第1章 学案11 直线与平面的夹角-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

学案11直线与平面的夹角 新知应用 解：过点C作CD⊥AC,交AB于点D, 课堂活动 以C为坐标原点，CA,CD,CP所在直线分别为x,y,轴，建 活动一 立如图所示的空间直角坐标系Cxyz, 新知生成 由题意得，P(0,0,3),C(0,0,0),A(2,0,0),B(-15,0), 1.唯一确定 2.(1)斜足射影∠ABA'(2)0°≤0≤90°∥C⊥ 新知应用 解：如图，过点A,E分别作AO⊥平 则i-80.-(号9)i-(-15, 面BCD,EG⊥平面BCD,O,G为 设平面ACQ的法向量为n=(x,y,z), 垂足. ∴AOL2GE,AO,GE确定平面B ·CA=0,/2x=0, 西-0++-0… 则{ 即1 AOD.连接GC,则∠ECG为CE与 平面BCD所成的角. 解得x=0,令x=-1,则y=3,故n=(0,√5，-1) 由正四面体性质知O为△BCD的 设直线PB和平面ACQ所成角为日 中心，连接DO并延长交BC于点F,则F为BC的中，点 令正四面体棱长为1， 则in0=cos(Pi,m=PB·nl IPBIIn 2,DF= 可求得CE= 2 0D= -31 (-1w3,-3)·(0w3,-1)_313 /1+3+9×W3+1 13 A0=VaD-D--哥-5， 故直线PB和平面ACQ所成角的余弦值为。1- /3√1313 13 EG=V 6 =213 13 在Rt△ECG中，sin∠ECG- EG-② CE与平面BCD所成角的正弦值为写 活动二 新知导学 问题1提示：∠AOB≤∠AOC.如 图，过点B作BE⊥OC,E为垂足， D 则由三垂线定理得AE⊥OC,所以 课堂达标 s∠A0B-识sn乙A0C-货， AE 1.B[如图，直线l与平面a相交，点A,B在1上，AB=4,且 显然AB≤AE,所以有∠AOB≤∠AOC,当OC与OB重合 线段AB在a内的射影长为2√2， 时等号成立 新知生成 cos0=cos01cos02最小的角 新知应用 D[如图，设点A在平面BPC内的射影 22 为点O,连接OP, 设1与a所成角的大小为0， ,∠APB=∠APC, ,点O在∠BPC的角平分线上， 则c0s90=22- 42 .∠OPC=30°，∠APO为PA与平面 PBC所成的角. 1与a所成角的大小为平 ∴.cos∠APC=cos∠APO·cos∠OPC, 故选B.] 即cos60°=cos∠APO·cos30°， 2.A[如图，正四棱锥P-ABCD,PO⊥ a0-9J 平面ABCD,四边形ABCD为正方形， 记∠PDO=01,∠CD0=02,∠PDC 活动三 =0 新知导学 问题2提示：不是. 依题意01=3,0：=4’ 问题3提示0=登-0，m)或0=(，)一受 因为c0s0=c0s01·c0s02= 2×2 4 116 所以PD与DC所成角的余弦值为 (2)取AC的中点O,连接OD,OE,因为△ACD为正三角形， 4 ,即侧棱所在直线与底 所以DO⊥AC. 面的边所在直线所成的角的余孩值为 因为平面ACD⊥平面ABC,平面ACD∩平面ABC=AC, DOC平面ACD,所以DO⊥平面ABC. 3.D[如图，过E作EH⊥AB, 因为O,E分别为AC,AB的中点，则OE∥BC, 连接CH, D 又因为AC⊥BC,所以OE⊥AC. 因为ABCD为圆台OO1的轴 以O为坐标原，点，OE,OC,OD所在直线分别为x,y,之轴建 裁面，所以平面AEB⊥平面 立如图所示的空间直角坐标系， ABCD, 因为平面AEB∩平面ABCD= B AB,EHC平面AEB, 所以EH⊥平面ABCD, 所以直线CE与平面ABCD所成的角即∠ECH. 因为AB=BC=2CD=4,且AE=√5BE, 则BH=1,BE=2,EH=√EB2-BH=√3，CH=√15， 所以tan∠ECH=E盟-E-5 CH√155 故选D.] ·[取BC的中点D,连接AD,B1D(图略)， 则n(oo3）B(3,2o)M(0,)N(o,, ∴.AD⊥BC 故=(-8，-2n5-01,0.防-(-8是，3） :平面ABC⊥平面BCC1B1,平面ABC∩平面BCC,B= BC,ADC平面ABC, 设平面MNB的法向量为n=(x,y,z),直线BD与平面 AD⊥平面BCC1B1, MNB所成的角为B, ∠AB1D即为AB1与侧面BCC1B1所成的角. 则n·B=0,即←8x-2y+52=0, 即 设正三棱柱的各棱长为2， n·MN=o,y=0. AD√3√6 在Rt△AB1D中，sin∠AB1D 令x=√5，则n=(√5,0,3)， AB,224’ AB与侧面BCC,B,所成角的正孩值为5] 则sing=cos(BD,n=BD·nl IBDn 33 53 [如图所示，以O为坐标原 -33+93 2 2 v② A 点，建立空间直角坐标系Oxyz, V/99 427 3V2X238 4 ×√3+9 则A(0,0,3),B(2,0,0),C(0,3,0), 直线OB的方向向量OB=(2,0,0), 所以直线BD与平面MNB所成角的正孩值为 AB=(2,0,-3),AC=(0,3,-3). 学案12二面角及其度量 设m=(x,y,z)是平面ABC的一个 法向量， 课堂活动 1AB·m=2x-3x=0, 活动一 则衣.m=3y一3z=0 新知导学 问题1提示：四部分，四个. 令=1，可得m=(受，1小， 问题2提示：①概念的不同.二面角：从一条直线出发的两个 半平面组成的图形；两个平面所成的角：两个平面相交时，形 ∴.lcos(OB,m)l= OB·ml 3 _3√17 成四个二面角，其中不小于0°且不大于90°的角称为两个平 IOBIIml 2x17 17, 面所成的角.②范围的不同.二面角0的范围：0≤0≤π，两个 2 故直线OB与平面ABC所成角的正孩值为3Y7 平面所成的角0的范周：0≤0≤受 新知生成 6.解：(1)证明：因为E,F分别为AB,BC的中，点，所以EF∥ 1.两个半平面棱面 AC,因为AM=2MD,CN=2ND,即D_DN=1, 2.平面角平面角大小直二面角 平DA=DC=3, 新知应用 所以MN∥AC,所以EF∥MN.又MNC平面MNB,EF B[因为PA⊥BC,AC⊥BC,PA∩AC=A, 平面MNB,所以EF∥平面MNB. 所以BC⊥平面PAC. 171直线与平面的夹角 学案11 学案11直线与平面的夹角 听 昆学习任务 笔记 1.理解斜线与平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性.（数学抽象） 2.会利用空间向量求直线与平面的夹角.（逻辑推理、数学运算） 「方法总结」利用定义法求线面角时，关键是找 课堂活动 到斜线在平面内的射影，找射影有以下两种方法： 活动一求直线与平面所成的角 ①斜线上任一点在平面内的射影必在斜线在平面· 后新知生成 内的射影上；②利用已知垂直关系得出线面垂直，！ 确定射影. 1.斜线与平面所成的角 活动二掌握最小角定理 平面的一条斜线在平面内的射影是 的，因此，平面的斜线与它在平面内的射影所成 阄新知导学 的角，称为这条斜线与平面所成的角， 阅读教材P45,完成下列问题. 2.直线与平面所成的角 问题1如图，OA为平面a的一条斜线，OB是 (1)定义：如图，如果直线AB是平面a的一条 OA在平面a内的射影，OC为a内的任一射 斜线，B为 ,A'B是直线AB在平面a 线，猜想∠AOB与∠AOC的大小关系并尝试 内的 ,则 就是直线AB与平 证明. 面a所成的角 (2)范围：直线与平面α所成的角0的范围 是 当0=0时，AB a或AB a; 当0=90时，AB a. 新知应用 后新知生成 在正四面体ABCD中，E为棱AD的中点，连 如图，AB⊥a,则图中0,01,02之间的关系 接CE,求CE与平面BCD所成角的正弦值. 是 平面的斜线与平面所成的角，是斜线和这个平！ 面内所有直线所成角中 3511 人教B版数学选择性必修第一册 听 提醒：(1)辅助记忆：这三个角中，0是最大的， 新知生成 其余弦值最小，等于另外两个角的余弦值之积， 如图所示，v为直线l的一个方向向量，n为平 记 其中0,01,02分别称为斜角、立角、平角，它们 面a的一个法向量. 之间的余弦关系式又称为斜立平公式 (2)从空间一点O引出的三条射线OA,OB,OM 满足cos∠AOM=cOs∠AOB·cos∠BOM,则平 面AOB⊥平面BOM. 0= π -〈v,n〉或0=〈v,n〉 π 今新知应用 2’ 特别地，cos0=sin(v,n),sin0=|cosv,n). 如果∠APB=∠BPC=∠CPA=60°，则PA 提醒：(1)直线与平面所成的角，可以转化为直 与平面PBC所成角的余弦值为 ) 线的方向向量与平面的法向量的夹角. A.2 R (2)直线与平面所成的角等于其方向向量与平 面法向量所成锐角的余角. C 3 今新知应用 !「方法总结」公式cos0=cos01·cos02在解题 如图，在三棱锥P-ABC中， 时经常用到，可用来求线面角1.在应用公式时， PC⊥底面ABC,AC=CB 一定要分清0,01,02分别对应图形中的哪个角. =2,PC=3,∠ACB=120°， Q为PB的中点，求直线PB 活动三用空间向量求直线与平面的夹角 和平面ACQ所成角的余 阄新知导学 弦值. 阅读教材P46一48，完成下列问题， 问题2直线的方向向量与平面的法向量所成的 角是直线与平面所成的角吗？ 问题3设直线与平面所成的角为0，直线的方向 向量为v,平面的法向量为n,则0与v,n〉有 什么关系？ 「方法总结」用向量法求直线与平面所成的角 的步骤 (1)建系；(2)写相关点的坐标；(3)写出直线的方 向向量a;(4)求平面的法向量n;(5)代入公式 in0=cosa,n)三8m9(6)回归儿何向题， 1136 直线与平面的夹角学案11 课堂小结 4.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面 听 边长相等，则AB1与侧面BCC1B,所成角的正 1.知识清单： 笔 弦值是 (1)直线与平面所成的角及其性质. 5.如图，在三棱锥O-ABC中，OA,OB,OC两两 (2)利用空间向量求直线与平面的夹角， 垂直，OA=OC=3,OB=2,则直线OB与平面 2.方法归纳：数形结合、代入法、转化法. ABC所成角的正弦值为 3.常见误区： (1)应用cos0=cos01·cos02时混淆各角. (2)利用空间向量求直线与平面的夹角时，忽略 0 所求夹角与求出的向量夹角的区别 七课堂达标 6.如图，在四面体ABCD 中，△ACD是边长为3 1.已知直线l与平面a相交，点A,B在1上，AB 的正三角形，△ABC是 =4,且线段AB在a内的射影长为2√2，则1 以AB为斜边的等腰直 与a所成角的大小为 ( 角三角形，E,F分别为 A. B c D.2 AB,BC的中点，AM= 2.在正四棱锥P-ABCD中，侧棱与底面所成的角 2MD,CN=2ND. (1)求证：EF∥平面MNB; 为，则侧棱所在直线与底面的边所在直线所 (2)若平面ACD⊥平面ABC,求直线BD与平！ 成的角的余弦值为 面MNB所成角的正弦值. A号 B6 4 C③ 4 3.如图，圆台OO1的轴截面是等腰梯形ABCD, AB=BC=2CD=4,E为下底面⊙O上的一 点，且AE=√3BE,则直线CE与平面ABCD 所成角的正切值为 ( D A0B A.2 b.2 C.√5 D.5 5 课后反思 371