专题3.1平方根重难点题型专训（2个知识点+10大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年浙教版七年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题3.1平方根重难点题型专训 (2个知识点+10大题型+2大拓展训练+自我检测) 题型预览 题型一求一个数的算术平方根 题型二利用算术平方根的非负性解题 题型三估计算术平方根的取值范围 题型四求算术平方根的整数部分和小数部分 题型五算术平方根的实际应用 题型六平方根概念理解 题型七与算术平方根有关的规律探索题 题型八求一个数的平方根 题型九平方根的应用 题型十已知一个数的平方根，求这个数 拓展训练一算数平方根的概念及应用 拓展训练二平方根的概念及应用 食知识梳理 知识点一：算术平方根和平方根的区别与联系 算术平方根 平方根 般地，如果一个正数x的平方等于 一般地，如果一个数X的平方等于a, 定义 a,即x2=a,那么这个正数x就叫做a 即x2=a,那么这个数x就叫做a的平 的算术平方根 方根（也叫做二次方根） 一个正数有两个平方根，它们互为相 区别 个数 一个正数只有一个算术平方根 反数：负数没有平方根 表示方法 正数a的算术平方根为a 正数a的平方根表示为±Va ā具有双重非负性，即 取值范围 a的平方根可正可负，也可为0 a≥0，a≥0 二者 联系 平方根包含了算术平方根，算术平方根是平方根中正的那个 联系 关于0 0的算术平方根和平方根都是0 【即时训练】 1.(24-25七年级下·贵州黔南·期中)用式子表示“9的平方根等于±3”正确的是() A.g=-3 B.9=3 C.9=±3 D.±9=±3 【答案】D 【分析】本题考查了平方根，如果一个数x的平方等于a,那么x叫做a的平方根；根据平方根的定义和表 示方法解答即可。 【详解】解：用式子表示“9的平方根等于±3”为±9=±3： 故选：D. 2.(24-25八年级上·江西抚州阶段练习)有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x=256时，输出的 y值是」 是无理数 输入x 取算术平方根 输出y 是有理数 【答案】V2 【分析】本题考查了算术平方根，以及程序框图，解题的关键在于正确理解程序框图.将x=256代入程序 框图进行运算求解，即可解题. 【详解】解：当x=256时， 则V256=16,16是有理数， V16=4,4是有理数， V4=2,2是有理数， 2是无理数， 所以输出的y值是2： 故答案为：2. 知识点二：开平方 1.定义：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数. 2.开平方和平方根的区别与联系 (1)开平方时，被开方数a必须是非负数 (2)平方根是数，是开平方的结果；开平方是一种运算，是求平方根的过程。 (3)平方和开平方互为逆运算，可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确. 【即时训练】 1.(24-25八年级上江苏泰州期末)若实数a、b满足方程x2=5,且a>b,下列说法正确的是() A.5的平方根是b B.5的平方根是a C.5的算术平方根是b D.5的算术平方根是a 【答案】D 【分析】根据题意，求出a=V5,b=-V5,再依次进行判断即可. 【详解】解：，a、b满足方程x2=5,且a>b, ∴a=V5,b=-V5, ∴5的平方根是±5，故A,B错误， 5的算术平方根是V5,故C错误，D正确. 故选：D. 【点睛】本题考查了平方根和算术平方根的定义，熟练地掌握以上知识是解决问题的关键， 2.（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期末)如图，实数α、b在数轴上的位置如图所示，化简 Ya-b)+Ya-bP=i. -1 0 1 【答案】-2a 【分析】由数轴可知a<0,b>0,于是可得a-b<0,将原式化为a-b+a-b,然后化简绝对值，去 括号，合并同类项，即可得出答案。 【详解】解：由数轴可知：a<0,b>0, .a-b<0, ..Va2-bl+Va-bP i a-b+a-b i-a-b+b-a i-a-b+b-a i-2a, 故答案为：-2a 【点睛】本题主要考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，求一个数的算术平方根，化简绝对值，整 式的加减运算，去括号，合并同类项等知识点，熟练掌握根据点在数轴的位置判断式子的正负及化简绝对 值是解题的关键。 第一部分 基础题型练 b经典例题 【经典例题一求一个数的算术平方根】 【例】(23-24七年级下-湖南湘西期末)设44=0 则下列结论正确的是() a=441 ◇ a=4412 a=-21 a=12 A. C, D 【答案】D 【分析】本题主要考查了算术平方根，掌握算术平方根是一个数的正平方根成为解题的关键， 根据算术平方根的定义求解即可， 【详解】解：14=12.V4=a ∴.a=12 故选D. 【例2】(23-24七年级上山东淄博期末)图中正方形的面积是20平方厘米，这个正方形中间最大圆的面 积是多少平方厘米？ 【答案】5π平方厘米 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根. 根据正方形的面积求出正方形的边长，可知正方形的边长即为圆的直径，进而根据圆的面积公式计算即可. 【详解】：正方形的面积是20平方厘米， 正方形的边长是V20=2W5 厘米， v5 这个正方形中间最大圆的半径为厘米， 这个正方形中间最大圆的面积是不×5=5厅（平方厘米）. 变式训练 17-n (25-26八年级上·河南开封·阶段练习)若的算术平方根是正整数，则n不可能是() A.1 B.8 C.12 D.13 【答案】C 【分析】根据题意可知17-n是完全平方数，由于比17小的完全平方数有16,9,4,1，再逐一求出n的 值即可得出答案 【详解】解：，17-n的算术平方根是正整数， ∴.17-n是完全平方数， ,比17小的完全平方数有16,9,4,1， ∴.当17-n=16时，n=1;当17-n=9时，n=8: 当17-n=4时，n=13；当17-n=1时，n=16: 综上所述，n的值不可能是12， 故选：C 【点睛】本题考查算术平方根，掌握算术平方根的意义和完全平方数是解题的关键。 2.(24-25七年级下河南洛阳·期末)亩是中国传统土地面积单位，具有悠久的历史，1亩≈666.67平方米. 根据下列表格中的数据，面积为1亩的正方形土地，估计它的边长所在范围是()米。 25.79 25.80 25.81 25.82 25.83 665.1241 665.6400 666.1561 666.6724 667.1889 A. 25.79~25.80B. 25.80~25.81 C.25.81~25.82 D.25.82~25.83 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根，通过比较表格中不同边长对应的面积与1亩的面积（≈666.67平方米）， 确定边长的范围即可. 【详解】解：由表可知，当x=25.81时，x2=666.1561, 当x=25.82时，x2=666.6724, 因666.1561<666.67<666.6724， 故边长应在25.81至25.82之间， 故选：C. 3.(2425八年级下广东东莞期末)计算： 【答案】月 【分析】原式利用算术平方根定义计算即可得到结果 此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根定义是解本题的关键. 9 故容案为： 4.(24-25七年级下·天津静海阶段练习)求下列各式的值. -6 6 【答案】(1)7； (2)7.2. 【分析】本题考查了算术平方根的计算. (1)根据算术平方根的性质计算即可求解： (2)根据算术平方根的性质计算即可求解。 【详解】(1)解： -6 8-5×196 =12× -0 14 (2)解： -0.7+4 5 =0.7+1.5+5 =7.2. 【经典例题二利用算术平方根的非负性解题】 【例1】(25-26八年级上吉林长春阶段练习)若Va-3+(b+4=0,则a+b) 的值是() A.-1 B.0 C.1 D.2025 【答案】A 【分析】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未 知数的值是解题的关键.根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可. 【详解】解Va-3+(b+42=0 ∴.a-3=0,b+4=0, .a=3,b=-4, (a+b0=3-4m=-1 故选：A. 【例2】(2526七年级下全国课后作业）已知7-3m+(5-=3m-7-Vm-4,求m-m 的值. 【答案】-1 【详解】原式整理，得7-3测+(5-)2+Vm-4=3m-7 根据非负数的性质，得3-7.0， .7-3m,0 .3m-7+(5-n)2+√m-4=3m-7 ∴.(5-n)2+√m-4=0 ∴.5-n=0,m-4=0 .m=4,n=5 (m-m）2025=(4-5)2025=-1 变式训练 1. (2025河北邯郸·三模)如果a是b的算术平方根，那么a一定是（) A.正数 B.0 C.非负数 D.非正数 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的定义，根据算术平方根的定义，非负数b的算术平方根a满足a≥0且 a2=b 因此“必为非负数，掌握算术平方根的定义是解题的关键. 【详解】解：a是b的算术平方根， :a=Vb≥0 .a必为非负数， 故选：C 2.(25-26八年级上·全国课后作业)下列各式中，无意义的是() A.√ B.-2 -22 D.√2 【答案】B 【分析】本题考查平方根有意义的条件，熟知平方根的被开方数必须非负，否则无意义.逐一分析各选项 被开方数的符号即可判断. 【详解】解：A.V5:被开方数为正数2，V5有意义，不符合题意： B.V 2:被开方数为负数2，在实数范围内无意义，符合题意： C.V-2):被开方数为(-2=4，是正数，有意义，不符合题意： D.V2=4 被开方数为正数，有意义，不符合题意： 故选：B。 3.(23-24七年级下广东汕头期末)已知：y=V-7+V7-x+9 则x=_,y 【答案】 > 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，由题意可得-7≥0,7-x≥0，从而得出x的值，代入x的值 即可得出y的值，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键. 【详解】解：由题意可得：x-7≥0,7-x≥0， ∴.x=7, 当x=7时，y=V0+V6+9=9 故答案为：7,9 4.（24-25八年级下全国课后作业)已知2r1+-2x+y=4,求y的值 【答案】2 【分析】本题考查二次根式，根据被开方数的非负性求出x的值，进而求出y的值，即可求解。 【详解】解：V2x-1≥0.V-2x≥0 .2x-1=1-2x=0, 1 X= 2y=4 x·y=×4=2 ∴ 2 【经典例题三估计算术平方根的取值范围】 【例1】(25-26八年级上·全国·随堂练习)估计面积等于11的正方形的边长a的值（结果精确到0.1）是 () A.3.2 B.3.3 C.3.4 D.3.5 【答案】B 【分析】本题主要考查了估计算术平方根的取值范围，根据10,89<11<1.225，可得3.3<<3.35，再 由正方形面积计算公式可得a=厅 据此可得答案. 【详解】解：：10.89<11<11.2225 33<而<3.35 :面积等于11的正方形的边长为a, ..a=vil .3.3<a<3.35, 故选：B 5πcm2 7cm 【例2】(25-26八年级上河南周口·阶段练习)如图1，有一个底面积为 ,高为的圆柱魔方， 现打算把它竖直放进一个如图2底面正方形边长为8cm,高为9cm的长方体盒子里. 图1 图2 (1)求这个魔方底面圆的半径： (2)魔方能否放进去，说明理由. 【答案】a)i5cnm 2)能，理由见解析 【分析】本题考查了算术平方根的估算，熟练掌握算术平方根是解题的关键， (1)设这个魔方底面圆的半径为心m,根据圆的面积公式列方程求解即可： (2)根据算术平方根的估算比较直径与正方形边长的大小关系，再比较圆柱的高和长方体的高，即可判 断得解。 【详解】(1)解：设这个魔方底面圆的半径为cm, 由题意，得πr2=15π， 2=15 r=5 六这个魔方底面圆的半径V5cm、 (2)解：能放进去.理由如下： 专题3.1平方根重难点题型专训 （2个知识点+10大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 求一个数的算术平方根 题型二 利用算术平方根的非负性解题 题型三 估计算术平方根的取值范围 题型四 求算术平方根的整数部分和小数部分 题型五 算术平方根的实际应用 题型六 平方根概念理解 题型七 与算术平方根有关的规律探索题 题型八 求一个数的平方根 题型九 平方根的应用 题型十 已知一个数的平方根，求这个数 拓展训练一 算数平方根的概念及应用 拓展训练二 平方根的概念及应用 知识点一：算术平方根和平方根的区别与联系 算术平方根 平方根 区别 定义 一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x²=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根 一般地，如果一个数χ的平方等于a,即x²=a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根） 个数 一个正数只有一个算术平方根 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根 表示方法 正数a的算术平方根为 正数a的平方根表示为 取值范围 具有双重非负性，即 ， a的平方根可正可负，也可为0 二者联系 联系 平方根包含了算术平方根，算术平方根是平方根中正的那个 关于0 0的算术平方根和平方根都是0 【即时训练】 1.（24-25七年级下·贵州黔南·期中）用式子表示“9的平方根等于”正确的是（   ） A． B． C． D． 2.（24-25八年级上·江西抚州·阶段练习）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的时，输出的值是 ． 知识点二：开平方 1.定义：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数. 2.开平方和平方根的区别与联系 （1)开平方时，被开方数a必须是非负数. （2)平方根是数，是开平方的结果；开平方是一种运算，是求平方根的过程. （3)平方和开平方互为逆运算，可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确. 【即时训练】 1.（24-25八年级上·江苏泰州·期末）若实数a、b满足方程x2＝5，且a＞b，下列说法正确的是（　 　） A．5的平方根是b B．5的平方根是a C．5的算术平方根是b D．5的算术平方根是a 2.（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简 ． 【经典例题一 求一个数的算术平方根】 【例1】（23-24七年级下·湖南湘西·期末）设则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（23-24七年级上·山东淄博·期末）图中正方形的面积是20平方厘米，这个正方形中间最大圆的面积是多少平方厘米？ 1．（25-26八年级上·河南开封·阶段练习）若的算术平方根是正整数，则n不可能是（    ） A．1 B．8 C．12 D．13 2．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）亩是中国传统土地面积单位，具有悠久的历史，1亩平方米．根据下列表格中的数据，面积为1亩的正方形土地，估计它的边长所在范围是（   ）米． A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·广东东莞·期末）计算： ． 4．（24-25七年级下·天津静海·阶段练习）求下列各式的值． (1)； (2)． 【经典例题二 利用算术平方根的非负性解题】 【例1】（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）若，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2025 【例2】（25-26七年级下·全国·课后作业）已知，求的值． 1．（2025·河北邯郸·三模）如果是的算术平方根，那么一定是（　　） A．正数 B． C．非负数 D．非正数 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列各式中，无意义的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·广东汕头·期末）已知：，则 ， ． 4．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知，求的值． 【经典例题三 估计算术平方根的取值范围】 【例1】（25-26八年级上·全国·随堂练习）估计面积等于11的正方形的边长a的值（结果精确到）是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·河南周口·阶段练习）如图1，有一个底面积为，高为的圆柱魔方，现打算把它竖直放进一个如图2底面正方形边长为，高为的长方体盒子里． (1)求这个魔方底面圆的半径； (2)魔方能否放进去，说明理由． 1．（23-24八年级上·河南南阳·期末）已知a、b表示表中两个相邻的数，且a＜＜b，则a＝（　　） x 17 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9 18 x2 289 292.41 295.84 299.29 302.76 306.25 309.76 313.29 316.84 320.41 324 A．17.4 B．17.5 C．17.6 D．17.7 2．（24-25七年级下·云南大理·期中）《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张圆形绣布，面积为51（注：取3），下列关于这张绣布半径的说法正确的是（   ） A．在之间 B．在之间 C．在之间 D．在之间 3．（25-26八年级上·河南周口·阶段练习）若的底AB为4，底边AB上的高为5，面积为S，则 4（填“<”、“=”或“>”）． 4．（2025·浙江·中考真题）【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程如图． 因为， 所以， 即． 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故． 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 【经典例题四 求算术平方根的整数部分和小数部分】 【例1】（24-25·北京·中考真题）已知．若为整数且，则的值为（    ） A．43 B．44 C．45 D．46 【例2】（23-24七年级·浙江杭州·期末）如图，顺次连结方格四条边的中点，得到一个正方形．设每一个小方格的边长为1个单位． （1）正方形的边长介于哪两个相邻的整数之间，请说明理由． （2）如果把正方形放到数轴上，使得边与数轴重合，且点A与数轴的原点重合，数轴的单位长度就是小方格的边长，请写出点B在数轴上所表示的数． 1．（23-24七年级上·浙江温州·期中）如图，一块面积为16平方米的正方形墙上镶嵌着一块正方形石雕，石雕四个角恰好分别在墙的四边的中点，请估计石雕边长的整数部分为（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25七年级下·湖南益阳·期末）若用[x]表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子（式子中的“＋”，“－”依次相间）的值为（    ） A．－5 B．5 C．－6 D．6 3．（25-26八年级上·全国·课前预习）任何一个小数，都可以改写成它的整数部分与它的小数部分的和的形式．例如：．若设的纯小数部分为a，则 ． 4．（25-26七年级下·广东广州·期中）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数．例如： ，，． (1)仿照以上方法计算：_________；_________． 如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，，这时候结果为1． (2)对290连续求根整数，多少次之后结果为1？ 【经典例题五 算术平方根的实际应用】 【例1】（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，一个瓶身部分（不包括瓶颈）是圆柱体的瓶子的容积为，瓶内装着水．当瓶子正放时，瓶内水的高度为；将瓶子倒放时，空余部分的高度为．则瓶子的底面半径为（   ） A．3cm B． C．2 D． 【例2】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图是小红购买的用来放照片的长方形相框，若这个相框的长是宽的2倍，且这个相框的面积是．求这个相框的长和宽． 1．（2024·广东·模拟预测）如图，将长和宽分别为2和1的长方形剪开，拼成一个正方形，下列说法正确的是（　　） A．面积不变，周长变小 B．面积不变，周长变大 C．面积变小，周长不变 D．面积变大，周长变小 2．（24-25七年级下·福建龙岩·期中）生活用电器中额定电压U（单位：），额定功率P (单位：)，电阻（单位：）之间有如下数量关系：，如图，该用电器的额定电压的标识已经模糊不清，若已知电阻，则它的额定电压应为（   ） A． B． C．4 D．16 3．（2025九年级·湖南·学业考试）物理研究表明：一个物体作自由落体运动，其下落时间与下落高度之间满足的关系式为，若，则下落时间 s． 4．（24-25七年级下·广东肇庆·阶段练习）在图中的网格中，阴影部分为正方形，小华同学想知道它的边长，你能帮他求出阴影部分的边长吗？（设每一个方格的边长为1个单位）． (1)步骤（一）：求出阴影部分的面积 (2)步骤（二）：设阴影部分的边长为x，请列出方程并求出x的值． 【经典例题六 平方根概念理解】 【例1】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）若24-25是正数a的平方根，是a的另一个平方根，则m的值为（    ） A． B． C．506 D． 【例2】（23-24八年级·全国·假期作业）已知10﹣3a的平方根是±1，a﹣b+2的算术平方根是2，求3a+b的值． 1．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）9的平方根是，用数学符号表示，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如果a的平方根是，那么等于（   ） A． B． C． D．1 3．（24-25七年级下·全国·假期作业）一个正数的两个平方根分别为a，b，则 ， ． 4．（23-24七年级下·广东湛江·期末）已知实数x，y，z满足：y=，z的平方根等于它本身，求的值． 【经典例题七 与算术平方根有关的规律探索题】 【例1】（24-25七年级下·河北邢台·期末）嘉淇发现，，根据嘉淇的发现解决问题：已知，，则的值是（    ） A．4.5 B．14.23 C．45 D．142.3 【例2】（23-24七年级上·全国·单元测试）研究下列算式，你会发现有什么规律？请用的式子表示出来．，，，… 1．（25-26八年级上·山西·阶段练习），，则的值为（　　） A．13.11 B． C．41.47 D． 2．（24-25七年级下·四川南充·阶段练习）观察表格并回答问题，已知，则（    ） … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … A．0.0077 B．0.077 C．0.0245 D．0.245 3．（25-26八年级上·上海·阶段练习）若，，则 ， ． 4．（25-26八年级上·湖南衡阳·阶段练习）通过观察后再回答问题． 200 (1)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决问题： 已知，，则______； (2)已知，，用含m的代数式表示n（请写出解答过程）． 【经典例题八 求一个数的平方根】 【例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）的平方根是（   ） A．5 B． C． D． 【例2】（2024七年级·全国·专题练习）求的平方根． 1．（25-26八年级上·全国·期中）下列结论中，正确的是（　　） A．1的平方根是1 B．的平方根是 C．的平方根是 D．0没有平方根 2．（23-24七年级下·西藏拉萨·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024七年级下·广东东莞·竞赛）若，则 ． 4．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段练习）根据下表回答问题． 4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5 16 16.81 17.64 18.49 19.36 20.25 21.16 22.09 23.04 24.01 25 (1)的平方根是_____． (2)物体自由下落的高度（单位：）与下落时间（单位：）之间的关系是．有一个物体从高的建筑物上自由落下，则该物体到达地面大概需要多长时间？（请结合表中数据精确到） 【经典例题九 平方根的应用】 【例1】（25-26八年级上·山西临汾·阶段练习）将一个棱长为的正方体实心铜块熔化，制成一个底面是正方形的长方体实心铜块．若长方体的高为，则底面正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025七年级下·全国·专题练习）如下图，将一个棱长为的正方体容器装满水，然后将水全部倒入一个长为、宽是高的2倍的长方体容器里．求长方体容器的高． 1．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）已知一个正方体的表面积是6a，那么它的棱长为（   ） A． B． C．6a D． 2．（2025·广东肇庆·二模）已知一个正方体的表面积为12，则这个正方体的棱长为（    ） A．1 B． C． D．3 3．（24-25七年级下·广东东莞·期中）一个正数的平方根是和，则a的值是 ． 4．（25-26八年级上·山西临汾·阶段练习）在驾车行驶过程中，若司机发现前方道路有异常，从踩下刹车到汽车最终停止，汽车行驶的距离叫制动距离．小智收集的实验数据：制动距离d（单位：m）与行驶速度v（单位：）满足关系式．某天，王叔叔开车在公路上行驶时，突然发现前方有异常情况，立即采取了刹车措施．经测量，王叔叔的刹车制动距离为．已知该段公路最高限速为，请你判断王叔叔是否超速，并说明理由． 【经典例题十 已知一个数的平方根，求这个数】 【例1】（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段练习）一个正数的两个不同的平方根是和，则a的值为（   ） A．1 B．3 C． D． 【例2】（25-26八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知：一个正数的两个不同平方根分别是和，求与的值． 1．（25-26七年级下·四川南充·期中）如果一个正数的平方根分别是与，那么与的值分别等于（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26七年级下·河北邢台·期中）已知正实数的两个不相同的平方根如下表所示，则的值为（    ） 正实数 平方根 A．7 B． C．3 D．49 3．（25-26八年级上·山西临汾·期末）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个正整数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如1，4，9这三个数，，，，其结果都是整数，所以1，4,9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6．若2，8，18三个数是“和谐组合”，则其中最小算术平方根与最大算术平方根的和是 ． 4．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如果一个正数a的两个平方根是和，求x和a的值． 【拓展训练一 算数平方根的概念及应用】 【例1】（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知，则的值是（   ） A．3.142 B．31.42 C．314.2 D． 【例2】（23-24七年级下·福建厦门·期末）如图，长方形ABCD长和宽的长度比为4：3，面积为612cm2．请问在此长方形内沿着AB边并排最多能裁出多少个面积为16π的圆？并计算说明． 1．（23-24七年级上·浙江温州·期中）十六世纪，意大利数学家塔尔塔利亚把大正方形分割成个小正方形．若图中所给的三个小正方形的面积分别为，和，则这个大正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·贵州遵义·期末）如下表，被开方数a和它的算术平方根的小数点位置移动符合一定的规律，根据规律可得m，n的值分别为（    ） a 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 625000 0.25 0.791 m n 25 79.1 250 791 A．， B．， C．， D．， 3．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）图1是两个完全相同的长方形，长为5，宽为3，将他们沿对角线（图中的虚线）剪开，再拼接成如图2所示的大正方形，中间留有的空隙是一个小正方形，设小正方形的边长为，大正方形的边长为，则 ， ． 4．（25-26七年级下·广西南宁·期末）阅读下面材料，解答问题： 【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“运用规律求一个正数的算术平方根”的实践活动． 【实践探究】同学们利用计算器计算出下表中的算术平方根，整理数据如下： … … … 0.25 0.791 2.5 7.91 25 79.1 250 … (1)根据上述探究，可以得到被开方数和它的算术平方根之间小数点的变化规律是：若被开方数的小数点向右或向左移动 ___________位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动 ___________位； (2)已知，请运用、上述规律直接写出各式的值：___________，___________． (3)你能根据的值说出的值是多少吗？请说明理由． 【拓展训练二 平方根的概念及应用】 【例1】（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）已知一个正数的两个平方根分别是和，则的值是（    ） A． B．5 C． D．25 【例2】（24-25七年级下·辽宁鞍山·阶段练习）已知正数x的平方根是a和． (1)当时，求a的值； (2)若，求x的值． 1．（24-25七年级下·河南开封·期中）下列说法中，错误的是（   ） A．5是25的算术平方根 B．的平方根是 C．0的平方根与算术平方根都是0 D．的平方根是 2．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列说法： ①是5的一个平方根； ②的算术平方根是－3； ③的平方根是； ④0的平方根是0． 其中错误说法的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24七年级下·浙江台州·期末）如图是两个重叠的正方形平移后形成的图案，其中阴影部分为正方形，阴影部分与空白部分面积相等．若，则阴影部分正方形的边长为 ． 4．（24-25七年级下·山东济宁·期中）为宣传某地旅游资源，促进旅游业发展，某中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色的包装封皮．A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮． 课题 某景点卡片及封皮制作 图示 相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为2∶1，面积为． 结果 判断 请通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中． 1．（23-24七年级下·浙江·期中）已知则m，n的关系式是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）长沙马王堆汉墓出土的文物中，有一幅彩绘帛画，其形状近似长方形．若帛画的长和宽分别为和，且满足，则帛画的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·山西太原·阶段练习）观察表格中的数据： 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中的数据可知（    ） A．在3.4～3.5之间 B．在之间 C．在35～36之间 D．在0.35～0.36之间 4．（23-24七年级下·湖北·期末）如果一个正方形的面积为，那么它的边长在哪两个相邻的整数之间（   ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 5．（2024七年级下·广东佛山·竞赛）下列各数中，没有平方根的是（   ） A．18 B． C． D． 6．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段练习）小明发现根据小明的发现，若，，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）的平方根是（    ） A．9 B． C． D． 8．（25-26八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）若正方形的面积与长为4，宽为3的长方形面积相等，则该正方形的边长为（   ） A．6 B． C．4 D． 9．（25-26八年级上·河南平顶山·阶段练习）若一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是（   ） A．1 B．3 C．9 D．25 10．（24-25·河北邯郸·三模）在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2﹣6，则较小的正方形面积为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 11．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，则 ． 12．（24-25八年级上·甘肃白银·期中）伞兵在高空跳离飞机往下降落，在打开降落伞前，下降的高度h（米）与下降的时间t（秒）的关系可以近似地表示为（不计空气阻力），一个伞兵在打开降落伞前的一段时间内下降了980米，这段时间大约有 （精确到1秒）． 13．（24-25七年级下·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）设的整数部分是，小数部分是，则的值为 ． 14．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）明明家的卫生间地面恰好由120块相同的正方形地砖铺成，若该地面的面积是，则每块正方形地砖的边长是 m． 15．（25-26八年级上·全国·期中）若一个正数的两个平方根是和，则的值为 ． 16．（25-26八年级上·上海·阶段练习）已知；；； 根据上述式子猜想规律，并求出 （n为正整数，结果用含有n的式子表示） 17． （23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）8块同样大小的正方形方砖的面积之和是1800，试求出一块方砖的周长． 18． （24-25八年级上·陕西咸阳·期中）有一块面积为300平方米的长方形场地，其长宽比为，小王同学想在场地中间搭建一个面积为200平方米的正方形舞台，通过计算说明小王的想法是否可行． 19． （24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期末）已知实数a满足，求a的值，并判断a是否为有理数． 20．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图1，把一个面积为大正方形纸片沿对角线裁成四个三角形，然后再把这四个三角形拼成如图2所示的两个相同的小正方形． (1)直接写出小正方形的边长为___________； (2)小明要在一个小正方形中沿边的方向裁出一个面积为的长方形，使它的长宽之比为，问能否成功，试说明理由． 21．（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）【阅读材料】喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个无序且互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“老根数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6都是整数，所以1，4，9这三个数称为“老根数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6． (1)请证明：2，18，8这三个数是“老根数”，并求出任意两个数乘积的最小算术平方根与最大算术平方根； (2)已知16，a，36，这三个数是“老根数”，且任意两个数乘积的算术平方根中，最大算术平方根是最小算术平方根的2倍，求a的值． 22．（24-25七年级下·海南三亚·阶段练习）先填写表，通过观察后再回答问题． (1)表格中______，______． (2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，，则______； ②已知，，用含m的代数式表示n，则______． 23．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）小明找了一张长方形纸片，纸片的长宽之比为，纸片面积为． (1)请你帮小明求出纸片的长和宽； (2)小明将这张纸片裁出一张面积为的正方形纸片，他能够裁出想要的正方形纸片吗？请说明理由． (3)小明想利用这张纸片裁出一张面积为的完整圆形纸片，他能够裁出想要的圆形纸片吗？请说明理由（取） 24．（25-26八年级上·全国·阶段练习）探究与解决：对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如： ， ． 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）：= ；= ； (2)当时，= ；当时，= ； (3)计算：． 学科网（北京）股份有限公司 $