6.4探索三角形相似的条件（第4课时SSS）（教学课件）数学苏科版九年级下册

该初中数学课件聚焦“三边成比例的两个三角形相似”判定定理，通过让学生作三角形并改变边长比例k值的实践操作导入，引导学生从感知到严格证明，结合与全等判定的对比表格，搭建“实践-探究-关联”的学习支架。 其亮点在于融合实践操作与逻辑推理，如通过作三角形尝试感知相似再进行证明，培养学生推理意识。利用对比表格梳理相似与全等判定方法，结合三角形重心证明（用相似证中线交于一点）联系物理平衡，体现应用意识。采用“定理探究-典例分析-题型归纳”教学方法，学生能提升几何直观与空间观念，教师可借助系统例题和小结高效备课。

苏科版·九年级下册 6.4.4 探索三角形相似 的条件——SSS 第六章 图形的相似 章节导读 6.4.4 SSS 学 习 目 标 1 了解相似三角形的判定定理：三边成比例的两个三角形相似 新知探究 实 践 如图，已知△ABC。 作△A'B′C′，使 = = = 。 所作△A'B′C′的与△ABC相似吗？ 设 = = = k，改变k值的大小，再试一试。 相似 C A' C' A B B' 新知探究 如图，在△ABC和△A'B′C′中， = = 。 我们可以用如下方法证实△ABC∽△A'B'C′： 证明：如图， 在AB上截取AB'' = A'B' ( 假设AB > A'B' )， 过点B''作B''C'' // BC，交AC于C''， 根据本节例1所得的结论，可以知道△ABC∽△AB''C''， ∴ = = 。 又∵ = = ，AB'' = A'B'，∴B''C'' = B'C'，C''A = C'A'。 C A' C' A B B' B'' C'' 新知探究 如图，在△ABC和△A'B′C′中， = = 。 我们可以用如下方法证实△ABC∽△A'B'C′： 在△A''B′'C′'和△A'B′C′中， ， ∴△A''B′'C′'≌△A'B′C′ ( SSS )。 ∴△ABC∽△A'B'C'。 C A' C' A B B' B'' C'' 新知探究 相似的判定定理 ( 三 )： 于是，我们得到如下定理： 三边成比例的两个三角形相似。 符号语言：如图，∵ = = 。 ∴△ABC∽△A'B′C′。 知识要点 C A' C' A B B' 新知探究 知识要点 证明相似的方法 证明全等的方法 定义法 1．相似定义 1．全等定义 判定定理法 2．“两角”定理 2．AAS 3．ASA 3．“两边一夹角”定理 4．SAS 4．“三边”定理 5．SSS 6．HL 典例分析 解：( 1 ) ∠1与∠2相等。理由如下： 在△ABC和△AED中，∵ = = ， ∴△ABC∽△AED ( 三边成比例的两个三角形相似 )。 ∴∠BAC = ∠EAD ( 相似三角形的对应角相等 )。 ∴∠1 = ∠2。 典例5 如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点F，点E在BD上， 且 = = 。( 1 ) ∠1与∠2相等吗？为什么？ ( 2 ) 判断△ABE与△ACD是否相似，并说明理由。 典例分析 典例5 如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点F，点E在BD上， 且 = = 。( 1 ) ∠1与∠2相等吗？为什么？ ( 2 ) 判断△ABE与△ACD是否相似，并说明理由。 ( 2 ) △ABE∽△ACD。理由如下： ∵ = ，∴ = 。 在△ABE和△ACD中，∵ = ，∠1 = ∠2， ∴△ABE∽△ACD ( 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 )。 典例分析 拓 展 在典例5的图中，还有哪几对相似三角形？把它们分别表示出来，并说明理由。 解：△BFC∽△AFD，△AFB∽△DFC。理由如下： ∵△ABC∽△AED， ∴∠ACB = ∠ADE ( 相似三角形的对应角相等 )， 在△BFC与△AFD中， ∠BCF = ∠ADF，∠BFC = ∠AFD， ∴△BFC∽△BFC ( 两角分别相等的两个三角形相似 )。 典例分析 拓 展 在典例5的图中，还有哪几对相似三角形？把它们分别表示出来，并说明理由。 ∵△ABE∽△ACD， ∴∠ABE = ∠ACD ( 相似三角形的对应角相等 )， 在△AFB与△DFC中， ∠ABF = ∠DCF，∠AFB = ∠DFC， ∴△AFB∽△DFC ( 两角分别相等的两个三角形相似 )。 新知探究 知识要点 判定定理 使用条件 “两角”定理 题目中只有角相等的条件，或此类条件较多时 “两边一夹角”定理 题目条件既涉及线段长度 ( 或线段比例 )， 又涉及角相等 ( 注意：公共角、对顶角 ) “三边”定理 题目中只有线段长度 ( 或线段比例 ) 条件， 或此类条件较多时 新知探究 思 考 1. 如图，△ABC的两条中线，BE、CF交于点G，FE // BC， 求证：GB：GE = 2：1。 证明：如图，连接EF， ∵△ABC的两条中线，BE、CF交于点G， ∴EF = BC，EF // BC，∴∠BCG = ∠EFG， ∵∠BGC = ∠EGF， ∴△BCG∽△EFG ( 两角分别相等的两个三角形相似 )， ∴GB：GE = BC：EF = 2：1 ( 相似三角形的对应边成比例 )。 A E C B F G 新知探究 思 考 2. 在七年级，我们通过观察、操作，发现三角形的三条中线相交于一点。 你能运用相似形的有关知识证实这个结论吗？ 【分析】如图，△ABC的两条中线，BE、CF交于点G，只要再证明点G在另一条中线上，即可说明三角形的三条中线相交于一点。 A E C B F G 新知探究 证明：如图，△ABC的两条中线，BE、CF交于点G， 由( 1 )可得：△BCG∽△EFG， ∴GB：GE = BC：EF = 2：1 ； 如图，AD是△ABC的另一条中线，设AD、BE交于点G'，连接DE， 同理可得：△ABG'∽△DEG'， ∴G'B：G'E = AB：DE = 2：1， ∴点G'与点G重合， ∴三角形的三条中线相交于一点。 A E C B F G A E C B D G' 新知探究 三角形的重心： 三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心。 三角形的重心与一边中点的连线的长度是对应中线的长度的。 符号语言：如图，∵点G是△ABC的重心， ∴GA：GD = GB：GE = GC：GF = 2：1， GD = AD，GE = BD，GF = CF， AG = AD，BG = BD，CG = CF。 知识要点 A E C B F G D 新知探究 重心是物理学中的一个概念。 物理学告诉我们：一个物体的各个部分都受到重力的作用，从效果看，可以认为各部分受到的重力作用集中于一点，这点叫做物体的重心。 如果我们用一根手指顶在一块质地均匀的三角形薄板的重心处，这块薄板就能保持平衡。 题型探究 【例1】若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比（　　） A．增加了10% B．减少了10% C．增加了(1+10%) D．没有改变 相似的判定定理 ( 三 ) 题型一 解：∵△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′， ∴△ABC与△A′B′C′的三边对应成比例， ∴△ABC∽△A′B′C′ ( 三边成比例的两个三角形相似 )，∴∠B = ∠B′。 D 题型探究 【例2】如图，△ABC和△DEF三边长已知，求证：△ABC∽△DEF。 根据线段长构造比例式 题型二 证明：由题意可得： = = ， = = ， = = ， ∴ = = ， ∴△ABC∽△DEF ( 三边成比例的两个三角形相似 )。 注意： 当边长条件较多时，多要构造比例式 C A B D E F 3cm 2.5cm 3.5cm 4.2cm 3.6cm 3cm 分析：( 1 ) 虽然题目条件既涉及线段长度，又涉及角相等，但是两条线段长构建不了比例式，故此处应用“两角”定理证相似，再借助相似求线段长。 题型探究 【例3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，点D在AC上， ( 1 ) 已知：AC = 4，BC = 2，∠CBD = ∠A，求BD的长； ( 2 ) 取AB，BD的中点E，F，连接CE，EF，FC，求证：△CEF∽△BAD。 根据线段长构造比例式 题型二 A E B F D C ( 1 ) 解：∵∠CBD = ∠A，∠BCD = ∠ACB， ∴△CBD∽△CAB ( 两角分别相等的两个三角形相似 )， ∴ = ( 相似三角形的对应边成比例 )， ∴ = ，解得：CD = 1， ∴BD = = ； 题型探究 【例3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，点D在AC上， ( 1 ) 已知：AC = 4，BC = 2，∠CBD = ∠A，求BD的长； ( 2 ) 取AB，BD的中点E，F，连接CE，EF，FC，求证：△CEF∽△BAD。 根据线段长构造比例式 题型二 A E B F D C 分析：( 2 ) 题目中线段长度 ( 或线段比例 ) 条件较多时，应用“三边”定理证相似。 题型探究 【例3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，点D在AC上， ( 1 ) 已知：AC = 4，BC = 2，∠CBD = ∠A，求BD的长； ( 2 ) 取AB，BD的中点E，F，连接CE，EF，FC，求证：△CEF∽△BAD。 根据线段长构造比例式 题型二 A E B F D C ( 2 ) 证明：∵E、F分别是Rt△ABC、Rt△BCD斜边上的中点， ∴CF = BD，EC = AB， 又∵E、F分别为是AB、BD的中点， ∴EF = AD， ∴ = = = ， ∴△CEF∽△BAD ( 三边成比例的两个三角形相似 )。 题型探究 【例3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，点D在AC上， ( 1 ) 已知：AC = 4，BC = 2，∠CBD = ∠A，求BD的长； ( 2 ) 取AB，BD的中点E，F，连接CE，EF，FC，求证：△CEF∽△BAD。 根据线段长构造比例式 题型二 A E B F D C 课堂小结 相似的判定定理 ( 三 )： 三边成比例的两个三角形相似。 课堂小结 三角形的重心： 三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心。 三角形的重心与一边中点的连线的长度是对应中线的长度的。 感谢聆听! $