学案23 函数的表示方法-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教B版）

函数的表示方法 学案23 学案23 函数的表示方法 听 昆学习任务 笔记 1.了解函数的三种表示方法及各自的优缺，点，会根据不同需要选择恰当的方法表示函数.（数学 抽象) 2.掌握求函数解析式的常用方法.（数学运算） 1 3.会作函数的图象并从图象上获取有用信息.（逻辑推理） 课堂活动 今新知应用 活动一”理解函数的三种表示方法 已知函数y=f(x)=-x-1,x∈{1,2,3,4}， 分别用图象法和列表法表示函数y=f(x). 阄新知导学 问题1根据初中学过的知识，说出下面问题 (1)、(2)、(3)分别是用什么法表示函数的？ (1)若京沪高速铁路平均时速按300千米/时计 算，火车行驶x小时后，路程为y千米，可以用 y=300x来表示 (2)如图是我国人口出生率变化曲线： 出生率/% 4.5 4.0 3.5 2.0 15 1.0 0.5 0 198019851990199520002005201020152020年份 (3)下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的 「方法总结」列表法、图象法和解析法是从三个 关系表： 不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同 一个函数可以用不同的方法表示.在用三种方法 污染源距离 50 100 200 300 500 表示函数时要注意：(1)解析法必须注明函数的定！ 氰化物浓度 0.6780.3980.121 0.05 0.01 义域.(2)列表法中选取的自变量要有代表性，应 能反映定义域的特征.(3)图象法中要注意图象是 离散点还是连续的曲线. 活动二掌握函数解析式的求法 厅新知生成 阄新知导学 函数的表示方法 问题2已知函数f(x)是一次函数，且其图象过！ 用代数式（或解析式）来表示函数 A(一2,0)，B(1,5)两点，求f(x)的解析式 解析法 的方法 的 列表法 用列表的形式给出函数的对应关系 秀 来表示函数的方法 图象法 用函数的图象表示函数的方法 6110 人教B版数学必修第一册 听 今新知应用 活动三。掌握函数图象的作法及应用 笔 1.已知f(√x+1)=x+2√x,求f(x)的解 阄新知导学 记 析式 问题3作函数图象的步骤是什么？ 厅新知生成 一般地，将函数y=f(x),x∈A中的自变量x和 对应的函数值y,分别看成平面直角坐标系中点 的横坐标与纵坐标，则满足条件的点(x,y)组成 的集合F称为 ,即F= 2.已知定义在区间（一1,1）上的函数f(x)满足 今新知应用 2f(x)一f(-x)=x2,求f(x)的解析式， 作出下列函数的图象，并指出其值域。 (1)y=x2+x(-1≤x≤1)； 2 (2)y=2(0<x≤1). 「方法总结」求函数解析式的四种常用方法 方法一 由已知条件f代g(x)=F(x,可将F(x)改 「方法总结」函数图象的画法 配凑法 写成关于g(x)的解析式，然后以x替 代g(x),便得fx)的解析式 (1)若函数是已学过的基本初等函数，则描出图象 上的几个关键点，直接画出图象即可，有时需要根 对于形如y=f(g(x)的函数解析式，令 方法二 t=g(x),从中求出x=p(),然后代入 据定义域进行取舍 换元法 解析式求出f(t),再将换成x,得到f(x (2)若函数不是所学过的基本初等函数之一，则要 的解析式，要注意新元的取值范围 按：①列表；②描点；③连线三个基本步骤作出函 先设出含有待定系数的解析式，再 数的图象 方法三 利用恒等式的性质，或将已知条件 待定系数法 代入，建立方程（组），通过解方程（组》 求出相应的待定系数 七课堂小结 当同一个对应关系中的两个变量的 解析法 解析式 方法四 和为常数或积为常数时，可根据已 函数的 的求法 解方程组法 知条件再构造出另外一个等式组成 列表法 方程组，通过解方程组求出八x) 表示方法 图象的画法 图象法 及应用 1162 函数的表示方法学案23 七课堂达标 5.(多选)下列函数中，满足f(2x)=2f(x)的是 听 () 1.已知函数f(x)的图象如图所示，其 A.f(x)=|2x B.f(x)=x 记 中点A,B的坐标分别为(0,3)，(3， C.f(x)=Jx D.f(x)=} 0),则f(f(0)= ( A.2 B.4 C.0 D.3 6.已知函数f(x)=2x十3，若f(g(x)=6x一7， 2.函数y=x-1(x≥0)的图象是 则函数g(x)的解析式为 A.一条射线 B.一条线段 7已知f6-》=+求f: C.两条射线 D.一条直线 (2)已知函数f(x)=x2-bx+c且f(1)=0, 3.设函数f(1+)=2江+1，则f(x)的解折 f(2)=-3,求f(x). 式为 A.f(a)= 1+x(x≠1) 1-x B.f(x)= *0 1一x(x≠-1) C.f(x)=i十x nfe)=2≠- 4.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵 塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行 驶.与以上事件吻合得最好的图象是( 距学校的距离 距学校的距离 时间 0 时间 A B 距学校的距离 距学校的距离 0 时间 0 时间 C D 课后反思 6310新知生成 课堂达标 1.(1)分母不为零(2)大于或等于零 1.A[根据函数定义，对于每一个自变量都有唯一确定的函数 2.(1)观察法(2)配方法(3)分离常数法(4)换元法 值与之对应，A选项中存在一个自变量对应两个函数值，所 新知应用 以A不是函数图象.故选A.] 1.解：(1)要使函数有意义，则x一2≠0，即x≠2，所以该函数的 2.A[因为f(x)=√+I,所以f(3)=√3+I=2.] 定义域为{x|x≠2}， (x+1≥0， x一1≠0， 3.B[要使函数有意义，则 解得x>一1且x≠0， x2+x≠0， 2 (2)要使函数有意义，则 x+1≥0， 所以函数f(x)的定义域为{x|一1<x<0或x>0}.故 选B.] x+1≠0， 4.D[因为0<x≤2且x∈N+,所以x=1或x=2,所以f(1) 解得x>一1且x≠1， =2,f(2)=5,故函数f(x)的值域为{2,5}.故选D.] 所以该函数的定义域为{xx>一1且x≠1). (3-x≥0， 5.B[y=x一1的定义域为R,而y=(√-I)2的定义域为 (3)要使函数有意义，则 解得1≤x≤3，所以该函 x-1≥0， 1,十0)，故A锋误m=骨-1的定义战为（一e0,0)U 数的定义域为{x|1≤x≤3}. (4)令之=2x-1,f(x)的定义域为[-1,1]， (0,十∞)，故D错误；y=V√(x-1)2=|x-1|,与y=x-1 则一1≤之≤1，即-1≤2x-1≤1， 对应关系不一致，故C错误；u=(0-1)=0一1，故定义 即0≤x≤1」 域为R,且与y=x一1对应关系相同，故B正确.故选B.] 所以函数y=f(2x一1)的定义域为[0,1]. 0<x-4<2, 6.C[由题意可得 解得5<x<6, 210,1)25立 [(1)由x∈{-1,0,1)， x-5>0, 所以g(x)=fx二的定义城为(5,6).] 代入f(x)=x2, √/x-5 解得f(-1)=1,f(0)=0,f(1)=1, 7,0,8】[通过配方可得函数y=2-4x十5(x-22+1 8 根据集合中元素的互异性，得函数f(x)的值域为{0,1}. 1 :(x-2)2+1>≥1， (2)因为f(x)=1十x' 8 .0< 11 所以f2)=1+23 x-2)+≤8，故0<y≤8. 故函数y= 8 x2-4x+5 的值域为(0,8].] 因为g(3)=32+2=11, 1 所以fg(3)=f11)=1+2] x+3≥0， 8.解：(1)要使函数有意义，则x应满足《 解得一3≤x x+2≠0. 活动三 <-2或x>-2. 新知导学 即函数的定义域是[一3，一2)U(一2，十∞). 问题4提示：不相同，因为l=4x的定义域为{xx>0},值域 为(0，十∞)，而y=4x的定义域为R,值域为R. (2)f(-3)=-3+3+-3+2=1. 新知生成 定义域对应关系 ）-层++2+ 3+283 新知应用 (3):a>0,即f(a),f(a-1)有意义. BD[对于A,两函数的对应关系不同，所以不是同一个 函数； 则fa)=a++a2fa-1)=a-1+a-+2 对于B,两函数的定义域都相同，为R, 且√=|x|,所以是同一个函数； =Wa+2+1 a+l' 对于C,函数f(x)=x2的定义域为R, 学案23函数的表示方法 而函数g(x)=工的定义战为(-∞，0)U(0,十∞)， 课堂活动 定义域不同，所以不是同一个函数； 活动一 对于D,两函数的定义域相同，都为R, 新知导学 且对应关系相同，所以是同一个函数.门 问题1提示：解析式，图象，表格. 211■ 新知应用 (2)用描，点法可以作出函数的图象如图2所示. 解：用图象法表示函数y=∫(x),如图所示. 由图可知y=2(0<≤1D的值城为[2，十60). 0 课堂达标 -10 1234元 1.C[结合题图可得f(0)=3,则f(f(0))=f(3)=0.] -2 2.A[函数y=x一1为一次函数，图象为直线，但是当x≥0 -3 时，所得到的图象为一条射线故选A.] -4 -5H 3B[令1+是=，则1，所以x= 用列表法表示函数y=f(x),如表所示 1+t 2 3 4 所以f)=吕+1 -i(t*1), y 2 -3 一4 -5 所以青红.达] 活动二 4.C[距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速行驶，故 新知导学 前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前 |-2k+b=0, 段下降的快.故选C.] 问题2提示：设f(x)=kx十b(k≠0)，则 k+b=5, 5.AB[对于A,f(x)=|2x|,f(2x)=|4x=4|x|=2f(x), k= 所以A正确； 3 解得 10 所以f(x)的解析式为f(x)= 0 3x+3 对于B,f(x)=x,满足f(2x)=2x=2f(x),所以B正确； b= 3 对于C,f(x)=√x,f(2x)=√2x,2f(x)=2√x,不满足 新知应用 f(2x)=2f(x),所以C不正确； 1.解：法一：（配凑法） 时于Dfe)=2x)-22r)=是 ，不满足f(2x) f(W元+1)=x+2W元=（元+1）2-1(W元+1≥1)， =2f(x),所以D不正确.故选AB.] ∴.f(x)=x2-1(x≥1). 6.g(x)=3x-5[已知函数f(x)=2x+3, 法二：（换元法） 所以f(g(x))=2g(x)+3=6x-7, 令√元+1=t(t≥1)，则x=(t-1)2, 所以g(x)=3x-5.] ∴.f(t)=(t-1)2+2√(t-1)7=2-1. ∴f(x)=x2-1(x≥1). 7,解：(1f(e-）=2+是=(e-)广+2x≠0 2.解：因为对任意的x∈(-1,1)，有-x∈(-1,1)， 1 令t=x一 由2f(x)-f(-x)=x2,① 得2f(-x)-f(x)=(-x)2,② f(t)=t2+2,∴f(x)=x2+2. ①X2+②消去f(-x),得3f(x)=3x2, 1f1)=1-b+c=0, b=6, (2)由 解得 所以f(x)=x2(-1<x<1). f(2)=4-2b+c=-3, c=5, 活动三 故f(x)=x2-6x+5. 新知导学 学案24分段函数 问题3提示：①列表；②描点；③连线. 课堂活动 新知生成 活动一 函数的图象{(x,y)|y=f(x),x∈A} 新知导学 新知应用 -x,x<0 解：(1)用描点法可以作出函数的图象如图1所示.由图可知 问题1提示：不是.y=|x|= 所以是一个函数 x,x≥0， y=x2+x(-1≤x≤1)的值城为「广-1,2 4,2 新知生成 不同的对应方式 新知应用 (-1,1)(一1,1)[由已知得，f(x)的定义域为{x|0<x<1} U{0}U{x|-1<x<0}={x|-1<x<1},即为(-1,1). 又当0<x<1时，0<-x2+1<1;当-1<x<0时，-1<x2 -1<0;当x=0时，f(x)=0,故值域为(-1,0)U{0}U(0,1) 图1 图2 =(-1,10.] 122