学案12 等式的性质与方程的解集-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教B版）

人教B版数学必修第一册 第二章等式与不等式 课 记 学案12等式的性质与方程的解集 昆学习任务 1.能用符号语言和量词表示等式的性质.（数学抽象） 2.了解恒等式，掌握常见的恒等式，会用“十字相乘法”分解二次三项式.（数学运算） 3.能利用等式的性质和有关恒等式进行代数变形，求方程的解集.（数学运算） (2)常见的代数恒等式 课堂活动 ①(a+b)2= 活动一了解等式的性质、恒等式 (a-b)2=a2-2ab十b2. 询新知导学 ②a2-b2= ③a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2), 问题1在一个平衡的天平两边，左边放了3个 a3-b3= 10克的砝码，右边放了2个苹果和1个10克 ④(x十a)(x十b)= 砝码，此时天平平衡.如果从天平两边同时拿走 (ax+b)(cx+d)= 1个10克砝码，天平还会平衡吗？为什么？这 体现了等式的什么性质？ 新知应用 1.下列说法正确的是 A.若a=b,则a-c=c-b B.若a2=ab,则a=b C.若a=b,则4=b 新知生成 1.等式的性质 D若号-2，则a=6 c (1)等式的两边同时加上（或减去）同一个数或 2.化简(m2+1)(m+1)(m-1)-(m4+1)的 代数式，等式仍成立，用公式表示：如果a=b, 值是 () 则对任意c,都有 ;这里的a, A.-2m2 B.0 C.-2 D.-1 b,c可以是具体的一个数，也可以是一个代 「方法总结」 数式 1.等式的性质是等式变形的依据.在运用性质1时， (2)等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为 必须是在等式的两边同时加上（或减去）“同一个 零的数或代数式，等式仍成立，用公式表示：如 数”或“同一个代数式”，不要漏掉等号的任何一 果a=b,则对任意不为零的c,都有 边；在运用性质2时，不能在等式两边同时除以0 2.化简的一般步骤 2.恒等式 (1)一提：先看是否能提取公因式. (1)恒等式的含义 (2)二套：再看能否套用公式. 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取 (3)三检查：再检查因式分解是否彻底. 时等式都成立，则称其为恒等式，也 (4)四检验：最后用多项式乘法检验分解是否 称等式两边恒等， 正确. 1130 等式的性质与方程的解集学案12 活动二掌握十字相乘法分解因式 「方法总结」用“十字相乘法”分解因式的步骤 听 (1)分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上 阄新知导学 课 角和左下角。 记 问题2我们学过哪些分解因式的方法？ (2)分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和 右下角. (3)交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数. (4)写出最终结果. 话动三会求方程的解集 厅新知生成 阄新知导学 给定式子x2+Cx十D,如果能找到a和b,使得 问题3使方程x2=2x成立的x的值组成的集 D= 且C= ,则x2十Cx十D 合是什么？ 为了方便记忆，已知C和 D,寻找满足条件的a和b的过程，通常用图来表 示： X“,其中两条交叉的线表示对应数相乘后 相加要等于 ,也正因为如此，这种因式分解 的方法称为“十字相乘法” 厅新知生成 今新知应用 1.方程的解（或根）是指能使方程左右两边相等的 的值.一般地，把一个方程所有解组成 分解因式： 的集合称为这个方程的 (1)x2十x-2; 2.方程(x一x1)(x一x2)=0,当x1卡x2时解集为 2r3x+1, ,当x1=x2时解集为 (3)2x2+11x+12; 新知应用 (4)5x2-7x-6. 求下列方程的解集： (1)(x+3)(x+1)=6x+2; (2)16(x-5)2-9(x+4)2=0. 31 人教B版数学必修第一册 听 「方法总结」用因式分解法解一元二次方程的 4.下列等式中，属于恒等式的是 () 步骤 A.x2=0 B.x十y=0 笔 (1)将方程右边化为0. 1=1.1 C. D.√xy=√E· (2)将方程的左边分解为两个一次因式的积， xy x (3)令每个因式等于0，得两个一元一次方程，再 5.若a,b,c是三角形的三个边长，则(a一b)2一c2 求解 的值是 () A.正数 B.负数 课堂小结 C.零 D.不确定 等式的性质 6.关于x的方程(2x十3)(2x4-x2-6)=0的解 乘法公式 等式 恒等式 集为 “十字相乘法” 7.用十字相乘法分解因式： 方程的解集 (1)x2+7x+6; 课堂达标 (2)2x2+7x+6; (3)x4-x2-12; 1.一元二次方程x2一5x一6=0的解集为( (4)x2-7ax+12a2. A.{-6,1}》 B.{6,-1 C.{-2,3} D.{2,-3} 2.下列因式分解正确的是 A.x(x-1)=x2-x B.(2x+1)(x-1)=2x2-x-1 C.5x2-2x-3=(x十1)(5x-3) D.5x2-2x-3=(x-1)(5x+3) 3.(多选)下列式子中变形正确的是 A.若3x-1=2x十1，则x=0 B.若ac=bc,则a=b 6 f D.若岩言则y= 课后反思 1132【例题2】解：(1)A={x|2≤x<7}, B={x3<x<10}, 跟踪练41)分(2)（侵，+∞）[1）A是B的充要 ∴AUB={x|2≤x<10}, 条件， CRA={x|x<2,或x≥7}， 则A=B,b=0时，B=⑦，不符合题意，故b≠0， 则(CRA)∩B={x|7≤x<10. 当6>0时，B=女> (2),A={x|2≤x<7},C={x|x<a}, 且A∩C≠⑦， 此时若A=B,则方=2， ∴.a>2,.a的取值范围是(2，十∞). 跟踪训练2解：(1)：A={x0≤x≤2}， 解得b= 特合题意； .CRA={xlx<0或x>2}. (CRA)UB=R,画数轴如图所示， 当0时，B=女<分}： CR4☐BCRA 此时，A≠B,不符合题意.故b= 21 a 0 2a+3 (2)若A是B的充分不必要条件， :/as0, 得到A是B的真子集， 即-1≤a≤0 a+3≥2， 故由(1)得，当b≤0时，不符合题意，当b>0时， .a的取值范围为{a|一1≤a≤0}. (2)由(1)知(CRA)UB=R时， B={>右}则石<2，解得6>子] -1≤a≤0，而2≤a+3≤3， 第二章 等式与不等式 .A二B,这与A∩B=⑦矛盾. 即不存在实数a使(CRA)UB=R且A∩B=⑦. 学案12等式的性质与方程的解集 【例题3】解：(1)根据题意，Hx∈{x|3≤x≤5}，x-a≥0恒 课堂活动 成立， 即a≤x恒成立，只需a≤3，故实数a的取值范围为（一∞，3]. 活动一 (2)选择①：3x∈R,ax2十2x十1=0， 新知导学 若a=0,显然满足题意； 问题1提示：天平两边同时拿走1个10克砝码后，天平仍然 若a≠0，△=4一4a≥0，解得a≤1， 平衡.因为原本天平左边是3×10=30克，右边是2个苹果的 故命题q为真时，a∈(-∞，1]， 质量加上10克，两边相等.拿走1个10克砝码后，左边变为 根据(1)中所求，若命题力和命题q都是真命题，则实数a的 30一10=20克.右边2个苹果的质量不变，只是减少了 取值范围为（一∞，1]： 10克，两边还是相等，这体现了等式两边同时减去同一个数， 选择②：存在集合A={x|2<x<4}, 等式仍然成立的性质，若设2个苹果的质量为x克，最初等 集合B={x|a<x<2a},使得A∩B=☑， 式为3×10=x十10，两边同时减去10后，3×10-10=x+10 当a≥2a,即a≤0时，B=⑦，显然满足题意； 一10，等式依然成立. 当a<2a,即a>0时，只需2a≤2或a≥4， 新知生成 解得a∈(0,1]U[4,+∞). 1.1)a士c=b±c(2)ac=bc,g=b c c 故命题q为真时，a∈(-∞，1]U[4,+o∞). 2.(1)任意实数(2)①a2+2ab+b2②(a+b)(a-b) 根据(1)中所求，若命题p和命题g都是真命题，则实数a的 ③(a-b)(a2+ab+b2)④x2+(a+b)x+ab acx2+(ad 取值范围为（一∞，1]. 跟踪训练3B[因为命题p:“Vx∈R,x2-2x十m≠0”是真 +bc)x+bd 新知应用 命题， 1.D[A中，由等式的性质1可得a一c=b一c,而不是a一c= 所以方程x2一2x十m=0没有实数根， c一b,故A错误；B中，根据等式的性质2，只有当a≠0时，等 即△=4-4m<0,所以m>1.] 【例题4】解：：力是q的必要不充分条件，m>0, 式两边才能同时除以a,从而得到a=b,故B错误；C中，根 .{x2-m≤x≤2十m}{x|-2≤x≤6}， 据等式的性质2，只有当c≠0时，等式两边才能同时除以c, 2-m≥-2,2-m>-2解得0<m<4, 从而得到二=。，故C错误；D中，由分式的分母不为0可知 2+m<6或2 cc 12+m≤6， c≠0，根据等式的性质2，等式两边同时乘以c,可得a=b,故 .实数m的取值范围是(0,4). D正确.门 91■ 2.C[(m2+1)(m+1)(m-1)-(m+1) 课堂达标 =(m2+1)(m2-1)-(m4+1) 1.B[x2-5x-6=0可化为(x-6)(x十1)=0，解得x=6或 =(m4-1)-(m+1) x=-1, =m4-1-m4-1 所以一元二次方程x2-5x-6=0的解集为{6，-1}， =-2.] 故选B.] 活动二 2.D[对于A,应该是x-x=x(x-1),故A错误； 新知导学 对于B,应该是2x2-x一1=(2x+1)(x一1)，故B错误； 问题2提示：提取公因式法，公式法等. 对于C,5x2-2x-3=(x-1)(5x十3)，故C错误， 新知生成 D正确， ab atb (x+a)(x+b)C 故选D.] 新知应用 3.CD[对于A,等式两边同时减去(2x一1)，得x=2,故A不 正确；对于B,当c=0时，不一定有a=b,故B不正确；对于 解：(1) C,在号式两边同时来以ua≠0，得到6，故C正确：两 2 于D,在等式两边同时乘以5得到y=x,故D正确.] x2+x-2=(x-1)(x+2). 4.C[对于A,x=1时，x2≠0，故A错误； X 对于B,取x=0,y=1,x十y=1≠0，故B错误； 2 对于C,=】.1（红≠0，)y≠0)，故C正确： xy x y x2-8x+1-(-2）x-2. 对于D,取x=y=一1，可得√xy=1,√x与y无意义，故D 错误. 故选C.] 2 5.B[(a-b)2-c2=(a+c-b)[a-(b+c)], 3 a,b,c是三角形的三个边长， 2x2+11x+12=(x+4)(2x+3). ∴.a+c-b>0,a-(b+c)<0,.(a-b)2-c2<0. 故选B.] (4) 51 6{侵E,- [(2x+3)(2x4-x2-6)=0可化为 5x2-7x-6=(x-2)(5x+3). (2x+3)(2x2+3)(x2-2)=0, 活动三 .2x2+3>0,.(2x+3)(x2-2)=0, 新知导学 问题3提示：{0,2}. 部得=一 2x2=2,x,=-2, 新知生成 1.未知数解集 方程(2z+3)(2x-t-6)=0的解集为←号厄，一②.】 2.{x1,x2}{x1} 7.解：(1)x2+7x+6=(x+1)(x+6) 新知应用 (2)2x2+7x+6=(x+2)(2x+3). 解：(1)整理，得x2-2x十1=0. (3)x4-x2-12=(x2-4)(x2+3)=(x+2)(x-2)(x2+3). 即(x-1)2=0, (4)x2-7a.x+12a2=(x-3a)(x-4a). 所以x1=x2=1 学案13一元二次方程的解集及其根与 所以原方程的解集为{1}. (2)利用平方差公式，将原方程化为[4(x一5)+3(x+4)]· 系数的关系 [4(x-5)-3(x+4)]=0, 课堂活动 整理可得(7x一8)(x-32)=0, 活动一 所以7x一8=0或x-32=0, 新知导学 所以x=号或x32， 问题1提示：可以通过配方法求解.方程x2一8x一20=0可化 为(x-4)2=36,开方得x-4=6或x一4=一6，即x=10或 故原方程的解桑为号，32. x=-2. 110