期中复习讲义 02-有理数运算综合与实际应用2025-2026学年人教版七年级数学上册

七年级数学期中复习讲义02 ——有理数运算综合与实际应用 知识梳理 运算深化：乘方运算需区分；混合运算顺序 “先乘方，再乘除，最后加减”，同级运算从左到右，括号优先。 简便运算技巧：加法交换律、结合律（同号 、 凑整 、 相反数相结合），乘法分配律a (b + c) = ab + ac，逆向运用：ab + ac = a (b + c)）。 实际应用模型：利润计算（售价 - 成本）、行程问题（路程 = 速度 × 时间，方向对应正负）、水电费计算（分段计费），需将实际量转化为有理数运算。 典型例题 例 1（混合运算综合题）：计算： = -4 + 18 + 2 + 1 = 17 解析：注意 - 2² 的符号（先算乘方再取负），(-1) 的偶次幂为 1，分步计算避免符号错误， 例 2（规律探究题）：观察下列等式： 1 2 3 （1）第 n 个等式（n 为正整数）为：________________； （2）利用上述规律计算： （3）利用上述规律计算： （3） ×（1-） 解析：规律探究需先验证前几项，再通过分式拆分简化求和，避免直接套用错误规律。 例 3（生活情景题）：某出租车公司收费标准如下：3 千米以内（含 3 千米）收费 8 元；超过 3 千米的部分，每千米收费 1.5 元（不足 1 千米按 1 千米计算）。 （1）若某人乘坐出租车行驶了 5.2 千米，应付多少元？ （2）若某人付了 15.5 元车费，最多行驶了多少千米？ 解：（1）5.2 千米按 6 千米计算，费用为 8 + (6 - 3)×1.5 = 8 + 4.5 = 12.5（元）； （2）超过 3 千米的费用为 15.5 - 8 = 7.5（元），超过 3 千米的路程为 7.5 ÷ 1.5 = 5（千米），总路程为 3 + 5 = 8（千米）。 解析：分段计费问题需明确 “分界点”（3 千米），不足 1 千米按 1 千米算体现 “进一法”，符合实际收费规则。 巩固训练 一、选择题 1.计算 A. a < b < c B. b < c < a C. c < b < a D. b < a < c 5.计算 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + … + 2023 - 2024 的结果是（ ） A. -1012 B. 1012 C. -2024 D. 2024 6.已知 | a| = 4，|b| = 5，且 ab < 0，则的值为（ ） 二、填空题 11.计算：()×(-3) + (-1)2023 12. 13. 14.某班 5 名同学的数学成绩分别为 82，91，75，89，93，以 90 分为标准，超过的记为正，不足的记为负，这 5 名同学的成绩可表示为：________。 15.计算：1÷()×(-7) = ________；= ________。 16.若 | x| = 3，|y| = 2，且 xy < 0，则 x+ y<0 ,xy= ________。 17.观察等式：1 = 1²，1 + 2 + 1 = 4 = 2²，1 + 2 + 3 + 2 + 1 = 9 = 3²，…，则 1 + 2 + 3 + … + n + … + 3 + 2 + 1 = ________。 18.某工厂上月利润为 - 5 万元（亏损 5 万元），本月利润比上月增加了 3 万元，则本月利润为________万元。 三、解答题 19.计算下列各题： （1）-1⁴ + (-2)³ ÷ 4 × (-3)² - (-1)²⁰²⁴ （2） 20. 已知 a = -2，b = ，c = 3，求代数式 a² - 2ab + b² - c² 的值。 21.观察下列算式： ① 1×2×3×4 + 1 = 25 = 5²；② 2×3×4×5 + 1 = 121 = 11²；③ 3×4×5×6 + 1 = 361 = 19²；… （1）第④个算式：________________ = ________ = ________²； （2）第 n 个算式（n 为正整数）：________________ = ________²； （3）验证第 n 个算式的正确性。 22.某出租车一天下午以车站为出发地在东西方向营运，向东为正，向西为负，行车里程（单位：千米）如下：+9，-3，-5，+4，-8，+6，-3，-6，-4，+10。 （1）将最后一名乘客送到目的地，出租车离车站多远？在车站的什么方向？ （2）若每千米耗油 0.08 升，这天下午出租车共耗油多少升？ 23.定义新运算：a⊗b = a² - ab，例如：2⊗3 = 2² - 2×3 = -2。 （1）计算：(-3)⊗4； （2）若 (x + 1)⊗(x - 2) = 10，求 x 的值； （3）比较 4⊗(-3) 与 (-3)⊗4 的大小。 24. 已知 | a| = 5，b² = 16，且 | a - b| = b - a，求 a² - b² + ab 的值。 25.某商场开展促销活动，规则如下：购物不超过 200 元，不打折；超过 200 元但不超过 500 元，全部打九折；超过 500 元，其中 500 元打九折，超过 500 元的部分打八折。某人两次购物分别花费 189 元和 466 元，若将两次购物合并成一次，应付多少元？ 26.阅读材料：计算 1 + 2 + 2² + 2³ + … + 2100 设 S = 1 + 2 + 2² + 2³ + … + 2100 ① 则 2S = 2 + 2² + 2³ + … + 2101 ② ② - ①得：S = 2101 - 1 请仿照此法计算：1 + 3 + 3² + 3³ + … + 32025. 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学期中复习讲义02 ——有理数运算综合与实际应用 （巩固训练解析版） 一、选择题 1.A 解析：(-1)²⁰²⁴=1，(-1)²⁰²³=-1，和为 0。 2.A 解析：A 选项 (-3)×(-4)÷(-6)=12÷(-6)=-2，正确； B 选项 (-3)×4÷(-6)=-12÷(-6)=2； C 选项 (-3)÷(-4)×(-6)=-18/4=-； D 选项 (-3)÷4×(-6)=18/4= 3.B 解析：-2²=-4，(-1/2)³=-，原式 =-4×(-1/8)= 4.C 解析：a=-6，b=-8，c=-9，故 b<c＜a。 5.A 解析：分组为 (1-2)+(3-4)+…+(2023-2024)=-1×1012=-1012。 6.A 解析：ab＜0 知 a、b 异号，|a|=4，|b|=5，故 a/b=-4/5。 7.B 解析：100×(1-10%)²=100×0.81=81 元。 8.A 解析：(-2)△3=(-2+3)×(-2-3)== (-2)²-3²=4-9=-5. 9.D 解析：原式 = 6-8+3=1， 10.A 解析：x=-2，y=3，xʸ=(-2)³=-8。 二、填空题 11.0；1 解析：(-1/3)×(-3)+(-1)=1-1=0；-8+9=1。 12.2 解析：2ⁿ末位循环周期 4（2,4,8,6），2025÷4=506 余 1，故末位为 2。 13.8 解析：a+b=0，cd=1，m=±3；原式 = 0 + 9 -1=8。 14.-8，+1，-15，-1，+3 解析：82-90=-8，91-90=+1，75-90=-15，89-90=-1，93-90=+3。 15.49；-2 解析：1÷(-)×(-7)=49；(-1/2)²÷(-)³=-2 16.3 解析：xy＜0 知 x、y 异号，x+y<0,|x|=3，|y|=2，故 x=-3,y=2 ,所以xy=9 17.n² 解析：对称数列和为中间数的平方。 18.-2 解析：-5+3=-2 万元。 三、解答题 19.解：（1）-1 + (-8)÷4×9 -1=-1-18-1=-20； （2） -1÷(-8)×(-4) + 2=1/4 -0.5 +2=1.75=； （3）(-)×(-24)+()×(-24)+(-)×(-24)=8-20+9=-3； （4）-9×(-)÷=11×2=22. 20.解：代入 a=-2，b=1/2，c=3；原式 =(-2)²-2×(-2)×(1/2)+(1/2)²-3²=4+2+0.25-9=-2.75=-。 21.解：（1）4×5×6×7+1=841=29²； （2）n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n²+3n+1)²； （3）左边 =[n (n+3)][(n+1)(n+2)]+1=(n²+3n)(n²+3n+2)+1=(n²+3n)²+2 (n²+3n)+1=(n²+3n+1)²= 右边。 22.解：（1）+9-3-5+4-8+6-3-6-4+10=0，故离车站 0 千米，在车站处； （2）总里程 = 9+3+5+4+8+6+3+6+4+10=58 千米，耗油 58×0.08=4.64 升。 23.解：（1）(-3)⊗4=(-3)²-(-3)×4=9+12=21； （2）(x+1)²-(x+1)(x-2)=10→x²+2x+1-(x²-x-2)=10→3x+3=10→x=； （3）4⊗(-3)=16-(-12)=28，(-3)⊗4=9-(-12)=21，故 4⊗(-3)＞(-3)⊗4。 24.解：|a-b|=b-a 知 b≥a；|a|=5 则 a=±5，b²=16 则 b=±4；符合条件的 a=-5，b=4 或 b=-4； 代入得：25-16+(-20)=-11 或 25-16+20=29。 25.解：189 元可能是不打折（189≤200）或打九折（原价 189÷0.9=210 元）；466 元是超过 500 元部分打八折（500×0.9=450，466-450=16，16÷0.8=20，原价 520 元）； 合并后：若 189 为原价，总原价 189+520=709，应付 500×0.9+209×0.8=450+167.2=617.2 元；若 189 为折后价（原价 210），总原价 210+520=730，应付 500×0.9+230×0.8=450+184=634 元。 26.解：设 S=1+3+3²+…+3²⁰²⁴①，3S=3+3²+…+3²⁰²⁵②；②-①得 2S=3²⁰²⁵-1，故 S= 学科网（北京）股份有限公司 $