学案20 均值不等式及其应用(二)-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教B版）

均值不等式及其应用（二）学案20 学案20均值不等式及其应用（二） 听 昆学习任务 记 1.熟练掌握均值不等式及其变形的应用.（数学运算） 2.会用均值不等式解决生活中简单的最大（小）值问题.（数学建模、数学运算） 七课堂活动 母题变式：若把上面的条件“x>2”改为“x<2”, 话动一”掌握利用均值不等式及变形求最值 求y=十兰的最大值 阄新知导学 问题1若两个正数的和为8，那么这两个正数分 别是多少时，其积最大？ 问题2若两个正数的积为16，那么这两个正数 分别是多少时，其和最小？ 2.已知x>0,y>0,且上+9=1，求x+y的最 小值 厅新知生成 用均值不等式求最值 两个正数的和 已知x,y都是正数，如果和x+y 为常数时，它们 等于定值S,那么当且仅当 的积有最值 时，积y有最大值}s 两个正数的积 已知x,y都是正数，如果积xy等 为常数时，它们 于定值P,那么当且仅当 的和有最值 「方法总结」利用均值不等式求最值必须满足！ 时，和x+y有最小值2√P 三个条件才可以进行，即“一正、二定、三相等”.具 新知应用 体理解如下： (1)“一正”，即所求最值的各项必须都是正值，否 1.已知x>2,则y=x十2的最小值为 则就容易得出错误的答案. 5310 人教B版数学必修第一册 听 (2)“二定”，即含变量的各项的和或者积必须是常 「方法总结」 课 数，即要求a十b的最小值，ab必须是定值；求ab 利用均值不等式解决实际问题的步骤 记 的最大值，a+b必须是定值. 审题 认真审题，弄清题意，设出变量 (3)“三相等”，即必须具备不等式中等号成立的条 建模 依题意建立模型，一般将实际问题抽象为 件，才能求得最大值或最小值. 利用均值不等式求最大值、最小值问题 (4)题目中有代数式等于1，则需灵活运用“1”的 求解 寻求定值(“定和”或“定积”)，利用均值 代换.在解题过程中，常常将式子乘“1”或将式子 不等式求最值 中的某个常数用等于“1”的式子代替 作答 给出正确的答案 活动二掌握均值不等式在实际问题中的应用 课堂小结 阄新知导学 利用均值不等式及变形 问题3小明的爸爸要在家用围栏做一个面积为 俅最值 均值不等式 16m的矩形游乐园，当这个矩形的边长为多 的综合应用 利用均值不等式解决实际 少时，所用围栏最省，此时所需围栏的长度是 问题 多少？ 课堂达标 1.已知a>0,b>0,a十6=2，则后十若的最小 值是 7 新知应用 A.2 B.4 如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四 c.2 D.5 间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围 2.用一段长为8cm的铁丝围成一个矩形模型，则 成.现有36m长的钢筋网材料，每间虎笼的 这个模型的最大面积为 () 长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积 A.9 cm2 B.16 cm2 最大？ C.4 cm2 D.5 cm2 3.已知x>0,y>0,且2+1=1，若x+2y>m 1 恒成立，则实数m的取值范围是 () A.m≤-2√2或m≥2√2 B.m≤-4或m≥2 C.-2<m<4 D.-2√2<m<2√2 4.已知a>0,b>0,且2a+b=ab-1,则a+2b 的最小值为 5若Vx>-1,不等式x+一1≥a恒成立， 则实数a的取值范围是 1154 均值不等式及其应用（二）学案20 6.已知a>0,b>0,a+2b=1. 7.为了改善居民的居住条件，某城建公司承包了 听 1)求会+后的最小位， 棚户区改造工程，按合同规定在4个月内完成. 课 若提前完成，则每提前一天可获2000元奖金， (2)求a2+6ab+4b2的最大值. 记 但要追加投人费用；若延期完成，则每延期一天 将被罚款5000元.追加投入的费用按以下关 系计算.6c+7一18)千元，其中x表示提 前完工的天数，试问提前多少天完工，才能使公 司获得最大附加效益？（附加效益=所获资金 一追加费用) 课后反思 5510当且仅当2-x=2-x' …4 即x=0时，等号成立. 仅当后后即x=1时，泽号成立，正确 故y-2十兰的最大位为-2 1 C中，当x<0时，里然x+≥2不成立，错误； 2.解：1+9=1，且x>0,y>0, D中，因为+2+1 ≥2 1 √x+2 V2+2. √x+2 +y=(+(+）=0++号≥10+ x y =2, 当且仅当√/x2+2= 1一，此时x2十2=1无实数解，故 2.9z=10+6=16. 2y √/x2+2 取不到等号，错误.] 当且-+号- x'y 6.证明：因为x,y,之都是正数， 即x=4,y=12时取等号，故x十y的最小值为16. 所以x十y≥2W√xy,当且仅当x=y时等号成立， 活动二 y十z≥2√y2,当且仅当y=之时等号成立， 新知导学 x十z≥2V√z,当且仅当x=x时等号成立， 问题3提示：设矩形围栏相邻两条边长分别为xm,ym,围栏 的长度为2(x十y)m. 所以(x+y)(y+x)(x十z)≥2√xy·2√yz·2Wxz, 由已知得xy=16, 所以(x十y)(y十z)(x十z)≥8xyz,当且仅当x=y=之时 等号成立， 由≥，可知x十y≥2四=8， 2 故(x+y)(y+z)(x+x)≥8xyz成立. 所以2(x+y)≥16， 学案20均值不等式及其应用（二） 当且仅当x=y=4时，等号成立， 因此，当这个矩形游乐园是边长为4m的正方形时，所用围 课堂活动 栏最省，所需围栏的长度为16m. 活动一 新知应用 新知导学 解：设每间虎笼长xm,宽ym, 问题1提示：设这两个数为9十y一8，由（士）八≥y 则由条件知，4x十6y=36,即2x十3y=18. 得xy≤16，当且仅当x=y=4时，等号成立，即这两个正数 设每间虎笼面积为S, 都为4时，其积最大. 则S=xy: 问题2提示：设两个正数为x,y,xy=16,由x十y≥2√xy得 由于2x+3y≥22x·3y=2√6xy x十y≥8，当且仅当x=y=4时等号成立，即这两个正数都 ∴.2√6xy≤18， 等于4时，其和最小 得<7即Sa=号， 27 新知生成 大x=y小x=y 当且仅当2x=3y时，等号成立. 新知应用 2x+3y=18, 由《 解得 x=4.5, 1.6[因为x>2,所以x-2>0, 2x=3y, y=3. 故每间虎笼长为4.5m,宽为3m时， 所以y-x+2-2+42+2≥8-2… 22+2 可使每间虎笼面积最大 =6, 课堂达标 当且仅当工一2兰2即x=4时，等号底立 1.C[a>0,b>0,a+b=2, 所以y=x+产2的爱小值为6] 号+-1 母题变式：解：因为x<2,所以2一x>0, +-（日+）（号+）-++号+ 所以=+-[-]+2 b 2a 9 -2-2+2=-2, 当且仅当6=2a,脚a=号6=号时取等号】 118 2.C[设矩形模型的长和宽分别为x,y, (2)因为a+2b=1, 则x>0,y>0, 所以a2+6ab+4b2=(a+2b)2+2ab=1+2ab≤1+ 由题意可得2(x十y)=8, (2y-1+ 所以x+y=4, 所以矩形模型的面积S=y≤红+》'- 1 =4,当且仅当 当且仅当a=2b,即b= ,a= 时取学号， 4 4 所以a2+6ab十42的最大值为 5 x=y=2时，等号成立， 所以当矩形模型的长和宽都为2cm时，面积最大，为 7.解：设城建公司获得的附加效益为y千元， 4cm2.] 3.D[因为x>0,y>0且2+1=1， 由题秦得y-2红-(ar+。-1）-1u6-(+) x y =118-4(x+3) 所以x+2y-运+2)（层+）-4+竖+子≥4+ +- y =130- 4(x+3)+ 7847 x+3」 784 =130-112=18, 当且仅当y-二，即工=4，y=2时等号成立， ≤130-2/4(x+3)· x+3 x y 所以(x十2y)min=8,要使x十2y>m2恒成立， 当且仅当4(z+3)=784 x+3' 只需(x+2y)min>m2,即8>m2, 即x=11时取等号， 解得-2√2<m<2√2.故选D.] 所以提前11天完工，能使公司获得最大附加效益， 4.5+26[由2a+b=ab-1,得a=6十 学案21章末总结 b-2” b+1 因为a>0,b>0,所以a 6-2>0,b+1>0, 【例题1】(1)B[因为a>1,所以】<1，所以0正确；若a十 所以b>2, >b,可令a=三1，G1,6=二1，则有>方，故②错误：对于 所以a+26-22b6203+26-2)+426一2 b-2 1 ③，可取a=2,则a2<a,故③错误；因为ac2>bc2,c2>0, 3 3 6产2+5≥2/26-2)‘62+5=5+26， 所以a>b,故④正确.门 (2)解：因为-2<b<一1，所以1<-b<2, 当卫枚当26-2)=622即6=2+ 3 ?时等号成立。 又因为2<a<3, 所以2<-ab<6, 所以a+2b的最小值为5+2V6.] 所以-6<ab<-2. 5.(-∞，0][因为x>-1,所以x+1>0, 因为-2<b<-1,所以1<b2<4, 1 则x+中市一1=x+1+z中市2 因为2<a<3,所以3<a<2' 1<1<1 1 ≥2√x+1)·x干2=2-2=0， 1 当且仅当x十1=x十' 跟踪训练1AD[对于A,因为a<b<0, 即x=0时，等号成立， a 南观态可件a≤(e+中一1)=0，即&0，] 对于B,因为a<b<0,所以ab>0,a2b<ab2,故B错误； min 对于C,当c=0时，a|c=b|c|,故C错误： 6.解：(1)因为a十2b=1, 对于D,由c2+1>0,a<b<0,可得a(c2+1)<b(c2+1),故 a ba D正确.故选AD.] 【例题2】解：(1)当a=0时，y=x2,则由y<5x一6， =4, 得x2<5x-6,即x2-5x十6<0，解得2<x<3, 当且仅当a=6=子时取等号， 所以不等式的解集为{x|2<x<3》. 所以1 (2)因为y<0的解集为（一4,2）， 以。十古的最小值为4 所以方程x2-ax一2a2=0的两个根为-4和2， 191