第1章 学案12 二面角及其度量-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

所以PD与DC所成角的余弦值为 (2)取AC的中点O,连接OD,OE,因为△ACD为正三角形， 4 ,即侧棱所在直线与底 所以DO⊥AC. 面的边所在直线所成的角的余孩值为 因为平面ACD⊥平面ABC,平面ACD∩平面ABC=AC, DOC平面ACD,所以DO⊥平面ABC. 3.D[如图，过E作EH⊥AB, 因为O,E分别为AC,AB的中点，则OE∥BC, 连接CH, D 又因为AC⊥BC,所以OE⊥AC. 因为ABCD为圆台OO1的轴 以O为坐标原，点，OE,OC,OD所在直线分别为x,y,之轴建 裁面，所以平面AEB⊥平面 立如图所示的空间直角坐标系， ABCD, 因为平面AEB∩平面ABCD= B AB,EHC平面AEB, 所以EH⊥平面ABCD, 所以直线CE与平面ABCD所成的角即∠ECH. 因为AB=BC=2CD=4,且AE=√5BE, 则BH=1,BE=2,EH=√EB2-BH=√3，CH=√15， 所以tan∠ECH=E盟-E-5 CH√155 故选D.] ·[取BC的中点D,连接AD,B1D(图略)， 则n(oo3）B(3,2o)M(0,)N(o,, ∴.AD⊥BC 故=(-8，-2n5-01,0.防-(-8是，3） :平面ABC⊥平面BCC1B1,平面ABC∩平面BCC,B= BC,ADC平面ABC, 设平面MNB的法向量为n=(x,y,z),直线BD与平面 AD⊥平面BCC1B1, MNB所成的角为B, ∠AB1D即为AB1与侧面BCC1B1所成的角. 则n·B=0,即←8x-2y+52=0, 即 设正三棱柱的各棱长为2， n·MN=o,y=0. AD√3√6 在Rt△AB1D中，sin∠AB1D 令x=√5，则n=(√5,0,3)， AB,224’ AB与侧面BCC,B,所成角的正孩值为5] 则sing=cos(BD,n=BD·nl IBDn 33 53 [如图所示，以O为坐标原 -33+93 2 2 v② A 点，建立空间直角坐标系Oxyz, V/99 427 3V2X238 4 ×√3+9 则A(0,0,3),B(2,0,0),C(0,3,0), 直线OB的方向向量OB=(2,0,0), 所以直线BD与平面MNB所成角的正孩值为 AB=(2,0,-3),AC=(0,3,-3). 学案12二面角及其度量 设m=(x,y,z)是平面ABC的一个 法向量， 课堂活动 1AB·m=2x-3x=0, 活动一 则衣.m=3y一3z=0 新知导学 问题1提示：四部分，四个. 令=1，可得m=(受，1小， 问题2提示：①概念的不同.二面角：从一条直线出发的两个 半平面组成的图形；两个平面所成的角：两个平面相交时，形 ∴.lcos(OB,m)l= OB·ml 3 _3√17 成四个二面角，其中不小于0°且不大于90°的角称为两个平 IOBIIml 2x17 17, 面所成的角.②范围的不同.二面角0的范围：0≤0≤π，两个 2 故直线OB与平面ABC所成角的正孩值为3Y7 平面所成的角0的范周：0≤0≤受 新知生成 6.解：(1)证明：因为E,F分别为AB,BC的中，点，所以EF∥ 1.两个半平面棱面 AC,因为AM=2MD,CN=2ND,即D_DN=1, 2.平面角平面角大小直二面角 平DA=DC=3, 新知应用 所以MN∥AC,所以EF∥MN.又MNC平面MNB,EF B[因为PA⊥BC,AC⊥BC,PA∩AC=A, 平面MNB,所以EF∥平面MNB. 所以BC⊥平面PAC. 171 又ADC平面PAC,所以AD⊥BC 课堂达标 又AD⊥PC,BC∩PC=C, 1.C 所以AD⊥平面PBC,因为PBC平面PBC,所以AD⊥PB. 2.D[如图，取正方形ABCD的 又AE⊥PB,AD∩AE=A, 中心O,AB的中点F,连接OE, 所以PB⊥平面ADE,又DEC平面ADE,所以DE⊥PB, OF,SE,SF,则OF⊥AB, 所以∠AED为二面角A-PB-C的一个平面角.] 过，点E作EG∥OF,OG∥EF, D 活动二 连接SG,则四边形OGEF是 新知应用 平行四边形， 解：取VB的中点E,连接AE,CE,AC. 所以四边形OGEF是矩形，所 A .VA=AB=BC=VC, 以EG⊥OG. ∴.AE⊥VB,CE⊥VB 由题可知a=∠SEG,B=∠SFO,Y=∠SEO,且a,B,y均为 ∴∠AEC是二面角A-VB-C的平面角 D E 锐角， 设AB=a,在△AEC中， 由于SO⊥平面ABCD,EGC平面ABCD,所以SO⊥EG, 又SO∩OG=O,SO,OGC平面SOG, AE=5Ca,AC=2a,由余孩定理 所以EG⊥平面SOG, 的推论可知， 因为SGC平面SOG,所以EG⊥SG, 停)+（停）-a 所以ana=tan∠SBG-2器，an月=an∠SFO SO OF,tan y cos∠AEC 3 SO 2ax 2a -tan/SEO-OE' 又OF≤OE,所以tanB≥tanY,所以B≥Y, &二面角AVBC的余孩值为-3 又OF=EG,SO≤SG,所以tana≥tanB,所以a≥B, 活动三 综上，Y≤B≤a. 新知导学 故选D.] 问题3提示：作AD⊥BC,连接A'D,则A'D为AD在平面a 上的射影，由三垂线定理的逆定理可知A'D⊥BC,则 7 [△MPD在平面ABCD上的射影为△ABD,易 1BCXA'D 得SAABD=2. ∠ADA'=0,故有cos0= S△AEC 设平面PMD与平面ABCD所成角的大小为0， AD 2BCXAD S△ABC 当M,P在平面ABCD同侧时，S△D=√6， .'.cos 0= S△ABD=V6 S△MPD 3 当M,P在平面ABCD异侧时，S△MPn=√I4, .∴.cos0= S△ABD=V1I4 新知应用 SAMPD 7 解：如图，设BE=y,由已知可得，在 Rt△ADE中，AE2=AD2+DE2,即 到牛南PAD与卡而ABCD所成商的余袋位为誓或四] 12+y2=(12+12)+[12+(y-1)2], 4.60°[设二面角P-AB-C的大小为0，PA=PB=PC,P在平 3 解得y=2 面ABC上的射影O为△ABC的中心，所以SAOAB= 1 2 1 3SaAc,又SaPs=3 S,所以cos0= S△PAB 以9=60°.] -0 4 3 [如图，过点P作PE⊥B,垂足为E,过点E作EF⊥ m-合×1x9-号 1 AB,垂足为F,连接OE,PF,则∠POE为直线PO与平面3 所成的角，∠PFE为二面角a-AB-B的平面角， 设平面ADE与平面ABC所成角的大小为0，又因为平面 ABC可看作平面ADE在三棱柱底面上的射影，则 √3 cos 0=- 4 √30 10 10 设OP=√2a,则在Rt△PEO中，由∠POE=45°，可得PE 4 =a; “平面ADE与平面ABC所成角的余孩值为√3 10 在R△PF0中，由∠POF=60,可得PF=2a·60=5。 a 118 所以(m,n〉=120°，又因为二面角的大小与法向量夹角相等 在Rt△PEF中，sin∠PFE 长a,即二面角。 √6 或互补，所以二面角a-l-3的大小可能是60°或120°.] 2 活动二 ABB的正孩值为 新知应用 3· 6.解：(1)证明：因为PA⊥平面ABCD,ADC平面ABCD,所以 解：1)证明：由AB=8AD=5,正-号ò正-}忘， PA⊥AD. 得AE=2√5，AF=4. 又AD⊥PB,PB∩PA=P,PB,PAC平面PAB,所以AD 又∠BAD=30°，在△AEF中，由余弦定理得 ⊥平面PAB, EF=√AE2+AF2-2AE·AFcos∠BAD 因为ABC平面PAB,所以AD⊥AB. 因为BC2+AB2=AC2,所以BC⊥AB, =12+16-2×23×4×? =2. 根据平面知识可知AD∥BC, 所以AE2十EF2=AF2,则AE⊥EF,即EF⊥AD, 又AD中平面PBC,BCC平面PBC,所以AD∥平面PBC. 所以EF⊥PE,EF⊥DE, (2)如图所示，过点D作DE⊥AC于E,再过点E作EF⊥ 又PE∩DE=E,PE,DEC平面PDE CP于F,连接DF, 所以EF⊥平面PDE, 又PDC平面PDE,故EF⊥PD (2)连接CE,由∠ADC=90°，ED=3√3，CD=3, 则EC2=ED2十CD2=36,EC=6, D 在△PEC中，PC=4√5，PE=23,EC=6, 则EC2+PE2=PC2, 所以PE⊥EC,由(1)知PE⊥EF, 又EC∩EF=E,EC,EFC平面ABCD, 因为PA⊥平面ABCD,PAC平面PAC,所以平面PAC⊥平 所以PE⊥平面ABCD,又EDC平面ABCD, 面ABCD,而平面PAC∩平面ABCD=AC,DE⊥AC,DEC 所以PE⊥ED,则PE,EF,ED两两垂直，以E为坐标原点， 平面ABCD, 建立如图所示的空间直角坐标系Exyz, 所以DE⊥平面PAC,又因为EF,CPC平面PAC,所以DE ⊥EF,DE⊥CP.又EF⊥CP,EF∩DE=E,EF,DEC平面 DEF,所以CP⊥平面DEF,又DFC平面DEF,所以CP ⊥DF. 根据二面角的定义可知，∠DFE即为二面角A-CP-D的平 面角， 即sin∠DFE=√厘，即tan∠DFE=5. 7 则E(0,0,0),P(0,0,23),D(0,3√5,0)，C(3,3√3,0)， 因为ADLDC,设AD=x,则CD=√4-xZ,由等面积法可 F(2,0,0),A(0,-2√3,0). 得，DE=飞√4一x2 由F是AB的中点，得B(4,2W3,0), 2 所以PC=(3,3√5，-23)，PD=(0,3V5,-23),PB= 又CE= √4-x)-4-=4-x (4,2√5，-2√3)，PF=(2,0,-25), ,而△EFC为等腰 4 2 设平面PCD和平面PBF的一个法向量分别为n=(x1,y1, 直角三角形，所以EF=4一x 21),m=(x2y2,22), 22 n·PC=3x1+3V5y1-2W5z1=0, x√4-x 则 2 n·PD=33y1-25z1=0, 故tan∠DFE= 4-x2 =√6，解得x=√3，即AD=√3. m·PB=4x2+2V3y2-2√3x2=0, 2√2 m·PF=2x2-2√3z2=0, 学案13 用空间向量求二面角的大小 令y1=2,得x1=0,21=3,令x2=3,得y2=-1,之2=1， 课堂活动 所以n=(0,2,3),m=(W5,-1,1), 活动一 1 √65 新知导学 所以cos(mm=mn5X√眉65， 问题提示：两个平面的法向量的夹角与两平面所成的角相等 设平面PCD和平面PBF所成角为0，则sin0=√1一cos日 或互补 =865 新知应用 65 m·n -1 C[cosm,n〉= mm√2X2 2 即平面PCD与平西PBF所成的二面角的正孩值为8y6丽 65 191人教B版数学选择性必修第一册 课 学案12二面角及其度量 记 昆学习任务 1.掌握二面角的概念、二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角.（数学抽象） 2.掌握求二面角的基本方法步骤.（数学运算） 射线OA和OB,则射线OA和OB所成的角称 课堂活动 为二面角的 、二面角的大小用它 活动一理解二面角的相关概念 的平面角大小来度量，即二面角大小等于它的 阄新知导学 特别地，平面角是直角的二面角 称为 阅读教材P49,完成下列问题. 问题1两个相交平面把空间分成几部分？其中 产生几个半平面？ 3.二面角的范围：[0，π]. 4.两个平面所成的角 两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它 们所形成的四个二面角中，不小于0°且不大于 问题2二面角与两个平面所成的角有何区别？ 90的角的大小. 提醒：(1)二面角是由两个半平面和一条棱构成 的图形 (2)二面角的平面角与点O在1上的位置无关. (3)二面角0的范围：0≤0≤π，两个平面所成角 后新知生成 0的范国：0≤0≤受 1.二面角 今新知应用 平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其 已知平面α内有一个以AB为直径的圆，PA⊥ 中的每一部分都称为一个半平面.从一条直线 a,点C在圆周上（异于点A,B),点D,E分别 出发的 所组成的图形称为二面 是点A在PC,PB上的射影，则 () 角.如图所示，其中，直线1称为二面角的 A.∠ADE是二面角A-PC-B的一个平面角 这两个半平面称为二面角的 ,如图中的 B.∠AED是二面角A-PB-C的一个平面角 a,B. C.∠DAE是二面角B-PA-C的一个平面角 D.∠ACB是二面角A-PC-B的一个平面角 「方法总结」构造二面角的平面角，一般在棱上 2.二面角的平面角 取一点O,然后分别在两个半平面内作射线OA, 如图，在二面角α-l-3的棱上任取一点O,以O OB均与该棱垂直，则∠AOB即为二面角的一个 为垂足，分别在半平面α和B内作垂直于棱的 平面角. 1138 二面角及其度量学案12 活动二几何法求二面角 厅新知生成 听 今新知应用 已知平面3内一个多边形的面积为S,它在平 记 如图，四边形ABCD是正方 面a内的射影图形的面积为S',平面a和平面 形，V是平面ABCD外一点， 9所成的二面角的大小为0，则c0s9= 且VA=VB=VC=AB,求二 面角A-VB-C的余弦值， 新知应用 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为1， 侧棱长为3，D,E分别是侧棱CC1和BB1上的 点，且CD=1,AD⊥DE,求平面ADE与平面 ABC所成角的余弦值. 「方法总结」利用几何法求二面角的过程要体 现一作、二证、三计算，即首先作出二面角的平面 角，然后证明（或说明）所作角为什么是二面角的 平面角，最后计算出二面角的平面角大小. 活动三射影面积法求二面角 阄新知导学 【方法总结」公式ms0-写的意义：9为二面角 的大小，S为在二面角的一个半平面内的图形F 阅读教材P50一51，完成下列问题. 的面积，S为图形F在另一个半平面内的射影F' 问题3如图，△ABC在平面 的面积.当二面角为钝角时，此时二面角的大小为： a上的射影为△A'BC,二面 π-0. 角A-BC-A'的大小为0，则 cos0,S△ABC,S△A'BC之间有什么样的关系？ 七课堂小结 1.知识清单： (1)二面角及其度量. (2)几何法求二面角. (3)二面角与面积之间的联系 2.方法归纳：数形结合、转化法、代入法。 3.常见误区：二面角与两个平面所成的角易混淆. 3911 人教B版数学选择性必修第一册 听 6.(2024·新高考I卷)如图，四棱锥P-ABCD 课堂达标 中，PA⊥底面ABCD,PA=AC=2,BC=1, 笔 1.如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一 AB=√3. 个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大 小关系是 A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.不能确定 2.在正四棱锥S-ABCD中，E是线段AB上的动 点.设直线SE与直线BC所成的角为a,二面 (1)若AD⊥PB,证明：AD∥平面PBC; 角S-AB-C为B,直线SE与平面ABCD所成 (2)若AD⊥DC,且二面角A-CPD的正弦值 的角为Y,这三个角的关系正确的是 ( 为42 A.a≤B≤Y B.a≤Y≤B ,求AD. C.y≤a≤B D.Y≤B≤a 3.四边形ABCD是边长为2的正方形，MA和 PB都与平面ABCD垂直，且PB=2MA=2, 则平面PMD与平面ABCD所成角的余弦值 为 4.已知△ABC是正三角形，P是△ABC所在平 面外一点，PA=PB=PC.若S△PAB:S△ABC= 2：3,则二面角P-AB-C的大小为 5.已知点O在二面角aAB-3的棱上，点P在平 面a内，∠POB=60°，若直线PO与平面3所 成的角为45°，则二面角a-AB-3的正弦值 为 课后反思 、 1140