学案19 均值不等式及其应用(一)-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教B版）

所以x<a2或x>a; 1 当a=1时，a=a2=1,所以x≠1； 当且仅当a-2=。一2，即a=3时取等号. 当a>1时，有a<a2,所以x<a或x>a2. n=4-b2<4, 综上，当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|x<a或 所以m>n.] 活动三 x>a2}:当a=0时，原不等式的解集为{x|x≠0}； 当0<a<1时，原不等式的解集为{xx<a2或x>a)； 新知导学 问题4提示：因为a,b为正数， 当a=1时，原不等式的解集为{x|x≠1}. 11 学案19 均值不等式及其应用（一） 所以。，后也为正数。 课堂活动 所以a+ a正=26+2话=2 a≥2√a a 活动一 新知导学 所以a+6++4 问题1提示士>瓜，当且仅当a=6时，等号成立， 。b=6,即a=6=1时，取得等号. 1 1 当且仅当a= 证明知下，-6-a十6,2@ 新知应用 a)-2Va5+66)_6-6)≥0， 证明：因为>06>0a+6-1,所以1+-1+2-2 a 2 2 同理得1+6=2+分， 即士产V6,当且仅当a=6时，等号成立。 所以(1+日)(1+名)=(2+)(2+云)=5+ 问题2提示6为矩形的面积西（士）为以产为边长 2(+号）≥5+4=9，当且仅当合=即a=b=时￥ 的正方形的面积，可以得到：周长一定的矩形中，正方形的面 号成立， 积最大. 问题3提示：由△ACDC△DCB, 所以(1+日)(1+合)≥9. 常器得cD=瓜， 课堂达标 60n=,且0D≥cD, 1.B[由题知0<a<b,且a十h=1,所以0<a<),号<b<1,故 22 即圆的半径不小于它的半弦长， #除D:因为a+6>a士》-日，故排除A因为a十6 2 新知生成 >2ab,故排除C.故选B.] 1.&6 2.B[由均值不等式的条件“一正、二定、三相等”，即均值不等 2 vab atbtc 3 式成立的前提条件是各项均为正数，所以不等式(x一2y)十 新知应用 (②)[只有当x>0时，才能由均值不等式得到x十1≥ x-2)≥2成立的前提条件为x-2y>0,即x>2.故选B.] 2·王=2，故1特花； 3A>>02>x,生>V网，网>， 即>y,x>>>. 当a<0,b<0时，ab>0,由均值不等式可得 2 故选A.] 6+6>2d·品-2，故(2)正确： 1 4.C[由题图可知直角三角形的两直角边的长度分别为a,b, 由均值不等式可知，当兰>0，>0时，有义十二≥ 可将斜边长度取作c(c2=a2+b2), y y 则外围的正方形的面积为c2,也就是a2十b2 以·工=2成立，这时只需x与y同号即可，故(3) 四个阴影直角三角形的面积之和刚好为2ab, 2N五y 对任意正实数a和b,有a2+b2≥2ab, 错误.] 当且仅当a=b时等号成立.] 活动二 新知应用 5.AB[A中，当≥0时，x+1+≥2(x+)· A[m=a+, a-2a-2+1 +a—2+2≥2+2=4， =2,当且仅当x+1=十1，即x=0时，等号成立，正确： 171 当且仅当2-x=2-x' …4 即x=0时，等号成立. 仅当后后即x=1时，泽号成立，正确 故y-2十兰的最大位为-2 1 C中，当x<0时，里然x+≥2不成立，错误； 2.解：1+9=1，且x>0,y>0, D中，因为+2+1 ≥2 1 √x+2 V2+2. √x+2 +y=(+(+）=0++号≥10+ x y =2, 当且仅当√/x2+2= 1一，此时x2十2=1无实数解，故 2.9z=10+6=16. 2y √/x2+2 取不到等号，错误.] 当且-+号- x'y 6.证明：因为x,y,之都是正数， 即x=4,y=12时取等号，故x十y的最小值为16. 所以x十y≥2W√xy,当且仅当x=y时等号成立， 活动二 y十z≥2√y2,当且仅当y=之时等号成立， 新知导学 x十z≥2V√z,当且仅当x=x时等号成立， 问题3提示：设矩形围栏相邻两条边长分别为xm,ym,围栏 的长度为2(x十y)m. 所以(x+y)(y+x)(x十z)≥2√xy·2√yz·2Wxz, 由已知得xy=16, 所以(x十y)(y十z)(x十z)≥8xyz,当且仅当x=y=之时 等号成立， 由≥，可知x十y≥2四=8， 2 故(x+y)(y+z)(x+x)≥8xyz成立. 所以2(x+y)≥16， 学案20均值不等式及其应用（二） 当且仅当x=y=4时，等号成立， 因此，当这个矩形游乐园是边长为4m的正方形时，所用围 课堂活动 栏最省，所需围栏的长度为16m. 活动一 新知应用 新知导学 解：设每间虎笼长xm,宽ym, 问题1提示：设这两个数为9十y一8，由（士）八≥y 则由条件知，4x十6y=36,即2x十3y=18. 得xy≤16，当且仅当x=y=4时，等号成立，即这两个正数 设每间虎笼面积为S, 都为4时，其积最大. 则S=xy: 问题2提示：设两个正数为x,y,xy=16,由x十y≥2√xy得 由于2x+3y≥22x·3y=2√6xy x十y≥8，当且仅当x=y=4时等号成立，即这两个正数都 ∴.2√6xy≤18， 等于4时，其和最小 得<7即Sa=号， 27 新知生成 大x=y小x=y 当且仅当2x=3y时，等号成立. 新知应用 2x+3y=18, 由《 解得 x=4.5, 1.6[因为x>2,所以x-2>0, 2x=3y, y=3. 故每间虎笼长为4.5m,宽为3m时， 所以y-x+2-2+42+2≥8-2… 22+2 可使每间虎笼面积最大 =6, 课堂达标 当且仅当工一2兰2即x=4时，等号底立 1.C[a>0,b>0,a+b=2, 所以y=x+产2的爱小值为6] 号+-1 母题变式：解：因为x<2,所以2一x>0, +-（日+）（号+）-++号+ 所以=+-[-]+2 b 2a 9 -2-2+2=-2, 当且仅当6=2a,脚a=号6=号时取等号】 118人教B版数学必修第一册 课 学案19 均值不等式及其应用（一） 记 昆学习任务 1.掌握均值不等式及其推导过程.（逻辑推理） 2.理解均值不等式的几何意义.（直观想象） 3.能运用均值不等式比较大小、证明不等式.（数学运算、逻辑推理） (1)请用a,b表示出线段CD和圆的半径OD; 课堂活动 (2)比较CD和OD的大小，由此你能给出不等 话动一理解均值不等式及几何意义 式“士修几何套义吗7 阄新知导学 问题1 对于任意正实数a,b,a中和√a5的大 2 小关系如何？能否给出证明？ 厅新知生成 1.算术平均值与几何平均值 给定两个正数a,b,数 称为a,b的算术 平均值；数 称为a,b的几何平均值 多个正数的算术平均值和几何平均值可以类似地 定义，例如a,b,c的算术平均值为 ,几何 问题2在问题1中可以得到，若a,b∈R+,则 平均值为 士>，历，如果两边平方可以得到生) 2.均值不等式 ≥ab,若把矩形的长和宽分别记为a和b,那么 如果a,6都是正数，那么“2≥√6，当且仅 你能得到什么结论呢？ 当a=b时，等号成立. 均值不等式也称为基本不等式（基本不等式中 的a,b还可以为零)，其实质是：两个正实数的 算术平均值不小于它们的几何平均值， 今新知应用 给出下列命题： 问题3如图，已知AB是⊙O的直径，AC=a, （1)若x∈R,则x+1≥2： CB=b,过C作CD⊥AB交⊙O的半圆 于D ②)若a<0,6<0,则6十28 (3)不等式义+工≥2成立的条件是x>0且 y y>0.其中正确命题的序号是 1150 均值不等式及其应用（一）学案19 【方法总结」均值不华大生≥丽a≥0,60 新知应用 听 课 的两个注意点 已知a>0,6>0,a+6-1,求证：(1+)· 记 (1)不等式成立的条件：a,b都是正数. (2)“当且仅当”的含义： (1+2)≥9. ①当a=6时，2生”≥5的等号成立，年a=6> a+b 2 =√ab; ②仅当a=6时，≥而的等号减立，即+9 2 =Jab→a=b. 活动二掌握利用均值不等式比较大小 今新知应用 已知m=a十 1 —2a>2,n=4-b2(6≠0)，则 m,n的大小关系是 ) A.mn B.m<n 「方法总结」利用均值不等式证明不等式的 C.m-n D.不确定 策略 「方法总结」运用均值不等式比较大小的注 从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等 意点 式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后！ (1)要灵活运用均值不等式，特别注意其变形. 转化为所求问题，其特征是从“已知”看“可知”，逐 (2)注意成立的条件，即a+b≥2ab成立的条件 步推向“未知” 是a>0,b>0,等号成立的条件是a=b;a2+b2≥ 课堂小结 2ab成立的条件是a,b∈R,等号成立的条件 是a=b. 均值不等式 的概念 活动三”掌握利用均值不等式证明不等式 均值不等式 利用均值不 阄新知导学 等式比较大小 利用均值不 问题4设a,b为正数，如何证明不等式a十b+ 等式证明不 等式 + 课堂达标 1.若实数a,b满足0<a<b,且a十b=1,则下列 四个数中最大的是 ( N.2 B.a2+62 C.2ab D.a 5110 人教B版数学必修第一册 听 2.不等式(x-2y)+x-2y 1 ≥2成立的前提条 5.(多选)下列结论正确的是 1 笔 件为 ( A.当x≥0时，x+1+ ) 2+7≥2 A.x≥2y B.x>2y B.当x>0时，x+ ≥2 C.x≤2y D.x<2y 3.设x>y>0,则下列各式中正确的是( C.x十二的最小值为2 A.>yy D.√x2+2+ 1 的最小值为2 √x2+2 B.x>/yy 2 6.已知x,y,之都是正数，求证(x十y)(y十z)· C (x十z)≥8xyz. D.t>/yyy 2 4.三国时期的数学家赵爽创制的“勾股圆方图”给 出了勾股定理的证明，可用现代数学表述为如 图所示的图形，教材中利用该图作为一个说法 的几何解释，这个说法正确的是 () A.如果a>b>0,那么√a>√石 B.如果a>b>0,那么a2>b2 C.对任意正实数a和b,有a2+b2≥2ab,当且 仅当a=b时，等号成立 D.对任意正实数a和b,有a+b≥2ab,当且 仅当a=b时，等号成立 课后反思 1152