1.1直线的倾斜角与斜率（教学课件）数学沪教版2020选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦直线的倾斜角与斜率，通过“如何确定直线位置”等问题链导入，从两点确定直线过渡到借助坐标轴方向定义倾斜角，再抽象出斜率概念，搭建几何直观到代数表示的学习支架。 其亮点在于以问题驱动和直观图示落实核心素养，如用表格对比倾斜角与斜率范围培养直观想象，通过辨析“倾斜角越大斜率越大”发展逻辑推理，小结系统梳理定义公式。学生能深化概念理解和运算能力，教师可高效实施概念教学与能力训练。

第1章 坐标平面上的直线 1.1直线的倾斜角与斜率 沪教版2020选择性必修第一册·高二 学习目标 教学重点：理解倾斜角与斜率的概念，掌握斜率计算公式的推导及应用 教学难点： 斜率概念的形成与取值范围理解，斜率概念的抽象与几何意义转化 理解直线的倾斜角，知道倾斜角取值范围； 理解直线斜率概念，能计算斜率； 理解倾斜角和斜率概念的形成，培养抽象概括、数学符号语言表达能力。 课程目标 学科素养 数学抽象：倾斜角和斜率概念； 逻辑推理：掌握斜率计算公式的推导及应用； 直观想象：直线斜率的几何意义和代数意义 数学运算：能计算斜率和倾斜角。 新知引入 问题1：设平面直角坐标系中有一条直线，我们如何确定该直线在 坐标系中的位置并把它描述出来呢？ x y O 追问：过一点能不能确定一条直线? . y x o l x y O A B 两点确定一条直线 问题2：还有没有其他方法可以确定一条直线呢？ 新知引入 追问：在平面直角坐标系中有哪些确定的线吗？我们能不能借助它们确定直线？ l1 x y O 在平面直角坐标系中，已经有了两条互相垂直的直线，即两条坐标轴。 你能确定直线与其中一条坐标轴的相对位置吗？ 一个点 如：直线与轴相交于点 一个方向（倾斜角） 将轴绕点沿逆时针方向旋转到与重合时所转过的最小正角 新知探究 补充：我们对于倾斜角还有另外一种定义方式： 直线与轴相交时,取轴为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角，叫做直线的倾斜角. 如图，设直线轴相交于点，将轴绕点沿逆时针方向旋转到与重合时所转过的最小正角叫做直线的倾斜角。 直线的倾斜角 新知探究 旋转定义： 轴正方向逆时针 旋转到与直线重合 方向定义： 直线向上方向与 轴正方向所成角 规定：当直线与轴平行或重合时，它的倾斜角为0° p o y x y p o x p o y x p o y x 直线倾斜角的范围为： 新知探究 如果知道了直线的倾斜角以及它经过的一个确定的点，那么就准确地给出了直线在坐标系中的位置。那么倾斜角能不能用坐标表示出来呢？ 问题3：在平面直角坐标系中，设直线的倾斜角为. (1)已知直线经过，，与，的坐标有什么关系？ (2)类似地，如果直线经过，，与，的坐标又有什么关系？ (3)一般地，如果直线经过两点，，，那么与，的坐标有怎样的关系？ 新知探究 倾斜角难以直接用坐标表示，而倾斜角的三角函数与坐标关系更为密切． 前进量 升 高 量 我们引进一个新的概念：当直线的倾斜角时，定义为直线的斜率，常用字母表示，即； 当，即与轴垂直时，我们说直线的斜率不存在． 新知探究 图示         倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 斜率与倾斜角对应关系 新知探究 倾斜角 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150° 斜率 时,斜率越大,倾斜角越大; 时,斜率越大,倾斜角越大. 问题4：直线的倾斜角越大,斜率越大? 斜率范围：（-∞，+∞） 新知探究 思考1：如图，A(x1，y1)，B(x2，y2)是倾斜角为α的直线l上的两点，则该直线的斜率k与A，B有什么关系？ 当时，直线l与轴垂直 斜率不存在 当时， 斜率 新知探究 综上所述，可以得到：在平面直角坐标系中，经过不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)（）的直线的斜率为： 辨析1：判断正误. (1)倾斜角为的直线的斜率为1.（ ） (2)直线斜率的取值范围是.（ ） (3)直线经过，，所以直线斜率为.（ ） 【答案】 ×,√,×. 新知探究 斜率公式的补充说明： 运用公式的前提是； 斜率公式与，在直线上的位置无关，在直线上任取两点，得到的斜率是相同的； 需注意公式中的横、纵坐标之差的顺序，也可以写成，即下标的顺序一致即可。 典例精讲 例1：已知直线经过点，，求它的斜率与倾斜角。 解：设直线的斜率为，倾斜角为则 从而， 例2：求一次函数所表示直线的斜率。 解：设一次函数的图像是直线。在函数表达式中，的值分别取及，得及。所以，与是直线上的两点， 依据斜率公式，得直线的斜率为 小技巧： 一次函的一次项系数就是其对应直线的斜率 典例精讲 例3：已三点，，共线，求点的坐标与所满足的关系式 解：因为，两点的横坐标不同，所以直线的斜率是 又由题设知，点在直线上，即与是同一条直线。 当点与点不重合时，用、两点的坐标表示斜率得 此时与要满足的关系式是，变形得， 当点与点重合时，点的坐标也满足上式 所以，与所满足的关系式是 练习巩固 练习1：已知点的坐标为，在坐标轴上有一点，若，则点的坐标可能为（ ）. . . . . 【答案】 变式1：设，，，直线的斜率等于直线的斜率的3倍，则实数的值为_____________. 【答案】 练习巩固 练习2：设直线过原点，其倾斜角为，将直线绕坐标原点沿逆时针方向旋转，得到直线，则直线的倾斜角为（ ）. A. B. C. D.或 【答案】 变式2：若直线经过第二、四象限，则直线的倾斜角的取值范围是( ). A. B. C. D. 【答案】 练习巩固 练习3：如图，已知，，，求直线，，的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角. 解：直线的斜率； 直线的斜率； 直线的斜率. 由及可知，直线与的倾斜角均为锐角； 由可知，直线的倾斜角为钝角. 练习巩固 变式3-1：已知两点，，过点的直线与线段有公共点. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 解：如图，由题意可知，， (1)要使与线段有公共点，则或， 即直线的斜率的取值范围是. (2)由题意可知直线的倾斜角介于直线与的倾斜角之间， 又的倾斜角是，的倾斜角是， ∴的取值范围是. 练习巩固 练习3-2：若已知点,另有两点,,若过点的直线与线段有交点,则直线的斜率取值范围为________. 【答案】 练习3-3：若经过两点，的直线的倾斜角为锐角，则的取值范围是（ ）. . . . . 【答案】 小结 旋转定义： 轴正方向逆时针 旋转到与直线重合 方向定义： 直线向上方向与 轴正方向所成角 规定：当直线与轴平行或重合时，它的倾斜角为0° 斜率范围：（-∞，+∞） 感谢聆听 如果代数与几何各自分开发展，那么它的进步将十分缓慢，而且应用范围也很有限。但若两者互相结合而共同发展，则会相互加强，并以快速的步伐向着完美化的方向猛进． ——拉格朗日 $