学案11 集合与常用逻辑用语 章末总结-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教B版）

人教B版数学必修第一册 学案11章末总结 笔 网络构建 集合的元素特点 集合的概念 常见数集的符号 列举法 集合的表示方法 描述法 集 区间及其表示 子集 集合的基本关系 真子集 两集合相等 交集 集合的基本运算 及性质 并集 补集 全称量词H 全称量词命题 全称量词命题与存 命题与量词 用逻辑 存在量词3 在量词命题的否定 存在量词命题 P→9 p是g的充分条件 充分条件、必要条 p是q的必要条件 q→p 件、充要条件 p是g的充要条件 P台9 一、集合的概念及其基本关系 二、集合的基本运算 【例题1】已知集合A={xl0x<4},B={xx<a}, 【例题2】已知集合A={x|2≤x<7},B={x 若A二B,则实数a的取值范围是 3<x<10},C={xx<a}. A.{al0<a<4} (1)求AUB,(CRA)∩B; B.{a-8<a<4} (2)若A∩C≠☑，求a的取值范围. C.{aa≥4} D.{aa>4} 「方法总结」集合间的基本关系的关键点 (1)☑：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系 时必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解。 (2)端点值：已知两集合间的关系求参数的取值范 围时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的 关系，进而转化为参数所满足的条件，常用数轴解 决此类问题. 「方法总结」集合基本运算的关注点 跟踪训练1已知集合A={x|一2≤x≤7}， (1)看元素组成.集合是由元素组成的，从研究集 B={x|m十1<x<2m-1},若B二A,则实数 合中元素的构成入手是解决集合运算问题的 m的取值范围是 前提。 1128 章未总结学案 (2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系 解决.牵涉到参数的存在量词命题一般是存在性 听 并进行运算，可使问题简单明了，易于解决 问题，只要在限定集合中，能找到一个元素x。,使 (3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形 p(x。)成立即可. 笔 式有数轴和维恩图. 跟踪训练3若命题p:“Hx∈R,x2-2x十 跟踪训练2已知集合A={x|0≤x≤2}，B={xa≤ m≠0”是真命题，则实数m的取值范围是 x≤a+3. ( (1)若(CRA)UB=R,求a的取值范围； A.[1,+∞) B.(1,+∞) (2)是否存在实数a使(CA)UB=R且A∩B=⑦？ C.(-o∞，1) D.（-∞，1] 四、充分条件、必要条件、充要条件的应用 【例题4】已知m>0,p:-2≤x≤6，q:2-m≤ x≤2十m.已知p是g的必要不充分条件，求 实数m的取值范围. 三、全称量词命题与存在量词命题的应用 【例题3】命题p:Hx∈{x|3≤x≤5}，x-a≥0 恒成立.在①3x∈R,ax2十2x十1=0； ②存在集合A={x|2<x<4},集合B={x a<x<2a},使得A∩B=⑦这2个条件中任 选一个作为命题g,并求解下列问题， 「方法总结」充要条件的常用判断方法 (1)若命题p是真命题，求实数a的取值范围； (1)定义法：直接判断“若p,则q”以及“若q, (2)若命题p和命题q都是真命题，求实数a 则力”的真假。 的取值范围. (2)等价法：利用p→q与一q→7p,9→卫与7力 →7q,p台q与7q台一p的等价关系，对于条件 或结论是否定式的命题，一般运用等价法， (3)利用集合间的包含关系判断：若A二B,则A是！ B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B,则： A是B的充要条件. 跟踪训练4若集合A={x|x>2},B={x| bx>1},其中b为实数， 「方法总结」牵涉到参数的全称量词命题一般 (1)若A是B的充要条件，则b= 是恒成立问题，必须对限定集合中每一个元素x (2)若A是B的充分不必要条件，则b的取值 验证成立，解题过程中可以借助于集合、数轴进行 范围为 课后反思 提示〉请完成《章未综合测评（一）》 2910所以“∠A十∠C<90°”是“△ABC是钝角三角形”的充分 (1-m≥-2， 即[1-m,1十m][-2,10],故有 或 条件.] 1+m<10, 4.A[由a>b,可得a十c>b+c成立；当c=0时，ac2>bc2不 1-m>-2, 解得m≤3. 成立；取a=1,6=-2,a>b和号>1不成立，所以“a十c 1+m≤10， 所以实数m的取值范围为(0,3]. >b+c”是“a>b”的一个必要条件.故选A.] 课堂达标 5.D[因为集合A={x|0≤x<3},B={x|1≤x≤3}，则由 1.B[“1<x<2”→“1<x<3”,反之不成立.所以“1<x<2” “m∈A”得不到“m∈B”,反之由“m∈B”也得不到“m∈A”. 是“1<x<3”的充分不必要条件.故选B.] 故选D.] 2.B[由x2一1≠0，得x≠1且x≠一1，因为“x≠卡一1”是“x≠1且 6.B[由5x-1>a,得x>a+ ,要使q是p的必要条件，需 x≠一1”的必要不充分条件，所以“x≠一1”是“x2-1≠0”的必要 5 不充分条件.故选B.] 有Q1 ≥1，解得a≥4，即实数a的取值范国是[4，十∞).故 3.A[若四边形为菱形，则四边形的对角线互相垂直.即p→q; 选B.] 反之，当四边形的对角线互相垂直时，该四边形不一定是菱形， 7.(-∞，1][记A={xlx>2或x<1},B={x|x<m.由题意 故q中p,所以力是q的充分不必要条件.] 可得B二A,即{xlx<m二{x|x>2或x<1},所以m≤l.] 4.A[当a=1时，N={1},此时“N二M”,满足充分性；当 N二M时，a=士1或a=土√2，不满足必要性，所以“a=1”是 学案10充要条件 “N二M”的充分不必要条件.故选A.] 课堂活动 5.C【“一合<红<2”的一个充分不必要条件对应的集合是 活动一 新知导学 {日<<2的真子枭，则-<x<号满足条.故 问题1提示：p→q,故力是q的充分条件，又q→p,故p是q 选C.] 的必要条件 6.(-o∞，1][因为“-1<x<3”是“x>2a-3”的充分不必要 新知生成 条件，所以{x|一1<x<3}是{x|x>2a一3}的真子集，则 1.9力充分不必要条件 2a-3≤-1，解得a≤1.] 2.pq必要不充分条件 7.解：(1)当x=1十√2时，x为无理数，但x2=3十2瓦为无理 3.p→g9→力充要台q 数，所以充分性不成立； 4.既不充分也不必要条件 当x2=4时，x=士2为有理数，所以必要性也不成立 新知应用 所以p是q的既不充分也不必要条件 解：①，正方形的对角线互相垂直平分，但是对角线互相垂 (2)当x一1>0，即x>1时，有x2>1,所以充分性成立； 直平分的四边形不一定是正方形， 当x=一2时，x2=4>1,而x1=一2-1<0，所以必要性 p是q的充分不必要条件. 不成立. ②A∩B=☑，集合A,B不一定是空集，所以p是q的必要 所以力是g的充分不必要条件。 不充分条件， ③，-1≤x≤5台x≥-1且x≤5， 学案11章末总结 .p是g的充要条件， 【例题1】C[在数轴上标出A,B两集合如图所示， ④因为四边形的对角线相等≯四边形是平行四边形，四边形 是平行四边形力四边形的对角线相等，所以p是q的既不充 B A 0 4a x 分也不必要条件 活动二 结合数轴知，若A二B,则a≥4.] 新知导学 跟踪训练1（-∞，4][当B=⑦时，有m+1≥2m-1,则m≤2. 问题2提示：p→q且q中p,所以A军B. 当B≠⑦时，若B二A,如图. 新知生成 充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也 -2m+1 2m-17x 不必要条件 m+1≥-2， 新知应用 则2m一17， 解得2<m4. 解：p:x∈[-2,10]，q:x∈[1-m,1+m]. m+1<2m-1, 因为p是g的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件， 综上，实数m的取值范围为（一∞，4].] 18 【例题2】解：(1)A={x|2≤x<7}, B={x3<x<10}, 跟踪练41)分(2)（侵，+∞）[1）A是B的充要 ∴AUB={x|2≤x<10}, 条件， CRA={x|x<2,或x≥7}， 则A=B,b=0时，B=⑦，不符合题意，故b≠0， 则(CRA)∩B={x|7≤x<10. 当6>0时，B=女> (2),A={x|2≤x<7},C={x|x<a}, 且A∩C≠⑦， 此时若A=B,则方=2， ∴.a>2,.a的取值范围是(2，十∞). 跟踪训练2解：(1)：A={x0≤x≤2}， 解得b= 特合题意； .CRA={xlx<0或x>2}. (CRA)UB=R,画数轴如图所示， 当0时，B=女<分}： CR4☐BCRA 此时，A≠B,不符合题意.故b= 21 a 0 2a+3 (2)若A是B的充分不必要条件， :/as0, 得到A是B的真子集， 即-1≤a≤0 a+3≥2， 故由(1)得，当b≤0时，不符合题意，当b>0时， .a的取值范围为{a|一1≤a≤0}. (2)由(1)知(CRA)UB=R时， B={>右}则石<2，解得6>子] -1≤a≤0，而2≤a+3≤3， 第二章 等式与不等式 .A二B,这与A∩B=⑦矛盾. 即不存在实数a使(CRA)UB=R且A∩B=⑦. 学案12等式的性质与方程的解集 【例题3】解：(1)根据题意，Hx∈{x|3≤x≤5}，x-a≥0恒 课堂活动 成立， 即a≤x恒成立，只需a≤3，故实数a的取值范围为（一∞，3]. 活动一 (2)选择①：3x∈R,ax2十2x十1=0， 新知导学 若a=0,显然满足题意； 问题1提示：天平两边同时拿走1个10克砝码后，天平仍然 若a≠0，△=4一4a≥0，解得a≤1， 平衡.因为原本天平左边是3×10=30克，右边是2个苹果的 故命题q为真时，a∈(-∞，1]， 质量加上10克，两边相等.拿走1个10克砝码后，左边变为 根据(1)中所求，若命题力和命题q都是真命题，则实数a的 30一10=20克.右边2个苹果的质量不变，只是减少了 取值范围为（一∞，1]： 10克，两边还是相等，这体现了等式两边同时减去同一个数， 选择②：存在集合A={x|2<x<4}, 等式仍然成立的性质，若设2个苹果的质量为x克，最初等 集合B={x|a<x<2a},使得A∩B=☑， 式为3×10=x十10，两边同时减去10后，3×10-10=x+10 当a≥2a,即a≤0时，B=⑦，显然满足题意； 一10，等式依然成立. 当a<2a,即a>0时，只需2a≤2或a≥4， 新知生成 解得a∈(0,1]U[4,+∞). 1.1)a士c=b±c(2)ac=bc,g=b c c 故命题q为真时，a∈(-∞，1]U[4,+o∞). 2.(1)任意实数(2)①a2+2ab+b2②(a+b)(a-b) 根据(1)中所求，若命题p和命题g都是真命题，则实数a的 ③(a-b)(a2+ab+b2)④x2+(a+b)x+ab acx2+(ad 取值范围为（一∞，1]. 跟踪训练3B[因为命题p:“Vx∈R,x2-2x十m≠0”是真 +bc)x+bd 新知应用 命题， 1.D[A中，由等式的性质1可得a一c=b一c,而不是a一c= 所以方程x2一2x十m=0没有实数根， c一b,故A错误；B中，根据等式的性质2，只有当a≠0时，等 即△=4-4m<0,所以m>1.] 【例题4】解：：力是q的必要不充分条件，m>0, 式两边才能同时除以a,从而得到a=b,故B错误；C中，根 .{x2-m≤x≤2十m}{x|-2≤x≤6}， 据等式的性质2，只有当c≠0时，等式两边才能同时除以c, 2-m≥-2,2-m>-2解得0<m<4, 从而得到二=。，故C错误；D中，由分式的分母不为0可知 2+m<6或2 cc 12+m≤6， c≠0，根据等式的性质2，等式两边同时乘以c,可得a=b,故 .实数m的取值范围是(0,4). D正确.门 91■