专题3.5圆周角定理与圆内接四边形重难点题型专训（2个知识点+7大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年浙教版九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题3.5圆周角定理与圆内接四边形重难点题型专训 （2个知识点+7大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 圆周角的概念辨析及简单运算 题型二 圆周角定理 题型三 同弧或等弧所对的圆周角相等 题型四 半圆（直径）所对的圆周角是直角 题型五 90度的圆周角所对的弦是直径 题型六 已知圆内接四边形求角度 题型七 求四边形外接圆的直径 拓展训练一 圆周角的概念及应用 拓展训练二 圆与四边形的相关问题求解 知识点一：圆周角 圆周角的定义 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 圆周角定理 （1）圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半．如图，=． （2）同弧或等弧所对的圆周角相等．如图，⇒=． （3）直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 如上图，AB是直径⇒= =90°；=90°⇒AB是直径． 圆周角与圆心角的区别 圆心角 圆周角 区别 顶点在圆心 顶点在圆上 在同圆中，一条弧所对的圆心角是唯一的 在同圆中，一条弧所对的圆心角有无数个 联系 两边都与圆相交 【即时训练】 1．（2025·陕西榆林·二模）如图，是一张饭桌的桌面示意图，五位同学沿着饭桌周围就坐，其就坐的位置可分别看成是上的、、、、五点，同学与同学之间的连线恰好经过圆心，若．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了圆周角定理．首先连接，由圆周角定理即可得的度数、的度数，然后由圆周角定理即可得解． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．（24-25九年级上·江苏常州·期末）如图，将一块三角尺放置在量角器上，使角的顶点恰好落在量角器的圆弧上，一条直角边与斜边分别与圆弧交于点、，则所对的圆心角的大小为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．连接，根据圆周角定理解答即可． 【详解】解：如图，连接， 由圆周角定理得：， 则所对的圆心角的大小为， 故答案为：． 知识点二：圆内接四边形 圆内接四边形的定义 如果一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆． 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补； 拓展：圆内接四边形的每一个外角都等于它的内对角． 【即时训练】 1．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图，是一个圆形展厅，为了监控整个展厅，在其圆形边缘上安装了甲、乙两台监视器，若甲监视器的监控角度为，则乙监控器的监控角度至少为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆内接四边形的实际应用，根据题意，作出图形，利用圆内接四边形对角互补求解即可得到答案，读懂题意，将实际问题转化为圆内接四边形问题是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 为了监控整个展厅，在其圆形边缘上安装了甲、乙两台监视器，若甲监视器的监控角度为，则乙监控器的监控角度至少为， 故选：D． 2．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在的内接四边形中，，则 ° 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理和圆内接四边形．根据圆周角定理求得，再根据圆内接四边形的对角互补求得的度数即可． 【详解】解：∵在的内接四边形中，， ∴， ∴． 故答案为：． 【经典例题一 圆周角的概念辨析及简单运算】 【例1】（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，点在上，点在外，与交于点，，于点．下列角中，弧所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角的定义，掌握圆周角的定义是解题的关键 ．直接运用圆周角的定义进行判断即可. 【详解】解：弧所对的圆周角是：或， 故选：B． 【例2】（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，是圆的直径，是延长线上一点，点在圆上，且，的延长线交圆于点，若，求的度数. 【答案】 【分析】连接OD，利用半径相等和等腰三角形的性质求得∠EDO，从而利用三角形的外角的性质求解． 【详解】连接OD， ∵CD=OA=OD, ， ∴∠ODE=2， ∵OD=OE， ∴∠E=∠EDO=， ∴∠EOB=∠C+∠E=. 【点睛】此题考查了半径相等和等腰三角形的性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键. 1．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角的定义，顶点在圆周上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角，由此即可得出答案，熟练掌握圆周角的定义是解此题的关键． 【详解】解：由图可得：和符合圆周角的定义，顶点不在圆周上，的一边和圆不想交， 故图中的圆周角有和，共个， 故选：B． 2．（23-24九年级下·全国·课后作业）下列各图中，为圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了圆周角定义．顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，此题比较简单，解题的关键是理解圆周角的定义． 根据由圆周角的定义逐项判定即可． 【详解】解：A、的边不是与圆相交所得，所以不是圆周角，故此选项不符合题意； B、的边、都不是与圆相交所得，所以不是圆周角，故此选项不符合题意； C、的顶点没在圆上，所以不是圆周角，故此选项不符合题意； D、符合圆周角定义，是圆周角，故此选项符合题意； 故选：D． 3．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝18°， AE交⊙O于点B，且AB＝OD．则∠EOD＝ 【答案】54° 【分析】根据圆的基本性质，可得∠OEB=∠OBE，∠AOB=18°，从而得到∠OEB=∠OBE=∠A+∠AOB=36°，继而得到∠BOE=108°，即可求解． 【详解】解：∵CD是⊙O的直径， ∴OD=OE=OB， ∴∠OEB=∠OBE， ∵AB=OD， ∴AB=OB， ∴∠AOB=∠A， ∵∠A＝18°， ∴∠AOB=18°， ∴∠OEB=∠OBE=∠A+∠AOB=36°， ∴∠BOE=108°， ∴∠EOD=180°-∠BOE-∠AOB=54°． 故答案为：54° 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键． 4．（2025九年级下·江西南昌·学业考试）如图1、图2是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作弦AB的圆心角． (2)在图2中作弦AB的圆周角，使圆周角的顶点在格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了圆心角和圆周角，熟练掌握圆心角和圆周角的定义并准确作图是关键． （1）连接即可； （2）根据圆周角的定义和圆周角的顶点在格点上进行作图即可． 【详解】（1）如图，即为所求， （2）如图，即为所求， 【经典例题二 圆周角定理】 【例1】（24-25九年级上·河南三门峡·期末）如图，是的直径，是圆上的点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 【例2】（2023·广东佛山·模拟预测）如图，和是四边形的对角线，，，若，求． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理，解题的关键是得出B、C、D三点在以点A为圆心长为半径的圆上和掌握圆周角定理，属于中考常考题型． 根据，可知B、C、D三点在以点A为圆心长为半径的圆上，根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图，， 、C、D三点在以点A为圆心长为半径的圆上， ， ． 1．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，、、是上的三个点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角定理，根据在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半，可得：． 【详解】解：， ， ， ． 故选：B． 2．（2025九年级·陕西咸阳·专题练习）如图，点O是的外接圆的圆心，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．根据圆周角定理即可得到的度数． 【详解】解：点O是的外接圆的圆心， 是所对的圆周角，是所对的圆心角， ， ， 故选：C． 3．（2023九年级·湖南·专题练习）如图，是的直径，点C、D在上，，则 度． 【答案】120 【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”是解题的关键． 利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出，则． 【详解】解：∵ ，是弧所对的圆周角，是弧所对的圆心角， ∴， ∴． 故答案为：120． 4．（24-25九年级上·广东韶关·期末）如图，在中，是的中点，交于点，连接并延长，交于点，连接． (1)若，求的度数； (2)若，求的半径长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了垂径定理及其推论，圆周角定理，勾股定理的运用，掌握垂径定理及其推论，圆周角定理是关键． （1）根据垂径定理的推论得到，，根据圆周角定理得到，由直角三角形两锐角互余即可求解； （2）设的半径为，则，根据垂径定理得到，在中由勾股定理列式求解即可． 【详解】（1）解：∵是的中点，交于点， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设的半径为， ∵， ∴， 由（1）知， ∴， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得，， ∴的半径长为． 【经典例题三 同弧或等弧所对的圆周角相等】 【例1】（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，弦，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理． 求出，根据圆周角定理计算即可． 【详解】， ， ，是所对的圆周角， ， 故选：C． 【例2】（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，，是的直径，点在上，，求证：． 【答案】见解析 【分析】题目主要考查圆周角定理及平行线的判定，连接，根据题意得出，确定，即可证明． 【详解】证明：连接， ∵，   ∴， ∴， ∵ ∴, ∵ ∴， ∴， ∴． 1．（24-25九年级下·陕西宝鸡·阶段练习）如图，是的直径，，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据邻补角，得到，根据，得到与相等，解答即可． 本题考查了邻补角，圆周角定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：由， 得， 根据， 得， 故选：C． 2．（24-25九年级上·江西赣州·阶段练习）如图，正方形内接于，点P在劣弧上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质、圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．连接，先根据正方形的性质可得，再根据圆周角定理即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 由圆周角定理得：， 故选：C． 3．（2024·湖南·模拟预测）如图，直线，为的两条直径，点E 在上，连接，点 C 为的中点，若，则 °． 【答案】25 【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 连接，，根据等弧所对圆周角等于所对圆心角的一半，求得，再根据同弧所对圆周角相等求解即可． 【详解】解：连接，，如图， ∵点 C 为的中点， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故答案为：25． 4．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，是的直径，，，是的弦，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了圆周角定理，平行线的判定，连接，根据，得出，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出，根据平行线的判定得出答案即可． 【详解】证明：连接， ∵， ∴， ∴， ∴． 【经典例题四 半圆（直径）所对的圆周角是直角】 【例1】（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，是的直径，点，在同一半圆弧上，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，关键是由圆周角定理推出．连接，由圆周角定理得到，求出，即可得到的度数． 【详解】解：连接， 是的直径， ， ， ． 故选：． 【例2】（24-25九年级上·甘肃庆阳·期末）如图，是的直径，是的弦，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，先根据是的直径，求出，再根据，求出，然后求出结果即可． 【详解】解：是的直径， ， ∵， ∴， ． 1．（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）如图，为直径，点C、D在上，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查圆周角定理，欲求的度数，需先求出同弧所对的的度数；在中，已知的度数，即可求得，由此得解． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 2．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，是的直径，点是上一点，连接，，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理的推论，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键．根据圆周角定理的推论即可得出的度数，再根据直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：为的直径， ， ， ， ， 故选：B． 3．（2024·辽宁抚顺·二模）如图，是的直径，圆上的点D与点C，E分布在直线的两侧，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，则，又是的直径，则，然后用角度和差即可求解，掌握圆周角定理的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2025·江西南昌·模拟预测）如图，是的直径，直线与的割线垂直，垂足为，请仅用无刻度的直尺，按下列要求画图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)在图1中，过点作直线的平行线； (2)在图2中，过点作直线的垂线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了圆周角定理，以及平行线的判定，垂直的定义，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）连接，则直线即为直线，由圆周角定理可得，即，而，则； （2）连接，并延长交于点，过点的直线即为直线，由圆周角定理可得，那么，则，而，则． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求： （2）解：如图，直线即为所求： 【经典例题五 90度的圆周角所对的弦是直径】 【例1】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，利用三角尺可以确认图中的弦是圆的直径，其数学依据是（   ）    A．直径所对的圆周角是直角 B．的圆周角所对的弦是直径 C．直角三角形的两个锐角互余 D．两角互余的三角形是直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据的圆周角所对的弦是直径，即可解答． 【详解】解：利用三角尺可以确认图中的弦是圆的直径，其数学依据的圆周角所对的弦是直径， 故选：B． 【例2】（2024·吉林长春·三模）图①、图②、图③中每个小正方形的顶点称为格点，图中点A、B、C、D、E、F、G分别是圆上的格点，仅用无刻度直尺，分别确定图①、图②、图③中的圆心O（保留适当的作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了直角所对的弦是直径，根据圆周角定理确定两条直径，进而即可求解． 【详解】解：如图所示， 1．（2025·湖北十堰·三模）以为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交于点，如果点所对应的读数为，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接，根据题意可得：，然后根据圆周角定理可得：，再利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ∵ ∴点C在上， 由题意得：， ， ， 故选：A． 2．（2023·吉林长春·一模）如图，在中，，，以点O为圆心的量角器（半圆O）的直径和重合，零刻度落在点B处（即从点B处开始读数），点D是上一点，连结并延长交半圆于点P，若，则点P在量角器上显示的读数为（    ）度 A．64 B．26 C．52 D．32 【答案】C 【分析】连接，根据，可得点C在点O为圆心的圆上，从而得到，再求出的度数，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴点C在点O为圆心的圆上， ∴， ∵， ∴， ∴， 即点P在量角器上显示的读数为． 故选：C 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，根据题意得到点C在点O为圆心的圆上是解题的关键． 3．（2024·浙江宁波·一模）如图，已知圆内接矩形的其中两边长分别为6和9，则该圆的直径为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，连接，利用圆周角定理得到是圆的直径，然后根据边长利用勾股定理求得直径的长即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵矩形中，， ∴为的直径， 根据勾股定理得：． 故答案为：． 4．（24-25九年级·全国·专题练习）如图，是的直径，点、是上的点，且OD∥BC，分别与、相交于点、． (1)求证：点为的中点； (2)若，，求的长； (3)若的半径为2，，点是线段上任意一点，试求出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)DF=2 (3)的最小值为 【分析】（1）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明OF⊥AC，然后根据垂径定理得到点D为的中点； （2）证明OF为△ACB的中位线得到OF＝BC＝3，然后计算OD−OF即可； （3）作C点关于AB的对称点，D交AB于P，连接OC，如图，利用两点之间线段最短得到此时PC＋PD的值最小，再计算出∠DO＝120°，作OH⊥D于H，如图，然后根据等腰三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系求出DH，从而得到PC＋PD的最小值． 【详解】（1）证明：是的直径， ， ， ， ， ， 即点为的中点． （2）解：， ， 而， 为的中位线， ， ． （3）解：作点关于的对称点，交于，连接，如图， ， ， 此时的值最小， ， ， ， 点和点关于对称， ， ， 作于，则，， 在中，， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理． 【经典例题六 已知圆内接四边形求角度】 【例1】（25-26九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，点，，，在上，，的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆内接四边形的对角互补，据此即可求解． 【详解】解：∵四边形为圆内接四边形， ∴． 故选：C． 【例2】（23-24九年级上·吉林白山·期末）如图，在中，以为直径的分别交于，交于，连接，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题综合考查了圆内接四边形性质和等腰三角形的判定与性质，熟练运用相关知识是解答关键，根据等腰三角形性质得出，再根据圆内接四边形性质得出，证出即可证出结论． 【详解】证明：， ． ，， ， ， ． 1．（2025·安徽·模拟预测）如图，点A在上做圆周运动，已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．分点A在优弧上和点A在劣弧上求解即可． 【详解】解：当点A在优弧上做圆周运动时，如图， ∵， ∴． 当点A在劣弧上做圆周运动时，如图， ∵， ∴， ∴． 综上，则的最大值为， 故选：C． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）若四边形为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的内接四边形对角互补的性质，解题关键是理解概念，并能得出比例中的数据之间的关系．本题据此求解即可． 【详解】解：∵四边形为圆内接四边形， ∴ ∴与的比例份数之和等于与的比例份数之和， ∵， ∴A选项不正确，不符合题意； ∵， ∴B选项不正确，不符合题意； ∵， ∴C选项正确，符合题意； ∵， ∴D选项不正确，不符合题意； 故选： C． 3．（2024·浙江杭州·一模）已知：的内接四边形中，，则的度数是 ． 【答案】/20度 【分析】本题考查的是圆内接四边形的计算． 根据圆内接四边形对角互补和，列式计算即可． 【详解】解：根据圆内接四边形对角互补得：， ∵， ∴， 即． 故答案为：． 4．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，四边形内接于，，连接，若，求的度数．    【答案】120度 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，解题的关键是了解圆的有关定义及性质，难度不大． 首先利用等弧对等弦得到，然后判定是等边三角形，从而求得的度数，然后利用圆内接四边形的性质确定答案即可． 【详解】解：， ， ， 是等边三角形， ， ， ． 【经典例题七 求四边形外接圆的直径】 【例1】（2024九年级·安徽·专题练习）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（　　） A． B．2 C．2 D．4 【答案】D 【分析】连接OD，根据圆内接四边形的性质求出∠A=60°，得出△AOD是等边三角形，根据等边三角形的性质得出OD=OA=AD=2，求出直径AB即可． 【详解】解：连接OD， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠C=180°， ∵∠C=120°， ∴∠A=60°， ∵OD=OA， ∴△AOD是等边三角形， ∴AD=OD=OA， ∵AD=2， ∴OA=OD=OB=2， ∴AB=2+2=4， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质和等边三角形的性质和判定，能根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C=180°是解此题的关键． 【例2】（2024九年级上·江西南昌·期中）如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，求大正方形的面积． 【答案】64cm2 【分析】连接OA、OB、OE，证Rt△ADO≌Rt△BCO，推出OD=OC，设AD=a，则OD=a，由勾股定理求出OA=OB=OE=a，求出EF=FC=4cm，在△OFE中由勾股定理求出a，即可求出答案． 【详解】解：连接OA、OB、OE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=BC，∠ADO=∠BCO=90°， ∵在Rt△ADO和Rt△BCO中 ∵， ∴Rt△ADO≌Rt△BCO， ∴OD=OC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=DC， 设AD=acm，则OD=OC=DC=AD=acm， 在△AOD中，由勾股定理得：OA=OB=OE=acm， ∵小正方形EFCG的面积为16cm2， ∴EF=FC=4cm， 在△OFE中，由勾股定理得：(a)2=42+(a+4)2， 解得：a=-4（舍去），a=8， ∴正方形面积为 故答案为：64cm²． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，主要考查学生运用定理进行计算的能力，用的数学思想是方程思想． 1．（2024九年级上·辽宁大连·期末）若一个正方形的周长为24，则该正方形的边心距为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】运用正方形的性质，以及与外接圆的关系，可求出边心距． 【详解】解：∵一个正方形的周长为24， ∴正方形的边长为6， 由中心角只有四个可得出360°÷4=90°， ∴中心角是：90°， ∴边心距是边长的一半，为3， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质与正方形与它的外接圆的关系，题目比较典型． 2．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，圆是矩形的外接圆，若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确做出辅助线． 连接，首先根据题意得到点O是的中点，然后利用勾股定理求出，，然后利用阴影部分的面积代数求解即可． 【详解】如图所示，连接， ∵圆是矩形的外接圆， ∴点O是的中点 ∵，，， ∴ ∴ ∴阴影部分的面积． 故选：B． 3．（24-25九年级·福建·竞赛）如图，ABCD为圆O的内接四边形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，则圆O的面积为 ． 【答案】 【分析】连接，并延长交圆于点，连接，，可得，从而可得BD//CE，得到，所以BE=CD，由勾股定理可得AE的长，从而可求出圆O的面积． 【详解】解：如图，连接，并延长交圆于点，连接，． 则，． ∵， ∴//， ∴ ∴BE=CD， ∵ ∴． 在Rt△中，AB=10， 所以，由勾股定理得， ∴． 所以圆的面积为． 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角以及在同圆或等圆中平行弦所夹弧相等等知识，正确作出辅助线构造直角是解答本题的关键． 4．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在□ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC，A F⊥CD．    (1) 求证：A、E、C、F四点共圆； (2) 设线段 BD与(1)中的圆交于M、N．求证：BM = ND 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【分析】（1）只要证明A、E、C、F四点所构成的四边形的对角互补，则该四点共圆； （2）连接AC交BD于O，易得O是该圆的圆心，OM＝ON，所以可得BM＝ND． 【详解】（1）∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AEC=∠AFC=90°， ∴∠AEC+∠AFC=180°， ∴A、E、C、F四点共圆； （2）由（1）可知，圆的直径是AC， 连接AC交BD于O， ∵ABCD是平行四边形， ∴O为圆心，OB=OD， ∴OM=ON， ∴BM=ND.    【点睛】本题主要考查了四点共圆的判定及平行四边形的性质，难度不大，能够灵活运用所学知识进行推理是解题关键.． 【拓展训练一 圆周角的概念及应用】 【例1】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在中，直径，，是半圆上的两点，半径上存在点，满足．延长交圆于点，连结．若，则的长为（   ） A． B．6 C． D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，圆的对称性，连接，设，则，可证明，；由圆的对称性可得，此时点C与点E关于对称，则，可得，由圆周角定理可得，则；由勾股定理得，解方程求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接，设，则， ∵， ∴，； ∵是直径， ∴； 由圆的对称性可得，此时点C与点E关于对称， ∴， ∴， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或， ∵点P在上， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【例2】（24-25九年级下·江苏南京·期中）按下面的要求作图： 点P、A、B均在上，，使用无刻度的直尺，在图2中画一个直角三角形，使其一个顶点为A，且一个内角度数为30°． 【答案】见解答 【分析】本题主要考查了圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角相等以及直径所对的圆周角为直角成为解题的关键． 根据同弧所对的圆周角相等以及直径所对圆周角为直角作图即可． 【详解】解：如图，即为所求． 1．（2025·江苏无锡·二模）如图，为的直径，，为的中点，连接，点在射线上，连接，取的中点，过作交于，连接．下列结论：①；②；③；④为定值．其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据题意可得是的垂直平分线，是的垂直平分线，可得点、、以为圆心的圆上，根据圆周角定理可得，进而可判断①；连接，根据圆周角定理的推论并结合①的结论可得点和点在以点为圆心的同一个圆上，于是可判断②；连接，由①知点、、以为圆心的圆上，然后根据圆周角定理即可判断③；在直角中，利用锐角三角函数和③的结论可得，然后将进行整理变形即得结论，进而可判断④，于是可得答案． 【详解】解：连接 ∵是中点，， ∴垂直平分， ∴． ∵是半径，为的中点， ∴， ∵， ∴，是等腰直角三角形，， ∴，点、、以为圆心的圆上， ∴， ∴，①正确． 连接， ∵是半的直径， ∴ ∴点和点在以点为圆心的同一个圆上 ∴，故②正确． 连接， ∴①知点、、以为圆心的圆上， ∴，故③正确． 在直角中， ， ∴，，故④错误． 【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论、垂径定理的推论、等腰直角三角形的性质、四点共圆以及锐角三角函数等知识，涉及的知识点多，综合性强，熟练掌握上述知识、灵活应用圆周角定理和解直角三角形的知识是解题关键． ． 2．（2025·江西赣州·二模）阿基米德不仅是物理学家，还是伟大的数学家，阿基米德折弦定理就是圆中关于弦的一个定理，其条件大致如下：如图，，为的两条弦，点是的中点，过点作于点，根据以上条件，下列说法错误的是（    ） A． B．连接、，则 C． D．作射线交于点，则平分 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理、弦与弧的关系、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的三线合一等知识，熟练掌握圆周角定理是解题关键．先求出，再根据即可判断A正确；连接，，，先证出，再根据三角形的三边关系可得，由此即可判断B错误；在上截取点，使得，连接，，，，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，由此即可判断C正确；先求出，再根据圆周角定理可得，由此即可判断D正确． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∵， ∴，则选项A正确； 如图，连接，，， ∵， ∴， ∵， ∴，则选项B错误； 如图，在上截取点，使得，连接，，，， 由圆周角定理得：， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则选项C正确； 由题意，画出图形如下： ∵是的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分，则选项D正确； 故选：B． 3．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）定义：顶点在圆内，并且角的两边与圆相交的角叫圆内角．例如图中为圆内角，设的两边及其反向延长线所夹的弧、的度数分别为、，则的度数是 （用、表示） 【答案】 【分析】本题考查了圆内角的度数推导及圆周角定理的应用，解题的关键是通过作辅助线（如连接）将圆内角转化为两个圆周角的和，再利用“圆周角的度数等于它所对弧度数的一半”的性质推导圆内角度数． 连接，利用三角形外角性质（）将圆内角拆分为两个圆周角；其中是弧所对的圆周角，是弧所对的圆周角；根据圆周角与弧的关系，分别表示出两个圆周角的度数，再相加即可得到的度数． 【详解】解：连接，    ∵是的外角，   ∴；   ∵是弧所对的圆周角，弧的度数为，   ∴；   ∵是弧所对的圆周角，弧的度数为，   ∴；   ∴． 故答案为：． 4．（2024九年级下·江苏南京·竞赛）如图，中，是直径，弧弧弧，，，求． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质等知识，判定图中各角的度数是解题的关键．根据弧弧弧，是直径，可得，再证明为等边三角形得到，连接AE，则，，从而求出，从而得解． 【详解】解：∵弧弧弧，是直径， ∴弧，弧，弧所对的圆心角是60°， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 连接AE，则，， ∴， ∴，， ∴． 【拓展训练二 圆与四边形的相关问题求解】 【例1】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，两条互相垂直的射线，，相交于点O，以为斜边的直角三角板的两个锐角顶点分别在两条射线上，且，，，连接，则面积的最大值为（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】首先证明出点B，O，A，C四点在以为直径的圆上，设以为直径的圆的圆心为D，连接，过点D作于点H，证明出是等边三角形，得到，当所在直线经过点O时，有最大值，然后求出，进而求解即可． 【详解】∵， ∴点B，O，A，C四点在以为直径的圆上， 如图所示，设以为直径的圆的圆心为D，连接，过点D作于点H， ∵， ∴是等边三角形 ∴ ∴当所在直线经过点O时，面积有最大值 ∴ ∴ ∴ ∴面积的最大值． 故选：A． 【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是得到B，O，A，C四点在以为直径的圆上． 【例2】（2025·江西·二模）课本再现 （1）如图（1），四边形内接于，请你写出 与 之间的关系，并给出证明； 拓展应用 （2）如图（2），内接于． ，将 弧沿着边对折，与边交于点 D，连接．求证：． 【答案】（1）互补，见解析；（2）见解析 【分析】（1）连接，，根据圆周角定理得出，再根据，即可得出． （2）如图（2），作点 关于 的对称点 ，连接，，根据折叠的性质得在上， ，根据四点共圆得，则，证出，则．根据，，得出，则，即可证明． 【详解】解：（1）．     证明：如图（1），连接，， 则 ． ∵， ∴．     （2）证明：如图（2），作点 关于 的对称点 ，连接，， 则在上， ， ∵， ∴．     ∵， ∴， ∴．     又∵，， ∴， ∴，     ∴． 【点睛】该题考查了圆周角定理，四点共圆，轴对称的性质，等腰三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，正确作出辅助线． 1．（2023·河北石家庄·二模）有一题目：“已知和有相同的外心，，求．”两人的说法如下：甲：的度数是；乙：甲考虑的不全，的度数还应有一个不同的值．下列判断正确的是（    ） A．甲和乙都对 B．甲对乙错 C．甲错乙对 D．甲和乙都错 【答案】C 【分析】作出以及的外接圆，分类两种情况讨论：当点在的同一侧时和当点在的不同侧时两种情况，即可解答． 【详解】   解：画出图形，当点在的不同侧时， ， ； 当点在的同一侧时， ， 综上所述，的度数为或， 甲错乙对， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，正确的作出图形，考虑到两种情况是解题的关键． 2．（2025·重庆·模拟预测）如图，线段是的直径，线段是的弦，且，点是上一点，、交于点，，若，则一定等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由垂径定理得，则有，由圆内接四边形的性质四边形则，推出，得到，由等腰三角形的性质推出，再通过三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵直径， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 3．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，中弦，为圆上一点，过点作交其延长线于点，且，的直径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆的内接四边形性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．在圆上取一点，连接，连接，显然，由共圆，得到，则，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得，求得，则直径为． 【详解】解：在圆上取一点，连接，连接， ∵，， ∴， ∵共圆， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴在中，由勾股定理得：， ∵， ∴在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴直径为， 故答案为：． 4．（2025·浙江温州·一模）如图，在圆内接四边形中，延长交于点E，在上方作，使点F在线段上，且，连结． (1)若，B为的中点，求的度数． (2)连结，当时． ①求证：四边形是平行四边形． ②若，求证：． 【答案】(1) (2)①见解析；②见解析 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质、圆周角定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定和性质、圆周角定理是解题的关键． （1）根据弧、弦之间的关系和圆内接四边形的性质进行解答即可； （2）①证明，，即可证明结论； ②过点B作交圆于点P，连结，证明，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图， ∵B为的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴； （2）①如图， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． ②如图2，过点B作交圆于点P，连结， 则，， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴ 1．（24-25九年级上·全国·专题练习）下列说法错误的是（       ） A．确定一个圆需要知道圆心和半径 B．过圆心的每一条直线都是圆的对称轴 C．顶点在圆上的角是圆周角 D．任意三角形都有一个外接圆 【答案】C 【分析】根据确定一个圆的条件，圆的对称性，圆周角的定义以及三角形那个外接圆的定义，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、确定一个圆需要知道圆心和半径，正确，不符合题意； B、过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，正确，不符合题意； C、圆周角是指顶点在圆上，且两边和圆相交的角，不正确，符合题意； D、任意三角形都有一个外接圆，正确，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了确定一个圆的条件，圆的对称性，圆周角的定义以及三角形那个外接圆的定义，熟练掌握相关定义内容是解题的关键． 2．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，中两条弦与的延长线交于点与交于点，下列关系式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理的应用，三角形的一个外角的性质．根据三角形的一个外角的性质以及圆周角定理，即可判断和的关系． 【详解】解：， ， ， ， ， ，故选项B正确； 根据题意无法得到的度数， ∴无法得到的大小，故选项A错误； ，故选项D错误； 根据题意无法得到，的度数， ∴无法得到的大小，故选项C错误； 故选：B 3．（2025·河北·一模）如图，球员分别在点A，B，C处定点射门，表示球门，点A在圆上，点B在圆内，点C在圆外，若仅从射门的位置考虑，进球概率最大的是（   ） A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．都一样 【答案】B 【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，三角形外角的性质，延长交圆于D，设与圆交于E，连接，则，只需要比较出三个角的大小关系即可得到答案． 【详解】解；如图所示，延长交圆于D，设与圆交于E，连接，则， ∵， ∴， ∴仅从射门的位置考虑，进球概率最大的是B处， 故选：B． 4．（2023·甘肃天水·一模）如图：工人张师傅在修复处理一块残破圆形材料时用直角尺测得，，然后他就根据该残片直径裁出了大小相同的完好圆形材料，根据获得的数据算出该圆形材料的直径是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理和勾股定理等知识点．连接，根据，得出是该圆形材料的直径，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：连接， 由题意可得： 则是该圆形材料的直径， 由勾股定理得：， 故选：B． 5．（2025·陕西西安·模拟预测）筒车作为我国古代伟大的水利灌溉发明，在水利发展史上意义非凡．图②是从正面看到的一个筒车（图①）的形状示意图，筒车与水面分别交于点，，连接，，点在的延长线上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，邻补角等知识．连接，由邻补角的性质求得，利用圆周角定理求得，，据此求解作答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故选：A． 6．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）图是用制作的表盘模型，其中点，分别与整钟点“时”，“时”重合，要使，则点应位于（    ）    A．“时”处 B．“时”处 C．“时”处 D．“时”处 【答案】B 【分析】本题主要考查了的圆周角所对的弦是直径，熟练掌握的圆周角所对的弦是直径是解题的关键，根据的圆周角所对的弦是直径求解即可。 【详解】解：如图，连接，，    ∵， ∴是的直径，即 ∵点，与整钟点“时”重合， ∴点应位于“时”处， 故选： 7．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）平面上一点P到四边形ABCD的四个顶点的距离都相等，则点P（   ） A．在四边形的内部 B．在四边形的外部 C．在四边形的边上 D．以上三种情况都有可能 【答案】D 【分析】本题需要根据不同类型四边形的性质，分析到四个顶点距离相等的点的位置情况．本题主要考查了四边形的性质，熟练掌握不同类型四边形的特点是解题的关键． 【详解】解：如图，点在四边形内部； 如图，点在四边形边上； 如图，点在四边形外部； ∴ 点以上三种情况都有可能． 故选：． 8．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，弦所对的圆心角为，为直径，在半圆上滑动，是的中点，点是点对所作垂线的垂足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、、，先根据等腰三角形的性质得到，，由于根据圆周角定理得到点A和点M都在以为直径的圆上，所以． 【详解】解：如图，连接、、， ∵，而为的中点， ∴，平分，即， ∵， ∴点和点都在以为直径的圆上， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，也考查了圆周角定理和等腰三角形性质，熟练掌握各个定理是解题的关键． 9．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，弦与直径相交于点，点为的中点，连接，点在上，且，连接，交于点．若，则的角度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理，圆周角，三角形的内角和，对顶角相等，正确作出辅助线是解题的关键． 连接，先证明，，得到，，则，继而推导出，可得到，即可解答． 【详解】解：连接，如图 ∵为直径，点为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选C． 10．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知为的外接圆，．过作的垂线交延长线于点，则下列选项一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理及其推论，圆周角定理，连接，根据得到垂直平分，据此逐个判断即可． 【详解】解：连接交于，延长交于，连接， ∵， ∴，， ∴垂直平分， ∴，， 设， ∴， ∴， ∴当时成立，故A选项不一定成立； ∵过作的垂线交延长线于点， ∴，， ∴，，， ∴，故B选项一定成立； ∵所对圆周角，对圆周角，与大小不确定， ∴与大小不确定，即与大小不确定，故C选项不一定成立， ∵中， ∴， ∵中， ∴，故D选项一定不成立， 综上所述，选项一定成立的是B， 故选：B． 11．（2025·安徽淮北·三模）有一个圆形珠宝展柜，如图所示，商家在展柜的边缘A处安装了一个监控摄像头，它的监控角度为．若要全方位监控圆形展柜，则至少要安装 个监控摄像头． 【答案】4 【分析】此题考查了要圆周角定理．根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得该圆周角所对的弧所对的圆心角是，于是得到结论．解答时，注意把实际问题转化为数学问题，能够把数学和生活联系起来是解题关键． 【详解】解：， 所对弧所对的圆心角度数是， ， 至少要安装4个监控摄像头． 故答案为：． 12．（24-25·山东日照·中考真题）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB=12cm，BC=5cm，则圆形镜面的半径为 ．    【答案】 【分析】连接AC，根据∠ABC=90°得出AC是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出AC即可． 【详解】解：连接AC，    ∵∠ABC=90°，且∠ABC是圆周角， ∴AC是圆形镜面的直径， 由勾股定理得：， 所以圆形镜面的半径为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系和勾股定理等知识点，能根据圆周角定理得出AC是圆形镜面的直径是解此题的关键． 13．（24-25九年级下·安徽池州·期中）如图，一副三角板中的等腰直角三角板放在量角器上，是量角器所在圆的直径，点是圆心，点分别是直角边，斜边与量角器的交点．若直径，点分别对应和刻度线，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、等边三角形的判定与性质性质、直径所对的圆周角是直角等知识，熟练掌握勾股定理和圆周角定理是解题的关键．连接、，由题意可知，，，进而证明是等边三角形，得，再由圆周角定理得，然后由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，连接、， 由题意可知，，， 是等边三角形， ， 是量角器所在圆的直径， ， ， 故答案为：． 14．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，上三点B、C、D将圆三等分，弦，若，则 ． 【答案】 【分析】连接，作于点，作垂直延长线于点，设，，，在中，则，在中，则，最后可求解. 【详解】解：如图，连接，作于点，作垂直于延长线于点， ∵上三点B、C、D将圆三等分 ∴， ∵， 设，， 在中，， ∴ ∴， ∴ 在中，则 同理在中，则 ∴ 解得：或（不合题意，舍去） ∴ 故答案为：. 【点睛】本题考查了圆的基本性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是与圆有关的综合题，难度适中，解答的关键是认真审题，找到相关联的信息，结合图形，掌握相关知识的运用是解答的关键． 15．（2024九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，P为半径OD上一动点，∠ACB=140°，若∠APB=β，则β的取值范围是 . 【答案】40°≤β≤80° 【分析】连接AO，BO，AD，BD，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理，求得∠ADB=40°，∠AOB=80°，进而即可求解． 【详解】解：连接AO，BO，AD，BD， ∵四边形ACBD是圆的内接四边形， ∴∠ADB=180°-∠ACB=180°-140°=40°，∠AOB=2∠ADB=80°， ∵∠APB=β， ∴β的取值范围是：40°≤β≤80°， 故答案为：40°≤β≤80°． 【点睛】本题主要考查圆周角定理和圆的内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是关键． 16．（2024九年级上·广东广州·期末）如图，线段的两个端点分别在x轴和直线l上滑动（均不与原点O重合），，，作轴，，交点为P，设P的坐标为，则 ． 【答案】 【分析】首先根据题意得到四点共圆，且为直径，然后设圆心为D，分别连接，，过点D作于点E，，然后根据勾股定理列方程求出，进而可得出的值． 【详解】∵ ∴ ∴四点共圆，且为直径， 如图所示，设圆心为D，分别连接，，过点D作于点E， 则 ∵ ∵， ∴ 在中，由勾股定理得，， 即，解得 ∴， ∵点P的坐标为， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了勾股定理，圆内接四边形，垂径定理，30°角直角三角形的性质等知识，解题的关键是根据题意正确作出辅助线． 17．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，，相交于，两点，连接，经过点的直线与交于点，与交于点；经过点的直线与交于点，与交于点．试说明与的位置关系．    【答案】，理由见解析 【分析】根据圆内接四边形的性质证明即得结论． 【详解】，理由： ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆内角四边形的性质和平行线的判定，熟知圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 18．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，直径弦，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据等边对等角求出的度数，再根据垂直得出，最后根据圆周角定理即可得解． 【详解】解：，， ， ， ， ． 19．（24-25九年级上·河南南阳·期末）如图，在中，弦、交于点，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、弧、弦、圆心角的关系，根据可证，从而可证，根据圆周角定理可证，利用可证，根据全等三角形的性质可证结论成立． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ． 20．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，为的直径，D是弦延长线上一点，，的延长线交于点E，连接． (1)求证：． (2)若的度数为，则的度数为________． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理和线段垂直平分线的性质，灵活运用所学知识是解题关键． （1）如图：连接，先证明，再根据等腰三角形的性质以及等量代换即可证明结论； （2）连接，根据的度数为可得到，根据且即可解答． 【详解】（1）证明：如图：连接， 是直径， ， 又， ， ， ， ； （2）解：连接， 的度数为， ， 且， ． 21．（24-25·浙江·二模）如图，在菱形ABCD中，，P为AC，BD的交点，经过A，B，P三点． (1)求证：AB为的直径． (2)请用无刻度的直尺在圆上找一点Q，使得BP=PQ（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据菱形的性质可得∠APB=90°，再由90°角所对的弦为圆的直径，即可求证； （2）延长DA交于点Q，连接PQ，则PQ即为所求，理由：连接BQ，根据AB为的直径，可得∠AQB=90°，从而得到∠BDQ+∠PBQ=90°，再由菱形的性质可得∠ABP+∠PBQ=90°，再由圆周角定理，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，即∠APB=90°， ∵经过A，B，P三点． ∴AB为的直径； （2）解：如图，延长DA交于点Q，即为所求， 理由：连接BQ， ∵AB为的直径， ∴∠AQB=90°， ∴∠BDQ+∠PBQ=90°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AB=AD， ∴∠APB=90°，∠BDQ=∠ABP， ∴∠ABP+∠PBQ=90°， ∵∠ABP+∠BAP=90°，   ∴∠BAP=∠PBQ， ∵∠BAP=∠BQP， ∴∠PBQ =∠BQP， ∴BP=PQ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，菱形的性质，熟练掌握圆周角定理，菱形的性质是解题的关键． 22．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）【推理证明】 （1）如图①，在四边形中，，求证：、、、四点共圆．小明认为：连接，取的中点，连接、即可证明，请你按照小明思路完成证明过程． 【尝试应用】 （2）如图②，在正方形中，点是边上任意一点，连接，交于点，请利用无刻度的直尺与圆规在线段上确定点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【拓展延伸】 （3）在（2）的基础上，若，，直接写出线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）． 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半证明，即可得出结论； （2）以为直径作圆，交于点P，由直径所对圆周角等于，即可得出； （3）由正方形性质和勾股定理求出，再证明得是等腰直角三角形，由此求出． 【详解】（1）证明：连接，取的中点，连接、， ∵， ∴， ∴、、、四点在以点O为圆心，以为半径的圆上． （2）如图，； （3）∵在正方形中，，， ∴，，， ， ∴， ∵， ∴， 又∵是直角三角形，， ∴， ∴ 又∵， ∴即 ∴． 【点睛】本题考查了证明四点共圆以及圆周角定理，正方形性质、直角三角形性质、勾股定理等知识，添加合适的辅助线是解题的关键． 23．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在半径为5的中，是的直径，点B，D是直径右侧半圆弧上的两点（点B，D不与点A，Q重合）．连接，延长交于点L，． (1)当时，求的长； (2)当时，求的周长； (3)设，求y关于x的函数解析式并写出x的取值范围． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握圆的相关概念及应用是本题的解题关键． （1）当时，由垂径定理求出，即可求出； （2）当时，连接，交于E，作于F，根据等面积求出，再求出，根据勾股定理求出，即可求出的周长； （3）作于M，由同高的面积之比等于底之比得，，利用勾股定理表示出相关线段即可解答． 【详解】（1）解：如图，当时， ∵， ∴， 在中， ∴， ∴； （2）解：如图，当时，连接，交于E，作于F， ∵， ∴， 在中， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， 由等面积得，即， ∴， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴的周长为； （3）解：如图，作于M， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点C为交点， ∴点D在上（不与A重合）， ∴， ∴． 24．（2025·浙江杭州·模拟预测）内接于，为的直径，点在上，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长至点，使，连接，延长交于点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，于点，，当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接．根据是直径，得出．则．结合，得出．根据，得出，则．即可证明． （2）连接、，根据，，得出．则．根据，得出．根据，得出．则．证出． （3）连接、、、，与交于点．根据，得出．根据是直径，得出．则．结合，得出．证出．再证明为直角三角形，．根据，得出，设，证明．求出．设，表示出，，在中，勾股定理列方程即可求解． 【详解】（1）证明：连接． ∵是直径， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． ∴． （2）证明：连接、， ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． （3）解：连接、、、，与交于点． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵是直径， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴为直角三角形，． ∵， ∴， 设， ∵， ∴． ∴，，． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 设， ∴，， 在中，∵， ∴． ∴，（舍）． ∴． 【点睛】该题是圆综合题，考查了圆周角定理，勾股定理，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.5圆周角定理与圆内接四边形重难点题型专训 （2个知识点+7大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 圆周角的概念辨析及简单运算 题型二 圆周角定理 题型三 同弧或等弧所对的圆周角相等 题型四 半圆（直径）所对的圆周角是直角 题型五 90度的圆周角所对的弦是直径 题型六 已知圆内接四边形求角度 题型七 求四边形外接圆的直径 拓展训练一 圆周角的概念及应用 拓展训练二 圆与四边形的相关问题求解 知识点一：圆周角 圆周角的定义 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 圆周角定理 （1）圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半．如图，=． （2）同弧或等弧所对的圆周角相等．如图，⇒=． （3）直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 如上图，AB是直径⇒= =90°；=90°⇒AB是直径． 圆周角与圆心角的区别 圆心角 圆周角 区别 顶点在圆心 顶点在圆上 在同圆中，一条弧所对的圆心角是唯一的 在同圆中，一条弧所对的圆心角有无数个 联系 两边都与圆相交 【即时训练】 1．（2025·陕西榆林·二模）如图，是一张饭桌的桌面示意图，五位同学沿着饭桌周围就坐，其就坐的位置可分别看成是上的、、、、五点，同学与同学之间的连线恰好经过圆心，若．则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏常州·期末）如图，将一块三角尺放置在量角器上，使角的顶点恰好落在量角器的圆弧上，一条直角边与斜边分别与圆弧交于点、，则所对的圆心角的大小为 ． 知识点二：圆内接四边形 圆内接四边形的定义 如果一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆． 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补； 拓展：圆内接四边形的每一个外角都等于它的内对角． 【即时训练】 1．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图，是一个圆形展厅，为了监控整个展厅，在其圆形边缘上安装了甲、乙两台监视器，若甲监视器的监控角度为，则乙监控器的监控角度至少为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在的内接四边形中，，则 ° 【经典例题一 圆周角的概念辨析及简单运算】 【例1】（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，点在上，点在外，与交于点，，于点．下列角中，弧所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，是圆的直径，是延长线上一点，点在圆上，且，的延长线交圆于点，若，求的度数. 1．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24九年级下·全国·课后作业）下列各图中，为圆周角的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝18°， AE交⊙O于点B，且AB＝OD．则∠EOD＝ 4．（2025九年级下·江西南昌·学业考试）如图1、图2是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作弦AB的圆心角． (2)在图2中作弦AB的圆周角，使圆周角的顶点在格点上． 【经典例题二 圆周角定理】 【例1】（24-25九年级上·河南三门峡·期末）如图，是的直径，是圆上的点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2023·广东佛山·模拟预测）如图，和是四边形的对角线，，，若，求． 1．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，、、是上的三个点，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025九年级·陕西咸阳·专题练习）如图，点O是的外接圆的圆心，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2023九年级·湖南·专题练习）如图，是的直径，点C、D在上，，则 度． 4．（24-25九年级上·广东韶关·期末）如图，在中，是的中点，交于点，连接并延长，交于点，连接． (1)若，求的度数； (2)若，求的半径长． 【经典例题三 同弧或等弧所对的圆周角相等】 【例1】（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，弦，若，则（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，，是的直径，点在上，，求证：． 1．（24-25九年级下·陕西宝鸡·阶段练习）如图，是的直径，，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江西赣州·阶段练习）如图，正方形内接于，点P在劣弧上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·湖南·模拟预测）如图，直线，为的两条直径，点E 在上，连接，点 C 为的中点，若，则 °． 4．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，是的直径，，，是的弦，且，求证：． 【经典例题四 半圆（直径）所对的圆周角是直角】 【例1】（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，是的直径，点，在同一半圆弧上，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·甘肃庆阳·期末）如图，是的直径，是的弦，若，求的度数． 1．（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）如图，为直径，点C、D在上，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，是的直径，点是上一点，连接，，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 3．（2024·辽宁抚顺·二模）如图，是的直径，圆上的点D与点C，E分布在直线的两侧，，则 ． 4．（2025·江西南昌·模拟预测）如图，是的直径，直线与的割线垂直，垂足为，请仅用无刻度的直尺，按下列要求画图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)在图1中，过点作直线的平行线； (2)在图2中，过点作直线的垂线． 【经典例题五 90度的圆周角所对的弦是直径】 【例1】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，利用三角尺可以确认图中的弦是圆的直径，其数学依据是（   ）    A．直径所对的圆周角是直角 B．的圆周角所对的弦是直径 C．直角三角形的两个锐角互余 D．两角互余的三角形是直角三角形 【例2】（2024·吉林长春·三模）图①、图②、图③中每个小正方形的顶点称为格点，图中点A、B、C、D、E、F、G分别是圆上的格点，仅用无刻度直尺，分别确定图①、图②、图③中的圆心O（保留适当的作图痕迹） 1．（2025·湖北十堰·三模）以为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交于点，如果点所对应的读数为，那么（   ） A． B． C． D． 2．（2023·吉林长春·一模）如图，在中，，，以点O为圆心的量角器（半圆O）的直径和重合，零刻度落在点B处（即从点B处开始读数），点D是上一点，连结并延长交半圆于点P，若，则点P在量角器上显示的读数为（    ）度 A．64 B．26 C．52 D．32 3．（2024·浙江宁波·一模）如图，已知圆内接矩形的其中两边长分别为6和9，则该圆的直径为 ． 4．（24-25九年级·全国·专题练习）如图，是的直径，点、是上的点，且OD∥BC，分别与、相交于点、． (1)求证：点为的中点； (2)若，，求的长； (3)若的半径为2，，点是线段上任意一点，试求出的最小值． 【经典例题六 已知圆内接四边形求角度】 【例1】（25-26九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，点，，，在上，，的度数是（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24九年级上·吉林白山·期末）如图，在中，以为直径的分别交于，交于，连接，． 求证：． 1．（2025·安徽·模拟预测）如图，点A在上做圆周运动，已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）若四边形为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立（　　） A． B． C． D． 3．（2024·浙江杭州·一模）已知：的内接四边形中，，则的度数是 ． 4．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，四边形内接于，，连接，若，求的度数．    【经典例题七 求四边形外接圆的直径】 【例1】（2024九年级·安徽·专题练习）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（　　） A． B．2 C．2 D．4 【例2】（2024九年级上·江西南昌·期中）如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，求大正方形的面积． 1．（2024九年级上·辽宁大连·期末）若一个正方形的周长为24，则该正方形的边心距为（    ） A． B．3 C． D． 2．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，圆是矩形的外接圆，若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级·福建·竞赛）如图，ABCD为圆O的内接四边形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，则圆O的面积为 ． 4．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在□ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC，A F⊥CD．    (1) 求证：A、E、C、F四点共圆； (2) 设线段 BD与(1)中的圆交于M、N．求证：BM = ND 【拓展训练一 圆周角的概念及应用】 【例1】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在中，直径，，是半圆上的两点，半径上存在点，满足．延长交圆于点，连结．若，则的长为（   ） A． B．6 C． D．8 【例2】（24-25九年级下·江苏南京·期中）按下面的要求作图： 点P、A、B均在上，，使用无刻度的直尺，在图2中画一个直角三角形，使其一个顶点为A，且一个内角度数为30°． 1．（2025·江苏无锡·二模）如图，为的直径，，为的中点，连接，点在射线上，连接，取的中点，过作交于，连接．下列结论：①；②；③；④为定值．其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2025·江西赣州·二模）阿基米德不仅是物理学家，还是伟大的数学家，阿基米德折弦定理就是圆中关于弦的一个定理，其条件大致如下：如图，，为的两条弦，点是的中点，过点作于点，根据以上条件，下列说法错误的是（    ） A． B．连接、，则 C． D．作射线交于点，则平分 3．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）定义：顶点在圆内，并且角的两边与圆相交的角叫圆内角．例如图中为圆内角，设的两边及其反向延长线所夹的弧、的度数分别为、，则的度数是 （用、表示） 4．（2024九年级下·江苏南京·竞赛）如图，中，是直径，弧弧弧，，，求． 【拓展训练二 圆与四边形的相关问题求解】 【例1】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，两条互相垂直的射线，，相交于点O，以为斜边的直角三角板的两个锐角顶点分别在两条射线上，且，，，连接，则面积的最大值为（    ） A． B． C．3 D．2 【例2】（2025·江西·二模）课本再现 （1）如图（1），四边形内接于，请你写出 与 之间的关系，并给出证明； 拓展应用 （2）如图（2），内接于． ，将 弧沿着边对折，与边交于点 D，连接．求证：． 1．（2023·河北石家庄·二模）有一题目：“已知和有相同的外心，，求．”两人的说法如下：甲：的度数是；乙：甲考虑的不全，的度数还应有一个不同的值．下列判断正确的是（    ） A．甲和乙都对 B．甲对乙错 C．甲错乙对 D．甲和乙都错 2．（2025·重庆·模拟预测）如图，线段是的直径，线段是的弦，且，点是上一点，、交于点，，若，则一定等于（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，中弦，为圆上一点，过点作交其延长线于点，且，的直径为 ． 4．（2025·浙江温州·一模）如图，在圆内接四边形中，延长交于点E，在上方作，使点F在线段上，且，连结． (1)若，B为的中点，求的度数． (2)连结，当时． ①求证：四边形是平行四边形． ②若，求证：． 1．（24-25九年级上·全国·专题练习）下列说法错误的是（       ） A．确定一个圆需要知道圆心和半径 B．过圆心的每一条直线都是圆的对称轴 C．顶点在圆上的角是圆周角 D．任意三角形都有一个外接圆 2．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，中两条弦与的延长线交于点与交于点，下列关系式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 3．（2025·河北·一模）如图，球员分别在点A，B，C处定点射门，表示球门，点A在圆上，点B在圆内，点C在圆外，若仅从射门的位置考虑，进球概率最大的是（   ） A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．都一样 4．（2023·甘肃天水·一模）如图：工人张师傅在修复处理一块残破圆形材料时用直角尺测得，，然后他就根据该残片直径裁出了大小相同的完好圆形材料，根据获得的数据算出该圆形材料的直径是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·陕西西安·模拟预测）筒车作为我国古代伟大的水利灌溉发明，在水利发展史上意义非凡．图②是从正面看到的一个筒车（图①）的形状示意图，筒车与水面分别交于点，，连接，，点在的延长线上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）图是用制作的表盘模型，其中点，分别与整钟点“时”，“时”重合，要使，则点应位于（    ）    A．“时”处 B．“时”处 C．“时”处 D．“时”处 7．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）平面上一点P到四边形ABCD的四个顶点的距离都相等，则点P（   ） A．在四边形的内部 B．在四边形的外部 C．在四边形的边上 D．以上三种情况都有可能 8．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，弦所对的圆心角为，为直径，在半圆上滑动，是的中点，点是点对所作垂线的垂足，则（    ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，弦与直径相交于点，点为的中点，连接，点在上，且，连接，交于点．若，则的角度为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知为的外接圆，．过作的垂线交延长线于点，则下列选项一定成立的是（    ） A． B． C． D． 11．（2025·安徽淮北·三模）有一个圆形珠宝展柜，如图所示，商家在展柜的边缘A处安装了一个监控摄像头，它的监控角度为．若要全方位监控圆形展柜，则至少要安装 个监控摄像头． 12．（24-25·山东日照·中考真题）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB=12cm，BC=5cm，则圆形镜面的半径为 ．    13．（24-25九年级下·安徽池州·期中）如图，一副三角板中的等腰直角三角板放在量角器上，是量角器所在圆的直径，点是圆心，点分别是直角边，斜边与量角器的交点．若直径，点分别对应和刻度线，则的长度为 ． 14．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，上三点B、C、D将圆三等分，弦，若，则 ． 15．（2024九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，P为半径OD上一动点，∠ACB=140°，若∠APB=β，则β的取值范围是 . 16．（2024九年级上·广东广州·期末）如图，线段的两个端点分别在x轴和直线l上滑动（均不与原点O重合），，，作轴，，交点为P，设P的坐标为，则 ． 17．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，，相交于，两点，连接，经过点的直线与交于点，与交于点；经过点的直线与交于点，与交于点．试说明与的位置关系．    18．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，直径弦，若，求的度数． 19．（24-25九年级上·河南南阳·期末）如图，在中，弦、交于点，且，求证：． 20．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，为的直径，D是弦延长线上一点，，的延长线交于点E，连接． (1)求证：． (2)若的度数为，则的度数为________． 21．（24-25·浙江·二模）如图，在菱形ABCD中，，P为AC，BD的交点，经过A，B，P三点． (1)求证：AB为的直径． (2)请用无刻度的直尺在圆上找一点Q，使得BP=PQ（不写作法，保留作图痕迹）． 22．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）【推理证明】 （1）如图①，在四边形中，，求证：、、、四点共圆．小明认为：连接，取的中点，连接、即可证明，请你按照小明思路完成证明过程． 【尝试应用】 （2）如图②，在正方形中，点是边上任意一点，连接，交于点，请利用无刻度的直尺与圆规在线段上确定点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【拓展延伸】 （3）在（2）的基础上，若，，直接写出线段的长． 23．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在半径为5的中，是的直径，点B，D是直径右侧半圆弧上的两点（点B，D不与点A，Q重合）．连接，延长交于点L，． (1)当时，求的长； (2)当时，求的周长； (3)设，求y关于x的函数解析式并写出x的取值范围． 24．（2025·浙江杭州·模拟预测）内接于，为的直径，点在上，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长至点，使，连接，延长交于点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，于点，，当，时，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $