专题3.2从有理数到实数及实数的运算重难点题型专训（5个知识点+10大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（浙教版2024）

专题3.2从有理数到实数及实数的运算重难点题型专训 （5个知识点+10大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 无理数 题型二 无理数的大小估算 题型三 无理数整数部分的有关计算 题型四 实数概念理解 题型五 实数的分类 题型六 实数的性质 题型七 实数与数轴 题型八 实数的大小比较 题型九 实数的混合运算 题型十 实数运算的实际应用 拓展训练一 无理数的相关问题求解 拓展训练二 实数的概念、性质及应用 知识点一：无理数 无限不循环小数叫做无理数． 无理数的常见形式有以下几种： （1）开方开不尽的数的相应方根是无理数，如，等； （2）圆周率及一些含有的数,如2，等； （3）以无限不循环小数形式写出的数,如0.101 001 000 1…（两个1之间依次多一个0)等．注意无理数的小数部分位数无限；无理数的小数部分不循环；无理数不能表示成分数的形式． 【即时训练】 1.（2025·江西·中考真题）下列各数中，是无理数的是（   ） A．0 B． C．3.14 D． 【答案】B 【分析】本题考查无理数的定义，根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．结合选项逐一判断即可． 【详解】解：A、0是整数，属于有理数，本选项不符合题意； B、是开方开不尽的数，属于无理数，本选项不符合题意； C、3.14是有限小数，属于有理数，本选项不符合题意； D、是分数，属于有理数，本选项不符合题意； 故选：B． 2.（2025·湖北·模拟预测）公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯发现了边长为1的正方形的对角线长不能用有理数表示．为了纪念他，人们把这些数取名为无理数．请你写出一个大于3且小于4的无理数： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了无理数及无理数的大小比较；根据题意写出一个无理数即可． 【详解】解：； 故答案为：（答案不唯一）． 知识点二：实数的概念及分类 1. 概念：有理数和无理数统称为实数． 2. 分类：实数有两种分类标准： （1）按定义分类：实数可分为有理数和无理数． 实数 有理数 0 无理数 正有理数 负有理数 正无理数 负无理数 有限小数或循环小数 无限不循环小数 正整数 正分数 负整数 负分数 （2）按正负性分类：实数可分为正实数、0、负实数．正整数 正分数 负整数 负分数 实数 正实数 负实数 正有理数 正无理数 负有理数 负无理数 0 【即时训练】 1.（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）下列说法正确的是（   ） A．实数分为正实数和负实数 B．两个无理数的和还是无理数 C．是最大的负数 D．有理数和无理数统称实数 【答案】D 【分析】本题考查实数的分类以及性质，根据实数的分类以及性质，逐一分析判断即可． 【详解】解：A．实数分为正实数、负实数和零．所以原分类错误，故此选项不符合题意． B．两个无理数的和可能为有理数．例如，与的和为（有理数），所以原说法错误，故此选项不符合题意． C．负数没有最大值．例如，比大，所以原说法错误，故此选项不符合题意． D．根据实数定义，有理数和无理数统称为实数，正确，故此选项符合题意． 故选：D． 2.下列说法正确的有 ． ①实数不是有理数就是无理数；②是有理数；③不带根号的数都是有理数；④是有理数；⑤数轴上任一点都对应一个有理数；⑥的相反数是． 【答案】①⑥/⑥① 【分析】根据实数的概念与分类，无理数，有理数的概念，相反数的含义逐一分析即可得到答案． 【详解】解：实数不是有理数就是无理数，描述正确，故①符合题意； 是无理数，故②不符合题意； 不带根号的数都是有理数，描述错误，如，故③不符合题意； 是无理数；故④不符合题意； 数轴上任一点都对应一个实数，故⑤不符合题意； 的相反数是，故⑥符合题意； 故答案为：①⑥． 【点睛】本题考查的是实数的概念，实数的分类，无理数的含义，相反数的含义，熟记基本概念是解本题的关键． 知识点三：实数与数轴的关系 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．实数与数轴上的点一一对应. 【即时训练】 1.（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A．a B．b C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的性质，解题的关键是掌握二次根式的性质和绝对值的性质． 先根据数轴推出，进而得到，据此可得，化简绝对值和求算术平方根，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，，， ． 故答案为：B． 2.（24-25七年级下·湖南郴州·期中）如图，在数轴上表示，的对应点分别为、，点是的中点，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴与实数，数轴上两点间的距离，解题的关键是会用数轴上的数表示两点间的距离． 由已知易得点与点之间的距离，用点对应的数减去即可． 【详解】解：∵在数轴上表示、的对应点分别为、， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵点表示的数是，点在点左边， ∴点表示的数是， 故选：． 知识点四：实数的运算 在实数范围内，不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为零）、乘方运算，而且可以进行开立方运算以及非负实数的开平方运算． 有理数的运算性质和运算律在实数范围内仍然适用，实数混合运算的顺序与有理数混合运算的顺序相同，先乘方、开方，再乘除，最后加减．同级运算按从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·广东东莞·期末）如图，长方形内两个正方形的面积分别为5，1，则图中两块阴影部分的面积之和为（  ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数的运算，根据正方形面积计算公式可得正方形和正方形的边长分别为，1，据此可得，再根据列式求解即可． 【详解】解：∵正方形和正方形的面积分别为5，1， ∴正方形和正方形的边长分别为，1， ∴， ∴ ， 故选：B． 2.（24-25七年级下·山东滨州·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先算乘方，化简绝对值，二次根式，再算加减即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 知识点五：实数的大小比较 有理数大小比较的方法在实数范围内仍然适用． 两实数的大小关系如下：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数；两个正实数，绝对值大的正实数大；两个负实数，绝对值大的负实数小；在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大．此外，比较两实数的大小还有如下方法： （1）通过比较两实数的平方的大小，进而确定实数的大小关系．如比较与3的大小，由于，故． （2）用估算的方法求出无理数的近似值后，再比较两数的大小． （3）当两个带根号的无理数比较大小时，可应用如下结论： ①． ②． 【即时训练】 1.（24-25七年级下·山东德州·期中）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数的大小比较，先利用夹逼法估算a，b的值，再比较大小即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 即，， ∴，， 又， ∴， 故选：C． 2.（24-25七年级下·广西来宾·期末）比较两数的大小：4 （用“”或“”填空）． 【答案】 【分析】本题考查了实数大小的比较，立方根的定义，根据，即可得出答案． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：． 【经典例题一 无理数】 【例1】（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）下列是无理数的是（    ） A．3.14 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查无理数，熟练掌握其定义是解题的关键．无限不循环小数叫无理数，常见的无理数有三类：①π这样的数；②开方开不尽的数；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0）；根据无理数的定义依次判断即可． 【详解】解：A、3.14是有限小数，属于有理数，则A不符合题意； B、，是整数，属于有理数，则B不符合题意； C、是分数，属于有理数，则C不符合题意； D、，它是无理数，则D符合题意； 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·陕西西安·期中）把下列各数的序号填在对应的括号内：，，，，，． 无理数：{ …}； 分数：{ …}； 整数：{ …}． 【答案】；； 【分析】本题主要考查了实数的有关概念，解题关键是熟练掌握无理数、分数和整数的定义． 先把化简，然后根据无理数、分数和整数的概念进行分类即可． 【详解】解：， ∴，是分数；，是无理数；，是整数， ∴无理数：；分数：；整数：． 故答案为：；；． 1．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段练习）下列各数：、、、、（相邻两个3之间的7的个数逐次加1）．其中无理数有几个？（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项．其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数． 【详解】解：是无理数； 是整数，属于有理数； 是小数，属于有理数； 是无理数； （相邻两个3之间的7的个数逐次加1）是无理数； 综上所述，无理数共有个， 故选：C． 2．（25-26八年级上·山东青岛·阶段练习）在，，，3.1415926，0，9.080080008……(每隔一个8多一个0)这6个数中，无理数共有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的定义，根据无理数是无限不循环小数进行判断即可． 【详解】解：在，，，3.1415926，0，9.080080008……(每隔一个8多一个0)这6个数中，无理数有，，9.080080008……(每隔一个8多一个0)，共3个． 故选：B． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）在，，，，，，，（相邻两个之间的个数逐次加）这些数中，无理数有 ． 【答案】 （相邻两个之间的个数逐次加） 【分析】本题考查了对无理数的定义的应用，能正确理解无理数的定义是解此题的关键． 根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）判断即可． 【详解】解：无理数有，（相邻两个之间的个数逐次加），共个． 故答案为：，（相邻两个之间的个数逐次加）． 4．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）把下列各数的序号填在相应的横线上： ①；②；③0；④；⑤；⑥；⑦；⑧3.131331…（每两个“1”之间依次多一个“3”）． 整数： ； 分数： ； 无理数： ． 【答案】①③；⑥⑦；②④⑤⑧ 【分析】本题主要考查无理数、整数与分数，熟练掌握无理数、整数与分数的概念是解题的关键；因此此题可根据无理数、整数与分数及算术平方根可进行求解． 【详解】解：∵， ∴整数有①③；分数有⑥⑦；无理数有②④⑤⑧． 【经典例题二 无理数的大小估算】 【例1】（25-26八年级上·山东青岛·阶段练习）估计的值在（   ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 【答案】B 【分析】本题考查了无理数估算，掌握估算的方法是解题的关键．先估算，即可求解． 【详解】解：， ； 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）估算面积为的正方形的边长是多少分米（结果保留小数点后两位）． 【答案】分米 【分析】本题考查了无理数的估算，算术平方根的应用，先根据面积为的正方形，得该正方形的边长为，整理得，即可作答． 【详解】解：∵面积为的正方形， ∴该正方形的边长为， ∵， ∴ ∴面积为的正方形的边长约为分米 1．（25-26八年级上·河南周口·阶段练习）估算的值应在（    ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 【答案】A 【分析】本题考查无理数的估值，由可估计的值，从而解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即的值在5和6之间． 故选：A 2．（25-26八年级上·河南周口·阶段练习）数轴上点P的位置如图所示，则点P表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，无理数的估算，根据数轴可得点P表示的数大于且小于，再根据无理数的估算方法可得，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，点P表示的数大于且小于， ∵， ∴， ∴， ∴点P表示的数可能是， 故选：B． 3．（23-24八年级下·四川·阶段练习）m、n为两个连续的整数，且，则 【答案】17 【分析】本题考查的是估算无理数的大小，解题的关键是先根据题意算出的取值范围． 先估算出的取值范围，得出、的值，进而可得出结论． 【详解】解：， ， ，， ． 故答案为：17． 4．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）小星同学探索的近似值的过程如下： 由面积为2的正方形的边长是，可设，画一个边长为的正方形如图1所示，则大正方形的面积． 再由大正方形的面积为2，得到， 当时，可忽略不计，则，解得，． 请你仿照小星的探索过程，求出的近似值．（在图2中画出示意图，标注数据） 【答案】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，仿照小星同学的探索过程解答即可． 【详解】解：面积为7的正方形的边长是，且， 设，画一个边长为的大正方形（如图）， 图中大正方形的面积． 又， ， 当时，可忽略不计，得方程， 解得， ． 【经典例题三 无理数整数部分的有关计算】 【例1】（24-25七年级下·贵州黔东南·阶段练习）若的小数部分为a，的小数部分为b，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算，估算出，从而可得，，即可得出，，代入所求式子计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴，， ∵的小数部分为a，的小数部分为b， ∴，， ∴， 故选：A． 【例2】（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期中）设的整数部分为a，小数部分为b，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键；由可知：，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 1．（24-25八年级下·广东江门·期末）设的整数部分是，小数部分是，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查与无理数的整数部分有关的计算，二次根式的混合运算，夹逼法求出的范围，进而求出的值，再根据二次根式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故选：A． 2．（24-25七年级下·广东湛江·期中）用符号表示一个实数的整数部分，例如：，按此规定的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用，关键是求出的范围．再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴. 故选：A 3．（23-24七年级下·四川绵阳·阶段练习）若 的整数部分为a，小数部分为b，则 ， 【答案】 1 【分析】本题重点考查​无理数的估算和实数的整数部分与小数部分的确定​，​准确估算无理数的大小并正确计算表达式的值是解题的关键​． 先估算出整数部分，再利用无理数减去整数部分即得小数部分，即得答案． 【详解】因为， 所以， 所以整数部分，小数部分， 故答案为：1；． 4．（24-25七年级下·甘肃平凉·期中）数学活动课上，王老师说：“是无理数，无理数就是无限不循环小数，同学们，你们能把的小数部分全部写出来吗？”大家议论纷纷，小明同学说：“要把它的小数部分全部写出来是非常难的，但我们可以用表示它的小数部分．”王老师说：“小明同学的说法是正确的，因为的整数部分是，用减去就是它的小数部分．” 请你根据上面的材料解答：已知，其中是一个整数，且，求出，的值． 【答案】， 【分析】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是估算出的范围．先估算出的范围，再求出x，y的值，即可解答． 【详解】解：∵，则， ∴的整数部分是，小数部分是， ∴，． 【经典例题四 实数概念理解】 【例1】（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．有理数是有限小数 B．无理数是无限小数 C．无限小数是无理数 D．是分数 【答案】B 【分析】本题考查了实数的相关概念． 无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．． 【详解】A．有理数也包括无限循环小数（如），原说法错误，本选项不符合题意； B．无理数是无限不循环小数，原说法正确，本选项符合题意； C．无限小数也包括无限循环小数，而无限循环小数是有理数，故原说法错误，本选项不符合题意； D．是无理数，分数属于有理数，原说法错误，本选项不符合题意； 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·湖南株洲·阶段练习）把下列各数分别填入相应的集合里：，，，，0，，，． (1)有理数集合：{________________…}； (2)负无理数集合：{______________…}； (3)正实数集合：{________________…}． 【答案】(1)，，0，， (2)， (3)，， 【分析】（1）根据有理数的定义，即可求解； （2）根据负无理数的定义，即可求解； （3）根据正实数的定义，即可求解． 【详解】（1）解：， 有理数集合：{，，0，，，……}； 故答案为：，，0，，； （2）解：负无理数集合：{，，……}； 故答案为：，； （3）解：正实数集合：{，，，……}． 故答案为：，，． 【点睛】本题考查了有理数及实数的定义及分类，有理数是整数和分数的统称，也可以说，可以化为整数、有限小数和无限不循环小数的数都是有理数；无限不循环小数是无理数；实数是有理数和无理数的总称；大于0的数叫做正数，在正数前面加上负号“﹣”的数叫做负数，0既不是正数，也不是负数． 1．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）实数，中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了实数的分类，熟练牢记有理数的分类和无理数的概念是解题的关键． 【详解】解：由实数的分类可知，有理数分为分数和整数，无理数是无限不循环小数， ， ∴无理数有2个 故选：B． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）数3.14，，，0.2020002000002…（相邻两个2之间0的个数逐次加2），中，实数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查的是实数的定义，根据实数分为有理数和无理数进行解答． 【详解】解：3.14，，，0.2020002000002…（相邻两个2之间0的个数逐次加2），都是实数，共5个． 故选：D． 3．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）在数0、π、﹣0.1010010001，，中，无理数有 个． 【答案】1 【分析】根据无理数的概念求解即可． 【详解】解：在所列实数中，无理数的是π， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查无理数，解题的关键是掌握无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数． 4．（24-25七年级·浙江·假期作业）判断正误，在后面的括号里对的填写“正确”，错的填写“错误”，并说明理由． (1)无理数都是开方开不尽的数．（      ） (2)无理数都是无限小数．（      ） (3)无限小数都是无理数．（      ） (4)无理数包括正无理数、零、负无理数．（      ） (5)不带根号的数都是有理数．（      ） (6)带根号的数都是无理数．（      ） (7)有理数都是有限小数．（       (8)实数包括有限小数和无限小数．（      ） 【答案】(1)错误，理由见解析 (2)正确，理由见解析 (3)错误，理由见解析 (4)错误，理由见解析 (5)错误，理由见解析 (6)错误，理由见解析 (7)错误，理由见解析 (8)正确，理由见解析 【分析】根据有理数，无理数，实数的概念逐项判断即可． 【详解】（1）（错误）无理数不只是开方开不尽的数，还有，1.020 020 002…这类的数也是无理数；故答案为：错误； （2）（正确）无理数是无限不循环小数，是属于无限小数范围内的数；故答案为：正确； （3）（错误）无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类数，其中无限不循环小数才是无理数；故答案为：错误； （4）（错误）0是有理数；故答案为：错误； （5）（错误）如，虽然不带根号，但它是无限不循环小数，所以是无理数；故答案为：错误； （6）（错误）如，虽然带根号，但，这是有理数；故答案为：错误； （7）（错误）有理数还包括无限循环小数；故答案为：错误； （8）（正确）有理数可以用有限小数和无限循环小数表示，无理数是无限不循环小数，所以实数可以用有限小数和无限小数表示；故答案为：正确． 【点睛】本题考查了有理数，无理数，实数的概念，理解概念是解题的关键． 【经典例题五 实数的分类】 【例1】（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）下列实数中的无理数是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查实数的分类． 根据有理数和无理数的定义，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．是有限小数，可化为分数，属于有理数，不符合题意； B．是分数，属于有理数，不符合题意； C．0是整数，属于有理数，不符合题意； D．无法表示为整数或分数，因此是无理数，符合题意． 故选：D． 【例2】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段练习）把下列各数填在相应的括号里（只填写序号）． ①，②，③，④（每两个2之间多一个1），⑤，⑥，⑦0，⑧ 分数{__________}； 非负整数{______________}； 无理数{_____________}． 【答案】①⑤⑧；③⑦；②④⑥ 【分析】本题主要考查实数的分类，掌握无理数，分数和非负整数的概念是解题的关键．根据实数的分类，无理数，分数和非负整数的概念，即可得到答案． 【详解】解：， 分数{①⑤⑧}； 非负整数{③⑦}； 无理数{②④⑥}． 1．（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）实数，，，，，，中，无理数的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义，解题的关键是掌握无理数的定义，无限不循环小数叫做无理数．根据无理数的定义逐个数进行判断即可． 【详解】解：是有限小数，属于有理数； 是开方开不尽的数，属于无理数； 是无限不循环小数，属于无理数； 是无限循环小数，属于有理数； 是分数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； 是有理数与无理数之和，有理数与无理数之和仍为无理数，故属于无理数； 综上，无理数有，，，共个． 故选：B． 2．（23-24七年级下·天津和平·期中）下列各数，，，，，，中，无理数的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的概念，实数的分类，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先识别各个数（能化简的先化简），再确定无理数的个数． 【详解】解：是有限小数，它是有理数； ，它是有理数； 是无限不循环小数，它是无理数； 是分数，它是有理数； 是无理数；是有理数； 是无理数， 共有3个无理数， 故选：C． 3．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）在实数，，，，中，无理数有 个． 【答案】2 【分析】本题考查无理数的识别，解题关键是掌握无理数的定义，即无限不循环小数叫作无理数，常见的无理数有，开不尽方的数，含的式子等，据此对给出的数进行判断． 【详解】解：为有理数，，是分数，属于有理数； 无理数有：，总共两个， 故答案为：2． 4．（24-25八年级上·宁夏中卫·阶段练习）把下列各数填入相应的集合中（只填序号）． ①3.14；②；③；④；⑤0；⑥1.212212221…；⑦；⑧； 无理数集合{                        …} 有理数集合{                        …} 【答案】②，③，④，⑥；①，⑤，⑦，⑧ 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解答本题的关键．实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，无理数分为正无理数和负无理数． 根据实数的分类解答即可． 【详解】解：， 无理数集合{②，③，④，⑥， …}， 有理数集合{ ①，⑤，⑦，⑧，…}， 故答案为：②，③，④，⑥；①，⑤，⑦，⑧． 【经典例题六 实数的性质】 【例1】（23-24八年级上·广东梅州·阶段练习）化简的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的性质，化简绝对值；先判断与1的大小，再化简绝对值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各数的绝对值： ，，，，． 【答案】 【分析】此题考查绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，一个负数的绝对值等于它的相反数． 根据绝对值的性质解答． 【详解】； ； ； ； ． 1．（2025·江苏宿迁·三模）若实数的倒数是，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了倒数．根据倒数的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 2．（2025·湖北·模拟预测）已知实数满足、则实数（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数的性质，求一个数的平方根，根据绝对值的非负性可得，由平方根的定义即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 3．（23-24七年级下·新疆克孜勒苏·期中） ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义，．根据绝对值意义进行求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 4．（2025·广东深圳·一模）求下列各数的绝对值和相反数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)的绝对值是，相反数是 (2)的绝对值是，相反数是 (3)的绝对值是，相反数是 (4)的绝对值是，相反数是 【分析】本题考查了相反数和绝对值，只有符号不同的两个数是互为相反数；一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数． （1）（2）（3）（4）根据相反数和绝对值的定义求解即可． 【详解】（1）解：的绝对值是，相反数是 （2）解：的绝对值是，相反数是 （3）解：的绝对值是，相反数是 （4）解：的绝对值是，相反数是 【经典例题七 实数与数轴】 【例1】（25-26七年级上·河南南阳·阶段练习）已知实数在数轴上的对应点的位置如图，下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴与实数，绝对值，相反数，实数运算等相关知识点和数形结合的数学思想，理解数轴上点的位置关系及绝对值的定义是解题的关键．本题根据数轴上点的位置判断出a，b的正负性和绝对值大小，再进行判断即可． 【详解】解：根据数轴可得， ∴，，， 故A，B，C错误，D正确 故选：D． 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知点表示的数为，点向右运动个单位长度到达点，点表示的数为． (1)在数轴上画出点； (2)点表示的数为________，其绝对值为________； (3)利用数轴比较大小：________（填“”“”或“”），所以点在点________．（填“左侧”或“右侧”） 【答案】(1)见解析； (2)，； (3)，右侧． 【分析】本题考查了数轴上表示数，绝对值定义，实数比较大小，掌握知识点的应用是解题的关键． （）在数轴上表示点即可； （）由点向右运动个单位长度到达点，则有点表示的数为，然后通过绝对值定义即可求解； （）根据数轴特点即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∴点即为所求； （2）解：点表示的数为，其绝对值， 故答案为：，； （3）解：根据数轴可知，，点在点的右侧， 故答案为：，右侧． 1．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）下列说法错误的是（　　） A．无理数的相反数还是无理数 B．无限不循环小数都是无理数 C．正数、负数统称为实数 D．实数与数轴上的点一一对应 【答案】C 【分析】此题考查了实数的分类和性质，无理数的定义等知识．根据实数的分类和无理数的定义进行解答即可． 【详解】解：A. 无理数的相反数还是无理数，故选项正确，不符合题意； B. 无限不循环小数都是无理数，故选项正确，不符合题意； C. 有理数和无理数统称为实数，故选项错误，符合题意；     D. 实数与数轴上的点一一对应，故选项正确，不符合题意； 故选：C 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，熟练掌握数轴的性质是解题关键．先根据数轴的性质可得，则可得，再根据正数大于负数解答即可得． 【详解】解：由数轴可知，， 所以， 所以，， 故选：D． 3．（25-26八年级上·江苏·期中）如图，正方形的面积为7，顶点在数轴上表示的数为1，若点在数轴上（点在点的左侧），且，则点所表示的数为 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，根据正方形的面积求出正方形的边长为是解题的关键． 根据正方形的面积求出正方形的边长为，得到，即可得到点E表示的数为． 【详解】解：正方形的面积为7， 正方形的边长为， ， 点表示的数为． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期中）将下列各数在数轴上表示出来，并用“”把它们连接起来． ，，，． 【答案】见解析， 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数比较大小，无理数的故事，先计算出，，再根据无理数的估算方法得到，再把各数在数轴上表示出来，最后根据数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， ∴ 数轴表示如下所示： ∴． 【经典例题八 实数的大小比较】 【例1】（2024·福建·模拟预测）在实数，，0，中，最小的数是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比较实数的大小关系，根据正数大于0，0大于负数，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴最小的数为； 故选A． 【例2】（25-26八年级上·全国·单元测试）有五个实数：，，，，4，其中四个已经在数轴上分别用点表示． (1)点表示数_______，点表示数_______，点表示数________； (2)将上面五个数按从小到大的顺序，用“”连接：________． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了实数与数轴，实数的大小比较，正确利用数轴比较大小是解题关键． （1）根据A、B、D在数轴上的位置即可判断出答案； （2）根据数轴是数从左到右是从小到大的顺序即可得出答案． 【详解】（1）解：根据A、B、D在数轴上的位置， 可知，点A表示数，点B表示数，点D表示数， 故答案为：，，； （2）由数轴可知：， 故答案为：． 1．（25-26八年级上·山东青岛·阶段练习）下列各组数的比较中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数的比较大小，熟练掌握实数的大小比较方法是解题关键． 利用实数的大小比较，逐个选项分析判断即可． 【详解】解：A、，所以，故此选项正确，不符合题意； B、，所以，故此选项正确，不符合题意； C、，所以，所以，故此选项错误，符合题意； D、，故此选项正确，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25九年级下·浙江杭州·期末）比较三个数： 的大小，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握两个负数比较大小的方法是解题的关键．先分别求出三个数的绝对值，再根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”来比较这三个负数的大小． 【详解】解：∵，，， 又∵， ∴． 故选：D． 3．（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了平方法比较两个数的大小，对于带根号的实数的大小关系的比较，平方法是比较常用的一个技巧．只需比较与的大小关系，即可得到与的大小关系，然后再进行判断． 【详解】解：，，， ， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）请看参考图，在下面数轴上准确找到表示下列各数的点，并标明序号：①、② 、③9的算术平方根，并把这些数按从小到大顺序进行排列，用“”连接：_____＜_____＜_____．（填序号） 【答案】②；①；③ 【分析】本题考查了实数的相关概念以及实数的大小比较，同时涉及到在数轴上表示实数，体现了对实数基本概念和大小比较方法的综合运用． 首先，分别求出的算术平方根的值，然后在数轴上找到对应的点，最后比较它们的大小并排序． 【详解】解：因为，，且， 所以, 因为， 所以． 因为， 所以9的算术平方根是3． 因为， 所以的算术平方根，即． 【经典例题九 实数的混合运算】 【例1】（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数的运算，求一个数的算术平方根，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据算术平方根的定义和实数的运算法则判断即可． 【详解】解：A、，正确，符合题意； B、，原计算错误，故不符合题意； C、，原计算错误，故不符合题意； D、与，不能合并，原计算错误，故不符合题意； 故选：A． 【例2】（25-26八年级上·福建泉州·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，先计算立方根和算术平方根，再计算乘方和绝对值，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 1．（24-25七年级下·四川广安·期中）满足以下说法：①是无理数；②；③是整数，那么可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了估算无理数的大小、无理数的定义、实数的运算等知识，根据选项判断是否都满足①②③即可得到答案． 【详解】解：A．∵，满足①③，不满足②，不符合题意； B．，，且是无理数，满足①②③，符合题意； C．，，且是无理数，满足①③，不满足②，不符合题意； D．，是无理数，不是整数，满足①②，不满足③，不符合题意； 那么可能是， 故选：B． 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，是聪聪、亮亮和贝贝学习了实数之后的对话，请你根据他们三人的对话内容，求的值（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的混合运算，平方根，算术平方根，绝对值，正确求出是解题的关键． 先根据平方根，算术平方根的概念，绝对值，求出，，，再代入进行计算． 【详解】解：∵实数a的平方根是它本身， ∴， ∵正实数b的算术平方根是它本身， ∴， ∵负实数c的绝对值是3， ∴， ∴ ， 故选：A． 3．（2023七年级上·江苏泰州·竞赛）已知，请你再写一个由数字0、1表示的无理数q（且）同时满足是无理数，是有理数， ． 【答案】（不唯一） 【分析】本题考查有理数和无理数的认识，熟练掌握有理数和无理数的概念是解题的关键，要使为有理数，则的小数部分从某一位起需要和的完全相同即可，再由且，即可解答． 【详解】解：∵，是无理数，是有理数， ∴的小数部分从某一位起需要和的完全相同即可， 又∵且，q由数字0，1表示的无理数， ∴q可以为（不唯一）， 故答案为：（不唯一）． 4．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1)2 (2)2 【分析】此题考查的是实数的混合运算，掌握立方根的定义、算术平方根的定义是解决此题的关键． （1）先根据算术平方根的定义进行化简，然后再进行计算即可． （2）先根据立方根的定义，算术平方根的定义进行化简，然后再进行计算即可． 【详解】（1）解∶ （2）解： 【经典例题十 实数运算的实际应用】 【例1】（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）若x为实数，在“”的“□”中添上一种运算符号（在“，，，”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（　　） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查实数的运算，根据实数的相关运算法则即可求得答案，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据选项代入判断即可． 【详解】A．与4，无论是相加，相减，相乘，相除，结果都是无理数，故本选项符合题意； B．，均为有理数，故本选项不符合题意； C．，为有理数，故本选项不符合题意； D．，均为有理数，故本选项不符合题意． 故选：A． 【例2】（23-24七年级下·山东菏泽·期末）如图，一个花坛，直径5米，在它的周围有一条宽1米的环形小路，小路的面积是多少平方米？ 【答案】6π平方米 【分析】由题意知，求环形小路的面积，实际是求一个圆环的面积． 【详解】解：∵环形小路的宽为1米，花坛的直径为5米， ∴R=3.5m，r=2.5m； 则圆环的面积为：π×（3.5）2-π×（2.5）2=6π（平方米）， 所以小路的面积为6π平方米． 【点睛】本题培养了学生解决实际问题的能力，解决题目的关键是将实际问题抽象为几何问题，然后再利用所学知识解决问题． 1．（23-24七年级下·河北沧州·期末）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据正方形的面积公式求得两个正方形的边长分别是，2，再根据阴影部分的面积等于矩形的面积减去两个正方形的面积进行计算． 【详解】解：∵矩形内有两个相邻的正方形面积分别为 4 和 2， ∴两个正方形的边长分别是，2， ∴阴影部分的面积 故选A． 【点睛】本题主要考查了算术平方根的应用，解题的关键在于能够准确根据正方形的面积求出边长. 2．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）在一次“冒险活动”中，玩家小明和小美正在共同探索神秘“宝藏”．他们一路披荆斩棘，终于来到了“宝藏”所在的“神秘洞穴”．然而，他们遇到了一个难题，“宝藏”的位置由实数x决定，且满足方程． 小明兴奋地说：“我觉得x的值应该是；” 小美思考片刻后说道：“不对，我觉得还有可能是另一个值．” 那么小美所说的另一个值是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】此题考查了实数的运算，化简绝对值，根据绝对值的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴小美所说的另一个值是． 故选：A． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）设x、y是有理数，并且x、y满足等式，求 ． 【答案】或1/1或 【分析】本题主要考查了实数混合运算的应用，根据已知等式求出x与y的值，即可求出的值． 【详解】解：∵x、y是有理数，并且x、y满足等式， ∴，， 解得：，， 则或． 故答案为：或1． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）请阅读下面材料，并完成相应的任务． 设是有理数，且满足，求的值． 解：由题意，得． 因为都是有理数， 所以也是有理数． 因为是无理数， 所以，即， 所以． 根据阅读材料，解决问题： 设都是有理数，且满足，求的值． 【答案】的值为7或 【分析】本题主要考查实数运算，二次根式的运算，根据提供的方法，先变形为，从而得出，求出，最后代入求值即可． 【详解】解：因为， 所以， 所以． 因为都是有理数， 所以也是有理数． 因为是无理数， 所以， 解得， 当时，， 当时，． 综上所述，的值为7或． 【拓展训练一 无理数的相关问题求解】 【例1】（25-26八年级上·山东青岛·阶段练习）在，，，(相邻两个之间的个数依次加)，，，，中，无理数有（　　）个 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是掌握无理数的几种形式． 【详解】解：∵，， ∴在，，，(相邻两个之间的个数依次加)，，，，中，无理数有，(相邻两个之间的个数依次加)，，，，共个， 故选：． 【例2】（23-24七年级下·四川绵阳·阶段练习）在① ② ③④ ⑤3.14 ⑥0 ⑦⑧ ⑨⑩ 0.121221222（两个1之间依次多一个2）中，请按下列要求填序号： 整数有____________； 负分数有____________； 有理数有____________； 正无理数有____________． 【答案】⑥⑨；①④；①④⑤⑥⑨；②③⑦⑧⑩ 【分析】本题重点考查​实数的分类与定义​，​准确理解并区分整数、负分数、有理数和正无理数的概念，特别是对需要化简的表达式（如带根号或绝对值的式子）进行正确运算是解题的关键​． 根据整数，负分数，有理数和无理数的概念判断即可． 【详解】整数有：⑥⑨； 负分数有：①④； 有理数有：①④⑤⑥⑨； 正无理数有：②③⑦⑧⑩． 1．（24-25七年级下·山西朔州·阶段练习）有一个数值转换器，计算程序如图所示，当输入的x为16时，则输出的y的值是（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根，有理数，无理数的定义．根据数值转换器，输入进行计算即可． 【详解】解：第1次计算得：，而4是有理数， 第2次计算得：，而2是有理数， 第3次计算得：，是无理数， 故输出的y的值是， 故选：D． 2．（2024七年级下·云南红河·竞赛）在数，，，0.303030…，，，0.01001000100001…中，无理数的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据无理数的概念可判断出无理数的个数．本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①类，如；②开方开不尽的数，如；③具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）． 【详解】解：，，，0.303030…是有理数， ，，0.01001000100001…是无理数． 故选：B． 3．（25-26八年级上·上海·阶段练习）下列各数：①、②、③、④、⑤、⑥、⑦，是无理数的是 （填序号） 【答案】③④ 【分析】本题考查了无理数的概念，二次根式的化简，掌握无理数是指无限不循环小数是解题的关键．根据无理数定义逐一判断即得． 【详解】解：①是有理数； ②是有理数； ③是无理数； ④是无理数； ⑤是有理数； ⑥是有理数； ⑦是有理数． 故答案为：③④． 4．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段练习）灵宝剪纸是河南省灵宝市的传统美术，国家级非物质文化遗产之一，历史悠久，在长期发展过程中形成了粗犷、质朴、率真、浑厚的艺术特色．现有一张长方形的彩纸，彩纸的长与宽的比为，彩纸面积为216平方厘米． (1)求出长方形彩纸的周长． (2)小明想利用这张彩纸剪出一张面积为平方厘米的完整圆形纸片，他能剪出想要的圆形纸片吗？请说明理由． 【答案】(1)厘米 (2)不能，见解析 【分析】本题考查了算术平方根的应用，无理数的估算等知识点． （1）由题意设长方形彩纸的长为，宽为，根据长方形面积公式列方程，然后根据平方根的性质解方程求出，再求出长和宽即可求解周长； （2）设圆的半径为，则，利用平方根的性质解方程求出半径，在求出直径与长方形的宽比较即可． 【详解】（1）解：由题意设长方形彩纸的长为厘米，宽为厘米， 则， 解得：或（舍）， ∴长为（厘米），宽为（厘米）， ∴周长为：（厘米） （2）解：不能剪出想要的圆形纸片，理由如下： 设圆的半径为厘米， 则， 则， ∵ ∴直径大于厘米，此时直径大于长方形的宽， ∴不能剪出想要的圆形纸片． 【拓展训练二 实数的概念、性质及应用】 【例1】（23-24八年级上·安徽·期末）下列说法正确的是（    ） A．两个无理数的和一定是无理数 B．无限小数都是无理数 C．实数可以用数轴上的点来表示 D．分数可能是无理数 【答案】C 【分析】根据实数的有关概念、实数与数轴的关系对各项逐一分析判断即可． 【详解】A. 两个无理数的和可能是无理数，也可能是有理数，如互为相反数的一对无理数和，它们的和是0，是有理数，故本选项说法错误，不符合题意； B. 无理数是无限不循环小数，无限小数不一定是无理数，故本选项说法错误，不符合题意； C. 实数可以用数轴上的点来表示，说法正确，符合题意； D. 分数是有理数，故本选项说法错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了实数的有关概念和实数与数轴的关系，熟练掌握实数的基本概念是解题的关键． 【例2】（25-26八年级上·上海·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，立方根求值，绝对值化简，平方根求解等．先将每项化简，再从左到右计算即可． 【详解】解：原式， ， ， ． 1．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A．a B．b C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的性质，解题的关键是掌握二次根式的性质和绝对值的性质． 先根据数轴推出，进而得到，据此可得，化简绝对值和求算术平方根，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，，， ． 故答案为：B． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）比较下列各组数的大小，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数大小比较的方法以及无理数的估算是解题的关键．根据无理数的估算方法逐项判断即可． 【详解】解：A、，正确，不符合题意； B、 ， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴，原式错误，符合题意； C、∵， ∴， ∴， ∴，即，正确，不符合题意； D、∵，，且， ∴，正确，不符合题意． 故选：B． 3．（24-25七年级下·山东德州·阶段练习）下面各数：，，，6，，0，，，其中无理数的个数为，整数的个数为，非负数的个数为，则 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了无理数，整数，非负数的定义，解题的关键是熟练掌握以上定义． 利用无理数，整数，非负数的定义，确定个数，代入代数式进行求解即可． 【详解】解：无理数为：，得； 整数为：6，0，得； 非负数为：，，，，0，，得； ∴， 故答案为：9． 4．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）有一个底面积为，长、宽、高的比为的长方体纸盒（纸板厚度忽略不计）．根据计算回答问题： (1)这个长方体纸盒的长、宽、高分别是多少？ (2)这个纸盒的体积是多少？ (3)这个纸盒是否能够完全容纳一支长度为的铅笔？ 【答案】(1)长方体的长为，宽为，高为； (2)这个纸盒的体积是； (3)这个纸盒不能够完全容纳一支长度为的铅笔． 【分析】本题主要考查的是算术平方根的实际应用，无理数大小的比较． （1）设长方体的高为，则长为，宽为，根据长方体的底面积等于长宽列方程求得答案即可； （2）利用长方体的体积公式计算求得答案即可； （3）先求得底面对角的线，再求得长方体的对角线的长，与比较即可得解． 【详解】（1）解：设长方体的高为，则长为，宽为， 由题意得：， 解得：，则， ∴长方体的长为，宽为，高为； （2）解：这个纸盒的体积是； （3）解：， 底面对角线的长为， 长方体的对角线的长为， ∴这个纸盒不能够完全容纳一支长度为的铅笔． 1．（25-26八年级上·山东青岛·阶段练习）实数，，，，，，，（相邻两个1之间的0的个数逐渐加1）中，无理数的个数为（   ） A．5 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查无理数的定义，熟练掌握无理数的定义是解题的关键，根据无理数的定义判断即可得到答案． 【详解】解：在实数，，，，，，，（相邻两个1之间的0的个数逐渐加1）中，无理数的有：，，，（相邻两个1之间的0的个数逐渐加1）， ∴无理数有4个， 故选：D． 2．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）估算的值（    ）． A．在3到4之间 B．在4到5之间 C．在5到6之间 D．在6到7之间 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键． 先估算出的范围，再求出的范围，再得出选项即可． 【详解】解：∵， ∴减3得：， 即在4和5之间， 故选：B． 3．（24-25八年级上·四川眉山·期末）已知是的整数部分，是的整数部分，的值是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的估算，包括利用算术平方根的大小比较确定无理数的整数部分，解决本题的关键是对无理数估算方法的运用． 要确定的整数部分和的整数部分，需通过比较被开方数与相邻完全平方数的大小，得出无理数的范围，进而确定其整数部分，核心是对无理数估算方法的运用． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为1，即， 又∵， ∴， ∴， ∴的整数部分为3，即， ∴． 故选：D ． 4．（25-26八年级上·全国·随堂练习）我国数学家祖冲之是世界上最早把圆周率精确到小数点后第7位数字的科学巨匠，以下关于圆周率的说法正确的是（   ） A．它是一个有理数 B．数轴上没有能表示它的点 C．它是一个实数 D．它可以表示成分数形式 【答案】C 【分析】此题考查了实数，熟练掌握实数的分类和“”的意义是解题的关键．根据实数的分类和的特点进行解答即可得出答案． 【详解】解：圆周率是一个实数，是无理数，不能表示成分数形式，在数轴上有表示它的点， ∴关于圆周率说法正确的是C选项， 故选：C． 5．（25-26八年级上·江西九江·阶段练习）下列说法不正确的是（   ） A．实数与数轴上的点是一一对应的 B．0的算术平方根是0 C．无限小数都是无理数 D．任意一个无理数的绝对值都是正数 【答案】C 【分析】本题考查了实数，掌握实数的分类，算术平方根的意义是解题的关键；根据实数的分类，算术平方根的意义逐项判断即可． 【详解】解：、实数与数轴上的点是一一对应的，原说法正确，故本选项不符合题意； 、0的算术平方根是0，原说法正确，故本选项不符合题意； 、无限不循环小数都是无理数，原说法不正确，故本选项符合题意； 、因为0不属于无理数，所以任意一个无理数的绝对值都是正数，原说法正确，故本选项不符合题意； 故选：． 6．（24-25七年级下·河南漯河·期末）下列计算正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，实数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据算术平方根的定义，实数的性质分别判断即可． 【详解】解：A、，原写法错误，故本选项不符合题意； B、，原写法错误，故本选项不符合题意； C、，写法正确，故本选项符合题意； D、，原写法错误，故本选项不符合题意； 故选：C． 7．（25-26八年级上·上海·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．数轴上的每一个点都有一个有理数与它对应 B．负数没有方根 C．带根号的数一定是无理数 D．正实数包括正有理数和正无理数 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，平方根，立方根，无理数．根据实数与数轴，平方根，立方根，无理数逐一判断即可． 【详解】解：A、数轴上的每一个点都有一个实数与它对应，故该选项不符合题意； B、负数有立方根，故该选项不符合题意； C、带有根号且开方开不尽的数一定是无理数，故该选项不符合题意； D、正实数包括正有理数和正无理数，故该选项符合题意； 故选：D． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）比较的大小，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数的大小比较，利用即可判断． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 9．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）下列关于无理数的表述错误的个数是（   ） （）有理数与无理数的和一定是无理数； （）无理数与无理数的积一定是无理数； （）如图，以单位长度为直径的圆从原点开始．沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点，点对应的数是无理数； （）如图，以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交点表示的数均是无理数． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了实数的运算，实数与数轴，根据实数的运算法则、无理数的定义逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：（）有理数与无理数的和一定是无理数，该选项说法正确； （）无理数与无理数的积一定是无理数，该选项说法错误，比如是有理数； （）如图，以单位长度为直径的圆从原点开始，沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点，点对应的数是无理数，该选项说法正确，表示的数是； （）如图，以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交点表示的数均是无理数，该选项说法正确，交点表示的数是和； 综上，表述错误的有个， 故选：． 10．（24-25七年级下·四川泸州·期中）已知表示取三个数中最小的数．例如：，当时，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的大小比较，算术平方根及其最值问题，解此类题关键要注意分类思想的运用． 比较、、的大小，最小的值为，再求出的值即可． 【详解】解：由题意可知的取值范围是； 当时，， 此时， 解得， 符合题意； 当时， 此时， 不符合题意舍去； 综上所述：； 故选：B 11．（23-24七年级上·浙江·期中）写出一个同时满足下列条件的无理数：①它在数轴上表示的点在原点的左边；②它的绝对值小于2．答： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查无理数的定义：无理数是实数中不能表示为整数或分数的数，若将其写成小数是无限不循环小数.由题意得，它是一个负无理数，绝对值小于2，答案不唯一. 【详解】解：由题意得它是一个负无理数，绝对值小于2， ∴符合题意 故答案为：（答案不唯一）. 12．（25-26八年级上·山西太原·阶段练习）比较大小关系： （填“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数大小的比较，无理数的大小估算，根据实数的大小的比较方法即可求解，掌握实数的大小的比较方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（25-26八年级上·全国·期末）已知的小数部分记为，则可以表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键． 根据估算无理数的大小方法先估算出整数部分，即可求得小数部分． 【详解】解：， ， 的整数部分是， ． 故答案为：． 14．（25-26六年级上·山东东营·阶段练习）下列各数①，②0，③，④，⑤，⑥，⑦（每两个5之间依次增加1个2）其中是非负整数的有 ，正分数是 （填序号） 【答案】 ② ④⑥ 【分析】本题考查了有理数的分类，解题关键是熟练掌握实数的分类、分数的定义，从而完成求解． 根据有理数的分类、分数的定义进行分析，即可得到答案． 【详解】解：，， ∴非负整数为：②； 正分数为：④⑥. 故答案为：②； ④⑥． 15．（2024·广东潮州·二模）计算： （，结果精确到）． 【答案】 【分析】本题主要考查实数的运算，熟练掌握实数的运算是解题的关键；因此此题可根据实数的运算进行求解即可． 【详解】解：； 故答案为． 16．（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）已知a，b均为有理数，且满足等式5﹣a＝2b+﹣a，则ab= ． 【答案】 【分析】已知等式整理后，根据a与b为有理数求出a与b的值，即可求出a+b的值. 【详解】解：已知等式整理得:5﹣a＝（2b﹣a）+， 可得， 解得: ， 故， 故答案为： 【点评】此题考查了实数的运算，以及无理数与有理数，熟练掌握运算法则是解本题的关键. 17．（24-25七年级上·浙江温州·期中）数学文化节邀请“实数”作为嘉宾，请仔细辨别并为它们安排合适的席位：（每两个“1”之间依次多一个“0”） (1)主办方需要准备_______个“无理数”的席位； (2)请为下列席位找到对应的嘉宾： “整数”席：{     } “分数”席：{     } 【答案】(1)3 (2)； 【分析】本题主要考查了实数分类，无理数的定义，求一个数的算术平方根，解题的关键理解相关定义． （1）根据无理数定义进行解答即可； （2）根据实数分类方法进行求解即可． 【详解】（1）解：，， （每两个“1”之间依次多一个“0”）中无理数有，，（每两个“1”之间依次多一个“0”）共3个， ∴主办方需要准备3个“无理数”的席位； （2）解：“整数”席：{}； “分数”席：{}． 18．（24-25七年级下·河北邢台·期中）在解答题目“在数轴上标出，，，，再比较这四个数的大小”时，嘉淇已经标出了和所对应的点，请你标出其余两个数，并比较这四个数的大小．    【答案】，数轴见解析 【分析】根据及的位置确定和的位置，再利用数轴比较大小即可． 【详解】解： ， ， 结合，，可知，在数轴上如下图所示：    由，，，在数轴上的位置可知：． 【点睛】本题考查实数与数轴，实数的大小比较，无理数的估算等，解题的关键是通过估算或的大小确定另外两个点的位置． 19．（24-25七年级下·重庆江津·期中）若实数a，b，c在数轴上所对应点分别为A，B，C，a为2的算术平方根，b=3，C点与A点在B点的两侧，并且点A与点C到B点的距离相等 (1)求数轴上AB两点之间的距离； (2)求c点对应的数； (3)a的整数部分为x，c的小数部分为y，求2x3+2y的值(结果保留带根号的形式）； 【答案】(1)3- (2)6- (3) 【分析】（1）先根据算术平方根的定义求得a，再根据两点间的距离公式即可求解； （2）根据A、C两点到B点的距离相等即可求解； （3）因为1＜＜2，所以a的整数部分为1，所以4＜6﹣＜5，由此求得c小数部分，然后代入代数式即可． 【详解】（1）解：∵a为2的算术平方根， ∴a＝， ∵b＝3， ∴AB=b-a=3-， ∴数轴上AB两点之间的距离为3-； （2）解：∵点A与点C到B点的距离相等， ∴BC=AB=3-，BC=c-b 即c-3=3-， ∴c＝6-； 故C点所对应的数为：6-； （3）解：∵1＜＜2， ∴a的整数部分为x＝1，4＜6-＜5， 所以6﹣的整数部分是4，小数部分y＝6-﹣4＝2-， ∴2x3+2y＝2×13+2×（2-）＝6-2． 【点睛】本题考查的是实数与数轴，无理数的估算，任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数；无理数的估算注意找出最接近的整数范围． 20．（24-25七年级下·广西贺州·期中）作图并比较大小： (1)如图，先在数轴上准确作出对应的点，再用小黑点标明，，，，，这个数依次对应的点，点，点，点，点； (2)用“”号将这几个数连接起来． 【答案】(1)图见解析； (2)． 【分析】本题考查的知识点是实数与数轴、利用数轴比较有理数的大小、实数的大小比较，解题关键是熟练掌握数轴上表示数及比较大小． （1）先作顶点在数轴原点，边长为的正方形，正方形的对角线即为，再以原点为圆心，正方形对角线为边长在数轴上作圆，交数轴于点，此时，再在数轴上找出点，点，点，点，即可得图； （2）结合数轴即可比较实数大小． 【详解】（1）解：先作顶点在数轴原点，边长为的正方形，正方形的对角线即为， 再以原点为圆心，正方形对角线为边长在数轴上作圆，交数轴于点，此时， 再在数轴上找出点，点，点，点，即可得下图： （2）解：由（1）得，． 21．（24-25七年级下·广东珠海·期末）把如图1中三个边长为的正方形拼成如图2的图形，其中点A，D，E在同一条直线上，点在边上． (1)______； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算，求一个数的算术平方根，正确理解题意是解题的关键． （1）由题意得，四边形是面积为的正方形，据此根据正方形面积计算公式求解即可； （2）根据（1）所求结合题意可得，据此分别求出的长，再计算的值即可． 【详解】（1）解：由题意得，四边形是面积为的正方形， ∴； （2）解：由题意得，， ∴，， ∴． 22．（24-25七年级下·江西上饶·期末）如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是3和9. (1)A，B两正方形的边长各是多少？ (2)求图中阴影部分的面积（结果保留两位小数.参考数据：）. 【答案】(1)正方形A和正方形B的边长各是，3 (2)2.20 【分析】（1）根据正方形面积等于边长的平方求解即可； （2）根据阴影部分面积=最大的大长方形面积-正方形A的面积-正方形B的面积进行求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形A和正方形B的面积分别为3和9， ∴正方形A和正方形B的边长各是； （2）解：由题意得：． 【点睛】本题主要考查算术平方根的应用，实数的混合计算的应用，正确求出正方形A和正方形B的边长是解题的关键． 23．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）先阅读，再理解： 数学课上，老师讲解如何确定无理数最接近的整数时，按下面方法解决问题： ①确定的值在哪两个相邻整数之间：； ②求这两个整数的平均数：； ③对平均数的值进行平方，即，因为，所以与最接近的整数是3． 请回答下列问题： (1)与最接近的整数是___________；与最接近的整数是___________； (2)如图，数轴上点表示的数可能为___________； A．    B．    C．    D． (3)与最接近的整数是___________． 【答案】(1)2，4 (2)C (3)6 【分析】本题主要考查了算术平均数的定义以及估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键． （1）根据给出的方法逐步进行求解即可； （2）确定点在3和之间，然后根据给出的方法求出取值范围即可； （3）根据给出的方法进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∵， ∴与最接近的整数是2； ， ， ， ∵， ∴与最接近的整数是4； 故答案为：2，4； （2）解：， ， 假设点表示的数为， 则， 即， 故选：C； （3）解：， ， ， ∵， ∴与最接近的整数是4， 与最接近的整数是6， 故答案为：6． 24．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段练习）阅读理解：因为，所以，所以的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．即：的小数部分为．类似的：因为，所以的小数部分就是． 解决问题： (1)初步运用：的整数部分是_____，小数部分是_____． (2)综合拓展：如果的小数部分为的整数部分为，求的值． 【答案】(1)3； (2)4 【分析】本题考查与无理数整数部分有关的计算，熟练掌握夹逼法进行无理数的估算是解题的关键： （1）夹逼法求出的范围，进而求出其整数部分和小数部分即可； （2）夹逼法求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是3，小数部分是； （2）∵， ∴， ∴的整数部分是10，小数部分为，即． ∵， ∴， ∴的整数部分是7，即， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2从有理数到实数及实数的运算重难点题型专训 （5个知识点+10大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 无理数 题型二 无理数的大小估算 题型三 无理数整数部分的有关计算 题型四 实数概念理解 题型五 实数的分类 题型六 实数的性质 题型七 实数与数轴 题型八 实数的大小比较 题型九 实数的混合运算 题型十 实数运算的实际应用 拓展训练一 无理数的相关问题求解 拓展训练二 实数的概念、性质及应用 知识点一：无理数 无限不循环小数叫做无理数． 无理数的常见形式有以下几种： （1）开方开不尽的数的相应方根是无理数，如，等； （2）圆周率及一些含有的数,如2，等； （3）以无限不循环小数形式写出的数,如0.101 001 000 1…（两个1之间依次多一个0)等．注意无理数的小数部分位数无限；无理数的小数部分不循环；无理数不能表示成分数的形式． 【即时训练】 1.（2025·江西·中考真题）下列各数中，是无理数的是（   ） A．0 B． C．3.14 D． 2.（2025·湖北·模拟预测）公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯发现了边长为1的正方形的对角线长不能用有理数表示．为了纪念他，人们把这些数取名为无理数．请你写出一个大于3且小于4的无理数： ． 知识点二：实数的概念及分类 1. 概念：有理数和无理数统称为实数． 2. 分类：实数有两种分类标准： （1）按定义分类：实数可分为有理数和无理数． 实数 有理数 0 无理数 正有理数 负有理数 正无理数 负无理数 有限小数或循环小数 无限不循环小数 正整数 正分数 负整数 负分数 （2）按正负性分类：实数可分为正实数、0、负实数．正整数 正分数 负整数 负分数 实数 正实数 负实数 正有理数 正无理数 负有理数 负无理数 0 【即时训练】 1.（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）下列说法正确的是（   ） A．实数分为正实数和负实数 B．两个无理数的和还是无理数 C．是最大的负数 D．有理数和无理数统称实数 2.下列说法正确的有 ． ①实数不是有理数就是无理数；②是有理数；③不带根号的数都是有理数；④是有理数；⑤数轴上任一点都对应一个有理数；⑥的相反数是． 知识点三：实数与数轴的关系 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．实数与数轴上的点一一对应. 【即时训练】 1.（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A．a B．b C． D． 2.（24-25七年级下·湖南郴州·期中）如图，在数轴上表示，的对应点分别为、，点是的中点，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 知识点四：实数的运算 在实数范围内，不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为零）、乘方运算，而且可以进行开立方运算以及非负实数的开平方运算． 有理数的运算性质和运算律在实数范围内仍然适用，实数混合运算的顺序与有理数混合运算的顺序相同，先乘方、开方，再乘除，最后加减．同级运算按从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·广东东莞·期末）如图，长方形内两个正方形的面积分别为5，1，则图中两块阴影部分的面积之和为（  ） A．1 B． C．2 D． 2.（24-25七年级下·山东滨州·期中）计算： ． 知识点五：实数的大小比较 有理数大小比较的方法在实数范围内仍然适用． 两实数的大小关系如下：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数；两个正实数，绝对值大的正实数大；两个负实数，绝对值大的负实数小；在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大．此外，比较两实数的大小还有如下方法： （1）通过比较两实数的平方的大小，进而确定实数的大小关系．如比较与3的大小，由于，故． （2）用估算的方法求出无理数的近似值后，再比较两数的大小． （3）当两个带根号的无理数比较大小时，可应用如下结论： ①． ②． 【即时训练】 1.（24-25七年级下·山东德州·期中）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2.（24-25七年级下·广西来宾·期末）比较两数的大小：4 （用“”或“”填空）． 【经典例题一 无理数】 【例1】（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）下列是无理数的是（    ） A．3.14 B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·陕西西安·期中）把下列各数的序号填在对应的括号内：，，，，，． 无理数：{ …}； 分数：{ …}； 整数：{ …}． 1．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段练习）下列各数：、、、、（相邻两个3之间的7的个数逐次加1）．其中无理数有几个？（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26八年级上·山东青岛·阶段练习）在，，，3.1415926，0，9.080080008……(每隔一个8多一个0)这6个数中，无理数共有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）在，，，，，，，（相邻两个之间的个数逐次加）这些数中，无理数有 ． 4．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）把下列各数的序号填在相应的横线上： ①；②；③0；④；⑤；⑥；⑦；⑧3.131331…（每两个“1”之间依次多一个“3”）． 整数： ； 分数： ； 无理数： ． 【经典例题二 无理数的大小估算】 【例1】（25-26八年级上·山东青岛·阶段练习）估计的值在（   ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）估算面积为的正方形的边长是多少分米（结果保留小数点后两位）． 1．（25-26八年级上·河南周口·阶段练习）估算的值应在（    ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 2．（25-26八年级上·河南周口·阶段练习）数轴上点P的位置如图所示，则点P表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·四川·阶段练习）m、n为两个连续的整数，且，则 4．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）小星同学探索的近似值的过程如下： 由面积为2的正方形的边长是，可设，画一个边长为的正方形如图1所示，则大正方形的面积． 再由大正方形的面积为2，得到， 当时，可忽略不计，则，解得，． 请你仿照小星的探索过程，求出的近似值．（在图2中画出示意图，标注数据） 【经典例题三 无理数整数部分的有关计算】 【例1】（24-25七年级下·贵州黔东南·阶段练习）若的小数部分为a，的小数部分为b，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 【例2】（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期中）设的整数部分为a，小数部分为b，求的值． 1．（24-25八年级下·广东江门·期末）设的整数部分是，小数部分是，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·广东湛江·期中）用符号表示一个实数的整数部分，例如：，按此规定的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（23-24七年级下·四川绵阳·阶段练习）若 的整数部分为a，小数部分为b，则 ， 4．（24-25七年级下·甘肃平凉·期中）数学活动课上，王老师说：“是无理数，无理数就是无限不循环小数，同学们，你们能把的小数部分全部写出来吗？”大家议论纷纷，小明同学说：“要把它的小数部分全部写出来是非常难的，但我们可以用表示它的小数部分．”王老师说：“小明同学的说法是正确的，因为的整数部分是，用减去就是它的小数部分．” 请你根据上面的材料解答：已知，其中是一个整数，且，求出，的值． 【经典例题四 实数概念理解】 【例1】（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．有理数是有限小数 B．无理数是无限小数 C．无限小数是无理数 D．是分数 【例2】（24-25七年级下·湖南株洲·阶段练习）把下列各数分别填入相应的集合里：，，，，0，，，． (1)有理数集合：{________________…}； (2)负无理数集合：{______________…}； (3)正实数集合：{________________…}． 1．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）实数，中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）数3.14，，，0.2020002000002…（相邻两个2之间0的个数逐次加2），中，实数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）在数0、π、﹣0.1010010001，，中，无理数有 个． 4．（24-25七年级·浙江·假期作业）判断正误，在后面的括号里对的填写“正确”，错的填写“错误”，并说明理由． (1)无理数都是开方开不尽的数．（      ） (2)无理数都是无限小数．（      ） (3)无限小数都是无理数．（      ） (4)无理数包括正无理数、零、负无理数．（      ） (5)不带根号的数都是有理数．（      ） (6)带根号的数都是无理数．（      ） (7)有理数都是有限小数．（       (8)实数包括有限小数和无限小数．（      ） 【经典例题五 实数的分类】 【例1】（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）下列实数中的无理数是（   ） A． B． C．0 D． 【例2】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段练习）把下列各数填在相应的括号里（只填写序号）． ①，②，③，④（每两个2之间多一个1），⑤，⑥，⑦0，⑧ 分数{__________}； 非负整数{______________}； 无理数{_____________}． 1．（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）实数，，，，，，中，无理数的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（23-24七年级下·天津和平·期中）下列各数，，，，，，中，无理数的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）在实数，，，，中，无理数有 个． 4．（24-25八年级上·宁夏中卫·阶段练习）把下列各数填入相应的集合中（只填序号）． ①3.14；②；③；④；⑤0；⑥1.212212221…；⑦；⑧； 无理数集合{                        …} 有理数集合{                        …} 【经典例题六 实数的性质】 【例1】（23-24八年级上·广东梅州·阶段练习）化简的值为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各数的绝对值： ，，，，． 1．（2025·江苏宿迁·三模）若实数的倒数是，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·湖北·模拟预测）已知实数满足、则实数（   ） A． B．2 C． D． 3．（23-24七年级下·新疆克孜勒苏·期中） ． 4．（2025·广东深圳·一模）求下列各数的绝对值和相反数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题七 实数与数轴】 【例1】（25-26七年级上·河南南阳·阶段练习）已知实数在数轴上的对应点的位置如图，下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知点表示的数为，点向右运动个单位长度到达点，点表示的数为． (1)在数轴上画出点； (2)点表示的数为________，其绝对值为________； (3)利用数轴比较大小：________（填“”“”或“”），所以点在点________．（填“左侧”或“右侧”） 1．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）下列说法错误的是（　　） A．无理数的相反数还是无理数 B．无限不循环小数都是无理数 C．正数、负数统称为实数 D．实数与数轴上的点一一对应 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·江苏·期中）如图，正方形的面积为7，顶点在数轴上表示的数为1，若点在数轴上（点在点的左侧），且，则点所表示的数为 4．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期中）将下列各数在数轴上表示出来，并用“”把它们连接起来． ，，，． 【经典例题八 实数的大小比较】 【例1】（2024·福建·模拟预测）在实数，，0，中，最小的数是（    ） A． B．0 C． D． 【例2】（25-26八年级上·全国·单元测试）有五个实数：，，，，4，其中四个已经在数轴上分别用点表示． (1)点表示数_______，点表示数_______，点表示数________； (2)将上面五个数按从小到大的顺序，用“”连接：________． 1．（25-26八年级上·山东青岛·阶段练习）下列各组数的比较中错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·浙江杭州·期末）比较三个数： 的大小，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）比较大小： （填“”、“”或“”）． 4．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）请看参考图，在下面数轴上准确找到表示下列各数的点，并标明序号：①、② 、③9的算术平方根，并把这些数按从小到大顺序进行排列，用“”连接：_____＜_____＜_____．（填序号） 【经典例题九 实数的混合运算】 【例1】（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·福建泉州·阶段练习）计算：． 1．（24-25七年级下·四川广安·期中）满足以下说法：①是无理数；②；③是整数，那么可能是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，是聪聪、亮亮和贝贝学习了实数之后的对话，请你根据他们三人的对话内容，求的值（　　） A． B． C． D． 3．（2023七年级上·江苏泰州·竞赛）已知，请你再写一个由数字0、1表示的无理数q（且）同时满足是无理数，是有理数， ． 4．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段练习）计算： (1) (2) 【经典例题十 实数运算的实际应用】 【例1】（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）若x为实数，在“”的“□”中添上一种运算符号（在“，，，”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（　　） A．4 B． C． D． 【例2】（23-24七年级下·山东菏泽·期末）如图，一个花坛，直径5米，在它的周围有一条宽1米的环形小路，小路的面积是多少平方米？ 1．（23-24七年级下·河北沧州·期末）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C．2 D． 2．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）在一次“冒险活动”中，玩家小明和小美正在共同探索神秘“宝藏”．他们一路披荆斩棘，终于来到了“宝藏”所在的“神秘洞穴”．然而，他们遇到了一个难题，“宝藏”的位置由实数x决定，且满足方程． 小明兴奋地说：“我觉得x的值应该是；” 小美思考片刻后说道：“不对，我觉得还有可能是另一个值．” 那么小美所说的另一个值是（    ） A． B． C． D．以上都不对 3．（2024七年级上·全国·专题练习）设x、y是有理数，并且x、y满足等式，求 ． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）请阅读下面材料，并完成相应的任务． 设是有理数，且满足，求的值． 解：由题意，得． 因为都是有理数， 所以也是有理数． 因为是无理数， 所以，即， 所以． 根据阅读材料，解决问题： 设都是有理数，且满足，求的值． 【拓展训练一 无理数的相关问题求解】 【例1】（25-26八年级上·山东青岛·阶段练习）在，，，(相邻两个之间的个数依次加)，，，，中，无理数有（　　）个 A． B． C． D． 【例2】（23-24七年级下·四川绵阳·阶段练习）在① ② ③④ ⑤3.14 ⑥0 ⑦⑧ ⑨⑩ 0.121221222（两个1之间依次多一个2）中，请按下列要求填序号： 整数有____________； 负分数有____________； 有理数有____________； 正无理数有____________． 1．（24-25七年级下·山西朔州·阶段练习）有一个数值转换器，计算程序如图所示，当输入的x为16时，则输出的y的值是（   ） A．4 B． C． D． 2．（2024七年级下·云南红河·竞赛）在数，，，0.303030…，，，0.01001000100001…中，无理数的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（25-26八年级上·上海·阶段练习）下列各数：①、②、③、④、⑤、⑥、⑦，是无理数的是 （填序号） 4．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段练习）灵宝剪纸是河南省灵宝市的传统美术，国家级非物质文化遗产之一，历史悠久，在长期发展过程中形成了粗犷、质朴、率真、浑厚的艺术特色．现有一张长方形的彩纸，彩纸的长与宽的比为，彩纸面积为216平方厘米． (1)求出长方形彩纸的周长． (2)小明想利用这张彩纸剪出一张面积为平方厘米的完整圆形纸片，他能剪出想要的圆形纸片吗？请说明理由． 【拓展训练二 实数的概念、性质及应用】 【例1】（23-24八年级上·安徽·期末）下列说法正确的是（    ） A．两个无理数的和一定是无理数 B．无限小数都是无理数 C．实数可以用数轴上的点来表示 D．分数可能是无理数 【例2】（25-26八年级上·上海·阶段练习）计算： 1．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A．a B．b C． D． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）比较下列各组数的大小，错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·山东德州·阶段练习）下面各数：，，，6，，0，，，其中无理数的个数为，整数的个数为，非负数的个数为，则 ． 4．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）有一个底面积为，长、宽、高的比为的长方体纸盒（纸板厚度忽略不计）．根据计算回答问题： (1)这个长方体纸盒的长、宽、高分别是多少？ (2)这个纸盒的体积是多少？ (3)这个纸盒是否能够完全容纳一支长度为的铅笔？ 1．（25-26八年级上·山东青岛·阶段练习）实数，，，，，，，（相邻两个1之间的0的个数逐渐加1）中，无理数的个数为（   ） A．5 B．2 C．3 D．4 2．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）估算的值（    ）． A．在3到4之间 B．在4到5之间 C．在5到6之间 D．在6到7之间 3．（24-25八年级上·四川眉山·期末）已知是的整数部分，是的整数部分，的值是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26八年级上·全国·随堂练习）我国数学家祖冲之是世界上最早把圆周率精确到小数点后第7位数字的科学巨匠，以下关于圆周率的说法正确的是（   ） A．它是一个有理数 B．数轴上没有能表示它的点 C．它是一个实数 D．它可以表示成分数形式 5．（25-26八年级上·江西九江·阶段练习）下列说法不正确的是（   ） A．实数与数轴上的点是一一对应的 B．0的算术平方根是0 C．无限小数都是无理数 D．任意一个无理数的绝对值都是正数 6．（24-25七年级下·河南漯河·期末）下列计算正确的是（       ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·上海·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．数轴上的每一个点都有一个有理数与它对应 B．负数没有方根 C．带根号的数一定是无理数 D．正实数包括正有理数和正无理数 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）比较的大小，正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）下列关于无理数的表述错误的个数是（   ） （）有理数与无理数的和一定是无理数； （）无理数与无理数的积一定是无理数； （）如图，以单位长度为直径的圆从原点开始．沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点，点对应的数是无理数； （）如图，以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交点表示的数均是无理数． A．个 B．个 C．个 D．个 10．（24-25七年级下·四川泸州·期中）已知表示取三个数中最小的数．例如：，当时，则的值为（　　） A． B． C． D． 11．（23-24七年级上·浙江·期中）写出一个同时满足下列条件的无理数：①它在数轴上表示的点在原点的左边；②它的绝对值小于2．答： ． 12．（25-26八年级上·山西太原·阶段练习）比较大小关系： （填“”或“”或“”）． 13．（25-26八年级上·全国·期末）已知的小数部分记为，则可以表示为 ． 14．（25-26六年级上·山东东营·阶段练习）下列各数①，②0，③，④，⑤，⑥，⑦（每两个5之间依次增加1个2）其中是非负整数的有 ，正分数是 （填序号） 15．（2024·广东潮州·二模）计算： （，结果精确到）． 16．（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）已知a，b均为有理数，且满足等式5﹣a＝2b+﹣a，则ab= ． 17．（24-25七年级上·浙江温州·期中）数学文化节邀请“实数”作为嘉宾，请仔细辨别并为它们安排合适的席位：（每两个“1”之间依次多一个“0”） (1)主办方需要准备_______个“无理数”的席位； (2)请为下列席位找到对应的嘉宾： “整数”席：{     } “分数”席：{     } 18．（24-25七年级下·河北邢台·期中）在解答题目“在数轴上标出，，，，再比较这四个数的大小”时，嘉淇已经标出了和所对应的点，请你标出其余两个数，并比较这四个数的大小．    19．（24-25七年级下·重庆江津·期中）若实数a，b，c在数轴上所对应点分别为A，B，C，a为2的算术平方根，b=3，C点与A点在B点的两侧，并且点A与点C到B点的距离相等 (1)求数轴上AB两点之间的距离； (2)求c点对应的数； (3)a的整数部分为x，c的小数部分为y，求2x3+2y的值(结果保留带根号的形式）； 20．（24-25七年级下·广西贺州·期中）作图并比较大小： (1)如图，先在数轴上准确作出对应的点，再用小黑点标明，，，，，这个数依次对应的点，点，点，点，点； (2)用“”号将这几个数连接起来． 21．（24-25七年级下·广东珠海·期末）把如图1中三个边长为的正方形拼成如图2的图形，其中点A，D，E在同一条直线上，点在边上． (1)______； (2)求的值． 22．（24-25七年级下·江西上饶·期末）如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是3和9. (1)A，B两正方形的边长各是多少？ (2)求图中阴影部分的面积（结果保留两位小数.参考数据：）. 23．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）先阅读，再理解： 数学课上，老师讲解如何确定无理数最接近的整数时，按下面方法解决问题： ①确定的值在哪两个相邻整数之间：； ②求这两个整数的平均数：； ③对平均数的值进行平方，即，因为，所以与最接近的整数是3． 请回答下列问题： (1)与最接近的整数是___________；与最接近的整数是___________； (2)如图，数轴上点表示的数可能为___________； A．    B．    C．    D． (3)与最接近的整数是___________． 24．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段练习）阅读理解：因为，所以，所以的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．即：的小数部分为．类似的：因为，所以的小数部分就是． 解决问题： (1)初步运用：的整数部分是_____，小数部分是_____． (2)综合拓展：如果的小数部分为的整数部分为，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $