高一上学期期中重难点检测卷（提高卷）-2025-2026学年高一数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版必修第一册）

高一上学期期中重难点检测卷（提高卷） 【考试范围：预备知识、函数、指数运算与指数函数、对数运算与对数函数】 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（2025高一上·北京·模拟测试）已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分集合是否是空集进行讨论即可求解. 【详解】当时，满足为的真子集，此时，解得. 当时，则或，解得. 综上，，即m的取值范围是 . 故选：C. 2．（23-24高一上·北京通州·期中）给出下面四个命题： ①，； ②，； ③，的个位数字等于3； ④，. 其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】①根据不等式性质和全称命题定义判断；②根据不等式性质和称命题定义判断；③用例举法判断；④用一元二次方程根的判断式判断. 【详解】对于①，因为，所以，，所以①对； 对于②，当时，，当时，，所以，成立，所以②对； 对于③，设，，，的个位数字等于的个位数字， 所以的个位数字都不等于3，所以③错； 对于④，因数，所以方程无实数解，所以④错. 故选：B. 3．（23-24高一上·北京·期末）已知关于，，，的方程组，其中．则，，，的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题设得到，令，从而解出，，，，再根据条件，即可求解出结果. 【详解】由，得到， 即，令， 则，又，所以， 故选：D. 4．（23-24高一上·北京大兴·期中）有米长的钢材，要做成如图所示窗户的窗框：上半部分为四个全等的扇型组成的半圆，下半部分为四个全等的小矩形组成的矩形，则窗户面积的最大值为（    ） A． B．　 C． D． 【答案】D 【分析】设小矩形的长为米，宽为米，窗户的面积为平方米，根据图形可得，进而求出面积S的关系式，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】设小矩形的长为米，宽为米，窗户的面积为平方米， 则，所以， 所以 ， 由，得，解得， 因为， 所以当时，窗户的面积取得最大，且最大值为. 故选：D. 5．（23-24高一上·北京·期末）“函数在区间上不是增函数”的一个充要条件是（    ） A．存在满足 B．存在满足 C．存在且满足 D．存在且满足 【答案】D 【分析】由函数在区间上不是增函数举例说明A，B，C错误，由此确定正确选项. 【详解】∵  函数在区间上不是增函数，但对于任意的，， ∴  “存在满足”不是“函数在区间上不是增函数”的充要条件，选项A错误， ∵  函数在区间上不是增函数，但对于任意的，， ∴  “存在满足”不是“函数在区间上不是增函数”的充要条件，选项B错误， ∵  函数在区间上不是增函数，任意的且时， ∴  “存在且满足”不是“函数在区间上不是增函数”的充要条件，选项C错误， 故选：D. 6．（24-25高三下·北京·阶段练习）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数和二次函数性质，根据分段函数单调性求出各段所满足的条件即可. 【详解】根据题意若函数为单调递增，可得； 若函数为单调递增，可得，即； 若保证在R上单调递增,还需满足，解得； 综上可得，a的取值范围为. 故选：D 7．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分析可得，消去即可求解. 【详解】由题意得，则，即，所以. 故选：D. 8．（24-25高二·北京朝阳·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，则（    ） A．2 B． C．1 D．-1 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出当时的解析式，再求出及目标值. 【详解】当时，，令，则，， 因此当时，，由函数是上的奇函数，， 得，则，解得， 所以. 故选：C 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（23-24高三·北京·模拟测试）已知实数a，b满足：当时，恒有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用特值可得，故可判断ABD的正误，利用反例可判断C的正误. 【详解】设，则 于是 因此 所以选项A，B，D正确， 又符合题意，因此选项C错误． 故选：ABD. 10．（24-25高三上·安徽·模拟测试）已知集合，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】求出函数的定义域，值域化简集合，再结合集合的运算判断ABC；利用元素特征判断D. 【详解】函数中，则， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，则，故C正确； 对于D，集合A的元素是数，集合的元素是有序实数对，因此，故D正确. 故选：BCD. 11．（24-25高三上·吉林长春·阶段练习）已知幂函数图象经过点，则下列命题正确的有（    ） A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．若，则 D．若，则. 【答案】ACD 【分析】求出函数的解析式，根据幂函数的图像性质即可逐项求解. 【详解】设幂函数（为实数），其图像经过点，，解得， ，其定义域为，且在上为增函数，A正确； 的定义域为，不具有奇偶性，所以B错误； 时，，选项C正确； 函数是上凸函数， 对定义域内任意的，都有成立，选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（24-25高一上·江苏·阶段练习）若A、B、C为三个集合，，则下列结论正确的有 （填序号） ①② ③④⑤ 【答案】①④ 【分析】通过发现等式的两边都有集合，根据交、并集运算特点可知，由此利用集合间运算的性质判断出各结论是否一定成立. 【详解】因为，所以， 由可知，所以，故①正确； 由可知，所以，故④正确； 由上面可得：，所以，故②错误； 当时，满足题意，此时， 故不一定成立，故③错误； 当时，满足满足题意，故不一定成立，故⑤错误； 故结论正确的有：①④. 故答案为：①④. 13．（24-25高二·江苏·单元测试）设a，b，c是互不相等的正数，则在四个不等式： （1）；      （2）； （3）；          （4） 其中恒成立的有 （把你认为正确的答案的序号都填上） 【答案】（1）（2）（4） 【解析】根据不等式的性质判断（1）（4），根据的单调性证明，取特殊值判断（3）. 【详解】（1），故（1）恒成立 （2）由于函数在单调递减，在单调递增 当a＞1时，a2＞a＞1，f（a2）＞f（a）即， 当0＜a＜1，0＜a2＜a＜1，f（a2）＞f（a）即 当a＝1， 故（2）恒成立； （3）若a﹣b＝﹣1，则该不等式不成立，故（3）不恒成立； （4）由于．故C恒成立． 故答案为 ：（1）（2）（4） 【点睛】本题主要考查了不等式的性质的应用，属于中档题. 14．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）若，则实数取值范围是 . 【答案】 【分析】由题可得，对恒成立，据此可得. 【详解】因，则，对恒成立. 则，又，当且仅当，即时取等号. 则. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（24-25高一上·北京·阶段练习）完成如下三个小题并写出必要过程 (1)设，，比较的大小． (2)已知，求证：； (3)已知，设；，比较与的大小． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由作差法得到，即可比较； （2）由则，由同向不等式的可加性可得； （3）由作差法得到，即可比较. 【详解】（1）因为， . （2）因为，所以，由同向不等式的可加性可得. （3）因为，，，所以， 所以. 16．（23-24高一上·北京·期中）二次函数，且， (1)求函数的解析式； (2)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围； (3)当时，求函数的最小值的解析式. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用题设条件中、，结合待定系数法，运算即可得解. （2）利用二次函数的图象与性质分析运算即可得解. （3）利用二次函数的图象与性质，分类讨论，运算即可得解. 【详解】（1）解：由题意，∵，∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，解得：，则，. （2）解：由题意，关于的方程在上有解， 即在上有解，则， ∵，∴，则， 解得：，即实数的取值范围为. （3）解：    如上图，函数的图象是以直线为对称轴，开口向上的抛物线， 当时，函数在上单调递增，则； 当即时，函数在上单调递减，则； 当即时，； 综上，. 17．（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）已知函数. (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围， (2)设，解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式恒成立问题建立不等式组，解之即可求解； （2）将原不等式转化为，根据含参的一元二次不等式的解法计算即可求解. 【详解】（1）对于一切实数恒成立等价于对于一切实数恒成立. ①当时，不等式可化为，符合题意； ②当时，则，即，整理得. 解得，综上可得， 故对一切实数恒成立时，实数的取值范围是； （2）不等式，等价于不等式， 当时，不等式可化为，解得； 当时，不等式可化为 即 ①当时，，不等式可化为，无解； ②当时，，不等式的解集为； ③当时，，不等式的解集为. 综上，当时，不等式的解集为 当时，不等式无解； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 18．（23-24高一上·北京·期中）若函数对于其定义域内的某一数，有，则称是的一个不动点．已知函数（）． (1)当，时，求函数的不动点； (2)若对任意的实数，函数恒有两个相异不动点，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，若图象上两个点、的横坐标是函数的不动点，且、的中点在函数的图象上，求的最小值． 参考公式：，的中点坐标为． 【答案】(1)-1或3. (2) (3) 【分析】（1）根据不动点定义计算求解即可； （2）由方程的根个数得出判别式大于零，再应用二次函数恒大于零判别式小于零求解； （3）应用已知结合韦达定理，结合值域的求解方法求出最值. 【详解】（1）当，时，,由,解得或,所以所求的不动点为-1或3. （2）令则①, 由题意，方程①恒有两个不等实根，所以, 即恒成立，则，故 （3）设,,又AB的中点在该直线上，所以, 而应是方程①的两个根，所以 即, , , 19．（23-24高一上·北京·期末）已知函数，其中且． (1)已知的图象经过一个定点，写出此定点的坐标； (2)若，求的最小值； (3)若在区间上的最大值为2，求a的值． 【答案】(1)； (2)； (3)3. 【分析】（1）求出即可得出结果； （2）由已知，令，，可得，即可求出最小值； （3）令，则.分类讨论当以及时，根据指数函数的单调性求出在上的值域.进而根据二次函数的性质，求出最大值，根据已知得到方程，求解即可得出a的值． 【详解】（1）因为，所以定点坐标为. （2）当时，. 令，. 则，当，即时，函数有最小值. （3）令，则. ①当时，可知在上单调递减，所以. 又根据二次函数的性质可知，当时，单调递减， 所以在处取得最大值. 由已知可得，，解得或. 因为，所以两个数值均不满足； ②当时，可知在上单调递增，所以. 又根据二次函数的性质可知，当时，单调递增， 所以在处取得最大值. 由已知可得，，解得或（舍去），所以. 综上所述，. 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一上学期期中重难点检测卷（提高卷） 【考试范围：预备知识、函数、指数运算与指数函数、对数运算与对数函数】 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（2025高一上·北京·模拟测试）已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·北京通州·期中）给出下面四个命题： ①，； ②，； ③，的个位数字等于3； ④，. 其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24高一上·北京·期末）已知关于，，，的方程组，其中．则，，，的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 4．（23-24高一上·北京大兴·期中）有米长的钢材，要做成如图所示窗户的窗框：上半部分为四个全等的扇型组成的半圆，下半部分为四个全等的小矩形组成的矩形，则窗户面积的最大值为（    ） A． B．　 C． D． 5．（23-24高一上·北京·期末）“函数在区间上不是增函数”的一个充要条件是（    ） A．存在满足 B．存在满足 C．存在且满足 D．存在且满足 6．（24-25高三下·北京·阶段练习）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二·北京朝阳·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，则（    ） A．2 B． C．1 D．-1 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（23-24高三·北京·模拟测试）已知实数a，b满足：当时，恒有，则（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高三上·安徽·模拟测试）已知集合，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高三上·吉林长春·阶段练习）已知幂函数图象经过点，则下列命题正确的有（    ） A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．若，则 D．若，则. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（24-25高一上·江苏·阶段练习）若A、B、C为三个集合，，则下列结论正确的有 （填序号） ①② ③④⑤ 13．（24-25高二·江苏·单元测试）设a，b，c是互不相等的正数，则在四个不等式： （1）；      （2）； （3）；          （4） 其中恒成立的有 （把你认为正确的答案的序号都填上） 14．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）若，则实数取值范围是 . 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（24-25高一上·北京·阶段练习）完成如下三个小题并写出必要过程 (1)设，，比较的大小． (2)已知，求证：； (3)已知，设；，比较与的大小． 16．（23-24高一上·北京·期中）二次函数，且， (1)求函数的解析式； (2)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围； (3)当时，求函数的最小值的解析式. 17．（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）已知函数. (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围， (2)设，解关于的不等式. 18．（23-24高一上·北京·期中）若函数对于其定义域内的某一数，有，则称是的一个不动点．已知函数（）． (1)当，时，求函数的不动点； (2)若对任意的实数，函数恒有两个相异不动点，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，若图象上两个点、的横坐标是函数的不动点，且、的中点在函数的图象上，求的最小值． 参考公式：，的中点坐标为． 19．（23-24高一上·北京·期末）已知函数，其中且． (1)已知的图象经过一个定点，写出此定点的坐标； (2)若，求的最小值； (3)若在区间上的最大值为2，求a的值． 学科网（北京）股份有限公司 $