学案28 函数的奇偶性-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教B版）

函数的奇偶性学案28 学案28函数的奇偶性 听 昆学习任务 笔记 1.了解函数奇偶性的定义.（数学抽象） 2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.（逻辑推理） 3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题.（数学运算） 课堂活动 新知应用 判断下列函数的奇偶性： 活动一。掌握函数奇偶性的判断 (1)f(x)=x3+x; 阄新知导学 (2)f(x)=x2-3x|; 问题1二次函数y=x2的图象关于什么对称？ (3)f(x)=√x2-4+√4-x2； (4)f(x)= x+1,x>0, -x+1,x<0. 同题？反比创函数y-的图象关于什么对称？ 厅新知生成 函数奇偶性的概念及图象特点 「方法总结」判断函数奇偶性的方法 奇偶性 定义 图象特点 (1)定义法 般地，设函数y=f(x) 的定义域为D,如果对D 定义域关 否既不是奇函数 关于 确定定义域 于原点对称 也不是偶函数 偶函数 内的任意一个x,都有一x 对称 是 ∈D,且 ,则 计算f(-x) 称y=f(x)为偶函数 确定f(x)与f(-x)的关系 般地，设函数y=f(x) 结论 的定义域为D,如果对D 关于 (2)图象法 奇函数 内的任意一个x,都有一x 对称 ∈D,且 关于原点对称 f(x)为奇函数 f(x)的图象 则称y=f(x)为奇函数 关于y轴对称 f(x)为偶函数 75 人教B版数学必修第一册 活动二。掌握函数奇偶性的应用 (2)如图②，已给出偶函数y=f(x)的局部图 课 象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与 阄新知导学 记 f(3)的大小. 问题3已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函 数，现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，你 能补全函数y=f(x)的图象吗？ 「方法总结」利用奇偶性求参数的常见类型及 策略 后新知生成 (1)定义域含参数：奇、偶函数f(x)的定义域为 [a,b],根据定义域关于原点对称，利用a十b=0 巧用奇、偶函数的图象求解问题 求参数 (1)依据：奇函数台图象关于 对称，偶函 (2)解析式含参数：根据f(一x)=一f(x)或 数台图象关于 对称. f(-x)=f(x)列式，比较系数即可求解. (2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决 诸如求值、比较大小等问题， 课堂小结 今新知应用 奇、偶函数的定义 1.已知函数f(x)=ax2+bx-4a是偶函数，其 明 定义域特征 数 奇、偶函 定义域为[a-1,-2a],则a十b= 的 数的特征 A.1 B.-1 奇 图象特征（几何意义） 偶 c日 函数奇偶性的判定方法 D.0 函数奇偶性的应用 2.(1)如图①，已给出奇函数y-f(x)的局部 图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3) 课堂达标 的值； 1.下列说法中正确的个数为 () ①图象关于坐标原点对称的函数是奇函数；② 101 图象关于y轴对称的函数是偶函数；③奇函数 3-2-1 0123元 3-21 23 的图象一定过坐标原点；④偶函数的图象一定 3 与y轴相交. ② A.4 B.3 C.2 D.1 1176 函数的奇偶性学案28 2.函数(x)=x的图象关于 7.已知偶函数f(x)在第一象限及坐标轴上的图 听 象如图所示，请将图象补充完整，并回答下列 A.y轴对称 B.x轴对称 问题. 记 C.坐标原点对称 D.直线y=x对称 3.已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且当 x>0时，f(x)=x2+1,则f(-1)十f(0)= ( A.1 B.0 C.-2 D.2 -3-2-10123:4 4.函数f(x)= 2十1的图象大致是 月卡字 (1)请写出f(1)和f(-2)的值； (2)请写出函数f(x)的定义域和值域； (3)若f(x)<1,求实数x的取值范围. 5.若函数y=f(x)是定义在D上的函数，那么 “f(0)=0”是“函数y=f(x)是奇函数”的 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.若定义在（一1,1）上的奇函数f(x)= x十m,则常数m= x2+n.x+1 ,n 课后反思 7710当t<5<t十2，即3<t<5时，h(x)在[t,5]上单调递增，在 域为{x|x=士2}，关于原点对称，则f(x)=√x2一4+ [5,t+2]上单调递减， √/4-x2=0, 所以h(x)mx=h(5)=25; 所以函数f(x)既是奇函数也是偶函数， 当t≥5时，h(x)在t,t十2]上单调递减， (4)法一：函数f(x)的定义域是（一∞，0）U(0,十∞)， 所以h(x)mx=h(t)=-t2+10t. 对任意x∈(-∞，0)U(0,+∞)， -t2+6t+16,t≤3， 都有-x∈(-∞，0)U(0,十∞). 综上所述，h(x)x=25,3<t<5, 当x>0时，一x<0, -t2+10t,t≥5. f(-x)=-(-x)+1=x+1=f(x); 5.解：(1)因为f(x)=ax2一2x-3<0的解集为{x|一1<x<3}, 当x<0时，一x>0, a>0, f(-x)=-x+1=f(x). -1+3=- -2 所以〈 a’解得a=1, 综上可知，对任意x∈(-∞，0)U(0,十∞)， 1X3=3, 都有f(一x)=f(x),故f(x)为偶函数. 法二：作出函数f(x)的图象如图.此函数的图象关于y轴 所以a的值为1. 对称， (2)由(1)可得f(x)=x2-2x-3=(x-1)2-4, 所以函数f(x)是偶函数， 二次函数的图象开口向上，对称轴为x=1, 当x=1时，f(x)mn=f(1)=-4, 当x=-2时，f(-2)=(-1-2)2-4=5, 当x=3时，f(3)=(3-1)2一4=0， 所以f(x)的值战为[-4,5]. 活动二 (3)因为f(x)=x2-2x-3=(x-1)2-4,二次函数的图象 新知导学 开口向上，对称轴为x=1, 问题3提示：函数图象如图所示 当t十1≤1，即t≤0时，f(x)在[t,t+1]上单调递减， 所以g(t)=f(t+1)=(t+1-1)2-4=t2-4; 当t<1<t+1,即0<t<1时，g(t)=f(1)=-4; 当t≥1时，f(x)在t,t十1]上单调递增， 0 所以g(t)=f(t)=(t-1)2-4=t2-2t-3, -- -r-7-+-r t2-4,t≤0， 所以f(x)的最小值g(t) -4,0<t<1, 新知生成 t2-2t-3,t≥1. (1)原点y轴 新知应用 学案28函数的奇偶性 1.B[由题意得，a一1十(-2a)=0,可得a=-1,则f(x)的 定义域为[一2,2]，所以f(x)=一x2十bx十4，由f(一x)= 课堂活动 活动一 f(x)可得，-x2-bx十4=-x2+bx+4对于x∈[-2,2]恒 成立，所以2bx=0,所以b=0,所以a+b=一1，故选B.] 新知导学 问题1提示：y轴. 2.解：(1)奇函数y=f(x)在y轴左侧图象上任一点P(-x, 问题2提示：原点， f(-x)关于原点对称的点为P'(x,一f(-x),图③为图 新知生成 ①补充后的图象，易知f(3)=一2. f(-x)=f(x)y轴f(一x)=一f(x)原点 (2)偶函数y=f(x)在y轴左侧图象上任一点P(一x,f(一x) 新知应用 关于y轴对称的点为P'(x,f(一x),图④为图②补充后的 解：(1)函数f(x)的定义域为R,关于原，点对称， 图象，易知f(1)>f(3). 且f(一x)=（一x)3-x=-x3-x=一f(x), 所以函数f(x)为奇函数. 2 (2)函数∫(x)的定义域为R,关于原点对称，且f(一x)=(一x) -3-2-11f012 123元 一3一x=x2一3x|=f(x),所以函数f(x)为偶函数， x2-4≥0， (3)由题意得{ 解得x=士2，即函数(x)的定义 4-x2≥0， ④ 1128 课堂达标 (2)由图象知，函数f(x)的定义域为[一3,3]，值域为[0,2]. 1.C[由奇函数、偶函数的图象知①②正确； (3)由图象知，不等式f(x)<1对应的x满足一1<x<1,即 对于⑧，如f)=x∈(-，0)U(0,+o,f)是青 实数x的取值范围为（一1,1）. 函数，但f(x)的图象不过原点，所以③错误； 学案29函数奇偶性的综合应用 对于④，如f(x)=1 x∈（-∞，0)U(0,+co),f(x)是锅 课堂活动 活动一 函数，但f(x)的图象不与y轴相交，所以④错误.] 新知导学 2.A[由题知函数f(x)的定义域为{x|x∈R,且x≠士1}，定 问题1提示：要求f(2),先求f(-2)=一1， 义城关于原点对称，且f(-x)=一x+(一x)=1x+x 因为∫(x)是偶函数， (-x)2-1x2-1 所以f(2)=f(-2)=一1. =(x),所以函数∫(x)为偶函数，图象关于y轴对称.故 当x>0时，一x<0, 选A.] 所以f(-x)=一x十1， 3.C[因为函数f(x)为定义在R上的奇函数， 又f(x)为偶函数， 所以f(0)=0,f(-1)=-f(1)=-(12十1)=-2， 所以f(x)=f(-x)=-x+1. 所以f(-1)十f(0)=-2.故选C.] 新知应用 4.B[画数f(x)=+' x 解：(1)设x>0,则-x<0, f(-x)=-(-x)2-(-x)=-x2+x. 又f(x)是R上的奇函数， 可得f-)=(C)+11=-fx), .f(x)=-f(-x)=x2-x, 所以函数f(x)为奇函数， 又f(x)的定义域为R,.f(0)=0, 其图象关于原点对称， -x2一x,x<0, 又由x>0时，f(x)>0, 综上，f(x)= x2-x,x≥0. 所以函数f(x)图象为B选项对应的图象.] (2):f(x)是偶函数，g(x)是奇函数， 5.D[当y=f(x)=x2,D为R时，f(0)=0,但f(x)为偶 ·f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x), 函数； 由f(x)十g(x)=2x+x2.① 用一x代替x, 当f(z)三D为(-∞，0)U0,+∞)时，f(x)为奇函数， 得f(-x)十g(-x)=-2x+(-x)2, 但f(x)在x=0处无意义. f(x)-g(x)=-2x十x2,② 综上，“f(0)=0”是“函数y=f(x)是奇函数”的既不充分也 (①十②)÷2，得f(x)=x2; 不必要条件.故选D.] (①-②)÷2，得g(x)=2x. 6.00[由已知得f(0)=0,故m=0. 活动二 由f(x)是奇函数， 新知导学 可得f(一x)=一f(x), 问题2(1)提示：f(x)在（一∞，0）上也单调递增.设x1<x2 -x十0 x十0 <0,则-x1>-x2>0.因为f(x)在(0，十∞)上单调递增， x2十nx十1' 所以f(一x1)>f(一x2).又因为f(x)是奇函数，所以f(一x1) x2-nx+1=x2+nx+1, =一f(x1),f(-x2)=一f(x2),即-f(x1)>-f(x2),两边同 解得n=0.] 时乘以-1，得到f(x1)<f(x2),所以f(x)在(-o∞，0)上单调 7.解：(1)补全函数f(x)的图象如图.由图象知，f(1)=1,f(一2) 递增 =2. (2)提示：f(x)在（一∞，0）上单调递减.设x1<x2<0,则-x1 >-x2>0.因为f(x)在(0，十∞)上单调递增，所以f(-x1) >f(-x2).又因为f(x)是偶函数，所以f(一x1)=f(x1), f(-x2)=f(x2),即f(x)>f(x2),所以f(x)在(-∞，0)上 单调递减， 新知生成 0 123 4 1.单调递增相同 2.单调递减相反 3.-M 3 4.N 291■