2.2.4 均值不等式及其应用 第1课时课件-2023-2024学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

2.2.4 均值不等式及其应用 新授课 2.2 不等式 第1课时 1.学会推导并掌握均值不等式 2.能够简单应用均值不等式求最值 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 知识点：均值不等式 给定两个正数a，b，数 称为a，b的算术平均值； 数 称为a，b的几何平均值． 两个数的算术平均值和几何平均值之间有什么相对大小关系？ 两个数在数轴上对应的点的中点坐标 几何意义 ？ 几何意义 新课讲授 学习目标 课堂总结 试一试 假设一个矩形的长和宽分别为a和b，求与这个矩形周长相等的正方形的边长，以及与这个矩形面积相等的正方形的边长. 与矩形周长相等的正方形边长为 与矩形面积相等的正方形边长为 思考：这两个边长的大小关系如何？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 观察表格数据，指出两个数的算术平均值与几何平均值的相对大小关系，再任意取几组正数依旧成立吗？ a 1 2 3 b 1 4 2 1 3 1 2 两个正数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值. 新课讲授 学习目标 课堂总结 如果a，b都是正数，那么 当且仅当a=b时，等号成立. 均值不等式 新知生成 新课讲授 学习目标 课堂总结 证明　因为a，b都是正数，所以 即 而且，等号成立时，当且仅当　　　　　　　，即a＝b． 问题 试证明均值不等式. 新课讲授 学习目标 课堂总结 均值不等式中的a，b可以是任意正实数，因此我们可以代入任意满足条件的数或式子，　 均值不等式也称为基本不等式（基本不等式中的a，b还可以为零）， 比如 其实质是：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值． 新课讲授 学习目标 课堂总结 a b 思考：均值不等式有什么几何意义呢？ 所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大 ( )2 ( )2 ab 周长相等 想一想你能推广这个结论吗？比如所有周长相等的三角形中，什么样的三角形面积最大？平面上，周长相等的所有封闭图形中，什么样的图形面积最大？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题 如图所示半圆中，AB为直径，O为圆心．已知AC＝a，BC＝b，D为半圆上一点，且DC⊥AB，算出OD和CD，是否可以给出均值不等式的另一个几何意义？ 因为AB为半圆的直径，所以AD⊥BD. A B D O C 易知△ACD∽△DCB，所以 由OD≥CD及 即 可得 当且仅当a=b时，点C与点O重合，OD=CD，即 半圆上的点到直径的距离不大于半圆的半径． 新课讲授 学习目标 课堂总结 例1 已知x＞0，求y＝x＋ 的最小值，并说明x为何值时y取得最小值． 解：因为x＞0，所以根据均值不等式有 解得x＝1或x＝－1（舍）． 其中等号成立当且仅当x＝ ，即x2＝1， 因此x＝1时，y取得最小值2． 新课讲授 学习目标 课堂总结 例2 已知x∈(－1，3)，求y＝(1＋x)(3－x)的最大值，以及y取得最大值时x的值． 解：当x∈(－1，3)时，－1＜x＜3，因此1＋x＞0，3－x＞0． 当且仅当1＋x＝3－x，即x＝1时，等号成立． 从而(1＋x)(3－x)≤4，即y≤4． 由均值不等式可得 从而x＝1时，y取得最大值4． 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 一正，a，b均为正数； 二定，不等式一边为定值； 三相等，不等式中的等号能取到，即a＝b有解． 在利用均值不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”： 新课讲授 学习目标 课堂总结 已知x>0,y>0,且4x+y=1，求xy的最大值． 练一练 解：因为x＞0，y＞0，所以 当且仅当4x＝y时，等号成立． 即 又4x＋y＝1，所以当 时，xy取得最大值 新课讲授 学习目标 课堂总结 例3 （1）已知矩形的面积为100，则这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？ 分析：矩形的长与宽的积是一个常数，要求长与宽之和的两倍的最小值. 解：设矩形的长与宽分别为x与y，依题意得xy＝100． 因此，当矩形的长和宽都是10时，它的周长最短，最短周长为40． 当且仅当x＝y时，等号成立， 所以2(x＋y)≥40． 因为x＞0，y＞0，所以 由 ，可知此时x＝y＝10． 新课讲授 学习目标 课堂总结 例3 （2）已知矩形的周长为36，则这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？ 分析：矩形的长与宽之和的两倍是一个常数，要求长与宽的积的最大值． 解：设矩形的长与宽分别为x与y，依题意得2(x＋y)＝36，即x＋y＝18． 因为x＞0，y＞0，所以 因此 ≤9，即xy≤81． 当且仅当x＝y时，等号成立，由