第5卷 圆心角、圆周角专题 2025-2026学年 浙教版九年级上册数学 尖子生培优

2025年浙教版九年级上尖子生培优第5卷 圆心角、圆周角专题 一、选择题 1．如图，AC是⊙O的直径，点B、D在⊙O上，那么图中（不再添辅助线）等于∠BOC的角有（　　） （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个 （第1题图） ( （ )（第2题图） （第3题图） 2．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，B是AC的中点，M是半径OD上任意一点．若∠BDC＝40°，则∠AMB的度数不可能是（　　） ( （ )（A）45° （B）60° （C）75° （D）85° ( （ )3．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝110°，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在AB上的点D处，折痕交OA于点C，则AD的度数为（　　） （A）40° （B）50° （C）60° （D）70° 4．如图，⊙O中，AB、AC是弦，O在∠BAC的内部，∠ABO＝α，∠ACO＝β，∠BOC＝θ，则下列关系式中，正确的是（　　） （A）θ＝α+β （B）θ＝2α+2β （C）θ+α+β＝180° （D）θ+α+β＝360° （第4题图） （第5题图） 5．如图，E，B，A，F四点共线，点D是正三角形ABC的边AC的中点，点P是直线AB上异于A，B的一个动点，且满足∠CPD＝30°，则（　　） （A）点P一定在射线BE上 （B）点P可以在射线AF上，也可以在线段AB上 （C）点P一定在线段AB上 （D）点P可以在射线BE上，也可以在线段 二．填空题 ( （ ) ( （ )6．如图，AB是⊙O的直径，点C是半径OA的中点，过点C作DE⊥AB，交⊙O于D，E两点，过点D作直径DF，连结AF，则∠DFA＝　 　． 7．如图，已知⊙O的半径是R．C，D是直径AB同侧圆周上的两点，AC的度数为96°，BD的度数为36°，动点P在AB上，则PC+PD的最小值为　 　． 8．已知，AB是⊙O直径，半径OC⊥AB，点D在⊙O上，且点D与点C在直径AB的两侧，连结CD，BD．若∠OCD＝22°，则∠ABD的度数是　 　． 9．如图，AB是⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝45°，给出下列五个结论：①∠EBC＝22.5°；②BD＝DC；③AE＝2EC；④劣弧AE是劣弧DE的2倍；⑤AE＝BC．其中正确结论的序号是　 　． （第6题图） （第7题图） （第9题图） 10．如图，已知EF是⊙O的直径，把∠A为60°的直角三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB与⊙O交于点P，点B与点O重合；将三角形ABC沿OE方向平移，使得点B与点E重合为止．设∠POF＝x°，则x的取值范围是　 　． 11． 如图，已知AB为⊙O的直径，点C为半圆上的四等分点，在直径AB所在的直线上找一点P，连接CP交⊙O于点Q（异于点P），使PQ＝OQ，则∠CPO＝　 　． （第10题图） （第11题图） （第12题图） 12．如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB＝45°，则四边形MANB面积的最大值是　 　． 三．解答题 13．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠CDB＝15°，OE＝． （1）求⊙O的半径； ( （ 第13题图 ） )（2）将△OBD绕O点旋转，使弦BD的一个端点与弦AC的一个端点重合，则弦BD与弦AC的夹角为　 　． ( （ ) ( （ ) 14． ( （ 第14题图 ） )已知：如图，在⊙O中，AB＝2AC，AD⊥OC于D． 求证：AB＝2AD． 15． 已知：如图，已知AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，弦DE⊥AB于C，弦EF交线段CB于G． ( （ 第15题图 ） )求证：BD平分∠FDG． ( （ ) ( （ 第16题图 ） )16．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝60°，点D是BC的中点．BC，AB边上的高AE，CF相交于点H．试证明： （1）∠FAH＝∠CAO； （2）四边形AHDO是菱形． 17.已知：AB、AC是⊙O的两条弦，AB＝AC，BG⊥AC于点G，∠ABG的平分线交AC点D交⊙O于点E，连接AE、BC． ( （ 第17题图 ③ ） （ 第17题图 ② ） （ 第17题图 ① ） ) （1）如图①，求∠EBC的度数； （2）如图②，F为BG上一点，连接DF，当∠BAC＝2∠FDG时，求证：DC＝BF； （3）如图③，在（2）的条件下，当BE为⊙O的直径时，经过点G的弦MN交AB于点H，若MH＝GN，△BDF的面积为4，求线段AE的长 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年浙教版九年级上尖子生培优第5卷 圆心角、圆周角专题 参考答案 一．选择题 1．C 提示∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，由圆周角定理知，∠BAC＝∠CDB＝∠BOC， 故∠OBA＝∠BAC＝∠CDB＝∠BOC. ( （ )2．D 提示∵B是AC的中点，∴∠AOB＝2∠BDC＝80°， 又∵M是OD上一点，∴∠AMB≤∠AOB＝80°． 则不符合条件的只有85°． 3．B ( （ 第 3 题图 ） ) ( （ )提示：连结OD，如图， ∵扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在AB 上的点D处，折痕交OA于点C， ∴BC垂直平分OD， ∴BD＝BO， ∵OB＝OD， ∴△OBD为等边三角形， ∴∠DOB＝60°， ( （ )∴∠AOD＝∠AOB－∠DOB＝110°－60°＝50°， ( （ 第 4 题图 ） )∴AD的度数为为50°. 4．B 提示：过A作⊙O的直径，交⊙O于D； △OAB中，OA＝OB，则∠BOD＝∠OBA+∠OAB＝2α； 同理可得：∠COD＝∠OCA+∠OAC＝2β； ∵∠BOC＝∠BOD+∠COD，∴θ＝2α+2β. ( （ 第 5 题图 ） ) 5．C 提示：连接BD、PC、PD，如图，∵△ABC等边三角形， ∴∠CBD＝30°，又∠CPD＝30°，∴∠CBD＝∠CPD， ∴B、C、D、P四点共圆，又∠BDC＝90°， ∴点P在以BC为直径的圆上，∴点P一定在线段AB上． ( （ 第 7 题图 ） )二．填空题 6.30° 7.提示：将C点对称，连接DC’， 根据题意以及垂径定理，得弧C’D的度数是120°， 则∠C’OD＝120°．作OE⊥C’D于E， 则∠DOE＝60°，则DE＝，C’D＝． ( （ 第 8 题图 ① ） ) 8．23°或67° ①当点D在直线OC左侧时，如图所示． 连接OD，则∠1＝∠2＝22°， ∴∠COD＝180°－∠1－∠2＝136°， ∴∠AOD＝∠COD－∠AOC＝136°－90°＝46°， ( （ 第 8 题图 ② ） )∴∠ABD＝∠AOD＝23°； ②当点D在直线OC右侧时，如图所示． 连接OD，则∠1＝∠2＝22°； 并延长CO，则∠3＝∠1+∠2＝44°． ∴∠AOD＝90°+∠3＝90°+44°＝134°， ∴∠ABD＝∠AOD＝67°． 9.①②④． ( （ 第 9 题图 ） )提示：连接AD，AB是⊙O的直径，则∠AEB＝∠ADB＝90°， ∵AB＝AC，∠BAC＝45°，∴∠ABE＝45°， ∠C＝∠ABC＝67.5°，AD平分∠BAC， ∴AE＝BE，∠EBC＝90°－67.5°＝22.5°， DB＝CD，故②正确， ( （ ) ( （ )∵∠ABE＝45°，∠EBC＝22.5°，故①正确， ∵AE＝BE，∴AE＝BE，又AD平分∠BAC， 所以，即劣弧AE是劣弧DE的2倍，④正确． ∵∠EBC＝22.5°，BE⊥CE，∴BE＞2EC，∴AE＞2EC，故③错误． ∵∠BEC＝90°，∴BC＞BE，又∵AE＝BE，∴BC＞AE，故⑤错误． 10.30≤x≤60． 提示：当O、B重合时，∠POF的度数最小，此时∠POF＝∠PBF＝30°； 当B、E重合时，∠POF的度数最大，∠POF＝2∠PBF＝60°； 故x的取值范围是30≤x≤60． 11. 15°或30°或45°或105°． 提示：当P在直线AB延长线上时，如图所示： ( （ 第 11 题图 ） )连接OC， 设∠CPO＝x°， ∵PQ＝OQ， ∴∠QOP＝∠CPO＝x°， ∴∠CQO＝2x°， ∵OQ＝OC， ∴∠OCQ＝∠CQO＝2x°， ∵点C为半圆上的四等分点， ∴∠AOC＝45°或∠AOC＝90°（此时点C亦为半圆的二等分点）， ∴x+2x＝45或x+2x＝90， ∴x＝15或x＝30， ∴∠CPO＝15°或∠CPO＝30°， 当P在直线BA延长线上，PC是切线时，点C与点Q重合，此时∠CPO＝45°． 同理可得，当P在线段AB上时，∠CPO＝105°． 12. 提示：过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连结OA、OB、DA、DB、EA、EB，∵∠AMB＝45°，∴∠AOB＝2∠AMB＝90°，∴△OAB为等腰直角三角形， ∴AB＝OA＝2，∵S四边形MANB＝S△MAB+S△NAB，∴当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大，此时，MN过圆心是直径. 此时四边形MANB面积的最大值＝AB（CM+CN）＝AB•MN＝×2×4＝4． 三．解答题 13．（1）∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∴弧BC＝弧BD，∴∠BDC＝∠BOD， 而∠CDB＝15°，∴∠BOD＝2×15°＝30°，在Rt△ODE中，∠DOE＝30°，OE＝2，∴OE＝DE，OD＝2DE，∴DE＝＝2;∴OD＝4，即⊙O的半径为4； （2）有4种情况：如图： （第13题图①） （第13题图②） （第13题图③） ①如图①所示：∵OA＝OB，∠AOB＝30°， ∴∠OAB＝∠OBA＝75°， ( （ 第 13 题图 ④ ） )∵CD⊥AB，AB是直径， ∴弧BC＝弧BD， ∴∠CAB＝∠BOD＝15°， ∴∠CAB＝∠BAO+∠CAB＝15°+75°＝90°； ②如图②所示，∠CAD＝75°－15°＝60°； ③如图③所示：∠ACB＝90°； ④如图④所示：∠ACB＝60°； ( （ 第 14 题图 ） )故答案为：60°或90°． ( （ ) ( （ )14.证明：延长AD交⊙O于E， ( （ ) ( （ ) ( （ ) ( （ )∵OC⊥AD，∴AE=2AC，AE＝2AD， ∵AB=2AC， ( （ 第 14 题图 ） )∴AE=AB，， ∴AB＝AE，∴AB＝2AD． 15.证明：连接BD、BE，如图所示： ( （ 第 15 题图 ） )∵AB为直径，DE⊥AB， ∴AB垂直平分DE， ∴BD＝BE，CD＝CE， ∴△BDG≌△BEG（SSS）， ∴∠BDG＝∠BEG， ∵∠BDF＝∠BEF， ∴∠BDG＝∠BDF， 即：BD平分∠FDG． ( （ 第 16 题图 ） ) ( （ )16.证明：（1）连接AD， ∵点D是BC的中点， ∴∠BAD＝∠CAD，OD⊥BC， ∵AE⊥BC， ∴AE∥OD， ∴∠DAH＝∠ODA， ∵OA＝OD， ∴∠DAO＝∠ODA， ∴∠BAD－∠DAH＝∠CAD－∠DAO， ∴∠FAH＝∠CAO； （2）过点O作OM⊥AC于M，∴AC＝2AM， ∵CF⊥AB，∠BAC＝60°，∴AC＝2AF，∴AF＝AM， 在△AFH与△AMO中， ∵∠FAH＝∠CAO，AF＝AM，∠AFH＝∠AMO， ∴△AFH≌△AMO，∴AH＝OA， ∵OA＝OD，∴AH平行且等于OD． ∴四边形AHDO是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， 又∵OA＝OD， ∴平行四边形AHDO是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形） 17.解：（1）设∠GBC＝α， ∵BG⊥AC， ∴∠BGC＝90°， ∴∠C＝90°－α， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝90°－α， ∴∠BAC＝180°－（∠ABC+∠C）＝180°－（90°－α+90°－α）＝2α， ∴∠ABG＝90°－2α， ∵BE平分∠ABG， ∴∠DBG＝45°－α， ∴∠EBC＝∠DBG+∠GBC＝45°－α+α＝45°； ( （ 第 17 题图 ① ） )（2）延长DF交BC于点P，如图① 由（1）∠BAC＝2α＝2∠GBC ∵∠BAC＝2∠FDG，∴∠FDG＝∠GBC， ∵∠BFP＝∠DFG，∴∠BPF＝∠DGF＝90°， ∴∠BDF＝∠DBC＝45°，∴DP＝BP， ∴△DPC≌△BPF（ASA）， ∴DC＝BF； （3）∵当BE为⊙O的直径， ∴∠BAE＝90°＝∠AGB ∵∠EAC＝∠EBC＝45°， ∴∠BAC＝∠ABG＝45°， ∵BE平分∠ABG， ∴∠ABE＝∠DBG＝∠CBG＝22.5°， ∴∠BDG＝∠BCG＝67.5°， ∴BD＝BC，∴设DG＝CG＝a， ∴BF＝CD＝2a，S△BDF＝BF•DG＝×2a•a＝4， ∴a＝2，BF＝CD＝4 过点O作OK⊥MN于点K，连接OH、OG，∴MK＝NK， ∵MH＝GN，∴HK＝GK，∴OH＝OG， ( （ ) ( （ ) ( （ )连接OA、OC，延长GO交AB于T，过O作OQ⊥AC于Q（图②）， ( （ 第 17 题图 ② ） )∵BC=BC，∴∠BOC＝2∠BAC＝90°， ∵G为CD的中点，∴OG＝CD＝2， ∵AG＝BG，AO＝BO，∴TG⊥AB，AT＝BT， ∴∠AGT＝45°，∴OQ＝， ∵AB＝AC＝2BT＝2CQ，BO＝CO， ∴Rt△BOT≌Rt△COQ（HL）， ∴OT＝OQ＝， ∵Rt△OTH≌Rt△OQG（HL）， ∴TH＝QG，∴AH＝CG＝2， ∵AT＝BT，EO＝BO，∴AE＝2TO＝2． 声明：试题解析著作权属菁 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$