分层作业(13)不等式的证明方法-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学必修第一册分层作业（人教B版）

000□00] 1□1口1□1口1■ 分层作业（十三） 学 22222 年级： 不等式的证明方法 号 33333 信 4□44□4口4 班级： 5 555☑55☑ （满分：80分) 的 6]66]6■6 姓名： 7刀7□7□7□7 8□8□8□8□8 9☐9I999 基础对点练· 5.(5分)分析法又称执果索因法.若用分析法证明：“设 a>b>c,且a十b十c=0,求证b2-ac<5a”,则 1.(5分)综合法是 索的因应是 () [A]执果索因的逆推证法 [A]a-b>0 [B]a-c>0 [B]由因导果的顺推证法 [c](a-b)(a-c)>0 [D](a-b)(a-c)<0 []因果分别互推的两头凑法 6.(5分)用反证法证明：“若方程ax2十bx十c= [D]原命题的证明方法 2.(5分)若a,b,c是不全相等的实数，求证：a2+ 0,且a,b,c都是奇数，则方程没有整数根”，正 b2+c2>ab+bc十ca.证明过程如下： 确的假设是方程存在实数根x。为 () 因为a,b,c∈R,所以(a-b)2≥0，(b-c)2≥0， [A]整数 [B]奇数或偶数 (a-c)2≥0，所以a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc, [c]自然数或负整数 [D]正整数或负整数 c2+a2≥2ac.又因为a,b,c不全相等，所以以 7.(5分)“实数a,b,c不全为0”的含义是() 上三式相加得2(a2+b2+c2)>2(ab+bc+ [A]a,b,c均不为0 ac),所以a2+b2十c2>ab+bc十ca.此证法是 [B]a,b,c中至少有一个为0 [c]a,b,c中至多有一个为0 [A]分析法 [D]a,b,c中至少有一个不为0 [B]综合法 ·能力提升练· [c]分析法与综合法并用 [D]反证法 8.(5分)若P=a+√a+5,Q=√a+2+√a+3, 3.(5分)分析法是从要证的结论出发，寻求使它 a≥0，则P,Q的大小关系是 () 成立的 LA]P>Q [B]P=Q [A]充分条件 [c]P<Q [D]由a的取值确定 [B]必要条件 9.(5分)设n>1,n∈N,A=√n-√n-1,B= []充要条件 n+I一√n,则A与B的大小关系为 [D]既不充分也不必要条件 4.(5分)证明不等式√10十√22<√21+√/1I成 口 立的最适合的方法是 () 10.(5分)已知三个不等式：①ab>0;②>； [A]综合法 [B]分析法 ③bc>ad.以其中两个作为条件，余下一个作 [c]反证法 为结论，能组成 个正确的不等式 [D]综合法与分析法并用 命题 29 19876543210+0. 19876543210+0.5 11.(15分)（创新拔高题）设x,y均大于0，且 12.(15分)已知a,b,c∈R,a+b+c=0,abc=1,求 z+y=1,求证k++(+》≥ 证a,bC中至少有一个数大于 30 ■ ■ ■4.C[因为a-b=x2-2x+1=(x-1)2≥0，所以a≥b.] 5.A[M=(a-2)2+(b+1)2-5>-5.故选A.] 14√日>√月[因为6>>0，所以宁>>0， 6.B[A-B=a2+3ab-(4ab-b2)=a2-ab+b2= (e-名》'+26≥0，tA≥B] 为>6>0，所以号>>0，所以√日>/.] 111 15:解：因为-艺<a<8≤受 7.AC[对于A,因为15<b<18,所以18<6<5，又6<a <60,所以根据不等式的性质可得6X品<a×名<60×言 所以弓<台<4，战选项A正确： 两式湘加样一受<号 对于B,因为30<2b<36,所以36<a十2b<96,故选项B 因为<号受所以-< 错误； π一a一Bπ 对于C,因为-18<-b<-15,所以-12<a-b<45,故选项 所以-2≤2<21 C正确； 又知a<日，所以“2<0，所以-音<2<0 2 对于D,周为结-会+1，所以是 <分+1<5，故选项D 16.解：设该单位有职工n人(n∈N"),全票价为x元，选甲车 错误. 队需花y1元，选乙车队需花y2元， 3 3 4 故选AC.] =4x十4xmy2=5xn, 8.C[因为a-b∈[0,1]，a+b∈[2,4]，且4a-2b=(a+b)+ 1 3 1 3(a-b), 所以24升4-20 而a+b∈[2,4]，3(a-b)∈[0,3]， 所以2+0≤4a-2b≤4+3，即4a-2b∈[2,7].] =x(1-g）: 9.<[因为(a+3)(a-5)-(a+2)(a-4)=(a2-2a-15) 当n=5时，y1=y2; (a2-2a-8)=-7<0,所以(a+3)(a-5)<(a+2)(a-4).] 当n>5时，y1<y2; 1025[因为2y<4,济以宁号 当0<n<5时，y1>y2 因此，当单位去的人数为5时，两车队收费相同；多于5人 又8<x<10,所以2<工<5.] 时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠！ 山B[籍水支错了，说明排水浓度谐加了，改号十阳云.] 分层作业（十三） 12.A[由题意知a,b,c,d均为正数， 答案速对 因为a+b=c+d,a+d>b十c, 所以a+d+(a+b)>b+c+(c+d),即a>c, 123 4 5 6 8 所以b<d. B C C 又a+c<b,c>0,所以a<b 9.A>B10.3 综上可得d>b>a>c.] 所以<0 1 13.AB[对于A,因为a>c,a> c 试题精析 =e一a>0,所以ac<0,而a>c,所以a>0>c,故选项A 1.B[一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等， ac 经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立， 正确； 这种证明方法称为综合法.综合法证明是“由因导果”] 对于B,因为a>b ,1> ,所以a-b>0,又1-1 2.B[根据综合法的定义可知，综合法是由因导果法，是顺 a 推法.] ab>0,所以ab>0,由选项A知a>0,所以b>0,故选项 ab 3.A[因为分析法是逆向逐步找这个结论成立需要具备的充 B正确； 分条件，所以分析法是从要证的结论出发，寻求使它成立的 对于C取a=26=1c=-3,满足a>6>c,且弓>>君 充分条件.] ac 4.B[要证明不等式√10十√22<√21+√11，只要证（√10十 但a十b+c=2+1一3=0，故选项C错误； √22)2<（√2i+√T)2,即证32+2√220<32+2√231， 对于D,取a=2,6=1,c=1,满足0>6>c,且方 故只要证√220<√231，即证220<231. a 以上证明不等式所用的最适合的方法是分析法.] 5.C[由a>b>c,且a十b+c=0,得b=-a-c,a>0,c<0. 故选AB.] 要证√b2-ac<3a,只要证(-a-c)2-ac<3a2, 5111 即证a2-ac+a2-c2>0, 所以4=a2-4 ≥0，即a3≥4， 即证a(a-c)+(a+c)(a-c)>0, 即证a(a-c)-b(a-c)>0, 即证(a-c)(a-b)>0. 所以6≥酒>图-号这与号质 故求证“√B2-ac<√3a”"索的因应是(a-b)(a-c)>0.] 所以a,b,c中至少有一个数大于 21 6.A[要证明的结论是“方程没有整数根”，故应假设：方程存 在实数根x。为整数.故选A.] 分层作业（十四） 7.D[实数a,b,c不全为0的含义是实数a,b,c中至少有一 个不为0.] 答案速对 8.C[图为P=√a+√a+5,Q=√/a+2+a+3,a≥0， 2 4 :56:71213 所以P2=2a+5+2Wa(a+5)=2a+5+2√a2+5a, A B Q2=2a+5+2√/(a+2)(a+3)=2a+5+2√a2+5a+6. 因为a2+5a<a2+5a+6, 8(号，+）9a=0,6≤0a=b<014.121 所以√a2+5a<√a+5a+6, 所以P2<Q2.由题意可知P>0,Q>0, 试题精析 所以P<Q.] 1.A[由x-2<1,得x<3,所以不等式的解集为{x|x<3.] 9.A>B[A= 1 1 后+V气，B=+i+后：图为版+ 2.B[当a=0时，0<1恒成立，所以不等式的解集为R.] √n-I<√n+I十√m,并且都为正数，所以A>B.] 3C[解不等式-2红十a≤2，得x≥，从数抽看出它的解 10.3[由②可知后-号>0，所以c24>0,若③式成立，中 ab 集为xz≥-1，所以222=-1，即a=0. bc>ad,则bc-ad>0,所以ab>0,故由②③→①正确； 4.A[原不等式同解于x一2<0，即x<2,所以原不等式的解 由①ab>0,得古>0，不等式c>ad两边同乘以6：得 集为(-∞，2).] 5.A[因为不等式|2x-1|≤3， a6ab,所以C>4 bc ad 。>6,故由①⑧→②正确； 所以一3≤2x-1≤3，解得-1≤x≤2， 所以不等式|2x一1|≤3的解集为[一1,2].] 由②得后-号>0，所以2>0，若@成主，则6c>ad, ab 6.C[原不等式化为一6<ax+2<6,即一8<ax<4. 故由①②→③正确 又因为一1<x<2,所以验证选项易知a=一4符合题意.] 综上可知，②③→①，①③→②，①②→③.] 7.A[由已知，易知m≥0，由m-|x|≥0得|x≤m,即一m≤ x≤m,所以m=1.故选A.] 1蛋期：(+)”+6+》广≥要。 8(侵，+∞）[解不等式红2r≥0得 x十a≤0， ≤x≤-a.又不 2 等式组的解案为[3,4，所以名-3，-a=4,解得6=6a 周为x十y=1,即要证(1-2xy)+22≥2 x2y2 3 -4.解不等式-4x十6<0，得x> 即要证4x3y3+15x2y2+4xy-2≤0， 2,所以不等式的解集为 即要证(4xy-1)(x2y2+4xy+2)≤0， (+) 即要证[4xy-(x十y)2](x2y2+4xy十2)≤0， 9.a=0,b≤0a=b<0[关于x的不等式ax<b,若解集为 即要证(x-y)(x2y2十4xy十2)≥0， ☑，则a=0,b≤0； 因为x,y均大于0，x十y=1,故上式成立. 若解集为(1，十∞)，则a=b<0.] 版所证不等(+》+6+)广≥曾或立. 10.解：解不等式①，得x≤3. 解不等式②，得x<a. 12.证明：假设a,b,c都小于等于2，即a≤2b≤2c≤2 3 3 3 3 因为a是不等于3的常数， 因为abc=1,所以a,b,c三数同为正或一正两负， 所以当a>3时，不等式组的解集为（一∞，3]； 又a十b十c=0,所以a,b,c只能是一正两负， 当a<3时，不等式组的解集为（一∞，a). 不妨设a>0,b<0,c<0. 11.解：当x<一2时，原不等式即为4-x一x一2≥10，解得x≤-4； 当一2≤x≤4时，原不等式即为4一x十x十2≥10，此时不等 则6+c=-a,6c=1, 式无解； 所以b,c为方程x2+ax十】=0的两根 当x>4时，原不等式即为x一4十x十2≥10，解得x≥6. a 综上，不等式的解集为（一∞，一4]U[6,十∞）. 152