第1章 学案4 空间向量的坐标与运算-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

P成-A成-市-+访-A-AD-D-店 活动三 新知应用 +2A市-d-A市-2-A-2A市-AA,=a 解：(1)a=（-4,2,4), -c, .la=√(-4)2+22+4=√36=6. (2)a=(-4,2,4),b=(-6,3,-2), 故AM.Pi=(a+2b）·(3a-2b-c) .a·b=(-4,2,4)·(-6,3,-2) =24+6-8=22, -ga-za.6-a.e+ib.a-i8-z6.c 又|a=6,|b|=√/(-6)2+32+(-2)2=7， =×4-×8-0 2211 .cos(a,b）= 6×7211 即AM⊥PM,则AM与PM所成的角为90°.] 发口与b灸角的余款位方品 6.解：1)证明：AG-店+A市+AM-店+市+号Ad 课堂达标 1.C[A中，p=(2,-1,3);B中，q=(-1,2,0);C中，r=(1, +子AA=A店+子AA+A市+子AA,=(A店+B配)+ 3,-1);D中，s=(0,-3,0).] (AD+DF)=AE+AF, 2.B[.a=(1,-2,1),a+b=(-1,2,-1), .b=a十b-a=(-1-1,2-(-2),-1-1)=(-2,4,-2). A,E,C1,F四点共面 故选B.] (2):E示=AF-A正=AD+D示-(A店+BE)=AD+ 3.A[因为a=(1,-2,1),b=(2,0,1),所以2a-b=2(1,-2,1) 号D,--专丽=-+A茄+AM, -(2,0,1)=(0,-4,1),所以|2a-b|=√02+(-4)2+1 又EF=xA店+yAD+AA, =17 故选A.] =-1y=1= 4.2[由题意，得c-a=(0,0,1-x),2b=(2,4,2), 1 :x十y十z=3 由(c-a)·(2b)=2(1-x)=-2,解得x=2.] 5.5[已知a=(-1,2,1),b=(1,3,2), 学案4空间向量的坐标与运算 则a+b=(0,5,3),2a-b=(-3,1,0) 则(a+b)·(2a-b)=0×(-3)+5×1+3×0=5.] 课堂活动 6.解：(1)a+b-2c=(2,-3,1)+(2,0,3)-2(0,2,2) 活动一 =(2,-3,1)+(2,0,3)-(0,4,4)=(4,-7,0), 新知导学 a+b-2cl=√4+(-7)2+02=√65. 问题1提示：能.对于平面中任意不共线的向量e1,e2,若p= (2)a-b=(0,-3,-2),b-c=(2,-2,1), xe1十ye2,则有序实数组(x,y)是基底{e1,e2}下的坐标. 新知生成 .|a-b|=√13，|b-c|=√9=3， (1)单位向量两两垂直(2)单位正交分解(3)(x,y,x) (a-b)·(b-c)=0+(-3)×(-2)+(-2)×1=4. 坐标分量 新知应用 ..cos(a-6,b-c)-(a-b).(b-c) la-bllb-cl 解：a=(3,2,-1);b=(-1,0,3). 44W13 活动二 √13X339 新知导学 学案5空间向量的坐标与空间向量的 问题2提示：a+b=(x1+x2y1十y2):a-b=(x1一x2y1一y2)y Aa=(入x1,y1);a·b=x1z2十y1y2;la=√x+y等. 平行、垂直 新知生成 x1=x2y1=y2,21=22(x1十x2y1十y2,之1十z2) 课堂活动 x1x2十y1y2十z1之2 活动一 新知应用 新知导学 解：a+b=(2,-1,-2)+(0,-1,4)=(2,-2,2), 问题1提示：0/h=b=a台区：二1'当1y1都不为0时， 2a·(-b)=2(2,-1,-2)·(0,1,-4)=(4,-2,-4)· y2=y1, (0,1,-4)=4×0+(-2)×1+(-4)×(-4)=14, 又a-b=(2,-1,-2)-(0,-1,4)=(2,0,-6), 有-出=入，即x1y2一xy1=0,而此时x11x2归可 x1 y1 .(a+b)·(a-b) 以是任意实数 =(2,-2,2)·(2,0,-6) 新知生成 =2×2十(-2)×0+2×(-6)=-8. x1Ay1λz 16人教B版数学选择性必修第一册 课 学案4空间向量的坐标与运算 记 昆学习任务 1.了解空间中向量的坐标的定义.（数学抽象） 2.掌握空间向量运算的坐标表示.（数学运算） 3.能够利用坐标运算来求空间向量的长度与夹角.（数学运算） 课堂活动 今新知应用 已知{e1,e2,e3}是单位正交基底，a=3e1十2e2 活动一。理解空间中向量的坐标 e3,b=-e1十3e3,试写出a与b的坐标. 阄新知导学 阅读教材P18一19，完成下列问题. 问题1平面中{e1,e2}是向量p的单位正交基 底，你能用{e1,e2}表示向量p吗？ 后新知生成 「方法总结」在基底{e1,e2,e3}中，e1,e2,e3都 (1)单位正交基底：一般地，如果空间向量的基底 是单位向量，且这三个向量两两垂直，若p=xe1 {e1,e2,e3}中，e1,e2,e3都是 ,而且这 +ye2十xe3,则p=(x,y,2). 三个向量 ,就称这组基底为单位正交 活动二掌握空间向量的运算与坐标的关系 基底 (2)单位正交分解：在单位正交基底下向量的分解 阄新知导学 称为向量的 阅读教材P19一20，完成下列问题. (3)向量p的坐标：在单位正交基底下向量p= 问题2在平面中，若a=(x1,y1),b=(x2,y2), xe1十ye2十ze3,则称有序实数组(x,y,x)为向量 你还记得这两个向量的加法、减法、数乘等一系 p的坐标，记作p= ,其中x,y,之都 列的运算吗？ 称为卫的 提醒：(1)零向量的坐标为(0,0,0). (2)一个向量在一组固定的单位正交基底下的分 解是唯一的，即向量的坐标是唯一的 114 空间向量的坐标与运算学案4 后新知生成 活动三掌握空间向量坐标运算的综合应用 听 若空间中两个向量a,b满足a=(x1,y1,之1)，b 今新知应用 笔 =(x2,y2,之2)，则 已知向量a=(-4,2,4),b=(-6,3,-2). 向量 (1)求|a: 向量表示 坐标表示 运算 (2)求向量a与b夹角的余弦值 相等 a=b 加法 a+b 线性 (ux1十0x2,uy1十Uy2,uz1 ua +vb 运算 十v22) 数量积 a·b 模 lal=Va √x+y+ cos(a,b) 夹角 zix2+yiy2+z122 a·b √x+y+z√x+y+z lalb 提醒：利用a|2=a2,可以将向量模的运算转化 为向量的数量积的问题。 「方法总结」利用数量积坐标表示求两向量夹 新知应用 角的步骤 已知a=(2,-1,-2),b=(0,-1,4),求a+ 求数 利用向量数量积的坐标表示公式，求 b,2a·(-b),(a+b)·(a-b). 量积 出这两个向量的数量积 求模 利用1a1=x2+y2+z2计算出这两个 向量的模 由公式cos0=- x1x2+y1y2+z22 求余 弦值 Nxityi+ai Nxi+y+2 直接求出cos0的值 求角 在0≤9≤π内，由cos0的值求角0 课堂小结 1.知识清单： (1)空间中向量的坐标. (2)空间向量的坐标运算及综合应用. 「方法总结」空间向量坐标运算问题，一是直接 2.方法归纳：公式法. 计算，首先将空间向量用坐标表示，然后准确运用 3.常见误区： 空间向量坐标运算公式计算；二是通过解方程 (1)正确运用坐标表示空间的向量， (组)求其坐标. (2)向量坐标与点的坐标书写时的规范性。 1510 人教B版数学选择性必修第一册 6.已知向量a=(2,-3,1),b=(2,0,3),c=(0,2,2). 课堂达标 求：(1)la+b-2cl; 记 1.已知{e1,e2,e3}是单位正交基底，下列说法正 (2)cos(a-b,b-c）. 确的是 ( A.若p=2e1-e2十3e3,则p=(2,1,3) B.若q=-e1十2e2,则q=(-1,2) C.若r=e1十3e2-e3,则r=(1,3,-1) D.若s=-3e2,则s=(0,0,-3) 2.已知a=(1,-2,1),a+b=(-1,2,-1),则b 等于 () A.(2,-4,2) B.（-2,4,-2) C.（-2,0,-2) D.(2,1,-3) 3.若向量a=(1,-2,1),b=(2,0,1),则|2a-b1= () A.√17 B.4 C.1 D.3 4.若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1), 且满足条件(c-a)·(2b)=-2,则x= 5.若a=(-1,2,1),b=(1,3,2),则(a+b)· (2a-b)= 课后反思 1116