第1章 学案10 空间中直线、平面的平行与垂直-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

新知应用 2.D[因为a⊥3，所以m·n=0,即3×(-1)+1×1+(-2) 1.B[根据题意可得m⊥n, ×k=0,解得=一1. 所以m·n=-8-2+2x=0,解得x=5. 故选D.] 故选B.] 3.A[直线1的方向向量a=(1,2,一1)， 2.D[因为l⊥a,故u∥n, 平面a的法向量m=(一2，一4，k),l⊥a, 13=λ， ..a//m, 故存在实数入，使得u=n,故a十b=2λ， a-b=3入， =品会解得=2 _15 故选A.] a=2' 4.垂直[由三垂线定理，可知PC与BD垂直.] 则 5.①②③[根据题意，不妨设正方体的棱长为1， 则C(1,1,0),C1(1,1,1),B(1,0,0). 故选D.] 对于①，CC1=(0,0,1),则直线CC1的一个方向向量为(0,0， 3.B[因为n1=(W3,x,2),n2=(一3，W3,-2√3)分别是平面 1),正确； a,B的法向量，且aB, 对于②，BC1=(0,1,1),则直线BC1的一个方向向量为(0， 所以中温-后后所开 1,1),正确； 对于③，因为AB⊥平面B1C1CB,而AB=(1,0,0), 故选B.] 故（一1,0,0）可作为平面B1C1CB的法向量，即③正确； 活动三 对于④，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为CD⊥平面 新知导学 B1C1CB,BC1C平面B1C1CB, 问题4提示：无数条. 则BC1⊥CD,易得BC1⊥B1C,又CD∩B1C=C,故BC1⊥ 新知生成 平面B1CD, 1.射影斜线 而BC1=(0,1,1),即BC1可作为平面B1CD的法向量，故④ 2.斜线射影 错误.] 新知应用 6.解：由题意得A(0,0,0),D(1,0,0),C(2,2,0),S(0,0,2). 证明：如图，连接AO并延长交BC于点E,连接PE :AD⊥平面SAB,.AD=(1,0,0)是平面SAB的一个 法向量 设平面SCD的法向量为n=(x,y,z),则DC=(1,2,0),DS =(-1,0,2) n·DC=0, |x+2y=0, . n·Ds=0, -x+2x=0, PA⊥平面ABC,AE⊥BC(O是△ABC的垂心)， BC⊥PE(三垂线定理)， 任22”令x=1,则a=(1,-合，安）】月 x=2z. 点Q在PE上. ,AE⊥BC,PE⊥BC,AE∩PE=E,AE,PEC平面PAE, a=(1,-子，安）即为平面SCD的一个法向量. .BC⊥平面PAE, 学案10 空间中直线、平面的平行与垂直 又OQC平面PAE,.BC⊥OQ. 连接BO并延长交AC于点F,则BF⊥AC; 课堂活动 连接BQ并延长交PC于点M,则BM⊥PC,连接MF 活动一 PA⊥平面ABC,BF⊥AC, 新知应用 .BF⊥PC(三垂线定理). 证明：如图所示，以D为坐标原点，建 ,BM⊥PC,BF⊥PC,BM∩BF=B,BM,BFC平面BMF, 立空间直角坐标系， .PC⊥平面BMF, 设PD=DC=a. 又OQC平面BMF, 连接AC,交BD于点G,连接EG, 依题意得D(0,0,0),A(a,0,0), ∴.PC⊥OQ. 又BC∩PC=C,BC,PCC平面PBC, P0,0a),C(0,a,0),E(0,22） 所以OQ⊥平面PBC. B(a,a,0). 课堂达标 法一：设平面BDE的法向量为n=(x,y,z), 1.CD[选项A,B显然是正确的；对于C,与平面垂直的直线的 方向向量都是平面的法向量，法向量方向不唯一，则平面的 又D-(0,受号)脑-a,受-号） 单位法向量也不唯一，C不正确；当a,b共线时，n不一定是 n·DE=0, 平面a的法向量，D不正确.] 则有 n·EB=0, 1311 gy+)=0, 法二：设正方体的棱长为2，以D 即p+=0, 为坐标原点，DA,DC,DD1所在 a(+-)=0， 2x+y-z=0. 直线分别为x轴、y轴、x轴建立 如图所示的空间直角坐标系， 令=1，则1，所以n=（1,-1,1D, 则A(2,0,0),C(0,2,0),B1(2,2, ly=-1, 2),E(2,2,1),F(1,1,2), 又PA=(a,0,-a), .EF=(-1,-1,1), 所以n·PA=(1,-1,l)·(a,0,-a)=a-a=0, AB1=(0,2,2),AC=(-2,2,0), 所以n⊥PA. EF.AB1=(-1,-1,1)·(0,2,2)=-2+2=0, 又PA丈平面EDB,所以PA∥平面EDB. 法二：因为四边形ABCD是正方形， EF.AC=(-1,-1,1)·(-2,2,0)=2-2+0=0, 所以G是此正方形的中心， ∴EF⊥AB1,EF⊥AC, 故点G的坐标为（台，号0）， .EF⊥AB1,EF⊥AC. 又AB1∩AC=A,AB1,ACC平面B1AC, 所以=（号0，-） .EF⊥平面B1AC 法三：由法二得AB1=(0,2,2), 又PA=(a,0,-a), AC=(-2,2,0),EF=(-1,-1,1). 所以PA=2EG,则PA∥EG 设平面B1AC的法向量为n=(x,y,z), 因为EGC平面EDB,且PA中平面EDB, 则AB1·n=0,AC·n=0, 所以PA∥平面EDB. 法三：假设存在实数入，以使得 。 PA=λDE+EB, 取x=1,则y=1,z=-1, 即a0,-a)=A(0,g,）+r(a,2,-2) .n=(1,1,-1), :.EF=-n, [a=ua, 则有0=A,2+…受， EF∥m,EF⊥平面BAC 活动三 -a=-…2, 新知应用 证明：法一：因为AB=4,BC=CD=2, 解得A=一1， D F是棱AB的中点， μ=1. 所以BF=BC=CF D 所以PA=-DE+EB,所以PA,DE,EB共面. 所以△BCF为正三角形】 M 又PA庄平面EDB,所以PA∥平面EDB. 因为四边形ABCD为等腰梯形， 活动二 所以∠BAD=∠ABC=60° 新知应用 取AF的中点M,连接DM, 证明：法-：设AB=a,AD=c,AA1=b 则DM⊥AB,所以DM⊥CD 则录-B+B,京-2(BB+BD 以D为坐标原点，DM,DC,DD1所在直线分别为x轴、y 轴、之轴建立如图所示的空间直角坐标系， =AA+励)=号M+a市-a 则D(0,0,0),D1(0,0,2),A(W3,-1,0), =2(-a+b+e, F(3,1,0),C(0,2,0),C1(0,2,2), 所以DD1=(0,0,2),DA=(3,-1,0), AB:-AB+AA:-a+b, C=W3,-1,0),CC=(0,0,2), ,Ad=号(-a+b+o)a+b) 所以DD1CC1,DACF,即DD1∥CC1,DACF, =26-a2+eate…b) 又DD1丈平面FCC1,CC1C平面FCC1,所以DD1∥平面 FCC1,同理，DA∥平面FCC1,又DD1∩DA=D, =2613-a9=0. DA,DD1C平面AA1D1D, 所以平面AA1D1D∥平面FCC1 EF⊥AB1,即EF⊥AB1 同理，EF⊥B1C. 法二：由法一得DD1=(0,0,2),DA=(W5,-1,0),C京- 又AB1∩B1C=B1,AB1,B1CC平面B1AC, (W3,-1,0),CC1=(0,0,2), ∴.EF⊥平面B1AC 设平面AA1D1D的法向量为n=(x,y,x), 114 n·DD1=2z=0, z=0, 2.A[由题意，AB=(-1,1,0),BC=(0,-1,1), 则{ 即 n·DA=5x-y=0,y=5x 令x=1,则n=(1W5,0). 又n·AB=0,n·BC=0, 设平面FCC1的法向量为m=(a,b,c), 所以以n为方向向量的直线与平面ABC垂直.] m·c-5a-6=0即5a=b,令a=-1,剥m 3.B[如图，以C1为坐标原点，分别以C1B1,C1D1,C1C所在 m.cC=2c=0, c=0, 直线为x,y,之轴，建立空间直角坐标系. （-1,-3,0), .n=-m,∴.n∥m,.平面AA1D1D∥平面FCC1. 活动四 新知应用 解：(1)证明：：平面ADEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平 面ABCD=AD,AF⊥AD,AFC平面ADEF,.AF⊥平面 ABCD. x .ACC平面ABCD,.AF⊥AC.过A作AH⊥BC于H(图 因为A,M=AN=巨。 , 略)，则BH=1,AH=√3，CH=3, ..AC=2V3,..AB2+AC2=BC2, 所以M(a,号a,号）N(a,a): ∴.AC⊥AB. ,AB∩AF=A,AB,AFC平面FAB, 所以=(-号0，号a) ,∴.AC⊥平面FAB. 又C1(0,0,0),D1(0,a,0), BFC平面FAB,AC⊥BF 所以C1D1=(0,a,0), (2)存在，理由如下：由(1)知，AF, AB,AC两两垂直.以A为坐标原点， 因为MN·C1D1=0, AB,AC,AF的方向分别为x轴、y 所以MN⊥C1D1. 轴、2轴正方向，建立如图所示的空间 因为C,D,是平面BB,C1C的一个法向量，且MN￠平 直角坐标系Axyz, 面BB1C1C, 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2√3,0)，E(-1√3,2). 所以MN∥平面BB,C1C.] 假设在线段BE上存在一，点P满足题意，则易知，点P不与，点 4.AD[对于A,a·=1×2-1X1+2×(-分)=0， B.E重合，配-2 则a⊥b,所以直线l与m垂直，故A是真命题； >P作=) 对于B,a·n=0,则a⊥n, 所以l∥a或lCa,故B是假命题； 设平面PAC的法向量为m=(x,y,z), 对于C,m1·n2=6, 由正-（梁）： 所以a⊥3不成立，故C是假命题； 对于D,易得AB=(-1,1,1),BC=(-1,1,0), AC=(0,2W3,0), 因为向量n=(1,u,t)是平面a的法向量， 得m·A-名-A+3 2入 =i+x+十x++=0, n·AB=0,-1十u十t=0, 所以 即 n·Bc=o, 1-1+w=0, m·AC=2W3y=0, 得u十t=1,故D是真命题.] y=0, 5.l⊥al/a或lCa[当a=(1,1,2)时，a=2n,则lLa; 2x, 当a=(-1,-1,1)时，a·n=0,则l∥a或lCa.] 令x=1,则之=二3， 6.证明：设DA=1,以D为坐标原 21· 点，建立如图所示的空间直角坐 所以m=(10,2云)为平西PAC的-个法向量， 标系， 依题意有D(0,0,0),Q(1,1,0), 同理，可求得n=(1,5,1)为平而BCEF的一个法向量. C(0,0,1),P(0,2,0), 则DQ=(1,1,0),DC=(0,0,1), m·n=1十入2三0，即入二名时，平面PACL平 PQ=(1,-1,0), .BP 2 BCEF,故存在满足题意的点P,此时PE=3 所以P.D=0,P.D元=0，所以PLD,P⊥DC, 课堂达标 即PQ⊥DQ,PQ⊥DC 1.c[因为eB,所以子=会2 因为DQ∩DC=D,DQ,DCC平面DCQ 故PQ⊥平面DCQ. 所以k=4.] 又PQC平面PQC,所以平面PQC⊥平面DCQ. 151人教B版数学选择性必修第一册 课 学案10空间中直线、平面的平行与垂直 记 昆学习任务 1.熟练掌握求平面法向量的方法.（数学运算） 2.会利用直线的方向向量及平面的法向量证明直线与平面平行、垂直，平面与平面平行、垂直.（逻辑 推理、数学运算) 课堂活动 活动二利用空间向量证明线面垂直 新知应用 活动一利用空间向量证明线面平行 如图所示，在正方体ABCD D 新知应用 A1BC1D1中，E,F分别是A 在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方 BB1,D1B1的中点. 形，侧棱PD垂直于底面ABCD,PD=DC,E 求证：EF⊥平面B1AC. 是PC的中点.证明：PA∥平面EDB. 「方法总结」利用空间向量证明线面平行的三 种方法 (1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共 线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示 「方法总结」用向量法证明线面垂直的两种 (2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线， 思路 转化为线线平行，利用线面平行的判定定理得证. (1)证明直线的方向向量与平面内的两条相交直 (3)先求直线的方向向量，然后求平面的法向量， 线的方向向量垂直 证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. (2)证明直线的方向向量与平面的法向量平行. 1132 空间中直线、平面的平行与垂直学案10 活动三利用空间向量证明面面平行 (1)求证：AC⊥BF; (2)在线段BE上是否存在一点P,使得平面 课 今新知应用 BP 记 如图，在直四棱柱ABCD- D PACL平面BCEF?若存在，求出E的值；若 B A1B1C1D1中，底面ABCD为 不存在，请说明理由. D 等腰梯形，AB∥CD,AB=4, BC=CD=2,AA1=2,F是棱AB的中点. 求证：平面AA1DD∥平面FCC 「方法总结」向量法证明面面垂直的两种思路 (1)证明两个平面的法向量垂直. (2)根据面面垂直的判定定理，证明一个平面内的 向量垂直于另一个平面。 名课堂小结 「方法总结」证明面面平行的方法 1.知识清单： (1)将面面平行转化为相应的线线平行或线面 (1)利用空间向量证明线面平行， 平行 (2)利用空间向量证明线面垂直. (2)分别求出这两个平面的法向量，然后证明这两 (3)利用空间向量证明面面平行. 个法向量平行. (4)利用空间向量证明面面垂直. 话动四利用空间向量证明面面垂直 2.方法归纳：数形结合、转化与化归 新知应用 3.常见误区：直线的方向向量、平面的法向量的关 系与线面平行、垂直时的关系，容易混淆， 如图，正方形ADEF所在平面与等腰梯形AB CD所在的平面互相垂直，已知BC=4,AB= 课堂达标 AD=2. 1.已知平面a的一个法向量为(1,2，一2)，平面β 的一个法向量为（一2，一4，），若a∥3，则飞 等于 () A.2 B.-4 C.4 D.-2 331☐ 人教B版数学选择性必修第一册 听 2.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)三点，n C.若平面a,3的法向量分别为n1=(0,1,3), =(1,1,1),则以n为方向向量的直线与平面 n2=(1,0,2),则a⊥3 记 ABC的位置关系是 D.若平面a经过三点A(1,0,一1)，B(0,1,0), A.垂直 C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面a的 B.不垂直 法向量，则u+t=1 C.平行 5.设直线1的方向向量为a,平面a的法向量为 D.以上都有可能 n=(2,2,4),若a=(1,1,2),则直线1与平面a :3.如图所示，在棱长为a的正方体ABCD 的位置关系为 ;若a=(-1,-1,1), A1B1C1D1中，M,N分别为A1B和AC上的 则直线1与平面α的位置关系为 点，A,M=-AN-号&，则MN与平面B,CC 6.如图，四边形ABCD为正方 形，QA⊥平面ABCD,PD∥ 的位置关系是 QA.QA-AB-7PD. 求证：平面PQC⊥平面DCQ. A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定 4.(多选)给出下列命题，其中是真命题的为 () A.若直线l的方向向量a=(1,一1,2)，直线m 的方向向量b=(21,-),则1与m垂直 B.若直线l的方向向量a=(0,1,-1),平面a 的法向量n=(1,一1，-1)，则1⊥a 课后反思… 1134