=0且2m2+m-1≠0, 解得m=-2. (2)如图,由题意可知kPA==-1,kPB==1,则直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间,又PB的倾斜角是,PA的倾斜角是,所以直线l的倾斜角α的取值范围是≤α≤;要使l与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的取值范围是k≤-1或k≥1. 答案:(1)-2 (2)[,]　(-∞,-1]∪[1,+∞) 针对训练:(1)一条直线l与x轴相交,其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°),则其倾斜角为(　　) A.α B.180°-α C.180°-α或90°-α D.90°+α或90°-α (2)若经过点P(m,-1),Q(5,m)的直线的斜率为2,则m等于(　　) A.1 B.3 C.1或3 D.4 解析:(1)如图,当l向上方向的部分在y轴左侧时,倾斜角为90°+α;当l向上方向的部分在y轴右侧时,倾斜角为90°-α.故选D. (2)因为经过点P(m,-1),Q(5,m)的直线的斜率为2, 所以=2,解得m=3, 经过验证分母不等于0, 所以m=3.故选B. (1)求直线的倾斜角的方法及两点注意. ①方法:结合图形,利用特殊三角形(如直角三角形)求角. ②两点注意:a.当直线与x轴平行或重合时,倾斜角为0°,当直线与x轴垂直时,倾斜角为90°. b.注意直线的倾斜角的取值范围是[0°,180°). (2)求直线的斜率. ①判断两点的横坐标是否相等,若相等,