第1章 学案7 空间中的点、直线与空间向量-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

空间中的点、直线与空间向量学案7 学案7空间中的点、直线与空间向量 听 记 昆学习任务 1.理解空间中的点与空间向量的关系以及空间直线的方向向量的意义及求法.（数学抽象、数学 运算) 2.能利用空间直线的方向向量解决空间中的平行与垂直问题.（数学运算） ........... 活动二理解空间中的直线与空间向量 课堂活动 后新知生成 活动一理解空间中的点与空间向量 定义：一般地，如果1是空间中的一条直线，v是 厅新知生成 空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所 一般地，如果在空间中指定一点O,那么空间中 在的直线与l平行或重合，则称v为直线L的一个 任意一点P的位置，都可以由向量OP唯一确 方向向量.此时，也称向量y与直线平行，记 定.此时，OP称为点P的 作v, (1)如果A,B为直线1上两个不同的点，则v= 今新知应用 AB就是直线1的一个方向向量， 已知O是坐标原点，A,B,C三点的坐标分别 (2)如果v为直线1的一个方向向量，则对任意的 为A(3,4,0),B(2,5,5),C(0,3,5) 实数入≠0，空间向量入y也是直线l的一个方向向 1)若O=2(A店-A⊙，求点P的坐标； 量，而且直线1的任意两个方向向量都平行. (3)空间中直线l的位置可由方向向量v和1上的 (2)若P是线段AB上的一点，且AP:PB= 一个已知点唯一确定. 1:2,求点P的坐标. 提醒：(1)空间中，一个向量成为直线1的方向向 量必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量！ 所在的直线与1平行或重合. (2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线的！ 方向向量，且直线1的方向向量有无数个. (3)直线1的方向向量的常见求法：取直线1上两 点，分别为方向向量的起点与终点 今新知应用 1.已知点P(0,1,0),Q(-2,0,1),则直线PQ的 「方法总结」解决空间点的位置的问题，一般是 一个方向向量可以为 ( 明确坐标原点，利用空间向量坐标的运算求出目 A.(-2,-1,-1) B.(1,-2,1) 标点的坐标. C.(4,2,-2) D.(4,-2,2) 2310 人教B版数学选择性必修第一册 听 2.如图所示，已知长方体 2.如图，已知正三棱柱ABC 课 ABCD-A'B'C'D'的棱长 A1B1C1的各棱长都为1，M是 B B 记 AB=2,AD=4,AA′=3. 底面上BC边的中点，N是侧 以点D为原点，分别以 棱CC1上的点，且CN= DA,DC,DD'的方向为x A 4CC1.求证：AB,LMN. 轴、y轴、之轴的正方向，并均以1为单位长度， 建立空间直角坐标系，求下列直线的一个方向 向量 (1)AA';(2)BD'. 「方法总结」利用方向向量判定直线平行、垂直 的方法 v1,y2分别为11与L2的一个方向向量. (1)v1∥v2台l1∥l2或l1与12重合. :「方法总结」求直线的方向向量的两种方法 (2)v1与v2不平行台l1与12不平行. (I)在直线1上确定两点A,B,则AB或BA就是 (3)v1·y2=0台v1⊥v2台l1⊥l2. 直线1的方向向量. (4)v1·v2≠0台v1与y2不垂直台l1与12不 (2)在与直线l平行的直线m上确定两点A1, 垂直. B1,则A1B1或B1A1就是直线1的方向向量. 课堂小结 活动三掌握利用直线的方向向量处理 1.知识清单： 直线的平行、垂直问题 (1)空间点的表示. 今新知应用 (2)直线的方向向量. 1.已知向量a=(1,-4,3),b=(2,4x,y+1)分 (3)会利用直线的方向向量解决线线平行、垂直 别是直线1，l2的一个方向向量，若11∥12，则 问题. x十y= ( 2.方法归纳：数形结合、转化与化归. A.-3 B.-4 3.常见误区：两直线的方向向量共线时要注意两 C.3 D.4 直线是否重合. 1124 空间中的点、直线与空间向量学案7 4课堂达标 5.已知点A(3,3,-5),B(2,-3,1),C为线段 听 AB上-点，且AC=号A,则点C的坐 课 1.若A(1,0,一1)，B(2,1,2)在直线1上，则直线 记 1的一个方向向量是 ( ) 标为 6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AA1的 A.(1,1,1) B.(1,1,3) 中点，F为CC1的中点，M为CD的中点. C.(3,1,1) D.(-3,0,1) 求证：(1)BF∥D1E; 2.已知向量a=(4,-2,6),b=（-4,2x2,6x)都 (2)BE不与D,M平行； 是直线1的方向向量，则x的值是 ( (3)BE⊥C1M. A.-1或1 B.-1 C.-3 D.1 3.在空间直角坐标系中，直线1过点A(1,0,-1) 且以u=(2,3,4)为方向向量，M(x,y,x)为直 线1上的任意一点，则点M的坐标满足的关系 式是 ( 2-出 B十1=y=之-1 234 C.1-y2+1 324 n号=子= 4.已知直线m的方向向量为a=(2,一1,3)，直线 n的方向向量为b=(-4,2,x),且m⊥n,则 x- 课后反思 2510.sin∠MBN=-A (3)由(1)知AB1=(W5,1,2),BC=(-3,1,0), 5 因为1AB1|=√(W3)2+1+W2)2=6, 故S△aMN=2·BM·BN·sin∠MBN 1BC1=√(-3)2+12+02=2， AB,.BC=(,1W2)·(-3,1,0) 54 =-(3)2+1×1=-2, 即△BMN的面积为5 4 所以cos(AB,BC)= AB1·BC -26 AB1IIBC√6X26 课堂达标 1.D[点A(2,1,1)关于z轴的对称点为B(一2,1,1)， 所以AB,与BC夹角的余弦值为一5 6 所以AB=2√5. 故选D.] 学案7空间中的点、直线与空间向量 2.B[设点A(x,y,z), 课堂活动 则AB=(3-x,-1-y,一z), 活动一 又因为AB=(-2,-5,3), 新知生成 3-x=-2, x=5, 位置向量 所以（一1一y=一5，解得{y=4, 新知应用 -z=3, z=-3, 解：(1)AB=(-1,1,5),AC=(-3,-1,5), 所以A(5,4,-3). 故选B.] o驴-2店-AC)-22,20=1,10, 3.C[如图所示，设D为边BC的中点，连接AD. .点P的坐标为(1,1,0) A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0), (2)由P是线段AB上的一点，且AP:PB=1:2, ∴.D(1,1,0) 知市-成 .AD=√/12+12+12=5. 设点P的坐标为(x,y,之)，则 故选C AP=(x-3,y-4,x),PB=(2-x,5-y,5-z), 故x-3y-4)=2-x5-y5-0 - B 即-4= 2(5-y),得y= 1 3, 4AD[由题意可知线段OP的中点的坐标为（分，1,2），所 1 5 =3, 以A中说法正确： 点P关于x轴对称的点的坐标为(1，一2，一3)，所以B中说 因北点P的垒标为（停号，号）》 法错误； 活动二 点P关于坐标原点对称的点的坐标为（一1，一2，一3），所以 新知应用 C中说法错误； 1.C[PQ=(-2,-1,1),则直线PQ的方向向量为λPQ= 点P关于xOy平面对称的点的坐标为(1,2，一3)，所以D中 (-2λ，一入，入)（入≠0） 说法正确.故选AD.] 所以C符合题意. 5.(0,4,-3)(-4,0,-3)[设i,j,k分别为DA,DC,DD 故选C.] 方向上的单位向量，则A1B=AB-AA1=DC-DD,=4 2.解：由已知可得，长方体顶点A,B,A',D'的坐标分别为A(4, 3k:B:C=B:B+B:C1=-DDj-DA=-4i-3k, 0,0),B(4,2,0),A'(4,0,3),D'(0,0,3). 所以A1B=(0,4,-3),B1C=(-4,0,-3).] (1)因为向量AA=(0,0,3),所以直线AA'的一个方向向量 为(0,0,3).（答案不唯一） 6.解：(1)设侧棱长为b,则A(0,-1,0),B1(W3,0,b),B(W3,0, 0),C1(0,1,b), (2)因为向量BD=(-4,-2,3),所以直线BD的一个方向 所以AB1=(3,1,b),BC1-(-√3,1，b). 向量为(-4，一2,3).（答案不唯一） 活动三 图为AB1⊥BC1, 新知应用 所以AB1·BC1=(W3,1,b)·(-√3,1，b)=-(W3)2+1+ 1.C[因为112，则ab, b2=0,解得b=√2，即三棱柱的侧棱长为√2」 (2)因为M为BC1的中点， 所以导号-告，解得-2=5 所以Ai=之AC+A=号(A+AC+A. 所以x十y=3. 故选C.] 91 2.证明：设AB中点为O,作OO1∥AA1交A1B1于点O1,连 接OC. 则B(1,0,0),D,(0,1,1),E(00,2),F(1,1,2), M(分1,0)，ca,11D 1:B=(o1,2),DE=(0,-1,-), .BF=-DE,BF∥D1E,BF∥D1E. B M (2=(-10,)Di=(合0，-， 以0为坐标原，点，OB,心，0D,的方向分别为x轴、y轴、之轴的正 1 方向，建主蜘国所示的空间直角垒标系由已知得A(了0小， a(合ooco号oNo9）B(合o 2 BE不与D1M平行， M为BC中点M仔得。)小 ∴直线BE不与直线DM平行. -(》d=10 (3成-(-1,0，)c=(20,-1 AG=-+0+号=0， :B庞.CM=(-1Dx(-)+0×0+2×(-1)=3 MN⊥AB1,.AB1⊥MN 课堂达标 1.B[A(1,0,-1),B(2,1,2), .BE⊥CM,BE⊥CM. 则AB=(2,1,2)-(1,0,-1)=(1,1,3). 学案8异面直线与空间向量 故选B.] 课堂活动 2.B[向量a=(4,一2,6)，b=(-4,2x2,6x)都是直线l的方 活动一 向向量， 后2将释=-1 新知导学 问题1提示：两条相交直线成4个角，其中不大于90°的角称 故选B.] 为这两条直线所成的角（或夹角）； 3.A[直线1过点A(1,0,一1)，且以u=(2,3,4)为方向向量， 已知两条异面直线a,b,经过空间任意一点O分别作直线a' M(x,y,z)为直线l上的任意一点， ∥a,b'仍，则异面直线a与b所成的角（或夹角）就是直线a 与b所成的锐角（或直角） 则AM/∥m,又因为AM=(x-1,y,z+1), 所以飞。1=义=之十1 新知应用 234 1.B[设4与l2所成的角为0，则cos0=-leoa,b=a:h 故选A.] ab 4号[周为a=2,-1,8.b=(-4,2),且aLb 同是 所以-8-2+3x=0, 2.B[设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1， 解得x=号] D C 5.(好-1- ）[设C(xy,z), B 则6z-3y-3+5)=号（-1，-66. D --C 7 解得x=3y=-1,x=-1. B 所以点C的坐标为（仔，-1，-）门 根据题意，可得A正=AA+A,正=A+AM,D正- 6.证明：如图，以A为原点，AB,AD,AA1的方向分别为x轴、 y轴、之轴正方向，正方体的棱长为单位长度，建立空间直角 DD+D成=2A店-AA,且A店.AA=0, 坐标系. 所以A求.D龙-（2A+M)·（2A店-M)- 4 密-号店.+d店-M=-1=-是， 因为a前=√+-√合+1-9月现1D 5 B 2 I110