精品解析：广东省茂名市高州市高州市第一中学附属实验中学2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题

2025-2026学年度第一学期学情练习（10月） 八年级数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列实数中是无理数的是（ ） A. 3.14 B. C. D. 2. 下列实数中，最小的实数是（ ） A. 0 B. C. D. 3. 下列各组数中，勾股数（ ） A. 6，7，8 B. C. D. 5，12，13 4. 一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：)，可得出两圆孔中心A，B之间的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（ ） A. 18 B. 16 C. 9 D. 12 6. 已知中，、、分别是、、的对边，下列条件中不能判断是直角三角形的是( ) A. B. C. D. 7. 如图，数轴的一部分被阴影覆盖了，则被阴影覆盖的数可能是（ ） A B. C. D. 以上都不对 8. 若的三边长为a，b，c，满足，则是（ ） A. 等边三角形 B. 等腰直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 9. 如图，矩形纸片中，，，点E、G分别在上，将、分别沿翻折，翻折后点C与点F重合，点B与点P重合．当A、P、F、E四点在同一直线上时，线段长为（ ） A. B. C. D. 10. 公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图1）中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形，记空隙处正方形，正方形的面积分别为，则下列四个判断：①；②；③若，则；④若点A是线段的中点，则，其中正确的序号是（ ） A. ②③④ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 比较大小：___5（选填“”、“ ”、“ ” ）． 12. 如果，那么_． 13. 如图，有一圆柱形下水管道紧靠墙竖直安放，墙为长方形，，，该管道底面是周长为的圆，一只蚂蚁从点A爬过管道到达C，则需要走的最短路程是_______． 14. 如图，在中，，垂足为D，M为上任意一点，则__________． 15. 如图，在等腰中，点是底边边的中点，，分别是和上的动点．若，，则的最小值_______． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算： （1） （2） 17. 计算： 18. 如图，在中，平分交于点D，过点D作于点． （1）证明； （2）求的长． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 已知的平方根是，的立方根是3，的整数部分是． （1）求的平方根； （2）以、为两边的直角三角形的第三边的长度是多少？ 20. 理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到定滑轮A的垂直距离是，．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）如图1，求的长； （2）如图2，若滑块B向左滑动，求物体C升高的距离． 21. 如图，等腰直角中，，点P在上，将绕顶点B沿顺时针方向旋转后得到． （1）求的度数； （2）当时，求的大小； （3）当点P在线段上运动时（P不与A重合），请写出一个反映之间关系的等式，并加以证明． 五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 阅读下列材料，解决问题： 材料一：设表示不大于最大整数，如． 材料二：求的值： ，， ，． 材料三：2025数字构成的巧合：； ． 2025年是仅有平方年、立方年，不能不珍惜这神奇的一年． （1） ； ； ． （2）已知n为正整数，化简（结果用含的代数式表示）． （3）已知 ，，令， 求 ． 23. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． （1）求BC边的长； （2）当△ABP为直角三角形时，求t值； （3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期学情练习（10月） 八年级数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列实数中是无理数的是（ ） A. 3.14 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查无理数，立方根，解题关键在于掌握无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：A、是有限小数，是有理数，本选项不符合题意； B、是分数，是有理数，本选项不符合题意； C、是整数，是有理数，本选项不符合题意； D、是无理数，本选项符合题意； 故选：D． 2. 下列实数中，最小的实数是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数的比较大小，求一个数的算术平方根，熟练掌握实数的比较大小是解题的关键．先计算，即可得到答案． 【详解】解：， ， 最小的实数是． 故选：C． 3. 下列各组数中，勾股数是（ ） A. 6，7，8 B. C. D. 5，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股数识别，若三个正整数满足较小的两个正整数的平方的和等于最大的数的平方，那么这三个正整数叫做勾股数，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴6，7，8这组数不是勾股数，不符合题意； B、和不是正整数，故这组数不是勾股数，不符合题意； C、∵，且， ∴这组数不是勾股数，不符合题意； D、∵， ∴5，12，13这组数是勾股数，符合题意； 故选：D． 4. 一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：)，可得出两圆孔中心A，B之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查勾股定理，直接根据勾股定理即可求得两圆孔中心A和B的距离． 【详解】解：根据题意，得，， 则，即两圆孔中心A，B之间的距离为． 故选：B． 5. 如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（ ） A. 18 B. 16 C. 9 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先根据勾股定理求出，再根据勾股定理，得到，即可求出答案． 【详解】解：在中，， ， ， ， 在中，， ， 即阴影部分的面积是18． 故选：A． 6. 已知中，、、分别是、、的对边，下列条件中不能判断是直角三角形的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理及三角形的内角和定理，熟练掌握各定理是解决本题的关键．从三角形三边的关系利用勾股定理的逆定理和从角的关系利用三角形内角和定理逐个判断即可． 【详解】解：A．设，由三角形内角和为可知：，解得，故，是直角三角形，不符合题意； B．由三角形内角和定理可知：，即，此时是直角三角形，不符合题意； C．已知条件可变形为，由勾股定理的逆定理可知是直角三角形，不符合题意； D．设，此时，无法构成三角形，符合题意； 故选：D． 7. 如图，数轴的一部分被阴影覆盖了，则被阴影覆盖的数可能是（ ） A B. C. D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是估算无理数的大小，根据平方根的定义，对选项中的无理数进行正确的估算是解决本题的关键． 根据图中阴影部分可知，这个无理数在1到3之间，结合选项进行排除即可． 【详解】解：根据题意得：被阴影覆盖的数在1和3之间， ∵，， ∴，， ∴， ∴符合题意的为B． 故选：B 8. 若的三边长为a，b，c，满足，则是（ ） A. 等边三角形 B. 等腰直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与勾股定理的逆定理，掌握以上定理是解题的关键． 根据因式分解，利用等腰三角形的判定与勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴或， ∴或， ∴是等腰三角形或直角三角形， 故选：D． 9. 如图，矩形纸片中，，，点E、G分别在上，将、分别沿翻折，翻折后点C与点F重合，点B与点P重合．当A、P、F、E四点在同一直线上时，线段长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质得到，，，根据折叠的性质得到，，，根据勾股定理得到，设，由勾股定理列方程得到，由折叠的性质得到，，，求得，设，则，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【详解】解：在矩形纸片中，，， ∴，，， ∵将沿翻折，翻折后点C与点F重合， ∴，，， ∴， 设， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵将沿翻折，翻折后点B与点P重合， ∴，，， ∴， 设， 则， ∵， ∴， ∴， ∴线段GP长为， 故选：B． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，根据勾股定理列方程是解题的关键． 10. 公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图1）中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形，记空隙处正方形，正方形的面积分别为，则下列四个判断：①；②；③若，则；④若点A是线段的中点，则，其中正确的序号是（ ） A. ②③④ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了以“赵爽弦图”为背景的勾股定理的运用，正方形面积的计算，设“赵爽弦图”中直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，斜边长为c，由此可得，小正方形的边长为，，由此可求出，图形结合，及正方形面积的计算方法即可求解． 【详解】解：设“赵爽弦图”中直角三角形较短的直角边为，较长的直角边为，斜边长为，则小正方形的边长为， ∴正方形的面积为，正方形的面积为， ∵，， ∴，故①正确； ∵， ∴，， ∴，故②正确； 当时，，即， ∴，故③正确； 当点是的中点时，，即， ∴，即， ∴， ∴，故④错误； 综上所述，正确的有①②③， 故选：D ． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 比较大小：___5（选填“”、“ ”、“ ” ）． 【答案】＜ 【解析】 【分析】先把两数值化成带根号的形式，再根据实数的大小比较方法即可求解． 【详解】解：∵，， 而24＜25， ∴＜5． 故答案为：＜． 【点睛】此题主要考查了实数的大小的比较，当一个带根号的无理数和一个有理数进行比较时，首选的方法就是把它们还原成带根号的形式，然后比较被开方数即可解决问题． 12. 如果，那么_． 【答案】－4 【解析】 【分析】根据算术平方根和立方根的定义求解即可. 【详解】， ， 故答案：-4 【点睛】本题主要考查了平方根和求一个数的立方根，解题时应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同． 13. 如图，有一圆柱形下水管道紧靠墙竖直安放，墙为长方形，，，该管道底面是周长为的圆，一只蚂蚁从点A爬过管道到达C，则需要走的最短路程是_______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用—最短路线问题，正确画出图形是解题的关键． 把圆柱侧面展开，根据两点之间、线段最短，可知线段为蚂蚁爬行的最短路径，利用勾股定理计算即可解答． 【详解】解：如图：把圆柱侧面展开，则，， 由两点之间，线段最短，可知线段为蚂蚁爬行的最短路径， 由勾股定理得：， ∴需要走的最短路程是． 故答案为：15． 14. 如图，在中，，垂足为D，M为上任意一点，则__________． 【答案】60 【解析】 【分析】本题主要查了勾股定理，理解并灵活运用勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理可得，，从而得到，再代入相关数据即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， ． 故答案为：60． 15. 如图，在等腰中，点是底边边的中点，，分别是和上的动点．若，，则的最小值_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题．作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则所求的最小值，根据勾股定理求出，再根据面积不变求出即可． 【详解】解：，点是底边边的中点， ，， ， 如图，作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则所求的最小值． ，是边上的中点， 是的平分线， ， 是点到直线的最短距离（垂线段最短）， ，，是边上的中点， ， ， ， ， 解得：， 的最小值， 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】本题考查了根据平方根与立方根的定义解方程； （1）根据平方根的定义解方程即可求解； （2）根据立方根的定义解方程，即可求解． 【小问1详解】 解： ∴ 或 解得：或 【小问2详解】 解： ∴ ∴ 解得： 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，涉及立方根、绝对值、零指数幂、负整数指数幂，解题的关键是掌握各自的运算法则． 分别根据立方根、绝对值、零指数幂、负整数指数幂的运算法则对各项进行计算，再进行加减运算． 【详解】解： ． 18. 如图，在中，平分交于点D，过点D作于点． （1）证明； （2）求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理和勾股定理． （1）要证明，根据已知条件，找到对应的角和边，利用角角边（AAS）定理来证明． （2）先利用勾股定理求出的长度，再根据（1）中全等三角形的性质得到相关线段的关系，最后在中利用勾股定理列方程求解的长． 【小问1详解】 解：（1）∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴（AAS） 【小问2详解】 解：∵， ∴在中，， 即， 解得， 由（1）可知， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得， ∴． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 已知的平方根是，的立方根是3，的整数部分是． （1）求的平方根； （2）以、为两边的直角三角形的第三边的长度是多少？ 【答案】（1） 的平方根是 （2）第三边的长为5或 【解析】 【分析】本题考查无理数的整数部分、勾股定理、平方根和立方根，分类讨论，熟记无理数估算及勾股定理是解决问题的关键． （1）根据的平方根是，的立方根是3，的整数部分是得到a，b，c的值，再代入计算即可； （2）由（1）可得，，再根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵的平方根是， ∴， 解得， ∵的立方根是3， ∴， 解得， ∵， 又∵的整数部分是， ∴， ∴， 答：的平方根是， 【小问2详解】 解：由（1）可知，， 当两直角边长分别为4和3时， 第三边的长为． 当一条直角边长为3，斜边长为4时， 第三边的长为． 答：第三边的长为5或． 20. 理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到定滑轮A的垂直距离是，．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）如图1，求的长； （2）如图2，若滑块B向左滑动，求物体C升高的距离． 【答案】（1）的长为 （2）物体C升高 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）设，则，利用勾股定理列出方程，求解即可； （2）利用勾股定理求出的长，即可解决问题． 【小问1详解】 解：，． 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：的长为； 【小问2详解】 解：，， 故， 由滑块B向左滑动，则此时， 在中，由勾股定理得：， ∴， 答：物体C升高． 21. 如图，等腰直角中，，点P在上，将绕顶点B沿顺时针方向旋转后得到． （1）求的度数； （2）当时，求的大小； （3）当点P在线段上运动时（P不与A重合），请写出一个反映之间关系的等式，并加以证明． 【答案】（1） （2）2 （3）．理由见解析 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质即可求出答案； （2）当时，求出，由得到，，得到，由勾股定理即可得到答案； （3）由是等腰直角三角形得到，由勾股定理得到，即可证明结论． 【小问1详解】 解：∵将绕顶点B沿顺时针方向旋转后得到． ∴， ∴，， ∴，， ∴是等腰直角三角形，是直角三角形； 【小问2详解】 解：由（1）知直角三角形， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴． 小问3详解】 解：存在， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 阅读下列材料，解决问题： 材料一：设表示不大于的最大整数，如． 材料二：求的值： ，， ，． 材料三：2025数字构成的巧合：； ． 2025年是仅有的平方年、立方年，不能不珍惜这神奇的一年． （1） ； ； ． （2）已知n为正整数，化简（结果用含的代数式表示）． （3）已知 ，，令， 求 ． 【答案】（1），6，2 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，新定义，正确理解题意是解题的关键． （1）根据定义：表示不大于x的最大整数，即可解答； （2）根据可得，据此可得； （3）根据（2）的结论可得，由此求出a，b．代入求值即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ， ∴． 故答案为：，6，2； 【小问2详解】 解：∵n为正整数，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴． 23. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． （1）求BC边的长； （2）当△ABP为直角三角形时，求t的值； （3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值． 【答案】（1）8cm；（2）4或；（3）5或8或． 【解析】 【分析】（1）直接根据勾股定理求出BC的长度； （2）当△ABP为直角三角形时，分两种情况：①当∠APB为直角时，②当∠BAP为直角时，分别求出此时的t值即可； （3）当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP时，分别求出BP的长度，继而可求得t值． 【详解】解：（1）在Rt△ABC中，BC2＝AB2−AC2＝102−62＝64， ∴BC＝8（cm）； （2）由题意知BP＝2tcm， ①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝8cm，即t＝4； ②当∠BAP为直角时，BP＝2tcm，CP＝（2t−8）cm，AC＝6cm， 在Rt△ACP中，AP2＝62＋（2t−8）2， 在Rt△BAP中，AB2＋AP2＝BP2， 即：102＋[62＋（2t−8）2]＝（2t）2， 解得：t＝， 故当△ABP为直角三角形时，t＝4或t＝； （3）①当AB＝BP时，t＝5； ②当AB＝AP时，BP＝2BC＝16cm，t＝8； ③当BP＝AP时，AP＝BP＝2tcm，CP＝|2t−8|cm，AC＝6cm， 在Rt△ACP中，AP2＝AC2＋CP2， 所以（2t）2＝62＋（2t−8）2， 解得：t＝， 综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝． 【点睛】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $