6.3.2角的比较与运算（题型专练）数学人教版2024七年级上册

6.3.2 角的比较与运算 题型一 角的比较 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，在边长相等的正方形网格中，与的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了角的大小比较，解题的关键是正确作出辅助线．取格点，使得，即可求解． 【详解】解：如图，取格点，使得， ， ， 故选：A． 2．（21-22七年级上·全国·课后作业）比较与的大小，把它们的顶点A和边重合，把它们的另一边和放在的同一侧，若，则（    ） A．落在的内部 B．落在的外部 C．和重合 D．不能确定的位置 【答案】A 【分析】此题考查利用重合的方法比较两个角的大小．如果两个角的顶点重合，且有一边重合，两角的另一边均落在重合边的同旁：如果这两边也重合，说明两角相等；如果两边不重合，另一条边在里面的小，在外面的大；由此方法直接填空即可． 【详解】解：比较与时，把它们的顶点A和边重合，把和放在AB的同一侧，若，则AD落在的内部． 故选：A． 3．（21-22七年级上·全国·课后作业）若，，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 、 已经是度、分、秒的形式，只要将化为度、分、秒的形式，即可比较大小． 【详解】解：∵，，， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了两个角比较大小，再比较时要注意统一单位后再比较是解题的关键． 4．（21-22七年级上·广东茂名·期末）如图，用“＞”或“＜”填空： （1）在图①中， ； （2）在图②中， ． 【答案】 【分析】（1）由角的和差即可比较大小； （2）由图可知是锐角，是直角，即可求解． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：； （2）由图可知是锐角，是直角， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角的大小比较，解题关键是灵活运用角的大小比较方法． 5．（20-21七年级上·辽宁铁岭·期末）如图，在下面的横线上填上适当的角． （1）∠AOC＝∠　 　＋∠　 　； （2）∠AOB＝∠　 　﹣∠　 　； 或∠AOB＝∠　 　﹣∠　 　； （3）若∠AOC＝∠BOD，则∠AOB　 　∠COD（填“＞”、“＜”或“＝”）； （4）若∠AOB＝∠COD，则∠AOC　 　∠BOD（填“＞”、“＜”或“＝”）． 【答案】（1）AOB；BOC；（2）AOC；BOC；（3）AOD；BOD；（4）＝；＝ 【分析】结合图形，根据角的加减填空即可． 【详解】解：（1）∠AOC＝∠AOB＋∠BOC； 故答案为：AOB；BOC； （2）∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC或∠AOB＝∠AOD﹣∠BOD； 故答案为：AOC；BOC；∠AOD，∠BOD （3）∵∠AOC＝∠BOD， ∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC，∠COD＝∠BOD﹣∠BOC， ∴∠AOB＝∠COD； 故答案为：AOD；BOD； （4）∵∠AOB＝∠COD， ∴∠AOC＝∠AOB＋∠BOC，∠BOD＝∠COD＋∠BOC， ∴∠AOC＝∠BOD． 故答案为：＝；＝． 【点睛】本题主要考查了角的加减，结合图形，熟练掌握角的加减是解答此题的关键． 题型二 角度的四则运算 6．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）计算（ 结果用度、分、秒表示）． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查度，分，秒的计算，解题的关键是掌握，进行计算，即可． （1）根据，进行计算，即可； （2）根据，，进行计算，即可； （3）根据，，进行计算，即可； （4）根据，，进行计算，即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 7．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此类题是进行度、分、秒的混合运算，是角度计算中的一个难点，注意以60为进制即可． （1）进行度、分、秒的加减混合运算即可； （2）先进行度、分、秒的乘法计算，再算减法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查角度的运算，熟练掌握度、分、秒的进制是解题的关键． （1）两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满，则转化为度； （2）首先将度转化为分，然后计算除法即可； （3）根据角度的乘法运算法则求解即可； （4）首先计算括号内加法，然后计算减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 9．（22-23七年级上·湖南·单元测试）计算： (1)； (2) (3)； (4)． (5) (6) (7) (8)； 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【分析】（1）把度、分分别相加，再满60进1即可求解； （2）把度、分分别相减即可求解； （3）把度、分、秒分别相减即可求解； （4）把度、分、秒分别相加，再满60进1即可求解； （5）先将括号里的度、分分别相加，满60进1，再计算括号外面的即可求解； （6）将度、分、秒分别除以2即可求解， （7）把度、分、秒分别相减即可求解； （8）把度、分、秒分别乘以4，再满60进1即可求解； 【详解】（1） ； （2） ； （3）； （4） ； （5）原式 ； （6）原式 ； （7）原式 ； （8）原式 ． 【点睛】本题考查度、分、秒之间的转换关系，解题的关键是熟练掌握它们之间的换算． 10．（24-25七年级上·贵州贵阳·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（）根据度分秒的减法法则计算即可求解； （）根据度分秒的加法法则计算即可求解； （）先算乘法，再算加法； （）先算乘除法，再算加法； 本题考查了角度的四则运算，熟练掌握运算法则和正确进行度、分、秒之间的换算是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型三 与角平分线有关的计算 11．（22-23七年级上·云南红河·期末）如图，点是直线上一点，以为顶点作，且、位于直线两侧，平分． (1)当时，求的度数． (2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是角平分线的含义，角的和差运算，熟练的利用角的和差运算进行计算与证明是解本题的关键． （1）先求解，再证明，结合，从而可得答案； （2）证明，，结合 ，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ∵平分， ∴， ∴ ， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ， ∴． 12．（24-25七年级上·辽宁·期末）如图，已知、是内的两条射线，平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义： （1）先求出的度数，再由角平分线的定义推出的度数，据此根据角的和差关系可得答案； （2）先求出的度数，再由角平分线的定义推出的度数，据此根据角的和差关系可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． 13．（20-21七年级上·云南玉溪·期末）如图，已知，，在内画射线，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，平分，平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线性质等知识点， （1）利用两个角的和进行计算即可； （2）根据角平分线的意义和等式的性质，得出即可得解； 熟练掌握根据图形直观，得出角的和或差是解决此题的关键． 【详解】（1） ； （2）， ∴， 平分， ， ∵， ． 14．（23-24七年级上·北京东城·期末）已知为直线上的一点，，射线平分． (1)如图①中，若，则_______，_______； (2)将图①中的绕顶点逆时针旋转至图②的位置，其他条件不变，若，求的度数（用含的式子表示）； (3)将图①中的绕顶点顺时针旋转至图③的位置，其他条件不变，直接写出和之间的数量关系． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先根据求出的度数，再根据角平分线的定义可知的度数，再根据求出的度数，最后根据平角的定义即可求出的度数． （2）先根据表示出的度数，再根据角平分线的定义可知的度数，再根据平角的定义即可求出的度数 （3）设，将和用含有的式子表示出来，即可得到和的关系． 本题主要考查角的计算，角平分线的计算，角的和差，解题的关键是根据题目当中所给的信息建立各个角之间的关系． 【详解】（1）∵，， ∴． 平分， ， ． ， ． 故答案为：， （2）∵，， ． 平分， ， ． （3）设， ∵， ．                          平分， ， ， ， ， ． 题型四 与角n等分线有关的计算 15．（22-23七年级上·浙江杭州·期末）如图，平分，三等分，已知，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线及三等分线的定义，角的和差，由角平分线及三等分线的定义可得，，进而得，据此即可求解，掌握角平分线及三等分线的定义是解题的关键． 【详解】解：平分， ∴， 又∵三等分， ∴， ∴， ∴． 16．（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，点，，在同一直线上，，，是的一条靠近边的三等分线． (1)求的度数； (2)OE是∠AOC的平分线吗？说明你的理由． 【答案】(1) (2)是的平分线．理由见解析 【分析】本题考查角的计算，角的三等分线的定义，角平分线的定义， （1）由题意可得，根据可得答案； （2）由题意可得，则，即可得出结论； 明确角的和差关系是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是的一条靠近边的三等分线，， ∴， ∵， ∴， 即的度数为； （2）是的平分线． 理由：∵，， ∴， ∴， ∴是的平分线． 17．（23-24七年级上·福建福州·期末）（1）如图，点是线段上一点，是的三等分点（靠近），是的中点，若，求的长． （2）如图，已知点为直线上一点，，平分，，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的三等分线，平角的定义，根据图形确定所求角与已知角的关系是解题的关键．本题考查了线段的中点及三等分点，利用线段的和差是解题关键． （1）根据线段的和差及中点和三等分点，可得答案； （2）根据角平分线的性质得到，再根据角的三等分线定义得到，再由平角的定义得到，即可解答． 【详解】解：（1） ， ， 是的中点， ， 则：， 又是的三等分点靠近， ， ． （2），平分， ， ， ， 又， ， ， ． 18．（22-23六年级下·山东济南·期末）解答下列问题 如图1，射线在的内部，图中共有3个角：和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”．    (1)一个角的平分线 这个角的“巧分线”，（填“是”或“不是”）． (2)如图2，若，且射线是的“巧分线”，则 （表示出所有可能的结果探索新知）．    (3)如图3，若，且射线是的“巧分线”，则 （用含α的代数式表示出所有可能的结果）．    【答案】(1)是 (2)30°，20°或40° (3)或或 【分析】（1）根据“巧分线”定义，一个角的平分线将一个角均分成两个等角，大角是这两个角的两倍即可解答； (2)根据“巧分线”定义，分、、三种情况求解即可； (3) 根据“巧分线”定义，分、、三种情况求解即可． 【详解】（1）解：如图1：∵平分， ∴, ∴根据巧分线定义可得是这个角的“巧分线”． 故答案为：是．    （2）解：如图3：①当时，则； ②当，则，解得：； ③当，则，解得：． 综上，可以为． （3）解：如图3：①当时，则； ②当，则，解得：； ③当，则，解得：． 综上，可以为．    【点睛】本题主要考查了新定义下的计算、角平分线的定义等知识点，读懂题意、理解“巧分线”的定义是解题的关键． 题型一 三角板中的角度计算问题 19．（23-24七年级上·河北廊坊·期末）三角尺的直角顶点P在直线上，点A，B在直线的同侧． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若平分，平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线，与三角板有关的角度计算．明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）由题意知，根据，计算求解即可； （2）由角平分线可得，．由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知． ∴， ∴． （2）解：∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． 20．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）【实践活动】 如图1，将一副三角板的直角顶点重合摆放． （1）若，则　　；　　（填、、）； （2）①若，则　　；若，则　　； ②与之间的数量关系是　　． 【折展探究】 （3）如图2，若，且，探索与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），；（2）①，；②；，理由见解析 【分析】本题考查了角的计算，角的大小比较，掌握角的计算，角的大小比较方法是解题的关键． （1）根据图形中角的关系即可得出的度数．由题意，得，，进而得出，，然后根据角度运算可得出答案； （2）①根据角的运算可得出的度数，再根据计算即可得出的度数；先根据计算得出的度数，再根据角的运算即可得出的度数； ②由，，可得出，，则得出，进而得出，进而得出答案； （3）根据题意，由得出：，进而得出，由此可得与之间的数量关系． 【详解】解：（1）由题意，得，，， ∴ ， ， ∴． 故答案为：，； （2）①∵，，， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ． 故答案为：，； ②∵，， ∴，， ∴． 又∵， ∴ ， ∴与之间的数量关系是． 故答案为：； （3）与之间的数量关系是，理由如下： ∵，，， ∴， 即， ∴ ． 21．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）把一副三角尺与 按如图所示那样拼在一起，其中A、B、D三点在同一直线上， BM为 的平分线． (1)求 和 的度数； (2)若为 的平分线，求的度数． (3)若将图中三角尺逆时针旋转20度， 则大小变化吗？（选填不变、增大或缩小多少度）请直接写出结论． 【答案】(1)， (2) (3)不变 【分析】本题考查角的和差和角平分线的定义，掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）由三角板的内角，利用角的和差求出的度数，然后利用角平分线的定义得到的度数，然后利用交的和差解题即可； （2）先求出的度数，然后根据角平分线的定义得到的度数，然后根据解题即可； （3）根据（1）（2）的计算方法解题即可． 【详解】（1）解：∵A、B、D三点在同一直线上， ∴， 又∵BM为的平分线， ∴， ∴； （2）解：， ∵为的平分线， ∴， ∴； （3）解：不变，理由为： 三角尺逆时针旋转20度时， ∴， ， 又∵BM为的平分线，为的平分线， ∴， ， ∴； 题型二 角中的设元思想 22．（第四章基本平面图形能力提优测试卷-【勤径学升】2024-2025学年新教材七年级上册数学全程时习测试卷（北师大版2024））线段与角的计算． (1)如图①，已知线段，点C为线段上的一点，，点D，E分别是和的中点，求的长； (2)如图②，已知被分成，平分，平分，且，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段的中点、线段的和差、角平分线的定义，熟练掌握以知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由线段的中点得出，，再由计算即可得解； （2）设，，，则，由角平分线的定义得出，，求出，结合，得出，求解即可． 【详解】（1）解：因为D，E分别是和的中点， 所以，． 因为， 所以． 因为，， 所以， 所以， 所以． （2）解：设，，，则． 因为平分，平分， 所以，， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以． 23．（江苏省盐城市射阳县第二初级中学2023-2024学年七年级上学期期中考试数学试题）如图，是的平分线，． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，是基础题，准确识图是解题的关键． （1）先求出的度数，然后根据角平分线的定义求出，于是得到结论； （2）设，则，根据角平分线的定义和角的倍分即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴； （2）解：设，则， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 24．（22-23七年级上·重庆九龙坡·期末）已知，，平分． (1)如图，若，求的度数； (2)将顺时针旋转至如图的位置，若平分，，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）由，得，即得，进而得，最后利用角的和差关系即可求解； （）由平分，可得，设，则，可得，进而可得，即得，得到，最后根据角的和差关系即可求解； 本题考查了角的和差，角平分线的定义，一元一次方程的几何应用，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， 设，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴． 25．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）【问题提出】 如图1，，在内，在外，平分，平分，试探究和的数量关系． 【问题探究】 （1）先将问题特殊化．如图2，若，． ①直接写出=______，=______； ②直接写出的值． （2）再探究一般情形，如图1，证明（1）中②的结论仍然成立． 【问题拓展】 （3）已知，在的外部，平分，平分，且． ①如图3，求的度数； ②如图4，直接写出的度数． 【答案】（1）①；；②；（2）见解析；（3）①；② 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、几何图形中角的计算以及一元一次方程的应用，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． （1）①首先求得的值，再结合角平分线的定义即可确定的度数；求得，结合角平分线的定义易得，然后由求解即可；②结合和的值直接求解即可； （2）结合题意即角平分线的定义可得 ，然后证明（1）中②的结论仍然成立即可； （3）设，根据图形用表示出和，根据列式求解，即可获得答案． 【详解】解：（1）①∵， ∴，， 又∵， ∴， ∵平分， ∴； ∵， 又∵平分， ∴， ∴， 故答案为：；； ②； 故答案为：； （2）证明：∵，，平分，平分， ∴ ， ， ∴ ， ∴； （3）设，分三种情况讨论： ①如下图， ∵，∴，， ∵平分，平分， ∴     ， ， ∵， ∴， 解得，即； ②如下图， ∵ ， ， ∵， ∴， 解得，即． 题型三 角中的分类讨论思想 26．（24-25七年级上·全国·期末）已知，射线平分，则的度数为 【答案】或 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差，正确求得的度数是关键，因考虑不周，容易漏掉一种情况的解．分两种情况在内或外），分别首先求得的度数，然后根据角平分线的定义求得的度数． 【详解】解：当在内时，如图1， 则， 射线平分， ； 当在外时，如图2， 则， 射线平分， ． 综上，或． 故答案为：或． 27．（22-23七年级上·广东茂名·期末）如图，已知是内部的一条射线，图中有三个角：，和，当其中一个角是另一个角的两倍时，称射线为的“巧分线”．如果，是的“巧分线”，则 度． 【答案】或或 【分析】本题主要考查角的计算和理解能力． 分种情况，根据“巧分线”定义即可求解． 【详解】解：若，是的“巧分线”，则由“巧分线”的定义可知有三种情况符合题意： ，此时； ，此时； ，此时； 故答案为：或或． 28．（23-24七年级上·河南新乡·期末）如图①，射线在内部，图中共有三个角 ，若其中有两个角的度数之比为，则称射线为的“幸运线”．如图②，若，射线为的“幸运线”，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角的和差，正确分情况讨论是解题关键．分四种情况：时， 时，时，时，再根据角的和差进行计算即可． 【详解】解：由题意，分以下四种情况： ①当时，射线是的“幸运线”， ∵， ； ②当时，射线是的“幸运线”， ∵， ， ； ③当时，射线是的“幸运线”， ∵，， ， 解得； ④当时，射线是的“幸运线”， ∵，， ， 解得； 综上，的度数为或或， 故答案为：或或． 29．（23-24七年级上·江西抚州·期中）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查角的计算．解题关键是做出图形，列方程计算．注意要分类讨论． 【详解】如图， ∵射线是的三等分线， ∴把分成的两部分， ∴或， ∵射线是的三等分线， ∴把分成的两部分， ∴或， ∵， ∴或， 当时，或， 当时，或， 故答案为：或或． 30．（河南省商丘市虞城县2021-2022学年七年级上学期期末数学试题）已知∠AOB＝80°，射线OC在∠AOB内部，且∠AOC＝20°，∠COD＝50°，射线OE、OF分别平分∠BOC、∠COD，则∠EOF的度数是 ． 【答案】或 【分析】先根据题意画出图形，再分OD在内和OD在外，根据角的和差关系、角平分线的定义可求的度数． 【详解】（1）如图1，OD在内， ，, ， 射线OE平分， ， 射线OF平分，， ， ； （2）如图2，OD在外， ，, ， 射线OE平分， ， 射线OF平分，， ， . 则的度数是或. 故答案为：或. 【点睛】本题考查了角的和差关系、角平分线的定义， OD在外的情形易被忽略，从而出现漏解是本题的难点． 题型四 双角平分线模型 31．（2024七年级上·全国·专题练习）已知在的外部，平分，平分，平分， ，，则的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了角的计算及角平分线的定义，由平分，，可得的值，再由平分，可得出，由平分，即可得出的值． 【详解】解：如图1， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴平分， ∴． 如图2， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴平分， ∴． 故的度数是或． 故答案为：或 32．（22-23七年级上·河南南阳·期末）已知，，平分，平分，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查与角平分线有关的角的运算．分类讨论是解答此题的关键． 分射线在内部和外部两种可能来解答． 【详解】解：当射线在内部时，如图， ， 平分， ， ∵，平分， ∴， ； 当射线在外部时，如图， ， 平分， ， ∵，平分， ∴， ， 故答案为：或． 题型五 角中的动态问题 33．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）如图，是平角，射线从开始，先顺时针绕点O向射线旋转，到达后再绕点O逆时针向射线旋转，速度为6度/秒．射线从开始，以4度/秒的速度绕点O向旋转，到当到达时，射线与都停止运动．当时，则 ． 【答案】秒或秒或秒 【分析】本题考查了动角问题，角的和差，一元一次方程的应用；当时， 由角的和差得 ，列方程即可求解；当时，同理可求；当时，同理可求；能熟练利用角的和差表示出所求的角，能根据角的边的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：当时，如图， ， ， ， ， ， 解得：； 当时，如图， ， ， ， ， 解得：； 当时，如图， ， ， ， 解得：； 故答案：秒或秒或秒． 34．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，直线与相交于点，，将一等腰直角三角尺的直角顶点与重合，平分．将三角尺以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时直线以每秒的速度绕点顺时针旋转，设运动时间为秒，若直线平分，则的值为 ．    【答案】36或108 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，旋转等知识点，分两种情况进行讨论：当平分时，；当平分时，，分别利用t表示角度，根据等量关系列方程求解即可，利用旋转的速度，角度，时间的关系，应用方程的思想是解决问题的关键． 【详解】∵平分， ∴， ∴， ①当平分时，， 此时， ∴ ∴， 解得，   ． ②当平分时，， 此时，， ∴， 解得． 故答案为：36或108．   ． 35．（22-23七年级上·江苏泰州·期末）如图，于点O，，射线从出发，绕点O以每秒的速度顺时针向终边旋转，同时，射线从出发，绕点O以每秒的速度顺时针向终边旋转，当、中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停止．在旋转过程中，设，，则x与y之间的数量关系为 ． 【答案】或 【分析】本题考查几何图形中角度的计算．正确的识图，理清角之间的和差关系，是解题的关键． 【详解】解：设运动的时间为秒， ∵于点， ∴， ∴， ∴. 当与成一条直线时，则， ∴. (秒)， (秒)， ∴秒时停止运动. 当时，， ∴， ∴； 当时，，， ∴. 综上所述，与之间的数量关系为或， 故答案为：或． 36．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）如图，直线与交于点O，． (1)如图1，若，， ； (2)如图2，若，射线从射线的位置开始，绕点O以逆时针每秒的速度向射线运动，射线从射线的位置开始，绕点O以逆时针每秒的速度向射线运动的过程中()，求与之间的数量关系． (3)如图3，射线从射线的位置开始，绕点O以顺时针每秒的速度运动，在运动的过程中，射线始终是的角平分线，同时射线从射线的位置开始，绕点O以逆时针每秒的速度运动，设射线的运动时间均为，在运动的过程中，当射线其中一条射线为另外两条射线组成角的角平分线时，直接写出时间t的值． 【答案】(1) (2) (3)t的值为30、50、60 【分析】本题考查了角的和差运算、角平分线的性质、动态角度的表示及方程思想的应用，解题的关键是通过设未知数表示角度（尤其是动态问题中用时间t表示角度变化），利用角之间的等量关系建立方程求解． （1）设，则，根据列方程，求出x后，由计算结果． （2）用时间t表示、，分别推导和，得出两者的倍数关系． （3）用t表示、、的位置角度，分三种情况、、为角平分线），根据角平分线性质列绝对值方程，求解并筛选符合的解． 【详解】（1）解：设，则． ∵，， ∴， 解得：， ∵， ∴． 故答案为：． （2）解：依据题意可知：， ∴， ， ∴． （3）解：设射线定为旋转时的初始位置，即，按顺时针旋转一周： ， 则射线：从（）顺时针运动，速度，位置为：（单位为度，顺时针角度随运动增大）． 射线：从（）顺时针运动，由“是的角平分线”推导： 为顺时针位置，设） ， 由，得 ，即，射线的位置为：（单位为度）． 射线：从 （）逆时针运动，速度（逆时针即顺时针角度减小），位置为：（单位为度）， 当时，下面分三种情况讨论： 情况1：平分 ∵， ∴ ，解得：（如图是角平分线）（另一解时，P与N重合，不合题意，舍去）． 情况2：平分，则， ∴，解得：（如图是角平分线）（另一解时，P与M重合，不合题意，舍去）， 情况3： 平分 ， （同上）， ∴，解得（如图是角平分线）（另一解时，N与M重合，不合题意，舍去）， 综上，t的值为、、． 37．（24-25七年级上·辽宁辽阳·期末）定义：如果从一个角的顶点引出的一条射线，与角的一条边组成的角是原来的角的 则这条射线叫原来角的“新生线”． (1)如图1，，射线　　的“新生线”（填“是”或“不是”）； (2)点M、O、N在同一直线上， ①在图2中， ，射线在的内部，并且是的“新生线”， 平分， 求的大小； ②如图3，，，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为秒，若在射线旋转的同时，绕点以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分．当射线与射线重合时，运动都停止．当射线是的“新生线”时，直接写出t的值． 【答案】(1)是 (2) 或；27.2或或 【分析】本题考查了新定义，角的数量关系，角平分线的定义，一元一次方程的应用．理解“新生线”的定义是解题的关键． （1）根据“新生线”的定义及计算方法即可求解； （2）①射线在的内部，并且是的“新生线”，分类讨论，当时，当，根据角平分线即可求解； ②到的时间范围为，当追上的时间为，当追上的时间为，分类讨论：第一种情况，当在右侧时，即；第二种情况，当在左侧时，即；第三种情况，当在内部，且在左侧，即；第四种情况，当在内部，且在右侧，即，结合图形分析即可． 【详解】（1）解：∵，设，则， ∴， ∴， ∴是的， ∴是的新生线， 故答案为：是； （2）解：①射线在的内部，并且是的“新生线”， 当时，如图所示， ∵点、、在同一直线上，， ∴． ∴， ∴． ∵平分， ∴； 当时，如图所示， 同理，， ∴， ∵平分， ∴； 综上所述，的大小为或； ②射线从出发绕点O以每秒的速度逆时针旋转，绕点O以每秒的速度逆时针旋转， ∴到的时间范围为：． ∵，， ∴， ∴当追上的时间为：， 解得：； 当追上的时间为：， 解得：． 第一种情况，当在右侧时，即，如图， ∴，，， ∵射线平分， ∴． ∵， 当时， ∴， 解得：； 当时， ， ∴， 解得：； 第二种情况，当在左侧时，即，如图， 当时， ∵， ∴， ∴， 解得：； 第三种情况，当在内部，且在左侧，即，如图， 当时， ∵， ∴， ∴， 解得：，不合题意，舍去； 第四种情况，当在内部，且在右侧，即，如图， 当时， ∵， ∴ ， ∵， ∴， 解得：，不合题意，舍去； 当时， ∴， 解得：，不合题意，舍去． 综上可知t的值为27.2或或． 38．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知：如图1，，． (1)求的度数； (2)如图2，若射线在内部，作平分，平分，的度数是多少？ (3)如图3，若射线从开始绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转，同时射线从开始绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转；当射线到达时，射线，同时停止运动．设旋转的时间为秒，当，试求的值． 【答案】(1) (2) (3)5秒或10秒 【分析】本题考查了角的和差计算、角平分线的性质及旋转中的角度动态变化，解题的关键是利用角度关系建立等式，结合绝对值处理旋转中的位置关系．​ （1）通过 与 的差计算；​ （2）利用角平分线性质将 转化为 的一半；​ （3）表示 的旋转角度，列绝对值方程求解 t，验证范围． 【详解】（1）已知，．​ 因为点 B 在 内部，且 按逆时针排列，所以． （2） 平分，故； 平分，故． （3）射线旋转角度：度，射线 旋转角度：度． 初始时，t秒后： ． 令，则或， 解得或． 验证：OP 到达 OC 需 15 秒 （秒），和均在范围内． 39．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）如图1，大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美，洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做的更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为方便研究，定义两手手心位置分别为、两点，两脚脚跟位置分别为、两点，定义、、、平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转． (1)如图2，、、三点共线，点、重合，，则 ； (2)如图3，、、三点共线，且，平分，求的大小； (3)第三节腿部运动中，如图4，洋洋发现，虽然、、三点共线，却不在水平方向上，且，他经过计算发现，的值为定值，请写出这个定值为 ； (4)第四节体侧运动中，如图5，乐乐发现，两腿左右等距张开，使竖直方向的射线平分，且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为每秒，旋转速度为每秒，当旋转到与重合时运动停止（是竖直方向的一条射线） ① 运动停止时， ； ② 请帮助乐乐写出运动过程中与的数量关系为 ． 【答案】(1) (2) (3) (4)；当时，；当时， 【分析】本题考查了角的和差运算，一元一次方程的应用； （1）由，，三点共线，可得出，再由，即可求出； （2）由，设，根据、O、三点共线，则，得出，再根据，即可求解； （3）由，设，则，分别求出，，再代入即可求解； （4）①算出运动停止时间，求出运动的角度，进而求出度数； ②由的运动过程可知，需要分类讨论，在点，，三点共线前和点，，三点共线后，分别求解即可； 【详解】（1）∵，，三点共线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， 设， ∵平分， ∴， ∵、O、三点共线，则， ∴， 解得：， ∴ （3）这个定值是，理由， ∵， 设，则， ∴，， ∴， ∴的值为定值，这个定值是； （4）∵， ∴，， 设运动时间为，则，则， ①运动停止时，即时，旋转的角度为， ∴， 故答案为：； ②当点，，三点共线时，； ∴当时，，， ∴； 当时，，， ∴， 综上，当时，；当时，． 40．（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，点为直线上一定点，作射线． (1)如图1，当射线在直线的下方时，在直线的同侧作射线，使．将射线绕着点逆时针旋转得到射线． ①若时，求的度数． ②当时，若，求的值． (2)如图2，若，射线从开始绕着点以每秒的速度逆时针旋转至结束，设旋转时间为．在旋转过程中，同时将射线绕着点逆时针旋转得到射线，作射线平分，当为定值时，求的取值范围及对应的定值．（本题中研究的角均为大于且小于的角） 【答案】(1)①；②或 (2)当时，对应的定值为；当时，对应的定值为 【分析】（1）①根据题意并结合图形可得，代入数据计算即可； ②当时，互相重合，当时或当时，得到关于的一元一次方程，求解即可； （2）先找出临界值：当秒时，；当秒时，；当秒时，；当秒时，；当秒时，射线与射线重合，然后分四种情况讨论即可． 【详解】（1）解：①∵将射线绕着点逆时针旋转得到射线， ∴， ∵， ∴ ， ∴的度数为； ②当时，互相重合， 当时， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当时，如下图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； ∴的值为或； （2）解：∵，射线从开始绕着点以每秒的速度逆时针旋转至结束，设旋转时间为， 则（秒）， 当秒时，； 当时，（秒）， 此时， 即当秒时，； 当时，（秒）， 此时， 即当秒时，； 当时，（秒）， 即当秒时，； 当秒时，射线与射线重合， 可分以下几种情况： ①当时，如图， ∵射线从开始绕着点以每秒的速度逆时针旋转，射线平分，射线绕着点逆时针旋转得到射线，， ∴，，， ∴， ∴ ， ∴（定值）； ②当时，如图， ∵射线从开始绕着点以每秒的速度逆时针旋转，射线平分，射线绕着点逆时针旋转得到射线，， ∴，，， ∴， ， ∴（非定值）； ③当时，如图， ∵射线从开始绕着点以每秒的速度逆时针旋转，射线平分，射线绕着点逆时针旋转得到射线，， ∴，，， ∴， ， ∴， ∴（定值）； ④当时，如图， ∵射线从开始绕着点以每秒的速度逆时针旋转，射线平分，射线绕着点逆时针旋转得到射线，， ∴，，， ∴， ， ， ∴（非定值）； 综上所述，当时，对应的定值为；当时，对应的定值为． 【点睛】本题考查角的和差计算，角平分线的定义，平角的定义和周角的定义等知识点，运用了分类讨论的思想，本题难度较大．正确理解题意并运用分类讨论的思想是解题的关键． 41．（24-25七年级上·全国·期末）（1）特例感知：如图①，已知线段，，线段在线段上运动（点不超过点，点不超过点），点和点分别是，的中点． ①若，则 ； ②线段运动时，线段的长度为定值，请直接写出线段的值． （2）知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，，求 度． ②请直接写出，和三个角有怎样的数量关系． （3）类比探究：如图③，在内部转动，若，，，请直接用含有的式子表示的度数． 【答案】（1）①；②；（2）①；②，理由见解析；（3） 【分析】（1）①根据线段中点的定义和线段的和差即可得到结论； ②根据线段的中点得到，，求得，可得结论； （2）①根据角平分线的定义得到，，求得，可得结论； ②根据角平分线的定义得到，，根据角的和差即可得到结论； （3）根据已知得，，求得，，可得结论． 【详解】解：（1）①∵，，， ∴， ∵点和点分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵点和点分别是，的中点， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴线段的值为； （2）①∵射线和射线分别平分和， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②，理由如下： ∵射线和射线分别平分和， ∴，， ∴， ∴ ； （3）∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 【点睛】本题考查线段中点以及角平分线的定义，线段的和差运算，角的和差运算，熟练掌握线段中点以及角平分线的定义是解题的关键． 42．（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）定义：如果，则称是的加权伴随角．例如，此时，所以是的加权伴随角．而，所以不是的加权伴随角． 应用： (1)如果，， ①______（填“是”或“不是”）的加权伴随角； ②______（填“是”或“不是”）的加权伴随角； (2)点O在直线上，点分别为射线上一点，射线以每秒顺时针旋转，同时射线以每秒逆时针旋转，设旋转的时间为秒． ①当时，判断是否为的加权伴随角，并说明理由； ②若，求的值； ③在三个角中，若是另外两个角的加权伴随角，直接写出的值． 【答案】(1)①是；②不是； (2)①是的加权伴随角，理由见解析；②，或；③或 【分析】本题主要考查了角的计算．解决本题的关键是熟练掌握新定义——加权伴随角，分类讨论． （1）根据，可知是和的加权伴随角；②根据，可知不是和的加权伴随角； （2）①时，得到，，，可知是和的加权伴随角；②根据，， ，分， 和，两种情况解答；③根据当时， ，，得到，，分， ， ， ，四种情况解答；当时，此时，根据，，，分， ，两种情况解答． 【详解】（1）①∵，，， ∴， ∴是和的加权伴随角； 故答案为：是； ②∵， ∴不是和的加权伴随角； 故答案为：不是； （2）①是的加权伴随角，理由： 当时， ，，， ∴， ∴是和的加权伴随角； ②∵，， 且， ∴当时， ， 解得，； 当时， ， 解得，； 综上，或； ③当时，，， ∴， 当时， 若， 则， 解得，，舍去； 若， 则， 解得，； 当时，，， ∴， 此时， 若， 则， 解得，； 若， 则， 解得，，舍去； 综上，或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3.2 角的比较与运算 题型一 角的比较 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，在边长相等的正方形网格中，与的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法确定 2．（21-22七年级上·全国·课后作业）比较与的大小，把它们的顶点A和边重合，把它们的另一边和放在的同一侧，若，则（    ） A．落在的内部 B．落在的外部 C．和重合 D．不能确定的位置 3．（21-22七年级上·全国·课后作业）若，，，则（    ）． A． B． C． D． 4．（21-22七年级上·广东茂名·期末）如图，用“＞”或“＜”填空： （1）在图①中， ； （2）在图②中， ． 5．（20-21七年级上·辽宁铁岭·期末）如图，在下面的横线上填上适当的角． （1）∠AOC＝∠　 　＋∠　 　； （2）∠AOB＝∠　 　﹣∠　 　； 或∠AOB＝∠　 　﹣∠　 　； （3）若∠AOC＝∠BOD，则∠AOB　 　∠COD（填“＞”、“＜”或“＝”）； （4）若∠AOB＝∠COD，则∠AOC　 　∠BOD（填“＞”、“＜”或“＝”）． 题型二 角度的四则运算 6．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）计算（ 结果用度、分、秒表示）． (1)； (2)； (3)； (4)． 7．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 8．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 9．（22-23七年级上·湖南·单元测试）计算： (1)； (2) (3)； (4)． (5) (6) (7) (8)； 10．（24-25七年级上·贵州贵阳·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型三 与角平分线有关的计算 11．（22-23七年级上·云南红河·期末）如图，点是直线上一点，以为顶点作，且、位于直线两侧，平分． (1)当时，求的度数． (2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 12．（24-25七年级上·辽宁·期末）如图，已知、是内的两条射线，平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数．（用含的代数式表示） 13．（20-21七年级上·云南玉溪·期末）如图，已知，，在内画射线，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，平分，平分，求的度数． 14．（23-24七年级上·北京东城·期末）已知为直线上的一点，，射线平分． (1)如图①中，若，则_______，_______； (2)将图①中的绕顶点逆时针旋转至图②的位置，其他条件不变，若，求的度数（用含的式子表示）； (3)将图①中的绕顶点顺时针旋转至图③的位置，其他条件不变，直接写出和之间的数量关系． 题型四 与角n等分线有关的计算 15．（22-23七年级上·浙江杭州·期末）如图，平分，三等分，已知，求的度数． 16．（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，点，，在同一直线上，，，是的一条靠近边的三等分线． (1)求的度数； (2)OE是∠AOC的平分线吗？说明你的理由． 17．（23-24七年级上·福建福州·期末）（1）如图，点是线段上一点，是的三等分点（靠近），是的中点，若，求的长． （2）如图，已知点为直线上一点，，平分，，求的度数． 18．（22-23六年级下·山东济南·期末）解答下列问题 如图1，射线在的内部，图中共有3个角：和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”．    (1)一个角的平分线 这个角的“巧分线”，（填“是”或“不是”）． (2)如图2，若，且射线是的“巧分线”，则 （表示出所有可能的结果探索新知）．    (3)如图3，若，且射线是的“巧分线”，则 （用含α的代数式表示出所有可能的结果）．      题型一 三角板中的角度计算问题 19．（23-24七年级上·河北廊坊·期末）三角尺的直角顶点P在直线上，点A，B在直线的同侧． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若平分，平分，求的度数． 20．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）【实践活动】 如图1，将一副三角板的直角顶点重合摆放． （1）若，则　　；　　（填、、）； （2）①若，则　　；若，则　　； ②与之间的数量关系是　　． 【折展探究】 （3）如图2，若，且，探索与之间的数量关系，并说明理由． 21．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）把一副三角尺与 按如图所示那样拼在一起，其中A、B、D三点在同一直线上， BM为 的平分线． (1)求 和 的度数； (2)若为 的平分线，求的度数． (3)若将图中三角尺逆时针旋转20度， 则大小变化吗？（选填不变、增大或缩小多少度）请直接写出结论． 题型二 角中的设元思想 22．（第四章基本平面图形能力提优测试卷-【勤径学升】2024-2025学年新教材七年级上册数学全程时习测试卷（北师大版2024））线段与角的计算． (1)如图①，已知线段，点C为线段上的一点，，点D，E分别是和的中点，求的长； (2)如图②，已知被分成，平分，平分，且，求的度数． 23．（江苏省盐城市射阳县第二初级中学2023-2024学年七年级上学期期中考试数学试题）如图，是的平分线，． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 24．（22-23七年级上·重庆九龙坡·期末）已知，，平分． (1)如图，若，求的度数； (2)将顺时针旋转至如图的位置，若平分，，求的度数． 25．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）【问题提出】 如图1，，在内，在外，平分，平分，试探究和的数量关系． 【问题探究】（1）先将问题特殊化．如图2，若，． ①直接写出=______，=______； ②直接写出的值． （2）再探究一般情形，如图1，证明（1）中②的结论仍然成立． 【问题拓展】（3）已知，在的外部，平分，平分，且． ①如图3，求的度数； ②如图4，直接写出的度数． 题型三 角中的分类讨论思想 26．（24-25七年级上·全国·期末）已知，射线平分，则的度数为 27．（22-23七年级上·广东茂名·期末）如图，已知是内部的一条射线，图中有三个角：，和，当其中一个角是另一个角的两倍时，称射线为的“巧分线”．如果，是的“巧分线”，则 度． 28．（23-24七年级上·河南新乡·期末）如图①，射线在内部，图中共有三个角 ，若其中有两个角的度数之比为，则称射线为的“幸运线”．如图②，若，射线为的“幸运线”，则的度数是 ． 29．（23-24七年级上·江西抚州·期中）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为 ． 30．（河南省商丘市虞城县2021-2022学年七年级上学期期末数学试题）已知∠AOB＝80°，射线OC在∠AOB内部，且∠AOC＝20°，∠COD＝50°，射线OE、OF分别平分∠BOC、∠COD，则∠EOF的度数是 ． 题型四 双角平分线模型 31．（2024七年级上·全国·专题练习）已知在的外部，平分，平分，平分， ，，则的度数是 ． 32．（22-23七年级上·河南南阳·期末）已知，，平分，平分，则 ． 题型五 角中的动态问题 33．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）如图，是平角，射线从开始，先顺时针绕点O向射线旋转，到达后再绕点O逆时针向射线旋转，速度为6度/秒．射线从开始，以4度/秒的速度绕点O向旋转，到当到达时，射线与都停止运动．当时，则 ． 34．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，直线与相交于点，，将一等腰直角三角尺的直角顶点与重合，平分．将三角尺以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时直线以每秒的速度绕点顺时针旋转，设运动时间为秒，若直线平分，则的值为 ．    35．（22-23七年级上·江苏泰州·期末）如图，于点O，，射线从出发，绕点O以每秒的速度顺时针向终边旋转，同时，射线从出发，绕点O以每秒的速度顺时针向终边旋转，当、中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停止．在旋转过程中，设，，则x与y之间的数量关系为 ． 36．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）如图，直线与交于点O，． (1)如图1，若，， ； (2)如图2，若，射线从射线的位置开始，绕点O以逆时针每秒的速度向射线运动，射线从射线的位置开始，绕点O以逆时针每秒的速度向射线运动的过程中()，求与之间的数量关系． (3)如图3，射线从射线的位置开始，绕点O以顺时针每秒的速度运动，在运动的过程中，射线始终是的角平分线，同时射线从射线的位置开始，绕点O以逆时针每秒的速度运动，设射线的运动时间均为，在运动的过程中，当射线其中一条射线为另外两条射线组成角的角平分线时，直接写出时间t的值． 37．（24-25七年级上·辽宁辽阳·期末）定义：如果从一个角的顶点引出的一条射线，与角的一条边组成的角是原来的角的 则这条射线叫原来角的“新生线”． (1)如图1，，射线　　的“新生线”（填“是”或“不是”）； (2)点M、O、N在同一直线上， ①在图2中， ，射线在的内部，并且是的“新生线”， 平分， 求的大小； ②如图3，，，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为秒，若在射线旋转的同时，绕点以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分．当射线与射线重合时，运动都停止．当射线是的“新生线”时，直接写出t的值． 38．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知：如图1，，． (1)求的度数； (2)如图2，若射线在内部，作平分，平分，的度数是多少？ (3)如图3，若射线从开始绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转，同时射线从开始绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转；当射线到达时，射线，同时停止运动．设旋转的时间为秒，当，试求的值． 39．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）如图1，大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美，洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做的更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为方便研究，定义两手手心位置分别为、两点，两脚脚跟位置分别为、两点，定义、、、平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转． (1)如图2，、、三点共线，点、重合，，则 ； (2)如图3，、、三点共线，且，平分，求的大小； (3)第三节腿部运动中，如图4，洋洋发现，虽然、、三点共线，却不在水平方向上，且，他经过计算发现，的值为定值，请写出这个定值为 ； (4)第四节体侧运动中，如图5，乐乐发现，两腿左右等距张开，使竖直方向的射线平分，且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为每秒，旋转速度为每秒，当旋转到与重合时运动停止（是竖直方向的一条射线） ① 运动停止时， ； ② 请帮助乐乐写出运动过程中与的数量关系为 ． 40．（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，点为直线上一定点，作射线． (1)如图1，当射线在直线的下方时，在直线的同侧作射线，使．将射线绕着点逆时针旋转得到射线． ①若时，求的度数． ②当时，若，求的值． (2)如图2，若，射线从开始绕着点以每秒的速度逆时针旋转至结束，设旋转时间为．在旋转过程中，同时将射线绕着点逆时针旋转得到射线，作射线平分，当为定值时，求的取值范围及对应的定值．（本题中研究的角均为大于且小于的角） 41．（24-25七年级上·全国·期末）（1）特例感知：如图①，已知线段，，线段在线段上运动（点不超过点，点不超过点），点和点分别是，的中点． ①若，则 ； ②线段运动时，线段的长度为定值，请直接写出线段的值． （2）知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，，求 度． ②请直接写出，和三个角有怎样的数量关系． （3）类比探究：如图③，在内部转动，若，，，请直接用含有的式子表示的度数． 42．（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）定义：如果，则称是的加权伴随角．例如，此时，所以是的加权伴随角．而，所以不是的加权伴随角． 应用： (1)如果，， ①______（填“是”或“不是”）的加权伴随角； ②______（填“是”或“不是”）的加权伴随角； (2)点O在直线上，点分别为射线上一点，射线以每秒顺时针旋转，同时射线以每秒逆时针旋转，设旋转的时间为秒． ①当时，判断是否为的加权伴随角，并说明理由； ②若，求的值； ③在三个角中，若是另外两个角的加权伴随角，直接写出的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $