学案24 分段函数-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教B版）

人教B版数学必修第一册 课 学案24 分段函数 记 学习任务 1.理解分段函数的概念，会求分段函数的函数值.（数学抽象) 2.能画出分段函数的图象，并会应用图象解决问题，（直观想象、逻辑推理） 课堂活动 活动二掌握分段函数的求值问题 活动一会求分段函数的定义域、值域 阄新知导学 x十1，x≤-2， 阄新知导学 问题2 已知函数f(x)= 3x+5,-2<x<2, -x,x<0, 2x-1,x≥2， 问题1 函数y= 是两个函数吗？ x,x≥0 f(-5),f),f(-多)的值各是多少？ 厅新知生成 厅新知生成 分段函数求函数值的方法： 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同 (1)确定要求值的自变量属于哪一区间段. 取值区间，有 ,则称其为分段 (2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当 函数. 出现f(f(x。)的形式时，应 依次 新知应用 求值. -x2+1,0<x<1, 今新知应用 函数f(x)= 0,x=0, 的定义域为 |x十2，x≥一2， 已知f(x)= 若f(x)>2,则 x2-1,-1<x<0 -x-2,x<-2. ,值域为 x的取值范围是 「方法总结」(1)分段函数定义域、值域的求法 「方法总结」已知函数值求字母取值的步骤 ①分段函数的定义域是各段函数定义域的并集. (1)先对字母的取值范围分类讨论. ②分段函数的值域是各段函数值域的并集. (2)再代入不同的解析式中， (2)绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段 (3)通过解方程求出字母的值. 函数来解决. (4)检验所求的值是否在所讨论的区间内. 1164 分段函数学案24 活动三。掌握分段函数的图象及应用 (2)求函数o(x)的定义域，值域. 听 阄新知导学 课笔 问题3某市“招手即停”公共汽车的票价按下列 规则制定： (1)5km以内（含5km),票价2元； (2)5km以上，每增加5km,票价增加1元（不 足5km的按5km计算). 如果某条线路的总里程为20km,你能写出票 价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图 象吗？ 「方法总结」分段函数图象的画法 (1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应 厅新知生成 根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化 由分段函数的图象确定函数解析式的步骤 为分段函数，然后分段作出函数图象. (1)定类型：根据自变量在不同范围内图象的特 (2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象， 点，先确定函数的类型. 在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其 (2)设解析式：设出函数的解析式 图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要 (3)列方程（组）：根据图象中的已知点，列出方程 特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏。 或方程组，求出该段内的解析式。 (4)下结论：最后用“{”表示出各段解析式，注意自 课堂小结 变量的取值范围. 概念 今新知应用 求值 分段函数 已知函数f(x)=一x2+2,g(x)=x,令p(x) 图象作法 =min{f(x),g(x)},即f(x)和g(x)中的较 实际应用 小者. (I)分别用图象法和解析法表示p(x); 飞课堂达标 1.函数f(x)=|x一1|的图象是 650 人教B版数学必修第一册 听 3-2x,x≥-1， 2.已知函数f(x)= 若f(x)= x+6,x<-1, 6.U知函数1x)=1+“2(-2K≤2以. 笔 (1)用分段函数的形式表示函数f(x); 1,则x= ( (2)画出函数f(x)的图象； A.1或-5 B.-1或-5 (3)写出函数f(x)的值域. C.-1或5 D.1或5 |x十2，x≤0， 3.已知函数f(x)= 则不等式 -x+2,x>0, f(x)≥2x的解集是 B.(-∞，0] c引 D.(-∞，2) 4.某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段 7.如图，已知底角为45°的等 f4x,1≤x≤10， 腰梯形ABCD,底边BC长 计算，计算公式为y= 2x+10,10<x100, 为7，腰长为2√2，当一条 B 1.5x,x>100, 垂直于底边BC(垂足为F,F不与B,C重合) 其中x代表拟录用人数，y代表面试人数.若面 的直线L从左至右移动（与梯形ABCD有公共 试人数为60，则该公司拟录用人数为( ) 点)时，直线1把梯形分成两部分，令BF=x, A.15 B.40 试写出直线1左边部分图形的面积y关于x的 C.25 D.70 函数 |x+2,x≤-1， 5.(多选)已知函数f(x)= 关于 x2,-1<x<2, 函数f(x)的结论正确的是 A.f(x)的定义域为R B.f(x)的值域为（一∞，4） C.f(1)=3 D.若f(x)=3,则x的值是3 课后反思 1166新知应用 (2)用描，点法可以作出函数的图象如图2所示. 解：用图象法表示函数y=∫(x),如图所示. 由图可知y=2(0<≤1D的值城为[2，十60). 0 课堂达标 -10 1234元 1.C[结合题图可得f(0)=3,则f(f(0))=f(3)=0.] -2 2.A[函数y=x一1为一次函数，图象为直线，但是当x≥0 -3 时，所得到的图象为一条射线故选A.] -4 -5H 3B[令1+是=，则1，所以x= 用列表法表示函数y=f(x),如表所示 1+t 2 3 4 所以f)=吕+1 -i(t*1), y 2 -3 一4 -5 所以青红.达] 活动二 4.C[距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速行驶，故 新知导学 前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前 |-2k+b=0, 段下降的快.故选C.] 问题2提示：设f(x)=kx十b(k≠0)，则 k+b=5, 5.AB[对于A,f(x)=|2x|,f(2x)=|4x=4|x|=2f(x), k= 所以A正确； 3 解得 10 所以f(x)的解析式为f(x)= 0 3x+3 对于B,f(x)=x,满足f(2x)=2x=2f(x),所以B正确； b= 3 对于C,f(x)=√x,f(2x)=√2x,2f(x)=2√x,不满足 新知应用 f(2x)=2f(x),所以C不正确； 1.解：法一：（配凑法） 时于Dfe)=2x)-22r)=是 ，不满足f(2x) f(W元+1)=x+2W元=（元+1）2-1(W元+1≥1)， =2f(x),所以D不正确.故选AB.] ∴.f(x)=x2-1(x≥1). 6.g(x)=3x-5[已知函数f(x)=2x+3, 法二：（换元法） 所以f(g(x))=2g(x)+3=6x-7, 令√元+1=t(t≥1)，则x=(t-1)2, 所以g(x)=3x-5.] ∴.f(t)=(t-1)2+2√(t-1)7=2-1. ∴f(x)=x2-1(x≥1). 7,解：(1f(e-）=2+是=(e-)广+2x≠0 2.解：因为对任意的x∈(-1,1)，有-x∈(-1,1)， 1 令t=x一 由2f(x)-f(-x)=x2,① 得2f(-x)-f(x)=(-x)2,② f(t)=t2+2,∴f(x)=x2+2. ①X2+②消去f(-x),得3f(x)=3x2, 1f1)=1-b+c=0, b=6, (2)由 解得 所以f(x)=x2(-1<x<1). f(2)=4-2b+c=-3, c=5, 活动三 故f(x)=x2-6x+5. 新知导学 学案24分段函数 问题3提示：①列表；②描点；③连线. 课堂活动 新知生成 活动一 函数的图象{(x,y)|y=f(x),x∈A} 新知导学 新知应用 -x,x<0 解：(1)用描点法可以作出函数的图象如图1所示.由图可知 问题1提示：不是.y=|x|= 所以是一个函数 x,x≥0， y=x2+x(-1≤x≤1)的值城为「广-1,2 4,2 新知生成 不同的对应方式 新知应用 (-1,1)(一1,1)[由已知得，f(x)的定义域为{x|0<x<1} U{0}U{x|-1<x<0}={x|-1<x<1},即为(-1,1). 又当0<x<1时，0<-x2+1<1;当-1<x<0时，-1<x2 -1<0;当x=0时，f(x)=0,故值域为(-1,0)U{0}U(0,1) 图1 图2 =(-1,10.] 122 活动二 课堂达标 新知导学 |x-1,z≥1， 1.B[法一：函数f(x)的解析式可化为y= 问题2解：由-5∈(-，-2,1∈(-2,20，-吕∈(-0，-2， 1-x<1据此 可画出此分段函数的图象，故选B. 知f(-5)=-5+1=-4,f1)-3×1+5=8,f(f(-8)） 法二：由f(一1)=2，知图象过点（一1,2），排除A,C,D,故 选B.] f(-8+1)=f(-)=3x(-)+5=2 2.A[当x≥一1时，由3一2x=1,得x=1；当x<-1时，由 新知生成 x十6=1，得x=-5.综上，x=1或x=-5.故选A.] (2)从内到外 3.A[当x>0时，令f(x)=-x+2≥2x,得3x≤2， 新知应用 即0<a≤号 (-∞，-4)U(0,+∞)[当x≥-2时，f(x)=x十2， 当x≤0时，令f(x)=x十2≥2x,得x≤2， 由f(x)>2,得x十2>2，解得x>0,故x>0; 当x<一2时，f(x)=一x一2， 又<0，所以长0，综上所选，区号] 由f(x)>2,得x-2>2, 4.C[令y=60,若4x=60,则x=15>10,不满足题意；若2x 解得x<一4，故x<-4. +10=60,则x=25,满足题意；若1.5.x=60,则x=40<100, 综上可得，x>0或x<-4.] 不满足题意.故拟录用人数为25.故选C.] 活动三 5.BD[由题意知函数f(x)的定义域为（一∞，2），故A错误； 新知导学 当x一1时，f(x)的取值范围是（一∞，1]， 问题3解：设票价为y元，里程为xkm. 当-1<x<2时，f(x)的取值范围是[0,4)， 由题意可知，自变量x的取值范围是(0,20]. 因此∫(x)的值域为（一∞，4），故B正确； 由“招手即停”公共汽车票价的制定规y 当x=1时，f(1)=12=1,故C错误； 则，可得到以下函数解析式. 当x≤-1时，由x十2=3，解得x=1(舍去)， 0 2,0<x≤5， 3 当-1<x<2时，由x2=3, 3,5<x≤10， y= 解得x=√3或x=一√3（舍去），故D正确.] 4,10<x15, 5,15<x≤20. 05101520x 6.解：(1)当0≤x≤2时，f(x)=1+工。2=1； 2 函数图象如图所示 当-2<x<0时，fx)=1+二)2-1-x 新知应用 2 解：(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x),g(x)的图象，如 1,0≤x2, 所以f(x)=《 1-x,-2<x<0. 图1. (2)函数f(x)的图象如图所示 g(x)=x 3 1 -20 f(x)=-x2+2 (x) (3)由(2)知，f(x)在(-2,2]上的值域为[1,3) 图1 图2 7.解：分别过，点A,D作AG⊥BC,DH⊥BC,垂足分别是G,H (图略). 由图1中函数取值的情况，结合函数P(x)的定义，可得函数 因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB=2√2， p(x)的图象如图2. 所以BG=AG=DH=HC=2. 令-x2+2=x,解得x=-2或x=1. 又BC=7,所以AD=GH=3. -x2十2，x≤-2， 结合图2，得出p(x)的解析式为p(x)=x,-2<x<1, ①当点F在BG上，即0<x<2时y-, -x2+2,x≥1. ②当点F在GH上，即2<x≤5时， (2)由图2知，9(x)的定义域为R,p(1)=1, y=2+2(x-2)=2x-2: 所以p(x)的值域为(-∞，1]. ③当点F在HC上，即5<x7时， 231■ 1 y=S五边形ABF5D=S梯形ABCD一SR:△BFC=10一 2(7-x)3 故函数的解析式为 2x,0<x≤2， 1 y=2x-2,2<x≤5， 2(x-7)2+10,5<c<7. 1 6-542☑023.456 ---2 学案25函数单调性的定义与证明、函数的最值 4 课堂活动 (2)由图象可知，函数f(x)的单调递增区间是[一2,0]， 活动一 [2,+∞)，单调递减区间是(-∞，-2]，[0,2]. 新知导学 活动三 问题1提示：从正比例函数y=2x的图象可以看出，y随着x 新知应用 的增大而增大； 1.C[由题意知函数f(x)的图象关于直线x=1对称，则 从反比例离数y=士的图象可以看出，在(-0,0)和(0， f(2)=f(0),因为函数f(x)在（一∞，1]上单调递增，且 -1<0<1,所以f(-1)<f(0)=f(2)<f(1).故选C.] +∞)内，函数值y随着x的增大而减小； -1<1-a<1, 从二次函数y=x2的图象可以看出，在(0，十∞)内y随x的 2.0,) [由题意知-1<2a-1<1, 增大而增大，在（一∞，0）内，y随x的增大而减小. 1-a>2a-1. 问题2提示：以y=x2为例，在(0，十∞)内，任取两个自变量 2 x1,x2,且x1<x2,则f(x1)<f(x2);在(-∞，0)内，任取两 解得0a<号即实数a的取值范国是(o,号）] 个自变量x1,x2,且x1<x2,则f(x1)>f(x2). 活动四 新知应用 新知导学 证明：任取x1,x2∈(2，十∞)，且x1<x2, 问题4提示：函数y=一x2一2x的图象有最高点A,函数y= xi-xi 一2x十1，x∈[-1，十∞)的图象有最高点B,函数y=f(x) 1 1 f(x1)-f(x2)= 好—4一好—4=-（话-0 的图象有最高点C.也就是说，这三个函数的图象的共同特征 =（x2-x1)(x2十x1) 是都有最高点 (x1-4)(x2-4) 新知生成 因为2<x1<x2, ≤≥最值最值点 所以x2-x1>0,x>4,x名>4， 新知应用 所以f(x1)-f(x2)>0, 解：1)函数f)在（兮，十）上单调造成 即f(x1)>f(x2). 1 证明知下，任取∈（兮+）且<周f)f) 所以函数f(x)=—4在区间(2，+∞)上单润递减. 2 2 23x2-1)-2(3x1-1) 6(x2-x1) 活动二 3x113x21(3x1-1D(3a2-1)(3a1-10(3x2-1 新知导学 因为∈（兮，十∞x<, 问题3提示：不同.“函数y=f(x)在I上单调递增”是指区间 所以3x1一1>0,3x2-1>0,x2-x1>0, I为函数y=f(x)的一个单调递增区间，还可能存在其他单 所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), 调递增区间；“函数y=f(x)的单调递增区间为I”是指除区 间I外，函数y=f(x)不存在其他单调递增区间. 所以函数f)在（仔，十∞）上单调通减。 新知生成 单调性 (2②)由(1D知，函数fx)在（行，十∞）上单调道减，所以画数 新知应用 f(x)在[1,5]上单调递减， x3-4x+3,x≥0， 21 解：(1)因为f(x)=x2一4|x十3= 所以f(x)m=f(5)=3x5-=7,f(x)x=f(1) x2+4x+3,x<0, 所以函数∫(x)的图象如图所示 3×1-1=1. 1124