学案22 函数的概念-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教B版）

人教B版数学必修第一册 第三章 函数 课 记 学案22函数的概念 昆学习任务 1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的 函数概念.（数学抽象） 2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.（数学抽象) 3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域和值域.（数学运算） 问题2上述3个例子中的函数有哪些共同 课堂活动 特征？ 活动一 掌握函数关系的判断 阄新知导学 问题1下面三个例子所给出的两个变量是函数 关系吗？ 厅新知生成 (1)某“复兴号”高速列车运行速度达到350km/h 函数的有关概念 后保持匀速运行半小时，这段时间内，列车行进 给定两个非空 A与B,以及 的路程s(单位：km)与运行时间t(单位：h)的 对应关系f,如果对于集合A中 关系是函数关系吗？ 的 在集合B中都有 (2)国际上常用恩格尔系数r(r=食物支出金 函数的定义 的实数y与x对应，则称 额/总支出金额×100%)反映一个地区人民生 为定义在集合A上的一个 活质量的高低，下表是我国城镇居民恩格尔系 函数 数变化情况. 年份y2012201320142015201620172018201920202021 函数的记法 ,x∈A 恩格尔 系数r32.030.130.029.729.328.627.727.629.228.6 x称为自变量，y称为因变量，自变量 (%) 定义域 (即数集A)称为函数 恩格尔系数r是年份y的函数吗？ 的定义域 (3)如图是某日的空气质量指数(Air Quality 所有函数值组成的集合{y|y Index,简称AQI)变化图. 值域 f(x),x∈A}称为函数的值域 150 轻度污染 100 今新知应用 设P={x|0≤x≤4})，Q={y0≤y≤4}，对于 下列四个图象，能表示集合P到集合Q的函数 04:00 08:00 12:00 16:00 20:00 24:00 关系的是 () 如果用t表示时刻，I表示空气质量指数，则I 是t的函数吗？ 024 024元 C D 1158 函数的概念 学案22 「方法总结」根据图形判断对应关系是否为函 新知应用 听 数的方法 课 1.求下列函数的定义域： (1)任取一条垂直于x轴的直线1. 3 记 (2)在定义域内平行移动直线1. (1)f(x)=2+ x-2 (3)若1与图形有且只有一个交点，则是函数；若 2 在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交 (2)f(x)=(x-1)°+ 点，则不是函数 (3)f(x)=√3-x·√x-I; 活动二会求函数的定义域、函数值和值域 (4)已知函数y=f(x)的定义域是[一1,1]，求 阄新知导学 y=f(2x-1)的定义域. 问题3初中我们学习过一次函数、二次函数和 反比例函数，它们的定义域、对应关系和值域分 别是什么？ 后新知生成 1.求函数定义域常用的依据 2.(1)若函数∫(x)=x2,x∈{-1,0,1}，则函数 (1)若f(x)是分式，则应考虑 f(x)的值域是 (2)若f(x)是偶次根式，则被开方数 (2)已知函数f(x)=1+zgx)=x2+2.则 f(2)= ,f(g(3)= (3)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定 「方法总结」求抽象函数的定义域 义域要使各个式子都有意义， (1)若f(x)的定义域为[a,b],f(g(x)的定义 (4)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实 域应由a≤g(x)≤b解出. 际情况，使实际问题有意义. (2)若f(g(x)的定义域为[a,b],则f(x)的定 2.求函数值域常用的四种方法 义域为g(x)在[a,b]上的取值范围. (1) :对于一些比较简单的函数，其值 (3)函数f(x),f(g(x))的定义域指的都是x的 域可通过观察得到 取值范围. (2) :当所给函数是二次函数或可化为 活动三掌握同一个函数的判定 二次函数处理的函数时，可利用配方法求其 值域 阄新知导学 (3) :此方法主要是针对有理分 问题4正方形的周长1与边长x的对应关系是 式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形 l=4x,那么这个函数与正比例函数y=4x相： 式，便于求值域。 同吗？ (4) :即运用新元代换，将所给函数化 成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域， 对于f(x)=ax+b+cx+d(其中a,b,c,d 为常数，且a≠0)型的函数常用换元法. 5910 人教B版数学必修第一册 听 新知生成 3.函数f)=臣的定义域为 x2+x 如果两个函数表达式表示的函数 相同， A.{xx≥-1}》 记 也相同（即对自变量的每一个值，两个 B.{x|-1<x<0或x>0}》 函数表达式得到的函数值都相等)，则称这两个函 C.{x|x>-1} 数表达式表示的就是同一个函数， D.{x|-1≤x<0或x>0} 今新知应用 4.函数f(x)=x2+1(0<x≤2且x∈N+)的值 (多选)下列各组函数中，两个函数是同一个函 域是 () 数的是 ) A.{xlx≥1} B.{x|x>1} A.f(x)=x+1;g(x)=x十2 C.{2,3}》 D.{2,5} B.f(x)=|xl;g(x)=√x 5.下列函数中与函数y=x一1是同一个函数 的是 () C.f(a)=x'g(z)- x A.y=(√x-I)2 B.u=(u-1) D.f(x)=x2;g(t)=t2 C.y=√(x-1) D.m-”-1 「方法总结」在两个函数中，只有当定义域、对 应关系都相同时，两函数才是同一个函数，与用什 6.已知函数f(x)的定义域为(0,2)，则函数 么字母表示自变量、因变量无关。 g()=f(x-4) 的定义域为 () √x-5 课堂小结 A.(4,6) B.(5,+∞) C.(5,6) D.(0,2) 函数的概念 定义域 7.函数y= 的值域是 函数 同一个 x2-4x+5 数 的三 对应关系 函数 要素 8.已知函数f(x)=√x+3十x十2： 1 值域 函数值 (1)求函数f(x)的定义域； 课堂达标 (2)求f(-3,(学)的值： (3)当a>0时，求f(a),f(a-1)的值. 1.(教材P97练习AT6改编)以下图形中，不是函 数图象的是 B C 2.若f(x)=√x+1,则f(3)等于 A.2 B.4 C.2√2 D.10 课后反思 6o-4+2=a, 跟踪训练4A[因为关于x的不等式(a一2)x2+2(a一2)x 所以 。解得a=-2, -4×2=-2a2, 一4≥0的解集为， 所以不等式晋≤1，可化为计1 所以关于x的不等式(a一2)x2+2(a一2)x一4<0的解集 x-1 为R. 所a-100, 当a一2=0，即a=2时，一4<0，显然满足题意； x-1 当a一2≠0时， (x+4)(x-1)≤0， 所以〈 解得-4≤x<1, a-2<0, x一1≠0， 则 解得-2<a<2, △=[2(a-2)]2+4×4×(a-2)<0, 即不等式的解集为{x|一4≤x<1}. 综上，一2<a≤2，即实数a的取值范围是{a-2<a≤2}. 跟踪训练2解：(1)当a=2时，x2-5 2x+1≤0，即2x2-5x 故选A.] +2<0,解得号<<2， 第三章函数 故谎不等式的解案为[日，2]： 学案22函数的概念 2r2-(a+）+1≤0a(-君）x-a)≤0. 课堂活动 活动一 ①当0<a<1时a<日不等或的解集为[，]： 新知导学 问题1提示：(1)是.5与t的关系可以表示为s=350t,此时t ②当a=1时，a= =1,不等式的解集为(1)： a 的变化范围是数集A1={t0≤t≤0.5}，s的变化范围是数集 @当>1时a>。不学式的释集为[日] B1={s0≤s≤175}，对于数集A1中的任一时刻t,按照对应 关系s=350t,在数集B1中都有唯一确定的路程s和它 综上，当0a<1时，不等式的解象为，]： 对应. 当a=1时，不等式的解集为{1}； (2)(3)是. 问题2提示：共同特征有：(1)都包含两个非空数集，用A,B 当a>1时，不等式的解条为[日d], 来表示：(2)都有一个对应关系；(3)尽管对应关系的表示方法 【例题3】 [因为0<x<,所以5-4红>0，所以 不同，但它们都有如下特性：对于数集A中的任意一个数x, 4 按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应. Vx6=4知=V4x(。-4z≤4红+5-4红= 新知生成 2 4 4,当且仅当 实数集每一个实数x唯一确定fy=f(x)取值的 5 4红=5-4红，即x=8时，等号成立.故√(5=4)的最大值 范围 为3 新知应用 B[由题图知A的定义域不是P,不符合题意；B符合函数 跟踪训练3A[因为正敏a,6满足十号-1， 的定义，符合题意；C中，集合P中有的元素在集合Q中对应 两个值，不符合函数的定义；D中，当x=2时，有两个值与之 则a+必=a+6)(仔+号)=1+台+的+4 a 对应，不符合函数的定义.故选B.] 活动二 0.2=9, ≥5+2a· 新知导学 当且仅当26-2a =6,即a=3,b=3时， 问题3提示：一次函数的定义域是R,值域也是R,对应关系是 a f(x)=ax+b(a≠0)；二次函数f(x)=ax2十bx十c(a≠0) a十2b取得最小值9. 故选A.] 的定义越是R,当>0时，它的位域是少≥。：当 【例题4】[0,3)[当a=0时，3>0恒成立，所以为真命题， a0时，它的值装是如对度关系是了) 当a≠0时，Vx∈R,ax2十2ax十3>0为真命题， a>0, ax3+bx十c(a≠0)：反比例函数了(x)=克(k≠0)的定义裁 所以 解得0<a<3, x 4=4a2-12a<0, 综上可得a的取值范围为[0,3).] 是{xx≠0}，值城是{yly≠0，对应关系是f(x)=（k≠0) 1120 新知生成 课堂达标 1.(1)分母不为零(2)大于或等于零 1.A[根据函数定义，对于每一个自变量都有唯一确定的函数 2.(1)观察法(2)配方法(3)分离常数法(4)换元法 值与之对应，A选项中存在一个自变量对应两个函数值，所 新知应用 以A不是函数图象.故选A.] 1.解：(1)要使函数有意义，则x一2≠0，即x≠2，所以该函数的 2.A[因为f(x)=√+I,所以f(3)=√3+I=2.] 定义域为{x|x≠2}， (x+1≥0， x一1≠0， 3.B[要使函数有意义，则 解得x>一1且x≠0， x2+x≠0， 2 (2)要使函数有意义，则 x+1≥0， 所以函数f(x)的定义域为{x|一1<x<0或x>0}.故 选B.] x+1≠0， 4.D[因为0<x≤2且x∈N+,所以x=1或x=2,所以f(1) 解得x>一1且x≠1， =2,f(2)=5,故函数f(x)的值域为{2,5}.故选D.] 所以该函数的定义域为{xx>一1且x≠1). (3-x≥0， 5.B[y=x一1的定义域为R,而y=(√-I)2的定义域为 (3)要使函数有意义，则 解得1≤x≤3，所以该函 x-1≥0， 1,十0)，故A锋误m=骨-1的定义战为（一e0,0)U 数的定义域为{x|1≤x≤3}. (4)令之=2x-1,f(x)的定义域为[-1,1]， (0,十∞)，故D错误；y=V√(x-1)2=|x-1|,与y=x-1 则一1≤之≤1，即-1≤2x-1≤1， 对应关系不一致，故C错误；u=(0-1)=0一1，故定义 即0≤x≤1」 域为R,且与y=x一1对应关系相同，故B正确.故选B.] 所以函数y=f(2x一1)的定义域为[0,1]. 0<x-4<2, 6.C[由题意可得 解得5<x<6, 210,1)25立 [(1)由x∈{-1,0,1)， x-5>0, 所以g(x)=fx二的定义城为(5,6).] 代入f(x)=x2, √/x-5 解得f(-1)=1,f(0)=0,f(1)=1, 7,0,8】[通过配方可得函数y=2-4x十5(x-22+1 8 根据集合中元素的互异性，得函数f(x)的值域为{0,1}. 1 :(x-2)2+1>≥1， (2)因为f(x)=1十x' 8 .0< 11 所以f2)=1+23 x-2)+≤8，故0<y≤8. 故函数y= 8 x2-4x+5 的值域为(0,8].] 因为g(3)=32+2=11, 1 所以fg(3)=f11)=1+2] x+3≥0， 8.解：(1)要使函数有意义，则x应满足《 解得一3≤x x+2≠0. 活动三 <-2或x>-2. 新知导学 即函数的定义域是[一3，一2)U(一2，十∞). 问题4提示：不相同，因为l=4x的定义域为{xx>0},值域 为(0，十∞)，而y=4x的定义域为R,值域为R. (2)f(-3)=-3+3+-3+2=1. 新知生成 定义域对应关系 ）-层++2+ 3+283 新知应用 (3):a>0,即f(a),f(a-1)有意义. BD[对于A,两函数的对应关系不同，所以不是同一个 函数； 则fa)=a++a2fa-1)=a-1+a-+2 对于B,两函数的定义域都相同，为R, 且√=|x|,所以是同一个函数； =Wa+2+1 a+l' 对于C,函数f(x)=x2的定义域为R, 学案23函数的表示方法 而函数g(x)=工的定义战为(-∞，0)U(0,十∞)， 课堂活动 定义域不同，所以不是同一个函数； 活动一 对于D,两函数的定义域相同，都为R, 新知导学 且对应关系相同，所以是同一个函数.门 问题1提示：解析式，图象，表格. 211■