专题3.4圆心角重难点题型专训（1个知识点+7大题型+1大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年浙教版九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题3.4圆心角重难点题型专训 （1个知识点+7大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 圆心角概念辨析及简单运算 题型二 求圆弧的度数 题型三 由圆心角、弧、弦之间的关系判断结论正误 题型四 由圆心角、弧、弦之间的关系求长度 题型五 由圆心角、弧、弦之间的关系求角度 题型六 由圆心角、弧、弦之间的关系求弧度 题型七 由圆心角、弧、弦之间的关系证明 拓展训练一 由圆心角、弧、弦之间关系证明及应用 知识点一：弧、弦、圆心角 1. 圆心角及其所对的弧、弦的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 如图，①= ⇒ ② ③ABCD 推论：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等． 如上图，② ⇒ ①= ③ABCD （2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等．如上图，③ABCD ⇒ ①= 和 由圆心角、弦、弧的关系及推论可知，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧（同为优弧或劣弧）、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余两组量都分别相等，简称“知一推二”． 2. 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等． 【即时训练】 1．（2025·安徽·一模）在中，记弦所对的优弧长为，所对的劣弧长为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系．根据“”得到，据此计算即可求解． 【详解】解：由题意得：， 故选：D． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知中， ，则弦和的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了三角形三边的关系． 如图，取弧的中点，利用得到，则根据圆心角、弧、弦的关系得到，再利用三角形三边的关系得，于是有． 【详解】解：如图，取弧的中点，则， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【经典例题一 圆心角概念辨析及简单运算】 【例1】（25-26九年级上·全国·课后作业）下图中的是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角的概念，解决本题的关键是掌握顶点在圆心的角叫作圆心角. 根据圆心角的概念判断即可. 【详解】解：A、顶点C不在圆心，不符合圆心角的概念，不符合题意； B、顶点C在圆心，符合圆心角的概念，符合题意； C、顶点C在圆内，不符合圆心角的概念，不符合题意； D、顶点C在圆外，不符合圆心角的概念，不符合题意； 故选：B ． 【例2】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在正方形网格中，一条圆弧经过，，三点，那么所对的圆心角的大小是多少？    【答案】 【分析】连接，分别作的垂直平分线，即可得到圆心．分别求出，根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】解：连接，分别作的垂直平分线，即可得到圆心，    由图可得：，， ∴， 故， 即所对的圆心角为． 【点睛】本题考查了圆心角的求解、勾股定理及其逆定理．找到圆心是解题关键． 1．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆心角的概念，确定一个角是否是圆心角，只要看这个角的顶点是否在圆心上，顶点在圆心上的角就是圆心角，否则不是． 【详解】解：根据圆心角的概念，、、的顶点分别是B、A、C，都不是圆心O，因此都不是圆心角．只有B中的的顶点在圆心，是圆心角． 故选：B． 2．（2025·山东东营·一模）司南是我国古代辨别方向用的一种仪器． 其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖． 如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点），过点E作的切线与的延长线交于点M，连接． 相邻两个方位间所夹的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆心角，圆的等分，根据八个方位将圆形八等分，求出相邻两个方位间所夹的圆心角度数即可． 【详解】解：∵根据八个方位将圆形八等分， ∴邻两个方位间所夹的圆心角度数为：． 故选：B． 3．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在中，劣弧的度数为，则圆心角 . 【答案】 【分析】的度数即为所对圆心角的度数； 【详解】解：的度数即为所对圆心角的度数； ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了弧与圆心角的关系；正确理解圆心角的定义是解题的关键． 4．（23-24九年级下·山东淄博·期中）如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】（1）根据条件和，即可求解； （2）根据第（1）问的结论和即可求解． 【详解】（1）解：； ∵，，， ∴ （2）解：∵，，，， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了简单几何问题，灵活运用所学知识是关键． 【经典例题二 求圆弧的度数】 【例1】（2024·台湾·模拟预测）如图，梯形ABCD中，，有一圆O通过A、B、C三点，且AD与圆O相切于A点若，则的度数为何？（   ） A．116 B．120 C．122 D．128 【答案】D 【分析】连接AO，并延长AO与BC交于点M，连接AC，由切线的性质和求得AM垂直平分BC，进而得到的度数，根据圆周角定理即可解答． 【详解】解：连接AO，并延长AO与BC交于点M，连接AC， 与圆O相切于A点， ， ， ， ， 垂直平分BC， ， ， ， 的度数为， 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理和梯形的性质，解决本题的关键利用切线的性质和梯形的性质构造等腰三角形，求出所对的圆周角． 【例2】（2025九年级·全国·单元测试）如图所示，为的直径，为延长线上一点，交于，连，，，求的度数. 【答案】. 【分析】由AB=OC得到AB=BO，则∠A=∠2，而∠1=∠E，因此∠EOD=3∠A，即可求出∠EOD． 【详解】连OB，如图， ∵AB=OC，OB=OC， ∴AB=BO， ∴∠A=∠1， 而∠2=∠A+∠1， ∴∠2=2∠A， ∵OB=OE， ∴∠2=∠E， ∴∠E=2∠A， ∴∠DOE=∠A+∠E=3∠A=60°． 【点睛】本题考查了圆的认识，等腰三角形的性质和三角形外角定理． 1．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，已知⊙O的半径为3，弦AB、CD所对的圆心角分别是∠AOB、∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD=4，则弦AB的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，延长AO交⊙O于T，连接BT．证明CD=BT，∠ABT=90°，再利用勾股定理求解即可． 【详解】 解：如图，延长AO交⊙O于T，连接BT． ∵∠AOB+∠BOT=180°，∠AOB+∠COD=180°， ∴∠COD=∠BOT， ∴， ∴CD=BT=4， ∵AT是直径，AT=6， ∴∠ABT=90°， ∴AB==， 故选：C． 【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 2．（24-25·河南洛阳·一模）如图,将大小不同的两块量角器的零度线对齐,且小量角器的中心恰好在大量角器的圆周上,设图中两圆周的交点为.且点在小量角器上对应的刻度为,那么点在大量角器上对应的刻度为(只考虑小于的角)(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意，设大量角器的左端点为，小量角器的圆心为.利用三角形的内角和定理求出的度数，然后根据圆的知识可求出大量角器上对应的角度. 【详解】设大量角器的左端点为，小量角器的圆心为，连接、， 则，， 因而， 在大量角器中弧所对的圆心角是， 因而在大量角器上对应的度数为. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆心角是，能把实际问题转化为数学问题是解决本题的关键. 3．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，已知，则弧的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求弧的度数． 根据等边对等角求出的度数即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴弧的度数是． 故答案为：． 4．（2025九年级下·全国·课后作业）某处靠近海岸的海域有一片暗礁，当地海洋管理部门在海岸上建造了两座灯塔，，通告所有船只不要进入以为弦的弓形区域（阴影部分）内（含边界）以免触礁，如图所示.现有一艘货轮正向暗礁区域靠近，当多大时，才能避开暗礁？ 【答案】使∠APB<55°，即在外行驶，就能避开暗礁. 【分析】利用极限法，找出恰好不能避开暗礁的两个位置，即可确定答案. 【详解】解：货轮P在航行时，只要使∠APB<55°，即在外行驶，就能避开暗礁. 【点睛】本题考查了圆心角和极限思维的相关知识，特别极限思维是解答本题的关键. 【经典例题三 由圆心角、弧、弦之间的关系判断结论正误】 【例1】（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）下列说法中，正确的是（   ） A．长度相等的弧是等弧 B．相等的圆心角所对的弧是等弧 C．半圆是弧，弧是半圆 D．面积相等的两个圆是等圆 【答案】D 【分析】本题考查了等弧和等圆概念的理解． 半径相等的圆是等圆，在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．据此求解即可． 【详解】A．选项中并没有保证两弧在同圆或等圆中，所以单纯长度相等无法确定是等弧，不符合题意． B．选项中并没有保证两弧在同圆或等圆中，所以单纯圆心角相等无法确定是等弧，不符合题意． C．并非所有的弧都是半圆，不符合题意． D．两个圆面积相等，意味着半径相等，所以是等圆，符合题意． 故选：D． 【例2】（25-26九年级上·江苏连云港·阶段练习）在下列说法中：①三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；②若两条弧的度数相等，则它们是等弧；③直径是圆中最长的弦；④如果两条弦相等，那么这两条弦所对的圆心角相等；其中说法正确的是 【答案】①③/③① 【分析】本题考查等弧，直径的概念，弦与圆心角的关系，三角形的外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，据此一一判断即可， 【详解】解：①三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点．正确． ②两条弧的度数相等，它们不一定是等弧，原说法错误； ③直径是圆中最长的弦，正确； ④两条弦相等，这两条弦所对的圆心角不一定相等，原说法错误． 故答案为：①③． 1．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列说法： ①三点确定一个圆； ②相等的圆心角所对的弧相等； ③同圆或等圆中，等弧所对的弦相等； ④长度相等的弧称为等弧． 正确的个数共有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查确定圆的条件，圆的认识，圆心角，弧，弦的关系，根据确定圆的条件，圆心角，弧，弦之间的关系，等弧的定义一一判断即可． 【详解】解：①三点确定一个圆；错误，条件是三个点不在同一直线上； ②相等的圆心角所对的弧相等；错误，条件是在同圆或等圆中； ③同圆或等圆中，等弧所对的弦相等；正确； ④长度相等的弧称为等弧，错误，长度相等的弧不一定是等弧． 故选：A． 2．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，已知和是的两条等弦，，，垂足分别为，，，的延长线交于点，连接，下列四个说法中：，，，，正确的是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质等知识，连接，根据圆心角、弧、弦的关系得，再证明，即可求解，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题． 【详解】解：连接、，    ∵， ∴，故正确； ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴，，故正确； ∵， ∴，故正确， 综上正确，共4个， 故选：D． 3．（23-24九年级上·北京·阶段练习）如图，在中，AB为定弦，C，D为圆上动点，记弦AB所对的圆心角度数是，弦CD所对的圆心角度数是．若，则 ①； ②若，则； ③若B为弧AD的中点，则； ④． 上述选项中正确的是 ．（填写所有正确选项的序号） 【答案】①②④． 【分析】根据圆等弧对等角、等腰三角形的性质、勾股定理逐项判断即可． 【详解】 ①∵， ∴ ∴ 故①正确； ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴ 根据特殊三角函数可得 ∴， 故②正确； ③延长CO，交圆于点E ∵B为弧AD的中点， ∴ ∵ ∴ 假设，根据等腰三角形得性质可得 ∴ 只有当才能成立， 故③不一定正确； ④延长CO，交圆于点E，连接DE ∵， ∴， ∴， ∵CE是直径 ∴ 根据勾股定理可得 ∴ 故④正确 故答案为：①②④． 【点睛】此题考查了圆的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，解题的关键熟悉圆的性质并会应用． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）小滨和小江在研究与圆有关的问题时发现：“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等．”进一步思考后，两位同学提出了这样的想法：这四对量中，如果有一对量存在倍数关系，其余三对量是否也会相应的存在倍数关系？因此，在如图所示的中，他们提出了如下猜想：小滨：若，则．小江：若，则．请判断小滨、小江所提的猜想是否正确，并说明理由． 【答案】小滨的猜想是正确的，小江的猜想是错误的；理由见解析 【分析】本题考查垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系．根据垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系以及三角形三边关系进行解答即可． 【详解】解：小滨的猜想是正确的，小江的猜想是错误的；理由： 小滨：如图1，作的平分线， ∵是的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴，即； 小江：如图2，取的中点E，连接并延长交于点D， 由垂径定理可知，， ∴， ∵，即，而， ∴， ∴， ∴． 【经典例题四 由圆心角、弧、弦之间的关系求长度】 【例1】（2025·河南周口·三模）如图，是的直径，是的弦，于点，是的中点，连接．若的半径为，且，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，弧、弦的关系，熟练掌握垂径定理是解题的关键，连接，先证明，进而得，从而即可得解． 【详解】解：连接， ∵是的直径，于点， ∴，． ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ∴， 故选：B 【例2】（23-24九年级上·陕西安康·期末）如图，为的直径，点D是的中点，过点D作于点E，延长交于点F．若，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理及其推论，弧、弦的关系，熟练掌握垂径定理是解题的关键．根据点是弧的中点，得到；根据为的直径，，得到，从而得到，得到，得到 【详解】解：∵， ∴． ∵点D是的中点， ∴． ∴． ∴． ∴． 1．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，是的直径，四边形内接于，若，则的长为（    ） A．8 B．9 C．6 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆心角与弦之间的关系，等边三角形的性质与判定，连接，根据圆心角与弦之间的关系和平角的定义可证明，则可证明是等边三角形，得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：A． 2．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，是的直径，为上的点，且，连接．若弦，则直径的长为（   ） A．3 B．6 C．6 D．6 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理的推论，等边三角形的判定及性质． 连接，，，，由，得到，从而是等边三角形，进而即可解答． 【详解】解：连接，，，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴直径． 故选：B 3．（24-25九年级下·上海浦东新·阶段练习）若的半径为，一条弦分为两部分，这条弦的长度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，根据弦分圆周长为两部分，则分圆心角也为两部分，求出劣弧所对的圆心角，再根据等腰直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：∵一条弦分为两部分， ∴这条弦所对的圆心角的度数为， ∴这条弦与两条半径构成一个等腰直角三角形， ∴这条弦的长度为． 故答案为：． 4．（23-24九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，C为弧的中点，于点M，于N，且为的直径，若，求长． 【答案】 【分析】连接，先求得，从而求得，即可求得，根据圆心角、弧、弦的关系求得，根据圆周角定理求得，根据30°的直角三角形的性质即可求得的长． 【详解】解：连接， ∵于M， ∴， ∵， ∴， ∵为直径， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵于N， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理等，熟练掌握圆的性质定理是解题的关键． 【经典例题五 由圆心角、弧、弦之间的关系求角度】 【例1】（24-25九年级下·吉林长春·期中）如图，是的直径，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握定理以及推论是解题的关键．根据在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对应的圆心角相等，解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【例2】（24-25九年级下·陕西西安·期中）如图，已知：是的直径，弦于点E，G是上的一点，、的延长线交于点．若，的度数为，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、直角三角形的性质，熟记直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 连接，根据圆心角、弧、弦的关系定理求出，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出，再根据直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：如图，连接， 的度数为， ， ， ， ， ． 1．（24-25九年级下·湖北随州·阶段练习）如图，在以为圆心的半圆中，是直径，点是弧的中点，连接，平分交于点，连接，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理,圆心角、弧、弦的关系和圆周角定理,等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键． 先利用垂径定理的推论得到，再根据角平分线的定义得到，则根据圆周角定理得到，然后根据等腰三角形的性质得到的度数． 【详解】解：点是弧的中点， ， ， 平分， ， ， ， ． 故选：B． 2．（24-25九年级上·广西钦州·阶段练习）如图，是的直径．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆心角与弧的关系，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等得到，根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是直径， ∴． 故选：D． 3．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，在中，若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是掌握在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角也相等．根据圆心角、弧、弦的关系定理直接推出． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，为的直径， 点 C、D 是的三等分点， ，求 的度数． 【答案】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，先求出，根据点C、D是的三等分点，求出的度数是，即 【详解】解： 为的直径， 点 C、D 是的三等分点 的度数是 故答案为 【经典例题六 由圆心角、弧、弦之间的关系求弧度】 【例1】（2024·广东茂名·一模）如图，已知为的直径，点C为圆上的一点，且所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的，则所对的圆心角度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系是解题的关键． 由为的直径，得到，再根据，即可得到结论． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的， ∴， ∴． ∴所对的圆心角度数为． 故选：C． 【例2】（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，C是的直径上一点，过点 C作弦，使，若，求，的度数． 【答案】， 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，弧与圆心角之间的关系；先证明，，，再利用弧与圆心角之间的关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴的度数为，． ∵， ∴， ； ∴的度数是． 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，，以O为圆心，长为半径作，分别交于C、D．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，弧与圆心角的关系 ，先由三角形内角和定理得到，再由等边对等角和三角形内角和定理求出，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是； 故选：A． 2．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，经过五边形的四个顶点，若弧等于，，，则弧的度数为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，多边形内角与外角，连接，由半径相等得到，，都为等腰三角形，根据，，求出与的度数，根据的度数确定出度数，进而求出的度数，即可确定出的度数． 【详解】解：连接，    ∵， ∴，，，皆为等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则度数为． 故选：B． 3．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系．连接，如图，先根据三角形内角和计算出，再根据等腰三角形的性质由得到，然后再利用三角形内角和计算出，最后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数求解． 【详解】解：连接，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）已知：如图，在中，，以点C为圆心、为半径作，交于点D，求弧的度数．    【答案】弧的度数为 【分析】连接．由题意可求出，根据同圆半径相等结合等腰三角形的性质可求出，根据三角形内角和定理求出，最后根据弧、弦、圆心角的关系求解即可． 【详解】解：如图，连接．    ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即弧的度数为． 【点睛】本题考查同圆半径相等，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，弧、弦、圆心角的关系等知识．正确的连接辅助线是解题关键． 【经典例题七 由圆心角、弧、弦之间的关系证明】 【例1】（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，均为上的点，且，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角，弦，弧之间的关系．由A、B、C、D是⊙O上的点，，根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两条弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等作答即可． 【详解】解：∵， ∴，，故A选项说法正确，不符合题意； ∴，即，故B选项说法正确，不符合题意； ∵， ∴，即， ∴，故C选项说法正确，不符合题意； 不能证明，故D选项说法错误，符合题意； 故选：D． 【例2】（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，在中，弦与交于点E，且，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆周角、弧、弦间的关系，根据题意得出，结合图形确定，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 即 ∴． 1．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，A、B、C、D都是上的点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，由邻补角性质可得，由弧、弦、圆心角的关系可得，进而利用角的和差关系即可求解，掌握弧、弦、圆心角的关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25九年级上·云南玉溪·期中）如图，A，B，C，D是上的四点，且，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系．根据圆心角、弧、弦之间的关系得出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴． 故选：B． 3．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，都是的直径，且，则的弦，，的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．根据对顶角相等得到，，，得到，根据圆心角、弧、弦的关系定理判断即可． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，，是的两条弦，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了弧与圆周角的关系，平行线的性质；连接，根据平行线的性质得出，进而根据弧与圆周角的关系，即可得证． 【详解】证明：如图，连接， ∵， ∴． ∴． 【拓展训练一 由圆心角、弧、弦之间关系证明及应用】 【例1】（2025·广东·一模）已知为O的直径，为圆上（异于）的一点，连接，若点到直线与点到直线的距离相等且均为，则该圆的周长与面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查弧、弦、圆心角的关系，圆的周长和面积，连接，过点作于点，于点，由点到直线与点到直线的距离相等得，再判断，求出，进一步可得出该圆的周长与面积之比． 【详解】解：连接，过点作于点，于点，如图， ， ∵， ∴， ∴, ∴点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴该圆的周长与面积之比为， 故选：A． 【例2】（2024九年级上·浙江·专题练习）已知如图所示，为直径上一点，，为过点的两条弦，且； (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据弧长之间的关系，可证； （2）由推出． 【详解】（1）证明：作，， ； ， ， ，， 即． （2）证明：， ． 【点睛】本题主要考查圆心角，弧和弦之间的关系，掌握圆心角与弦和弧的关系式解题的关键 1．（24-25九年级上·江西南昌·期中）在圆中，若圆心到一条弦的距离与该弦长的比为1：2，则这条弦所分成的两条弧的度数比为 （   ） A．1：2 B．2：3 C．1：3 D．1：4 【答案】C 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，垂径定理；根据已知条件得到是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：如图所示， 依题意， ∵，， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴优弧 ∴弦所分成的两条弧的度数比为， 故选：C． 2．（2024九年级·全国·竞赛）在中，一条弦把圆周分成的两段弧的长度比为，如果的半径为，那么这条弦的长度为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查弦、弧、圆心角的关系，垂径定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等，作于点C，先求出弦所对的圆心角的度数，用含30度角的直角三角形的性质求出，再用勾股定理解求出，最后利用垂径定理即可求解． 【详解】解：如图，作于点C，   弦把分成的两段弧的长度比为， ， ， ， ， ， ， 故选D． 3．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图所示，在⊙O中，C、D分别是OA、OB的中点，MC⊥AB、ND⊥AB，M、N在⊙O上．下列结论： ①， ②， ③四边形MCDN是正方形， ④MN＝AB， 所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】连接OM、ON，如图，利用OC＝OD＝OM＝ON，则∠OMC＝∠OND＝30°，则利用∠COM＝∠DON＝∠MON＝60°可判断；通过证明MN＝OM和四边形CDNM为矩形可对①③④矩形判断． 【详解】解：连接OM、ON，如图， ∵MC⊥AB、ND⊥AB， ∴∠OCM＝∠ODN＝90°， ∵C、D分别是OA、OB的中点，OA＝OB， ∴OC＝OD＝OM＝ON， ∴∠OMC＝∠OND＝30°， ∴∠COM＝∠DON＝60°， ∴∠MON＝60°， ∴，所以②正确； ∴△OMN为等边三角形， ∴MN＝CD，∠OMN＝60° ∴MN∥CD， ∴四边形CDNM为矩形， ∴MC＝ND，所以①正确；③错误； ∵MN＝CD＝OA+OB＝AB， ∴④正确． 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了等边三角形的判定与性质． 4．（23-24九年级下·吉林长春·期末）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，的半径为，点A在上，点B为线段中点，过点B作垂线l．点P是上一动点，点P关于直线l的对称点为，试探究点的轨迹． 【问题解决】经过讨论，小组同学猜想点在一个确定的圆上，下面是部分证明过程： 证明： 证明过程缺失 ∴点在以点______为圆心，______为半径的圆上． （1）请你补全证明中的缺失过程． 【结论应用】（2）如图②，的半径为，点A与点C在上且．点B为线段上的点，且，过点B作的垂线l．点P是上一动点，点P关于直线l的对称点为．当点P从点A运动到点C时，点的运动路径长为______． 【拓展提升】（3）如图③，若把上述问题的条件“”去掉，其它条件不变，为直径．点D到点距离d的取值范围是______． 【答案】（1）A，2；（2） （3） 【分析】本题考查圆的综合应用，熟练掌握对称的性质，能够确定点的运动轨迹是解题的关键； （1）利用对称性可知，再由圆的定义可得在以A为圆心，2为半径的圆上； （2）作O点关于直线l的对称点，则在以为圆心，2为半径的的圆上，再求点的运动路径即可； （3）作O点关于直线l的对称点M，在以M为圆心，2为半径的的圆上，当直线l经过直径时，有最小值2，当直线l经过点A时，有最大值． 【详解】（1）∵点B为线段中点， ∴ ∴O、A点关于直线l对称 ∵点P关于直线l的对称点为， ∴ ∴以A为圆心，2为半径的圆上； （2）作O点关于直线l的对称点 ∵点P关于直线l的对称点为， ∴ ∵点P是上一动点， ∴在以为圆心，2为半径的的圆上， ∴点的运动路径长 （3）作O点关于直线l的对称点M ∵点P关于直线l的对称点为， ∴在以M为圆心，2为半径的的圆上 当直线l经过直径时，有最小值2, 当直线l经过点A时，有最大值 ∴ 1．（24-25九年级下·全国·单元测试）下列说法正确的是（   ） A．圆的周长都相等 B．圆上任意两点间的部分叫做圆弧 C．顶点在圆上的角叫做圆心角 D．由一条弧和经过这条弧的两个端点的两条线段组成的图形叫做扇形 【答案】B 【分析】本题考查了圆的概念理解，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据圆的周长、圆弧、圆心角、扇形的定义分别判断即可． 【详解】解：A、半径相等的圆的周长相等，原说法错误，不符合题意； B、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，正确，符合题意； C、顶点在圆心的角叫做圆心角，原说法错误，不符合题意； D、由一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图中，，以C为圆心，为半径的圆交于点D，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接先求解 再利用圆心角与弧之间的关系可得答案． 【详解】解：如图，连接 ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴的度数为： 故选B． 【点睛】本题考查的是直角三角形两锐角互余，圆的基本性质，圆心角与弧之间的关系，掌握“弧的度数等于它所对的圆心角的度数”是解本题的关键． 3．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）下列语句中正确的是（　　） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．平分弦的直径垂直于弦 C．三点确定一个圆 D．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，圆的基本性质，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．根据圆周角定理，垂径定理，圆的基本性质，圆心角、弧、弦的关系逐一判断即可． 【详解】解：A． 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故选项A错误； B． 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故选项B错误； C． 不在同一直线上的三点确定一个圆，故选项C错误； D． 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，故选项D正确； 故选：D． 4．（2025·云南楚雄·三模）如图，点A，B，C在上，C是的中点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆心角与弧的关系，圆心角与圆周角的关系．连接，由点是劣弧的中点得，故，再由得到即可． 【详解】解：如图，连接， 点是劣弧的中点， ， ， ， ， ∵， ∴． 故选：C． 5．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）下列说法：①三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③同圆或等圆中，等弦所对的弧相等；④长度相等的弧称为等弧．其中，正确的个数共有（   ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】D 【分析】本题考查圆的性质．根据弧，弦，圆心角的关系逐个判断即可，特别强调同圆或等圆中这一前提条件． 【详解】解：①不在同一直线上的三点确定一个圆，原说法错误； ②同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，原说法错误； ③同圆或等圆中，等弦所对的优弧相等，劣弧相等，原说法错误； ④同圆或等圆中，长度相等的弧称为等弧； 没有正确的说法， 故选：D． 6．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，是的一条弦，直径，垂足为，下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，根据垂径定理，圆心角、弧、弦的关系逐一判断即可，熟知垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 【详解】解：、∵直径， ∴，故不符合题意； 、∵直径， ∴，故不符合题意； 、∵直径， ∴， ∴，故不符合题意； 、∵直径， ∴与不一定相等，符合题意； 故选：． 7．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）若分别是圆上的两段劣弧，且，则弦与弦之间的关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了弧、弦的关系，三角形的三边关系，熟练掌握圆周角、弧、弦的关系是解题的关键． 根据两弧的关系，作出的中点E，则，再根据三角形三边关系即可求解． 【详解】解：如图，设E为的中点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选C． 8．（24-25九年级上·天津河西·期末）如图，，是的两条弦，如果，于，于，则下面结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理等知识，根据弦、弧的关系及圆周角定理判断求解即可． 【详解】解：∵于E，于F， ∴，， 故A、B正确，不符合题意； ∴， ∴， ∴， 故C正确，不符合题意； 只有时，， 故D不正确，符合题意； 故选：D． 9．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，为的直径，点是弧的中点，过点作于点，延长交于点，若，，则线段的长为   A．5 B．4 C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 连接，首先证明，设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ， ，， 点是弧的中点， ， ， ， ，设， 在中，则有， 解得， ， 故选：C． 10．（24-25九年级上·北京石景山·期末）如图，AB是⊙O的直径，C是线段OB上的一点（不与点B重合），D，E是半圆上的点且CD与BE交于点F,用①，②DC⊥AB，③FB=FD中的两个作为题设，余下的一个作为结论组成一个命题，则组成真命题的个数为（    ）    A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】连接OE、OD， （1）当，DC⊥AB时，由圆周角定理可得∠EOD=∠DOB，根据等腰三角形的性质可得OF⊥BE，由CD⊥AB可得∠OFB=∠OCD=90°，利用AAS可证明△OCD≌OFB，可得∠ODC=∠OBF，根据等腰三角形的性质可得∠OBD=∠ODB，利用角的和差关系可得∠FBD=∠FDB，即可证明FB=FD； （2）当，FB=FD时，同（1）可得OF⊥BE，根据等腰三角形的性质可得∠OBD=∠ODB，∠FBD=∠FDB，利用角的和差关系可得∠ODC=∠OBF，利用ASA可证明△OCD≌OFB，可得∠OFB=∠OCD=90°，可得DC⊥AB； （3）当DC⊥AB，FB=FD时，同（2）可得△OCD≌OFB，由DC⊥AB可得∠OFB=∠OCD=90°，根据垂径定理可得，综上即可得答案. 【详解】如图，连接OE、OD， （1）当，DC⊥AB时， ∵，OD为半径， ∴∠EOD=∠DOB， ∵OE=OB， ∴OF⊥BE， ∴∠OFB=90°， ∵DC⊥AB， ∴∠DCB=∠OFB=90°， 在△OCD和△OFB中，， ∴△OCD≌△OFB， ∴∠ODC=∠OBF， ∵OD=OB， ∴∠ODB=∠OBD， ∴∠OBD-∠OBF=∠ODB-∠ODC，即∠FDB=∠FBD， ∴FB=FD. （2）当，FB=FD时， ∵，OD为半径， ∴∠EOD=∠DOB， ∵OE=OB， ∴OF⊥BE， ∴∠OFB=90°， ∵OD=OB，FB=FD， ∴∠ODB=∠OBD，∠FDB=∠FBD， ∴∠ODC=∠OBF， 在△OCD和△OFB中，， ∴△OCD≌△OFB， ∴∠OCD=∠OFB=90°， ∴DC⊥AB. （3）当DC⊥AB，FB=FD时， ∵DC⊥AB， ∴∠OCD=90°， ∵OD=OB，FB=FD， ∴∠ODB=∠OBD，∠FDB=∠FBD， ∴∠ODC=∠OBF， 在△OCD和△OFB中，， ∴△OCD≌△OFB， ∴∠OFB=∠OCD=90°， ∴OD⊥BE， ∵OD是半径， ∴.    综上所述，组成真命题的个数为3， 故选：D. 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、弧、弦、圆心角之间的相等关系及垂径定理，同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中，有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等；熟练掌握相关定理是解题关键. 11．（24-25七年级·辽宁辽阳·阶段练习）将一个圆分割成三个扇形，它们圆心角度数的比1：3：5，则最大扇形的圆心角的度数为 ． 【答案】200° 【分析】根据它们的圆心角的度数和为周角，则利用它们所占的百分比计算它们的度数． 【详解】最大扇形的圆心角的度数＝360°×＝200°． 故答案为200° 【点睛】本题考查了认识平面图形－圆心角，解答此题的关键是由题意得出三个圆心角的和为360°． 12．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是 【答案】/150度 【分析】本题考查了求弧的角度，连接，过点O作于点E，设圆的半径为，根据题意可得，进而得，根据得，即可求解； 【详解】解：如图所示：连接，过点O作于点E， 设圆的半径为， 由题意可得：， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴弧的度数是 故答案为： 13．（24-25九年级下·上海·单元测试）如果一个半径为 厘米的圆的面积恰好与一个半径为 厘米的扇形面积相等．那么这个扇形的圆心角度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了圆和扇形的面积计算. 设这个扇形的圆心角度数为，利用圆和扇形的面积公式得出方程，求解即可． 【详解】解：设这个扇形的圆心角度数为， 由题意得：， 解得：， 故答案为：． 14．（23-24九年级上·山东聊城·期中）如图，在同圆中，若，则 ．（“”“”或“”） 【答案】 【分析】取的中点E，根据圆心角、弦的关系、三角形三边关系求解即可． 【详解】解：取的中点E，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键． 15．（2023·山东烟台·中考真题）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接，则的度数为 ．    【答案】 【分析】方法一∶如图：连接，由题意可得：，，然后再根据等腰三角形的性质求得、，最后根据角的和差即可解答． 方法二∶ 连接，由题意可得：，然后根据圆周角定理即可求解． 【详解】方法一∶ 解：如图：连接， 由题意可得：，，， ∴，， ∴． 故答案为．    方法二∶解∶ 连接， 由题意可得：， 根据圆周角定理，知． 故答案为．      【点睛】本题主要考查了角的度量、圆周角定理等知识点，掌握圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半是解答本题的关键． 16．（2025九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为DC延长线上一点，∠A=70°，则∠BCE的度数为 【答案】70° 【分析】根据已知条件作辅助线，连接BO,DO，已知∠A=70°根据圆心角是对应圆周角的两倍求出110°,即可求得∠BCE的度数. 【详解】作辅助线连接BO,DO                            ∵圆心角是对应圆周角的两倍， 故答案为70°. 【点睛】此题考查圆心角与圆周角之间的关系，解题在于熟练掌握圆周角与对应圆心角之间的关系换算. 17．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，、是⊙O的直径，弦，弧的度数为，求的度数． 【答案】 【分析】连接，由弧的度数为，得到，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出，再由，即可得到． 【详解】解：连接，如图， ∵弧的度数为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵弦， ∴． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及平行线的性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键． 18．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，C，D是以线段AB为直径的上的两点，且四边形OBCD是菱形．求证：． 【答案】见解析． 【分析】首先连接，由四边形是菱形，易得，则可证为等边三角形，接着证明． 【详解】证明：如图，连接OC． 四边形OBCD是菱形， ． 又， 为等边三角形， ． 同理可证， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆心角与弧的关系以及菱形的性质．解题的关键是正确的画出辅助线． 19．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，D、E分别为半径、上的点，，C为弧的中点，连接、、，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查弧与圆心角的关系、全等三角形的判定与性质，根据等弧所对的圆心角相等得到，进而证明，利用全等三角形的对应边相等可证得结论． 【详解】证明：∵D、E分别为半径、上的点，， ∴，则， ∵C为弧的中点， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴． 20．（23-24九年级上·北京房山·期末）如图，，D，E分别是半径，的中点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，以及全等三角形的判定与性质．连接，构建全等三角形和；然后利用全等三角形的对应边相等证得． 【详解】证明：连接． 在中，， ， ，、分别是半径和的中点， ， ， ， ． 21．（24-25九年级下·广东中山·期中）如图，在中，半径分别交弦于点E，F，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查圆心角、弦、弧的关系，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解决问题的关键 （1）过O作于M，连接、，利用等腰三角形三线合一证明，，则问题可证； （2）利用等腰三角形三线合一，可证明，，进行角的组合可证明，利用圆心角、弦、弧的关系，即可证． 【详解】（1）证明：过O作于M，连接、， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ． 22．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，，，以点O为圆心，的长为半径的交、于点、． (1)求、的度数． (2)如果弦的长为，那么的半径是多少? 【答案】(1)的度数为，的度数为 (2)的半径是 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，先证明为等边三角形，得出，即可得出的度数，求出，即可得出的度数； （2）由等边三角形的性质即可得解． 【详解】（1）解：如图：连接， ， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，即的度数为， ∴，即的度数为； （2）解：由（1）可得：为等边三角形， ∵弦的长为， ∴， ∴的半径是． 23．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，点都在圆上，是的直径，交于点E．且． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，平行线的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是： （1）根据垂径定理可得出，然后根据弧、弦的关系即可得证； （2）根据垂径定理得出，，根据平行线的性质可得出，根据勾股定理求出，根据三角形中位线定理求出，然后根据线段的和差关系求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴， ∴． 24．（2025·浙江温州·一模）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD是⊙O的切线，∠CDB＝90°，BD交⊙O于点E． （1）求证：． （2）若AE＝12，BC＝10． ①求AB的长； ②如图2，将沿弦BC折叠，交AB于点F，则AF的长为　 　 【答案】（1）证明见解析；（2）①；②9. 【分析】（1）连接OC交AE于M，由DC与⊙C相切于点C可得∠OCD＝90°，又因为 AB是⊙O的直径，所以∠CDB＝90°，易得OC⊥AE，可证弧AC=弧CE （2）①由（1）易得四边形CMED是矩形，所以CD＝ME＝AM＝AE＝6，由勾股定理求出BD的长，由cos∠DBC= cos∠CAM可求出AC的长，即可求出答案 ②由勾股定理可求出BE的长，由折叠知BF＝BE，根据AF＝AB﹣BF即可求出答案 【详解】解：（1）如图1，连接OC交AE于M， ∵DC与⊙C相切于点C， ∴OC⊥DC，即：∠OCD＝90°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∵∠CDB＝90°， ∴CD∥AE， ∴OC⊥AE， ∴弧AC=弧CE； （2）①由（1）知，∠D＝∠OCD＝∠DEM＝∠EMC＝90°， ∴四边形CMED是矩形， ∴CD＝ME＝AM＝AE＝6， 在Rt△BCD中，根据勾股定理得，BD＝＝8， ∴cos∠DBC＝， ∵∠CAM＝∠DBC， ∴cos∠CAM＝＝， ∴AC＝， 在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AB＝； ②如图2，在Rt△ABE中，根据勾股定理得，BE＝＝ 连接EF， ∵弧AC=弧CE， ∴∠ABC＝∠DBC， 由折叠知，BF＝BE， ∴AF＝AB﹣BF＝﹣＝9， 故答案为9． 【点睛】此题主要考查圆的综合运用 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.4圆心角重难点题型专训 （1个知识点+7大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 圆心角概念辨析及简单运算 题型二 求圆弧的度数 题型三 由圆心角、弧、弦之间的关系判断结论正误 题型四 由圆心角、弧、弦之间的关系求长度 题型五 由圆心角、弧、弦之间的关系求角度 题型六 由圆心角、弧、弦之间的关系求弧度 题型七 由圆心角、弧、弦之间的关系证明 拓展训练一 由圆心角、弧、弦之间关系证明及应用 知识点一：弧、弦、圆心角 1. 圆心角及其所对的弧、弦的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 如图，①= ⇒ ② ③ABCD 推论：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等． 如上图，② ⇒ ①= ③ABCD （2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等．如上图，③ABCD ⇒ ①= 和 由圆心角、弦、弧的关系及推论可知，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧（同为优弧或劣弧）、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余两组量都分别相等，简称“知一推二”． 2. 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等． 【即时训练】 1．（2025·安徽·一模）在中，记弦所对的优弧长为，所对的劣弧长为，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知中， ，则弦和的大小关系是 ． 【经典例题一 圆心角概念辨析及简单运算】 【例1】（25-26九年级上·全国·课后作业）下图中的是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在正方形网格中，一条圆弧经过，，三点，那么所对的圆心角的大小是多少？    1．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·山东东营·一模）司南是我国古代辨别方向用的一种仪器． 其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖． 如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点），过点E作的切线与的延长线交于点M，连接． 相邻两个方位间所夹的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在中，劣弧的度数为，则圆心角 . 4．（23-24九年级下·山东淄博·期中）如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【经典例题二 求圆弧的度数】 【例1】（2024·台湾·模拟预测）如图，梯形ABCD中，，有一圆O通过A、B、C三点，且AD与圆O相切于A点若，则的度数为何？（   ） A．116 B．120 C．122 D．128 【例2】（2025九年级·全国·单元测试）如图所示，为的直径，为延长线上一点，交于，连，，，求的度数. 1．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，已知⊙O的半径为3，弦AB、CD所对的圆心角分别是∠AOB、∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD=4，则弦AB的长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25·河南洛阳·一模）如图,将大小不同的两块量角器的零度线对齐,且小量角器的中心恰好在大量角器的圆周上,设图中两圆周的交点为.且点在小量角器上对应的刻度为,那么点在大量角器上对应的刻度为(只考虑小于的角)(    ) A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，已知，则弧的度数是 ． 4．（2025九年级下·全国·课后作业）某处靠近海岸的海域有一片暗礁，当地海洋管理部门在海岸上建造了两座灯塔，，通告所有船只不要进入以为弦的弓形区域（阴影部分）内（含边界）以免触礁，如图所示.现有一艘货轮正向暗礁区域靠近，当多大时，才能避开暗礁？ 【经典例题三 由圆心角、弧、弦之间的关系判断结论正误】 【例1】（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）下列说法中，正确的是（   ） A．长度相等的弧是等弧 B．相等的圆心角所对的弧是等弧 C．半圆是弧，弧是半圆 D．面积相等的两个圆是等圆 【例2】（25-26九年级上·江苏连云港·阶段练习）在下列说法中：①三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；②若两条弧的度数相等，则它们是等弧；③直径是圆中最长的弦；④如果两条弦相等，那么这两条弦所对的圆心角相等；其中说法正确的是 1．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列说法： ①三点确定一个圆； ②相等的圆心角所对的弧相等； ③同圆或等圆中，等弧所对的弦相等； ④长度相等的弧称为等弧． 正确的个数共有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，已知和是的两条等弦，，，垂足分别为，，，的延长线交于点，连接，下列四个说法中：，，，，正确的是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24九年级上·北京·阶段练习）如图，在中，AB为定弦，C，D为圆上动点，记弦AB所对的圆心角度数是，弦CD所对的圆心角度数是．若，则 ①； ②若，则； ③若B为弧AD的中点，则； ④． 上述选项中正确的是 ．（填写所有正确选项的序号） 4．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）小滨和小江在研究与圆有关的问题时发现：“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等．”进一步思考后，两位同学提出了这样的想法：这四对量中，如果有一对量存在倍数关系，其余三对量是否也会相应的存在倍数关系？因此，在如图所示的中，他们提出了如下猜想：小滨：若，则．小江：若，则．请判断小滨、小江所提的猜想是否正确，并说明理由． 【经典例题四 由圆心角、弧、弦之间的关系求长度】 【例1】（2025·河南周口·三模）如图，是的直径，是的弦，于点，是的中点，连接．若的半径为，且，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（23-24九年级上·陕西安康·期末）如图，为的直径，点D是的中点，过点D作于点E，延长交于点F．若，求的长． 1．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，是的直径，四边形内接于，若，则的长为（    ） A．8 B．9 C．6 D．4 2．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，是的直径，为上的点，且，连接．若弦，则直径的长为（   ） A．3 B．6 C．6 D．6 3．（24-25九年级下·上海浦东新·阶段练习）若的半径为，一条弦分为两部分，这条弦的长度为 ． 4．（23-24九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，C为弧的中点，于点M，于N，且为的直径，若，求长． 【经典例题五 由圆心角、弧、弦之间的关系求角度】 【例1】（24-25九年级下·吉林长春·期中）如图，是的直径，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级下·陕西西安·期中）如图，已知：是的直径，弦于点E，G是上的一点，、的延长线交于点．若，的度数为，求的度数． 1．（24-25九年级下·湖北随州·阶段练习）如图，在以为圆心的半圆中，是直径，点是弧的中点，连接，平分交于点，连接，则的度数是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广西钦州·阶段练习）如图，是的直径．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，在中，若，，则的度数为 ． 4．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，为的直径， 点 C、D 是的三等分点， ，求 的度数． 【经典例题六 由圆心角、弧、弦之间的关系求弧度】 【例1】（2024·广东茂名·一模）如图，已知为的直径，点C为圆上的一点，且所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的，则所对的圆心角度数为（　　） A． B． C． D． 【例2】（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，C是的直径上一点，过点 C作弦，使，若，求，的度数． 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，，以O为圆心，长为半径作，分别交于C、D．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，经过五边形的四个顶点，若弧等于，，，则弧的度数为（     ）    A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点，则的度数为 ． 4．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）已知：如图，在中，，以点C为圆心、为半径作，交于点D，求弧的度数．    【经典例题七 由圆心角、弧、弦之间的关系证明】 【例1】（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，均为上的点，且，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，在中，弦与交于点E，且，连接．求证：． 1．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，A、B、C、D都是上的点，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·云南玉溪·期中）如图，A，B，C，D是上的四点，且，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 3．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，都是的直径，且，则的弦，，的大小关系是 ． 4．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，，是的两条弦，．求证：． 【拓展训练一 由圆心角、弧、弦之间关系证明及应用】 【例1】（2025·广东·一模）已知为O的直径，为圆上（异于）的一点，连接，若点到直线与点到直线的距离相等且均为，则该圆的周长与面积之比为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2024九年级上·浙江·专题练习）已知如图所示，为直径上一点，，为过点的两条弦，且； (1)求证：； (2)求证：． 1．（24-25九年级上·江西南昌·期中）在圆中，若圆心到一条弦的距离与该弦长的比为1：2，则这条弦所分成的两条弧的度数比为 （   ） A．1：2 B．2：3 C．1：3 D．1：4 2．（2024九年级·全国·竞赛）在中，一条弦把圆周分成的两段弧的长度比为，如果的半径为，那么这条弦的长度为（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图所示，在⊙O中，C、D分别是OA、OB的中点，MC⊥AB、ND⊥AB，M、N在⊙O上．下列结论： ①， ②， ③四边形MCDN是正方形， ④MN＝AB， 所有正确结论的序号是 ． 4．（23-24九年级下·吉林长春·期末）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，的半径为，点A在上，点B为线段中点，过点B作垂线l．点P是上一动点，点P关于直线l的对称点为，试探究点的轨迹． 【问题解决】经过讨论，小组同学猜想点在一个确定的圆上，下面是部分证明过程： 证明： 证明过程缺失 ∴点在以点______为圆心，______为半径的圆上． （1）请你补全证明中的缺失过程． 【结论应用】（2）如图②，的半径为，点A与点C在上且．点B为线段上的点，且，过点B作的垂线l．点P是上一动点，点P关于直线l的对称点为．当点P从点A运动到点C时，点的运动路径长为______． 【拓展提升】（3）如图③，若把上述问题的条件“”去掉，其它条件不变，为直径．点D到点距离d的取值范围是______． 1．（24-25九年级下·全国·单元测试）下列说法正确的是（   ） A．圆的周长都相等 B．圆上任意两点间的部分叫做圆弧 C．顶点在圆上的角叫做圆心角 D．由一条弧和经过这条弧的两个端点的两条线段组成的图形叫做扇形 2．（24-25九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图中，，以C为圆心，为半径的圆交于点D，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）下列语句中正确的是（　　） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．平分弦的直径垂直于弦 C．三点确定一个圆 D．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴 4．（2025·云南楚雄·三模）如图，点A，B，C在上，C是的中点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）下列说法：①三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③同圆或等圆中，等弦所对的弧相等；④长度相等的弧称为等弧．其中，正确的个数共有（   ） A．1 B．2 C．3 D．0 6．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，是的一条弦，直径，垂足为，下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）若分别是圆上的两段劣弧，且，则弦与弦之间的关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 8．（24-25九年级上·天津河西·期末）如图，，是的两条弦，如果，于，于，则下面结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，为的直径，点是弧的中点，过点作于点，延长交于点，若，，则线段的长为   A．5 B．4 C． D．3 10．（24-25九年级上·北京石景山·期末）如图，AB是⊙O的直径，C是线段OB上的一点（不与点B重合），D，E是半圆上的点且CD与BE交于点F,用①，②DC⊥AB，③FB=FD中的两个作为题设，余下的一个作为结论组成一个命题，则组成真命题的个数为（    ）    A．0 B．1 C．2 D．3 11．（24-25七年级·辽宁辽阳·阶段练习）将一个圆分割成三个扇形，它们圆心角度数的比1：3：5，则最大扇形的圆心角的度数为 ． 12．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是 13．（24-25九年级下·上海·单元测试）如果一个半径为 厘米的圆的面积恰好与一个半径为 厘米的扇形面积相等．那么这个扇形的圆心角度数为 ． 14．（23-24九年级上·山东聊城·期中）如图，在同圆中，若，则 ．（“”“”或“”） 15．（2023·山东烟台·中考真题）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接，则的度数为 ．    16．（2025九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为DC延长线上一点，∠A=70°，则∠BCE的度数为 17．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，、是⊙O的直径，弦，弧的度数为，求的度数． 18．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，C，D是以线段AB为直径的上的两点，且四边形OBCD是菱形．求证：． 19．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，D、E分别为半径、上的点，，C为弧的中点，连接、、，求证：． 20．（23-24九年级上·北京房山·期末）如图，，D，E分别是半径，的中点．求证：． 21．（24-25九年级下·广东中山·期中）如图，在中，半径分别交弦于点E，F，且． (1)求证：； (2)求证：． 22．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，，，以点O为圆心，的长为半径的交、于点、． (1)求、的度数． (2)如果弦的长为，那么的半径是多少? 23．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，点都在圆上，是的直径，交于点E．且． (1)求证：； (2)若，，求． 24．（2025·浙江温州·一模）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD是⊙O的切线，∠CDB＝90°，BD交⊙O于点E． （1）求证：． （2）若AE＝12，BC＝10． ①求AB的长； ②如图2，将沿弦BC折叠，交AB于点F，则AF的长为　 　 学科网（北京）股份有限公司 $